Colección de problemas de Estadística

Coleccion adicional de problemasEstadıstica e Investigacion Operativa

Verano 2014

Problema 1 El tiempo que tarda un automovil de Formula 1 en dar una vuelta a un determinadocircuito se asume que se distribuye segun una exponencial que no depende del tiempo que hayatardado en dar la vuelta anterior. Al realizar varias series de entrenamiento de 4 vueltas cadauna, se tiene que la vuelta mas rapida es superior a 2 minutos en el 10% de las series. Se pide:

1. Probabilidad de que tarde entre 1 y 2 minutos en la vuelta mas rapida de una serie. ¿Y enuna vuelta cualquiera?.

2. Probabilidad de que, en una serie, la vuelta mas rapida sea la ultima de la serie.

3. Probabilidad de que haya tardado mas de 2 minutos en dos de las cuatro vueltas de unaserie.

4. Si el automovil da vueltas al circuito durante 5 minutos seguidos, la probabilidad de quehaya dado las cuatro vueltas de la serie.

5. Numero mınimo de vueltas que tendrıa que dar el automovil para que haya al menos un90% de probabilidad de que la vuelta mas rapida de todas sea menor de 1.5 minutos.

Solucion

1. 0.1875

2. 0.25

3. 0.3634

4. 0.0423

5. 6

�

Problema 2 El numero de billetes de AVE que se venden al dıa por Internet se distribuye comouna Poisson cuya media es de 270 billetes/dıa.

1. Sabiendo que la probabilidad de que un pasajero con billete pierda su tren es del 1%, sepide:

a) Si un dıa se venden N billetes, calcular en funcion de N la probabilidad de que 2pasajeros de los que compraron dichos billetes pierdan sus trenes.

b) Probabilidad de que en un dıa se hayan vendido N billetes y un pasajero de los quecompraron dichos billetes pierda su tren, en funcion de N .

1

c) Calcular la probabilidad de que, en un dıa, ninguno de los pasajeros pierda su tren.Nota:

∞∑i=0

xi

i!= ex

2. Calcular la probabilidad de que entre las 8:00 y las 16:00 horas, el numero de billetes ven-didos por Internet sea menor que b. Ademas, teniendo en cuenta la reproductividad de laPoisson, calcular usando el TCL dicha probabilidad para b = 100.

3. Para la siguiente m.a.s. correspondiente a los billetes comprados al dıa por Internet du-rante una determinada semana (268, 270, 272, 269, 261, 270, 264), calcular un intervalo deconfianza de nivel de confianza 0.98 para la media de billetes comprados al dıa por Internet,demostrando que se puede asumir normalidad.

4. Sabiendo que el numero medio de billetes de clase turista que se vende consecutivamente esde 2.8, calcular el valor esperado y la varianza del numero de viajeros de clase turista si sehan vendido 200 billetes.

Solucion

1. a)(N2

)0.012(1− 0.01)N−2

b) 0.01(0.99)N−1 (270)N

(N−1)!e−270

c) 0.0672

2. 0.85304

3. [263.12, 272.3001]

4. Esperanza: 147.368; Varianza: 38.77

�

Problema 3

1. Sea f(x) = Ke−|x|a , x ∈ (−∞,∞), con a > 0. Se pide:

a) Determinar K para que la funcion anterior sea funcion de densidad de una variablealeatoria X.

b) Determinar la funcion generatriz de momentos de X.

c) Determinar la probabilidad de que X ∈ [−a, a]

d) Demostrar que |X| ∼ Exp( 1a)

e) Demostrar que si Z1 y Z2 son independientes y exponenciales de parametro λ, entoncesZ1 − Z2 sigue la distribucion de X con a = 1

λ

2. Sea el siguiente problema de programacion lineal:

2

Min − 3x1 − 2x2 + 3x3s.a. x1 − 2x2 ≤ 8

x2 + x3 = 1− x2 ≥ −3

x1, x2, x3 ≥ 0

Se pide:

a) Forma estandar.

b) Forma canonica en la que x1 y x2 son variables no basicas. Costes relativos de dichaforma canonica.

c) Hallar V1 vertice de la forma canonica anterior. ¿Es optimo? En caso contrario, de-terminar una solucion mejor V2 por el metodo de exploracion de las aristas.

d) Hallar V3 el vertice optimo por el metodo de exploracion de las aristas, justificandopor que es optimo.

