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Clevite de México S.A.

Interpretación de parámetros en Reporte KS

La información que se examina corresponde al análisis realizado por KS a una muestra de polvo Cu-Pb, fabricado por CLEMEX. Particularmente, se enfoca a la determinación de los parámetros β (factor de forma) y η (tamaño de grano característico). Este último parámetro, resulta desfavorable de acuerdo a las especificaciones de KS, indicadas en el documento QMH3, el cual además hace referencia a la norma DIN 66145. Con respecto a los parámetros rapidez de flujo [sec/50g] y densidad aparente [g/ccm], se trata de valores totalmente experimentales que requieren el equipo adecuado para su obtención, por lo que no se consideran en el presente reporte.

Por una parte, el factor de forma β no se trata de un parámetro relativo a la forma del grano, es decir, no es la relación de altura y espesor, lo cual es determinado mediante microscopía, si no más bien se trata de un parámetro gráfico probabilístico utilizado en el campo de la Ingeniería de la Fiabilidad; la técnica empleada es la distribución de Weibull.

La distribución estadística de Weibull es aplicable al estudio de la confiabilidad en problemas relativos a la fatiga y vida de componentes y materiales, y es a esta que hace referencia el documento QMH3, en la forma:

β

η ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=t

eR

En donde R son los valores acumulativos en el ensayo de tamices, t es el tamaño de la malla en µm, η es el tamaño característico del grano en µm y β es el factor de forma. En este caso se toma solamente el valor de R directamente del resultado del ensayo y haciendo referencia a la norma DIN 66145 se utiliza la siguiente expresión:

)(1)( dRdD −=

En este caso D representa la suma de la repartición de la masa (Massenverteilungssumme) y corresponde a la distribución Weibull requerida para representación gráfica y obtención de los parámetros η y β.

Cabe mencionar que para la representación gráfica, se puede utilizar diferentes diagramas, sin embargo todos ellos corresponden a la distribución Weibull, incluyendo programas de cómputo disponibles en Internet. De esta manera se encuentran en la literatura diagramas de la siguiente forma:

a) Å corresponde a β y á es η. b)

Figura 1. Ejemplos de graficación en diferentes “papeles Weibull” o “gráfico de Allen Plait” para la obtención de los parámetros η y β.

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En todos los casos la gráfica que se obtiene es una línea recta, el factor de forma β corresponde a la pendiente de la recta y η es el valor en la abscisa cuando la recta intercepta la línea horizontal en D=63.2, o D=0.632 de a cuerdo a la grafica de la norma DIN 66145.

Ahora bien, ¿Por qué utilizar estos parámetros geométricos? Bueno, el análisis Weibull es la técnica más utilizada para estimar una probabilidad basada en datos medidos, y los parámetros obtenidos (η y β) ayudan a estimar el tiempo y la forma de un fallo (Ver anexos).

Los Gráficos de Weibull brindan una técnica para analizar y mostrar gráficamente valores de fallas y porcentajes de probabilidad. De esta manera uno puede estimar que porcentaje falla a que determinado valor de solicitación y la forma de la distribución estadística de esta falla. Al hacerlo en forma gráfica también se facilita la tarea de interpretación de los resultados.

Construcción de la gráfica

Como se mencionó anteriormente, se utilizan los resultados del ensayo de tamices, adjudicando los valores acumulativos a R y con ello se calcula D, de esta manera se grafica D contra t en el gráfico de Weibull.

Tabla 1.

Malla t [µm] R %

180 0.0

160 0.27

125 4.99

90 19.03

80 26.29

63 38.07

45 57.09

Charola 100.00

Tabla 2.

1 – R = D t

1 – 0.0000 = 1.00 180 *

1 – 0.0027 = 0.99 160

1 – 0.0499 = 0.95 125

1 – 0.1903 = 0.81 90

1 – 0.2629 = 0.73 80

1 – 0.3807 = 0.61 63

1 – 0.5709 = 0.42 45

1 – 1.0000 = 0.0 -- *

* En este punto, se debe considerar las especificaciones del documento QMH3 referente a los criterios de evaluación del polvo, lo cual establece se deben considerar los valores de R en un rango de 5 a 95%, por lo que no se consideran los valores correspondientes al de la malla de 180 µm y al de la charola.

