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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES (De revolución)

A. Cálculo de la longitud de una curva plana. B. Cálculo del área de una figura plana. C. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. D. Cálculo del área de una superficie de revolución.

A – Cálculo de la longitud de una curva.

A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)

Para la curva y=f(x) entre x=a, x=b.

22 2( ) ( ) 1

b b

a a

dyL dx dy dxdx

Para la curva x=f(y) entre y=a, y=b.

22 2( ) ( ) 1

b b

a a

dxL dx dy dydy

2

Ejemplo: Calcular la longitud del arco de curva 2y x x entre x= 0 y x=2. Solución: Utilizamos la fórmula:

22 2( ) ( ) 1

b b

a a

dyL dx dy dxdx

Para ello hallaremos y’:

21/ 23' 3 9xy x y xx

23/ 2

0

3

1 21 9 . 1 99 3

2 19 127

L x dx x

3

B – Cálculo del área de una figura plana

B1. Áreas de curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)

a) Se trata de calcular el área por debajo de la curva y = f(x), entre los dos puntos x=a, x=b.

Esta área viene dada por:

( )b

a

S f x dx

(Nota: Si la curva estuviera por debajo de OX, habría que tomar el valor absoluto del resultado)

b) En el caso de que la curva corte al eje OX en varios puntos: (Supongamos que sean dos: x1, x2), entonces

Esta área viene dada por:

1 2

1 2

( ) ( ) ( )x x b

a x x

S f x dx f x dx f x dx

c) Área comprendida entre dos curvas y = f(x), y = g(x).

Se trata de tomar positiva el área comprendida entre la curva superior y OX, y negativa el área entre la curva inferior y OX. Es decir:

( ) ( )

( ) ( )

b b

a a

b

a

S f x dx g x dx

f x g x dx

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B2. Áreas de curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Polares).

En este caso suponemos la curva expresada en polares: ρ = f(φ)

Se halla mediante la fórmula:

2 2

1 1

2 21 1 ( )2 2

S d f d

B3. Áreas de curvas expresadas en ecuaciones paramétricas.

Una curva plana puede expresarse en función de un parámetro t (en física t suele ser el tiempo) de forma:

1

2

( )( )

x f ty f t

Para hallar el área de esta curva comprendida entre x=a, x=b, primero calcularemos t1 y t2 de las ecuaciones, es decir:

1 1

1 2

( )( )

a f t tb f t t

Entonces el área entre a y b es:

2

1

2 1( ). ( )t

t

S f t f t dt

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Ejemplos de cálculo de áreas de curvas planas.

Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6 x2+ 8 x y el eje OX.

Primeramente hallamos los puntos de corte con el eje OX:

Hacemos y=0 → x3 – 6 x2+ 8 x = 0

x (x2 – 6 x+ 8 )= 0

Las raíces son x=0, x=2, x=4.

Por tanto el área comprendida es:

2 43 2 3 2 2

0 2

( 6 8 ) ( 6 8 ) 8S x x x dx x x x dx u

Ejemplo 2: Hallar el área de la figura limitada por las curvas y = ex, y = e-x , y por la recta x = 1.

El área pedida está remarcada en la gráfica de la derecha.

1

1

00

1 0 0( ) ( )1( 2)

x x x xS e e dx e e

e e e e

ee

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Ejemplo 3: Calcular el área encerrada en el interior del cardioide ρ = a (1 + cos θ) .

Un cardioide tiene la forma del gráfico de la derecha. En este caso la función viene expresada en coordenadas polares (ρ,θ).

El área remarcada en el gráfico es la mitad del área total, por tanto:

Entonces, según A2:

2 2

0

12 (1 cos )2

S a d

2 2

02

2

(1 2cos cos )

1 1 32sin sin cos2 2 2

a d

aa

Ejemplo 4: Calcular el área encerrada entre el eje OX y un arco de la cicloide:

( sin )(1 cos )

x a t ty a t

En este caso la cicloide viene expresado en coordenadas paramétricas (en función de t).

Determinamos los puntos de corte con el eje OX:

y = 0 → 0 = a (1 – cos t) → cos t = 1. Es decir, t = 0, 2π, 4π, …

Por tanto, según A3 el área correspondiente es:

dx = a(1 –cos t) dt

2 22 2

0 0

2 2

(1 cos ) (1 cos ) 1 2cos cos

2 3

S a t a t dt a t t dt

a a

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C – Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución.