Solucion

1. a) K = 12a

b) φ(t) =1a2

1a2

−t2= 1

1−(at)2, t < 1

a (en caso contrario no existe φ(t))

c) 1− 1e

d) φ|X|(t) =1/a1a−t, t < 1

a (en caso contrario no existe), por lo que |X| ∼ Exp(1a

).

e) φZ1−Z2(t) =1

1−( tλ)

2 , por lo que Z1 − Z2 sigue la funcion de distribucion de

X con a = 1λ

2. a) Forma estandarMin − 3x1 − 2x2 + 3x3s.a. x2 + x3 = 1

x1 − 2x2 + h1 = 8x2 + h2 = 3

x1, x2, x3, h1, h2 ≥ 0b) Forma canonica

Min − 3x1 − 2x2 + 3x3s.a. x2 + x3 = 1

x1 − 2x2 + h1 = 8x2 + h2 = 3

x1, x2, x3, h1, h2 ≥ 0xB = (x3, h1, h2). Costes relativos (−3,−5).

c) V1 = (0, 0, 1, 8, 3) con Z0 = 3. V2 = (0, 1, 0, 10, 2) con Z0 = −2.

d) V3 = (10, 1, 0, 0, 2) con Z0 = −32 (vertice optimo).

�

Problema 4 Se sabe que cada cierto tiempo (X meses) la intensidad de corriente de una instala-cion electrica supera un determinado valor que hace que se funda el fusible instalado. Cuando estosucede, el fusible es reemplazado por otro nuevo en un tiempo que puede considerarse despreciable.Si la media de fusibles reemplazados al mes es constante (c), se pide

3

1. Modelar la variable Y = {numero de fusibles reemplazados al ano}. Calcular la probabilidadde que el numero de fusibles reemplazados al ano sea 3, en funcion de c.

2. Determine la funcion generatriz de momentos de W = {tiempo en anos transcurrido hastafundir el fusible de la instalacion electrica} en funcion de c. Modelar W en funcion de lavariable X.

3. Modele la variable Z = {tiempo en anos transcurridos hasta fundir el k-esimo fusible} enfuncion de la variable X. Determine la funcion de densidad de Z en funcion de c. Calcularla probabilidad de que transcurran menos de 2.5 meses en reemplazar el segundo fusible enfuncion de c.

Solucion

1. (12c)3

3! e−12c

2. φW (t) = φX(t/12) ⇒ E[eWt] = E[eX12

t] ⇒ W = X12 .

3. 1− (1 + 2.5c)e−2.5c

�

Problema 5 La demanda diaria de leche fresca (miles de litros) en un supermercado se distri-buye segun una normal de esperanza 100 y varianza 4. La leche fresca no vendida al final del dıadebe tirarse, por lo que cada dıa debe reponerse leche fresca nueva. Se pide:

1. Cantidad mınima de leche fresca a reponer diariamente para que no falte leche en al menosel 99% de los dıas.

2. Numero de dıas (en% sobre dıas del ano) en los que sobrara leche si se reponen 101 milesde litros diarios.

3. Si se reponen 102 miles de litros diarios, probabilidad de que falte leche en mas de un dıade la semana (6 dıas laborables).

4. Si se reponen 101 miles de litros diarios, probabilidad de que al menos sobren 1000 litrosen un dıa en el que ha sobrado leche.

5. Si se reponen 101 miles de litros diarios, probabilidad de que al menos sobren 1000 litrosen un dıa cualquiera.

6. Se ha registrado la demanda de leche los dıas anteriores a un festivo, obteniendo los si-guientes valores: (102, 95, 104, 98, 95, 102, 100, 103). Con una confianza del 99%, ¿podrıaafirmarse que los parametros de la distribucion normal de la demanda son distintos paraestos dıas de los que se han considerado en el enunciado?

Solucion

1. 104660 litros

2. 69.146%

4

3. 0.2441

4. 0.7231

5. 0.5

6. IC99%(µ) = [95.5039, 104.2461], IC99%(σ2) = [4.28, 87.87].

�

Problema 6 1. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con X ∼ Exp(λ) e Y ∼Exp(1/λ), con λ > 1.

a) Hallar la funcion generatriz de momentos de la variable aleatoria X + Y , E[X + Y ] yV [X + Y ].

b) Hallar E[(X + Y )2]

c) Hallar Cov[X,XY ]

d) Dados x, y > 0, demostrar que P [X > x+ y|X > x] = P [X > x].

e) Dados x, y > 0, hallar P [X + Y > x+ y|Y < y]

f) Dado x > 0, hallar P [min{X,Y } > x]

g) Si λ = 1, hallar la funcion generatriz de momentos de la variable aleatoria X − Y ,E[X − Y ] y V [X − Y ].