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Con los datos calculados anteriormente, se obtiene la siguiente gráfica.

Figura 2. .

Los puntos obtenidos se adaptan a una línea recta, la cual al interceptar la horizontal en D=0.632, da un valor en el eje de las abscisas de 65 el cual corresponde al parámetro η, mientras que la pendiente de la recta, es decir β, se calcula trazando una paralela a la recta obtenida que parta desde el “polo” ubicado en la esquina inferior izquierda (punto (10,0.001)), hasta la escala exterior que se identifica como n; de esta manera se tiene que el factor de forma β = 1.5.

Como se observa, el cálculo de los parámetros es totalmente gráfico por lo que se debe considerar el error de apreciación, sin embargo la construcción no permite errores considerables.

Es importante tomar en cuenta los criterios adecuados para la interpretación de dichos factores, es decir, se trata de especificaciones de KS y dependen directamente del muestreo en realización de los ensayos correspondientes.

Con respecto al software para la obtención de dichos parámetros, se encontró el Weibull++7, cuyo distribuidor es ReliaSoft. Aún cuando no se cuenta con mayor experiencia en el manejo del programa se muestra una imagen de la gráfica obtenida con los datos obtenidos.

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Figura 3. Grafica obtenida en el programa Weibul++7.

Conclusiones

Como se observa, los valores obtenidos son totalmente gráficos y son requeridos de acuerdo a criterios quien realiza el ensayo de los tamices. Sin embargo, la manera directa de influir en dichos factores es llanamente en el proceso de fabricación del polvo Cu-Pb, lo cual requiere revisión de los parámetros de fabricación a fin de cumplir este tipo de exigencias.

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ANEXOS

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EJEMPLO 1

La información disponible acerca de la duración de 10 sistemas mecánicos de detectores de presencia sometidos a funcionamiento continuo hasta que se produce un fallo, da los siguientes resultados, expresados por su duración en meses y ordenados : 1,7; 3,5 ; 5; 6; 8; 11; 13; 18 y 22.

Calcular las probabilidades acumuladas o valores medios clasificados, los parámetros de Weibull, tipo de fallo, la fiabilidad de forma general, fiabilidad para 12 meses, la duración media de vida y la desviación tipo.

Solución

Con la ayuda de la tabla 2, que nos da directamente los valores medios clasificados de los fallos o probabilidades acumuladas según el tamaño de la muestra que en este caso es n = 10, tendremos:

La representación de estos puntos en el gráfico de Weibull nos clá prácticamente una recta (fig. 4). La pendiente de esta recta es 1,5 valor que corresponde al parámetro ß; por otro lado se puede ver gráficamente que η es igual a 12, que es el valor de la abcisa en el punto donde la recta trazada con los datos corta a la horizontal para F ( t ) = 63,2.

Tabla 2: Valores medios clasificados de fallos en función del tamaño de la muestra (columnas) y del número medio de fallos acumulados (filas)

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Fig. 4: Resolución gráfica del ejemplo

El valor de ß nos indica que los tipos de fallo son debidos al desgaste. La fiabilidad será:

R ( t ) = exp - ( t / 12)1,5

La fiabilidad para 12 meses será:

R (t) = exp - (12/12)1,5 = exp - 1 = 0,3679 (36,79%)

Gráficamente vemos que para t = 12 la probabilidad acumulada de fallos F (t) = 63,2 por lo que R (12) = 1 - F (12) = 1 - 0,632 = 0,368 (36,8 %) valor sensiblemente igual al calculado.

La duración de vida media será :

E ( t ) = MTBF = η γ ( 1 + 1 / ß )

MTBF = 12 γ ( 1 + 1 / 1,5) = 12. 0,9028 = 10,83 meses

La desviación tipo será :

σ2 = η2 [ γ ( 1 + 2 / B ) - Γ2 ( 1 + 1/ß ) ]

para ß = 1,5 y según las tablas nos da el valor de σ/ η = 0,613 que como η = 12 tenemos que: σ= 12. 0,613 = 7,356 meses.

FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE WEIBULL

Por Robert B. Abernethy, FL, USA El análisis de Weibull es la técnica mayormente elegida para estimar una probabilidad, basada en datos medidos o asumidos. La distribución de Weibull descubierta por el sueco Walodi Weibull, fue anunciada por primera vez en un escrito en 1951. La distribución de Weibull es útil por su habilidad para simular un amplio rango de distribuciones como la Normal, la Exponencial, etc. Las técnicas discutidas en la distribución de Weibull son similares a las usadas con las distribuciones Normal y Log-Normal. Este artículo le dará una visión general de la aplicación de la distribución de Weibull. Permítame nombrarlo a usted como miembro principal del Comité de Refrigerios de un equipo de béisbol. Suponga que usted compra 800 perros calientes (“hot dogs”) cada semana, y toma nota del número de perros calientes que realmente vende en un partido de béisbol universitario. En los primeros siete juegos las cifras son: 492 287 521 604 349 453 412 El presidente de su Comité de Refrigerios quiere reducir los costos para mantener contentos a los propietarios. El presidente quiere que usted compre solamente los suficientes perros calientes la próxima vez, de tal manera que solo en el 15% de las veces no hayan suficientes perros calientes (en el 85% de las veces habrán suficientes perros calientes para vender). Usted consulta a su profesor de estadística quien le indica acerca de utilizar el ANÁLISIS DE WEIBULL, dado que la cantidad de perros calientes vendida es aproximadamente un número aleatoriamente variable. Su profesor de estadística, con ayuda de un software o simplemente a mano, tabula los siete datos iniciales y procede a calcular lo que se conoce como RANGO MEDIO, para cada uno de ellos. El Rango Medio es un número entre 0 a 1 que refleja en orden ascendente la fracción del valor del dato que es menor que el mismo dato. Así, se obtiene la Tabla 1, una vez ordenados los datos.

ORDEN DATO RANGO MEDIO 1 2 3 4 5 6 7

287 349 412 453 492 521 604

0.09459459 0.2297297 0.3648649

0.5 0.6351351 0.7702703 0.9054054

Tabla 1.

En la tabla 1, hay un 90.5% de posibilidades que el número de perros calientes vendidos sea menor a 604, dado que el Rango Medio para este último punto es de 0.9054054. Usualmente, el Rango Medio se puede encontrar en los libros de estadística, o puede ser calculado con la fórmula de Bernard. Si se dibuja en un gráfico el doble logaritmo de 1/(1 - Rango Medio) vs. el logaritmo de los datos en cuestión, se obtiene el Gráfico de Weibull (ver Fig. 1). Usualmente, la mayoría de los datos a analizar forman una línea recta en esta gráfica. Esta línea recta puede ser trazada por el método de la regresión o de los mínimos cuadrados.

Fig. 1. Gráfico de Weibull

La ecuación de la distribución acumulativa de Weibull es: β

F(t) = 1 - e - { ( t - to ) / η }

567

85

donde:

e = Base de los logaritmos naturales = 2.718281....... t = Parámetro de interés o valor en x to = valor en x inicial (tercer parámetro de Weibull) η = Vida característica β = Factor de forma