C1. Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva (Coordenadas Cartesianas) y = f(x) entre x=a y x=b.

I – Alrededor del eje OX.

22 ( )b b

a a

V y dx f x dx

Caso particular: Al rotar la superficie comprendida entre y=f(x) e y=g(x).

2 2( ) ( )b

a

V f x g x

II – Alrededor del eje OY.

2 . 2 . ( )b b

a a

V x y dx x f x dx

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C2. Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva

(Coordenadas paramétricas) ( )( )

x f ty g t

Sirven las mismas fórmulas que las de arriba, salvo que ahora la integral viene expresada en la coordenada t.

I. 2

22

1

( ) '( )b t

a t

V y dx g t f t dt

II. 2

1

2 . 2 ( ). ( ) . '( )b t

a t

V x y dx f t g t f t dt

Ejemplos de cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución-.

Ejemplo 1: Hallar el volumen engendrado por la curva y = sin x . A) Al girar alrededor del eje OX. B) Al girar alrededor del eje OY. En ambos casos considerar una semionda (el intervalo de x entre 0 y π).

A)

2

02

sin

sin cos2 2 2

V x dx

x x x

B)

00 0

20

2 .sin 2 .cos 2 cos

2 2 sin 2

V x x dx x x x dx

x

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Ejemplo 2: Hallar el volumen del cuerpo de revolución resultante de girar la elipse .cos.sin

x a ty b t

alrededor del eje OX. Resulta un “elipsoide de revolución”.

Por la simetría del cuerpo podemos integrar entre 0 y a, y el resultado multiplicarlo por 2. Esto es:

0

22

0 / 2

2 2 .sin sina

V y dx b t a t dt

Arriba se ha hecho x=0 → t =π/2, etc.

Entonces, 0 0

2 3 2 2 2

/ 2 / 2

42 sin 2 (1 cos )sin3

V b a t dt b a t t dt b a

D – Cálculo del área de una superficie de revolución.

D1. Área de la superficie engendrado por la revolución de la curva y=f(x) entre x=a y x=b.

I – Alrededor del eje OX

2

2

2 . 1 ( ') .

2 ( ). 1 '( ) .

b

ab

a

S y y dx

f x f x dx

* Para coordenadas paramétricas ( )( )

x f ty g t

2

1

2 222 . 1 ( ') . 2 ( ). '( ) '( ) .tb

a t

S y y dx g t f t g t dt

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D2. Área de la superficie engendrado por la revolución de la curva x=g(y) (Coordenadas Cartesianas) entre y=m y y=n.

2

2

2 . 1 ( ') .

2 ( ). 1 '( ) .

n

mn

m

S x x dy

g y g y dy

Ejemplos de cálculo de áreas de superficies de revolución-.

Ejemplo 1: Hallar el área de la superficie engendrada por la revolución alrededor del eje OX del lazo de la curva 9y2 = x (3 – x)2 .

Esta curva corta al eje OX en x=0, y en x=3.

La ecuación de la curva puede expresarse:

1 (3 )3

y x x (podemos tomar

la rama positiva de la curva).

2

2 3 1'36

xy xx

El área de esta superficie de revolución es:

11

23 32

0 0

3

0

1 32 1 ( ') 2 (3 ) 13 36

(3 ) 12 . 33 2

x xS y y dx x x dxx

x x x dxx

Ejemplo 2: Hallar el área de la superficie engendrada por la revolución alrededor del

eje OX del astroide: 3

3

.cos.sin

x a ty a t

Primero hallamos los límites de t.

x=a → a=a cos3t → t=0. x=-a → -a=a cos3t → t=π.

2 22

0

2 . 1 ( ') . 2 ( ). '( ) '( ) .a

a

S y y dx g t f t g t dt

2

2

'( ) .3( sin ).cos

'( ) .3.cos .sin

dxf t a t tdtdyg t a t tdt

2 2 2 2 2 2 2' ' 9 sin .cos (cos sin )f g a t t t t

2

3 2 4

0 0

122 sin .3 sin cos 6 sin cos5

aS a t a t t dt a t t dt

Lecturas para profundizar:

* “Cálculo Integral. Metodología y problemas”. F. Coquillat. * http://ocw.unizar.es/ciencias-experimentales/calculo-integral-para-primeros-cursos-univesitarios/MaterialTeorico/08integrales.pdf