2. Sea el siguiente modelo de programacion lineal.

Max 3x1 + 2x2s.a. 4x1 + x2 ≤ 16

−2x1 − x2 ≥ −12x1 ≥ 0;x2 ≥ 0

a) Escribir la forma estandar del modelo dado.

b) Escribir la forma canonica del modelo con x1 y x2 como variables no basicas.

c) Escribir los costes relativos, el vertice V1 y el valor de la funcion objetivo en dichovertice de la forma canonica del apartado anterior. ¿Es optimo? Razonar la respuesta.

d) Por el metodo de exploracion de las aristas buscar otro vertice V2 que mejore la funcionobjetivo.

e) Hallar el vertice optimo.

Solucion

1. a) φX+Y (t) =1

1−λ2+1λ

t+t2, t < 1

λ . E[X + Y ] = λ+ 1λ , V [X + Y ] = λ2 + 1

λ2 .

b) E[(X + Y )2] = 2λ2 + 2λ2 + 2

c) Cov[X,XY ] = 1λ

d) Demostrar usando que si x, y > 0, entonces si X > x+ y ⇒ X > x.

e) P [X + Y > x+ y|Y < y] = P [X < x] = 1− e−λx

5

f ) P [min{X,Y } > x] = e−(λ+1λ)x

g) φX−Y (t) =1

1−t2con t < 1; E[X − Y ] = 0, V [X − Y ] = 2.

2. Modelo de PL

a)

−Min − 3x1 − 2x2s.a. 4x1 + x2 + h1 = 16

2x1 + x2 + h2 = 12x1 ≥ 0;x2 ≥ 0;h1 ≥ 0;h2 ≥ 0

b) Forma canonica:Coincide con el modelo en forma estandar, con xD = (x1, x2) y xB = (h1, h2)

c) Z = −3x1 − 2x2, rD = (−3,−2), V1 = (0, 0, 16, 12), Z0 = 0

d) V2 = (4, 0, 0, 4), con Z0 = −12.

e) V3 = (2, 8, 0, 0), con Z0 = −22.V4 = (0, 12, 4, 0) con Z0 = −24 (vertice optimo).

�

Problema 7 Sea (X,Y ) una variable aleatoria bidimensional continua.

1. Hallar k para que la funcion f(x, y) sea funcion de densidad conjunta de (X,Y ).

f(x, y) =

{0 (x, y) ∈ A

kx2y (x, y) ∈ A

Con A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x2 < y < 1}

2. Hallar las funciones de densidad marginales de X y de Y .

3. Hallar las funciones de distribucion marginales de X e Y .

4. Hallar E[X] y V [Y ].

5. Hallar E[Xn].

6. Hallar E[√Y ].

7. Hallar E[XY ] y Cov[X,Y ]. ¿Son X e Y independientes? Razonar la respuesta.

8. Hallar E[XnY ].

9. Hallar P [X ≤ x;Y ≤ y] con −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x2 < y < 1.

10. Hallar F (x, y).

11. Hallar P [X ≤ x|Y ≤ y] con −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x2 < y < 1.

Solucion

1. k = 214

6

Figura 1: Region de definicion de la funcion de densidad conjunta A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤x2 < y}

2. fX(x) =

{0 x < −1 o x > 1218 x

2(1− x4) −1 ≤ x ≤ 1

fY (y) =

{0 y ≤ 0 o y ≥ 172y

5/2 0 < y < 1

3. FX(x) =

0 x < −17x3−3x7

8 + 12 −1 ≤ x ≤ 1

1 x > 1

FY (y) =

0 y ≤ 0

y7/2 0 < y < 1

1 y ≥ 1

4. E[X] = 0, V [Y ] = 711 −

(79

)25. E[Xn] =

{0 n impar

212(n+3)(n+5) n par

6. E[√Y ] = 7

8

7. E[XY ] = 0, Cov[X,Y ] = 0, fX(x) · fY (y) = 218 x

2(1 − x4)72y5/2 = 21

4 x2y =

f(x, y) ⇒ X e Y no son independientes.