La pendiente de la línea recta que pasa por la mayoría de los puntos en el Gráfico de Weibull, es también el Factor de Forma β. Esta β indica el tipo de distribución de probabilidad (normal, exponencial, etc.). La Vida Característica η es el valor del dato (en este caso: número de perros calientes) que corresponde al 63.2% del valor del Rango Medio de la línea recta. Este 63.2% es realmente 1 - 1/e, dado to = 0 y t = η. En el Gráfico de Weibull, usted puede hacer estimaciones de probabilidades utilizando la línea recta, o simplemente leyendo la probabilidad en la escala vertical, para un dato (en este caso, un número de perros calientes). Volviendo al ejemplo, el número estimado de perros calientes a comprar, para un 15% de veces no satisfechas, se localiza en la línea recta con una probabilidad de 0.85 (85%). Para este dato, el punto ocurre a los 567 perros calientes. Problema resuelto. Pero, espere un momento. ¿Cómo asegura usted este tipo de análisis? La respuesta es ...... aproximadamente en un 50% (según la estadística). Esto es, con 567 perros calientes en el próximo juego de béisbol usted tiene un 15% de probabilidad de que tenga menos perros calientes de los requeridos, o que tenga un 15% más de los perros vendidos (el Rango Medio implica un 50 - 50 de posibilidades para la probabilidad real, siendo mas bajo a mas alto de lo estimado). Dado que su presidente de comité le dice que usted deberá asegurarse en un 90% de que los clientes no atendidos sean menores al 15%, usted deberá tener CONFIABILIDAD (algunos autores la llaman Confianza). Usted puede obtener la confiabilidad requerida para valores diferentes al 50% (Rango Medio). Para el efecto, debe trazar sobre el mismo Gráfico de Weibull la línea de confiabilidad superior del 90%, la cual usualmente es curva (Ver Fig. 2). En la Fig. 2, entrando por la escala vertical con un 85% de ocurrencia hasta la línea curva de confiabilidad del 90%, y bajando verticalmente, se encuentra en la escala horizontal con un valor de 647 perros calientes. Esa es la cantidad (647) que usted deberá comprar para el próximo partido, para que por lo menos tenga un 85% de posibilidades de satisfacer a todos los futuros clientes con un 90 de confianza (Confiabilidad).

Fig. 2. Gráfico de Weibull con curva de Confianza del 90%

Pero, otro momento. Suponga ahora que en un nuevo partido (octavo) a la altura del séptimo inning empezó a llover fuertemente, se suspendió el partido y usted solamente había vendido 370 perros calientes. Usted sabe que habría podido vender más (mas de 370 perros calientes) si no hubiera llovido. Este dato, por su característica, se llama SUSPENDIDO y debe tenerse en cuenta para el cálculo total, por lo que la mayoría de software lo considera y le da un tratamiento especial (por convención: -370), el cual afecta los rangos medios (Ver Tabla 2). El tercer punto en la Tabla 2 es el valor de dato de suspensión (-370). Usualmente, los números de secuencia después de una suspensión no son enteros. Continuando con el ejemplo, el número de perros calientes que usted debe comprar, para tener un 85% de posibilidades de satisfacer a todos sus clientes, con un 90% de confianza (Confiabilidad) es de 641, debido a la adición de este nuevo dato de suspensión (Ver Fig. 3).

647

85

90%

ORDEN DATO RANGO MEDIO 1 2 3 4 5 6 7 8

287 349 -370 412 453 492 521 604

0.0833333 0.202381

Suspensión 0.3412698 0.4801587 0.6190476 0.7579364 0.8968253

Tabla 2

Fig. 3. Gráfico de Weibull con curva de Confianza del 90% y 1 Suspensión

Con esta información, usted regresa a donde su presidente de comité, le muestra los resultados y le indica el ahorro de 800 - 641 = 159 perros calientes por partido. Felicitaciones, ha concluido usted con éxito su análisis, con un ahorro considerable para su Comité.

641

85

90%

OTROS CASOS La técnica de Weibull puede ser usada para estimar la probabilidad en numerosos casos. Es frecuente emplearla en estimar la vida de los rodamientos. La vida B-10 (falla del 10%) se obtiene cuando se prueban rodamientos nuevos bajo condiciones de carga, velocidad y lubricación específicas, con un resultado de falla del 10% de los rodamientos. Suponga que usted ha probado 4 rodamientos y registrado la vida útil de cada uno de ellos: 55, 70, 40, y 65 horas. Usted puede obtener la vida B-10 graficando los datos mediante la técnica de Weibull. La vida B-10 se obtiene localizando el 10% en la línea de ocurrencia sobre el eje vertical y encontrando el punto en el eje horizontal correspondiente. Así, para el ejemplo, la vida B-10 es de 34 horas (Ver Fig. 4). Esto quiere decir, que a las 34 horas de operación, y para esos rodamientos en particular, fallarán un 10% de ellos.

Fig. 4. Gráfico de Weibull para el ejemplo de los rodamientos

Traducido y adaptado por Héctor Danilo Ordóñez Lozano

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