8. E[XnY ] =

{0 n impar

21(n+3)(n+9) n par

9. P [X ≤ x;Y ≤ y] = 78(y

2 − x4)(x3 + y3/2)

10. F (x, y) =

0 x < 0 y < x2

78(y

2 − x4)(x3 + y3/2) (x, y) ∈ A78(y

2 − x4)2y3/2 x > 0, 0 < y < x2, y < 178(y

2 − 1)(x3 + y3/2) y ≥ x2, y > 1

1 x > 1, y > 1

7

11. P [X ≤ x|Y ≤ y] =78(y2−x4)(x3+y3/2)

y7/2

�

Problema 8 Sea X variable aleatoria con la funcion de densidad:

f(x) = aebx, x ∈ [0, 1], a, b > 0

La funcion generatriz de momentos de X es

φ(t) =e(t+1) − 1

(e− 1)(t+ 1)

Se extrae una m.a.s de tamano 30 de X, (X1, X2, ..., X30). Se pide:

1. Calcular la varianza de la variable Y = X12 −X15 + 3X20.

2. Calcular la probabilidad de que la media muestral de la m.a.s. sea menor que 0.6.

3. Determinar los parametros a y b de la funcion de densidad dada.

4. Probabilidad de que X4 sea menor que 0.5 sabiendo que X2 ha tomado el valor 0.8.

5. Probabilidad de que los unicos resultados muestrales de la m.a.s. mayores que 0.5 sean loscuatro primeros.

6. Probabilidad de que cuatro resultados muestrales de la m.a.s. sean mayores que 0.5.

7. Si todos los dıas se confeccionara un intervalo de confianza de forma independiente paraestimar el parametro a de nivel de confianza (1−α), calcular dicho nivel de confianza paraque el numero medio de dıas consecutivos en los que el intervalo contenga al parametro sea49.

Solucion

1. V [Y ] = 0.8726

2. 0.63683

3. a = 1e−1 , b = 1

4. P [X4 < 0.5|X2 = 0.8] = 0.3775

5. 1.5 · 10−12

6. 4.11 · 10−8

7. 0.98

�

8

Problema 9 El numero de ingresos en un determinado hospital se distribuye como una Poissoncuya media es λ ingresos/ano. Si la probabilidad de que un ingresado fallezca es 0.05:

1. Determinar, en funcion de λ, la funcion de distribucion de la variable aleatoria que mideel tiempo que transcurre sin que haya ningun ingreso en el hospital en anos.

2. Determinar, en funcion de λ, la funcion de densidad de la variable aleatoria que mide eltiempo medio que transcurre en producirse cinco ingresos en anos.

3. Calcular de forma aproximada λ, usando de forma justificada el TCL, si la probabilidad deque el numero de ingresos al mes sea mayor que 96 es 0.121.

4. Determinar que distribucion sigue la variable aleatoria W={numero de fallecimientos alano en el hospital, sabiendo que ha habido N ingresos en el ano}.

5. Determinar la funcion de probabilidad de la variable aleatoria M={numero de fallecimientosal ano en el hospital}. ¿Que distribucion sigue M?

Nota: Para este apartado use∞∑i=0

xi

i!= ex

Solucion

1. F (x) = 1− e−λx

2. f(y) = (5λ)5

4! y4e−5λy, y > 0

3. λ = 1022.31

4. W ∼ Bi(N, 0.05), P [W = m] = P [M = m|I = N ] =(Nm

)0.05m0.95N−m

5. P [M = m] =∑∞

N=m P [M = m|I = N ]P [I = N ] = e−0.05λ

m! (0.05λ)m ⇒ M ∼Po(0.05λ)

�

Problema 10 En un centro medico que abre 10 horas al dıa hay cuatro consultas de distintasespecialidades. Se asume que el numero medio de pacientes por unidad de tiempo que llegan acada consulta es constante y el mismo para cada consulta. Sabiendo que la probabilidad de queno llegue ningun paciente en una hora al centro medico es de 0.005, se pide:

1. Probabilidad de que en una hora hayan llegado 4 pacientes al centro medico (a cualquierade las especialidades).

2. Probabilidad de que el numero de pacientes que han llegado a una de las consultas en undıa sea de 12.

3. Probabilidad de que en una consulta pasen 2 horas sin que llegue ningun paciente.

4. Probabilidad de que en al menos dos de las consultas hayan llegado 10 pacientes en un dıa.

9

5. Se intentan validar los datos del enunciado mediante una muestra de 6 dıas en la que se hacontabilizado el numero de pacientes que llegan al centro medico, obteniendose los siguien-tes valores: (56, 53, 56, 64, 51, 59). De acuerdo a los datos de la muestra, ¿con que nivel deconfianza se puede asumir el numero medio de pacientes a la hora que se deduce del enun-ciado? Justificar que se puede asumir normalidad para aplicar el intervalo de confianzacorrespondiente.

Solucion

1. 0.164

2. 0.1081

3. 0.071

4. 0.0353

5. 89%

�

Problema 11 Una maquina procesa una pieza tras otra sin interrupcion. El tiempo que tardaen procesar cada pieza se considera distribuido segun una exponencial de media 25 segundos. Sepide:

1. Probabilidad de que se puedan procesar tres o mas piezas en un minuto.

2. Probabilidad de que se tarde mas de un minuto en procesar dos piezas.

3. Probabilidad de que, en un conjunto de cuatro piezas, ninguna de ellas haya tardado masde 22 segundos en procesarse.

4. Probabilidad de que, en un conjunto de cuatro piezas, haya dos piezas en las que se hayatardado mas de 28 segundos en procesarse cada una.

5. Probabilidad aproximada de que se tarde menos de una hora en procesar 150 piezas.

Solucion

1. 0.4303

2. 0.3084

3. 0.1173

4. 0.2900

5. 0.3121

�

10

Problema 12 Se asume que el error de los radares (medido en ciertas unidades) se distribuyecomo una normal N(µ, 40), donde µ depende de la antiguedad del radar. Para radares instaladosen 2005 o antes se puede asumir µ = 30, mientras que para averiguar el valor de µ para losinstalados con posterioridad se ha tomado la siguiente m.a.s.: (35.2, 23.6, 39.2, 19.4,27.4,12.4)

Se pide:

1. Estimacion del error medio de los radares instalados con posterioridad a 2005 y su intervalode confianza al 95%.

2. Nivel de confianza mınimo con el que puede asumirse que σ2 ≥ 40 para estos radares.

Asumiendo la estimacion de la esperanza dada por la muestra anterior:

3. Si se sabe que en una determinada zona hay una probabilidad del 50% de que un radarcualquiera tenga un error menor que 28, determinar el porcentaje de radares de cada tipo(de 2005 y anteriores, o posteriores a 2005) que hay instalados en dicha zona.

4. Si un radar tiene un error menor que 25, determinar la probabilidad de que haya sidoinstalado en la zona con posterioridad a 2005.

Solucion

1. IC0.95(µ) = [21.1393, 31.2607]

2. 90%

3. 53.24% de radares de tipo moderno, y un 46.76% de radares antiguos.

4. 0.6924

�

Problema 13

1. Sea f(x) = Ke−|x−a|, x ∈ (−∞,∞), con a en R. Se pide:

a) Determinar K para que la funcion anterior sea funcion de densidad de una variablealeatoria X.

b) Determinar la funcion generatriz de momentos de X.

c) Demostrar que |X − a| ∼ Exp(1)

d) Demostrar que si Z1 y Z2 son independientes y exponenciales de parametro 1, entoncesZ1 − Z2 sigue la distribucion de X con a = 0


Min − 3x1 − 2x2 + 2x3s.a. x1 − 2x2 ≤ 6

x2 + x3 = 1− x2 ≥ −2

x1, x2, x3 ≥ 0

11

Se pide:

a) Forma estandar.

b) Forma canonica en la que x1 y x2 son variables no basicas. Costes relativos de dichaforma canonica.

c) Hallar el vertice V1 de la forma canonica. ¿Es el vertice anterior optimo? En casocontrario, determinar un vertice mejor V2 por el metodo de exploracion de las aristas.

Solucion

1. a) K = 12

b) φ(t) = eat

1−t2para |t| < 1 (en caso contrario no existe φ(t))

c) φ|X−a|(t) =1

1−t , para t < 1 (en caso contrario no existe φ|X−a|(t)), |X−a| ∼Exp(1).

d) φZ1−Z2(t) =1

1−t2Tal y como se puede ver del apartado b), la funcion gene-

ratriz de momentos anterior es identica a la de la variable X con a = 0. Porlo tanto, ambas variables siguen la misma distribucion.

2. a) Forma estandarMin − 3x1 − 2x2 + 2x3s.a. x2 + x3 = 1

x1 − 2x2 + h1 = 6x2 + h2 = 2

x1, x2, x3, h1, h2 ≥ 0b) Forma canonica

Min − 3x1 − 2x2 +2(1− x2) = 2− 3x1 − 4x2s.a. x2 + x3 = 1

x1 − 2x2 + h1 = 6x2 + h2 = 2

x1, x2, x3, h1, h2 ≥ 0Costes relativos: (−3,−4).

c) V1 = (0, 0, 1, 6, 2), con Z0 = 2. V2 = (0, 1, 0, 8, 1) con Z0 = −2.

�

Problema 14

Sea el siguiente modelo de programacion lineal.

Min 2x1 + 3x2s.a. x1 + 3x2 ≤ 6

3x1 − 3x2 ≤ 2x1 ≥ 0;x2 ≤ 0

1. Escribir la forma estandar del modelo dado.

12

2. Razonar si la forma canonica del modelo donde x1 = 0 y x2 = 0 corresponde al optimo delproblema.

3. Razonar si el punto donde las variables de holgura de la forma estandar del modelo son nulases un vertice de la region de admisibilidad del problema. Debe usarse la forma matricial.

4. Escriba la forma canonica del vertice donde x1 = h2 = 0. Razone si dicha forma canonicacorresponde al optimo del problema. Debe usarse la forma matricial.

Solucion

1. Forma estandar:

Min 2x1 − 3u2s.a. x1 − 3u2 + h1 = 6

3x1 + 3u2 + h2 = 2x1 ≥ 0;u2 ≥ 0;h1 ≥ 0;h2 ≥ 0

2. La forma canonica coincide con el modelo en forma estandar, con xD = (x1, u2)y xB = (h1, h2). rD = (2,−3)

3. No lo es, ya que

B−1b =

(2

−4/3

)4. Forma canonica:

Min 2 + 5u2 + h2s.a. x1 + u2 + 1/3h2 = 2/3

4x1 + + h1 + h2 = 8x1 ≥ 0;u2 ≥ 0;h1 ≥ 0;h2 ≥ 0

Es la forma canonica del optimo.

�

Problema 15 Una persona accede todas las mananas al ascensor de un edificio de 10 plantas(Bajo, 1, 2, . . . , 9) desde la planta baja.

Cuando el ascensor no esta ocupado (lo que ocurre con probabilidad p), tiene igual probabilidadde estar en cualquier planta. En este caso, el tiempo que tarda el ascensor en ir de una planta ala siguiente es 10 segundos (se considera despreciable el tiempo de apertura de puertas).

Si el ascensor esta ocupado, el tiempo de espera se distribuye segun una exponencial de media 45segundos.

1. Hallar la probabilidad de que la persona espere menos de un minuto cuando el ascensoresta ocupado.

2. Hallar la funcion de distribucion del tiempo de espera cuando el ascensor no esta ocupado.

3. En una semana (7 dıas) en la que el ascensor estuvo ocupado todos los dıas, hallar laprobabilidad de que el tiempo de espera maximo haya sido mayor de 45 segundos.

13

En el 60% de las mananas, la persona espera menos de 50 segundos en subir al ascensor.

4. Hallar la probabilidad de que el ascensor este ocupado (p).

5. Dado el valor de p anterior, hallar la probabilidad de que el ascensor estuviera ocupado sila persona ha esperado menos de un minuto.

6. Hallar la varianza del numero de dıas en los que la persona espera menos de 50 segundosen una semana (7 dıas).

Solucion

1. 0.7364

2. FTL(t) =

0 t < 0110 0 ≤ t < 10210 10 ≤ t < 20

. . .910 80 ≤ t < 90

1 t ≥ 90

3. 0.9597

4. 0.4145

5. 0.6342

6. 1.68

�

Problema 16 En un deposito de agua al aire libre la evaporacion semanal de agua en m3, X,sigue una distribucion N(µ1, σ

21). La cantidad de agua de lluvia que cae en el deposito, Y , en m3

sigue una distribucion N(µ2, σ22).

Se han tomado los siguientes datos:

Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 40.67 40.31 44.06 40.15 39.20 39.35 39.28 41.19 37.75 36.73Y 41.24 40.84 44.96 40.66 39.62 39.78 39.71 41.80 38.02 36.90

Utilizando estimacion puntual para los parametros de las variables dadas:

1. Calcular la probabilidad de que al final de una semana el deposito tenga menos de N0 m3

de agua si al principio de la semana tenıa N0 m3.

2. Calcular la probabilidad de que el deposito tenga mas de 120 m3 de agua tras 10 semanassi al principio de ese perıodo tiene 100 m3.

14

3. Si el agua evaporada en una semana es superior a 40 m3 es preciso cubrir el deposito paraevitar la evaporacion. Calcular de forma aproximada la probabilidad de que haya que cubrirel deposito en mas de la mitad de las semanas al ano (52 semanas).

4. ¿Se puede aceptar la hipotesis al 95% de confianza de que las distribuciones de X e Y sonidenticas?

Solucion

1. 0.56356

2. 0.00402

3. 0.63307

4. IC0.95(σ1σ2) = [0.2053, 3.3273] IC1−α(µ1 − µ2) = [−2.4519, 1.4786]

�

Problema 17 1. Sean X1 ∼ N(µ1, σ21), X2 ∼ N(µ2, σ

22) independientes, y sean Z1 y Z2 las

variables aleatorias obtenidas al tipificar X1 y X2.

a) Demostrar que Z1 ∼ N(0, 1).

b) ¿Que distribucion sigue la variable aleatoria Z1 − Z2? Demostrarlo.

Teniendo en cuenta las distribuciones asociadas a la normal:

c) ¿Que distribucion sigue la variable aleatoria Z21 + Z2

2? Hallar P [Z21 + Z2

2 ≤ 0.01].

d) Sean Z3, Z4 ∼ N(0, 1) variables aleatorias independientes entre sı, e independientes de

Z1 y Z2. ¿Que distribucion sigue la variable aleatoriaZ21+Z2

2

Z23+Z2

4? Hallar

P [Z21 + Z2

2 > 9(Z23 + Z2

4 )].


Min 2x1 + 3x2s.a. x1 + 3x2 ≤ 6

3x1 − 3x2 ≤ 2x1 ≥ 0, x2 ≤ 0

Se pide:

a) Definicion de la forma estandar de un modelo de programacion lineal.

b) Escribir la forma estandar del modelo del enunciado.

c) Escribir la forma canonica del vertice donde x1 y x2 son cero.

d) A partir de la forma canonica del apartado anterior, realizar una iteracion del metodode exploracion de las aristas donde la funcion objetivo mejore, escribiendo explıcita-mente:

Ecuacion parametrica de la arista seleccionada.

15

Vertices extremos de la arista.

Valor de la funcion objetivo en los extremos.

e) Razone si en el apartado anterior se ha llegado al optimo del problema.

Solucion

1. a) Usar la funcion generatriz de momentos.

b) Usar la funcion generatriz de momentos.

c) Z21 + Z2

2 ∼ χ22. P [Z2

1 + Z22 ≤ 0.01] = 0.005

d)Z21+Z2

2

Z23+Z2

4∼ F2,2. P [Z2

1 + Z22 > 9(Z2

3 + Z24 )] = 0.1

2. Modelo de programacion lineal.

a) Ver teorıa.

b) Forma estandar:Min 2x1 − 3u2s.a. x1 − 3u2 + h1 = 6

3x1 + 3u2 + h2 = 2x1, u2, h1, h2 ≥ 0

c) La forma canonica coincide con la estandar.

d) x1 = 0u2 = ϵ > 0h1 = 6 + 3ϵh2 = 2− 3ϵ

V1 = (0, 0, 6, 2) y V2 = (0, 2/3, 8, 0).

0 y -2.

e) rD = (5, 1), V2 es optimo.

�

Problema 18 El numero medio de personas que llegan a un hipermercado por minuto es tres.

1. Probabilidad de que lleguen menos de 3 personas en un minuto.

2. Probabilidad de que lleguen menos de 3 personas en dos minutos.

3. Probabilidad de que hayan pasado treinta segundos entre la llegada de dos personas.

4. Probabilidad de que hayan pasado menos de tres minutos si han llegado 4 personas a latienda.

El 65% de personas coge un carrito, y el resto coge un cesto para hacer la compra. Hallar:

5. Probabilidad de que exactamente dos de las cuatro personas que han llegado en un minutocojan carrito.

16

6. Probabilidad de que hayan llegado 3 personas en un minuto y exactamente una de ellas cojaun carrito.

7. Probabilidad de que no se haya cogido ningun carrito en un minuto.

8. Probabilidad de que hayan llegado dos personas en un minuto si no se ha cogido ninguncarrito en ese minuto.

Solucion

1. 0.4232

2. 0.062

3. 0.22

4. 0.9787

5. 0.31

6. 0.05352

7. 0.14227

8. 0.1929

�

Problema 19 La aceleracion de un cuerpo en un medio se distribuye segun una normal. Enun laboratorio se ha medido la aceleracion en dicho medio de dos cuerpos A y B en distintosinstantes de tiempo, obteniendose los siguientes resultados:

Cuerpo A 2.50 -1.06 -2.52 0.29 -0.01 1.18 5.89 -3.07 3.21 0.41 2.03 -3.14Cuerpo B -5.19 4.25 -2.51 0.01 1.78 1.83 -2.61 -1.21 0.21 -5.35

1. Empleando los datos de las muestras, hallar la probabilidad de que en un instante de tiempola aceleracion del cuerpo A sea mayor que la del cuerpo B.

2. Hallar la probabilidad de que la aceleracion media del cuerpo A de 100 mediciones sea menorque cero.

3. Se hacen mediciones sucesivas de la aceleracion del cuerpo A en distintos instantes de tiem-po hasta comprobar que esta frenando (su aceleracion es negativa). Hallar la probabilidadde haber hecho tres mediciones.

4. Se hacen 100 mediciones de la aceleracion del cuerpo A. Hallar la probabilidad aproximadade que en menos de 30 ocasiones el cuerpo estaba frenando.

5. Con un nivel de confianza del 80%, comprobar si se puede suponer que la aceleracion deambos cuerpos estan identicamente distribuidas.

Solucion

1. 0.6293

17

2. 0.04

3. 0.1397

4. 0.00427

5. IC0.8

(σ2A/σ

2B

)= [0.3180, 1.7327]

IC1−α(µA − µB) = [−0.2902, 2.999]

�

Problema 20 1. Resolver la siguientes cuestiones teoricas:

a) Sean X e Y dos variables aleatorias. Demostrar que Cov[X+k, aY ] = aCov[X,Y ] ∀k∀a = 0.

b) Sean X e Y dos variables aleatorias. Demostrar que V [aX−bY ] = a2V [X]+b2V [Y ]−2abCov[X,Y ]

c) Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con funcion de distribucion FX(x)y FY (y). Hallar la funcion de distribucion de W1 = max{X,Y } y de W2 = mın{X,Y }en funcion de FX y FY .

2. Dado el modelo de programacion lineal siguiente:

Max x1 − 2x2 + x3s.a. 2x1 − x2 + x3 ≤ 5

x1 − 3x2 ≥ −7x1 − x3 ≤ 4

x1 libre, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0

a) Hallar la forma estandar del modelo dado.

b) Hallar una forma canonica del modelo, las ecuaciones parametricas de dicha formacanonica, el primer vertice V1 y el valor de la funcion objetivo en dicho vertice.

c) Demostrar que V1 no es optimo y hallar un vertice V2 mejor que V1 por el metodo deexploracion de las aristas.

d) Demostrar que V2 es optimo.

Solucion

1. Cuestiones teoricas:

a) A partir de la definicion de covarianza.

b) A partir de la definicion de varianza.

c) Usar que P [max{X,Y } ≤ w] = P [X ≤ w;Y ≤ w] y que P [mın{X,Y } >w] = P [X > w;Y > w].

2. Programacion Lineal:

a) Forma estandar:

18

Min − u1 + v1 + 2x2 + y3s.a. 2u1 − 2v1 − x2 − y3 + h1 = 5

−u1 + v1 + 3x2 + h2 = 7u1 − v1 + y3 + h3 = 4

u1, v1, x2, y3, h1, h2, h3 ≥ 0b) Forma canonica: Coincide con la forma estandar, xB = (h1, h2, h3) y xD =

(u1, v1, x2, y3). V1 = (0, 0, 0, 0, 5, 4, 7), con Z0 = 0

c) V2 = (52 , 0, 0, 0, 0,192 ,

32), con Z0 = −5

2 .

d) rD = (32 ,12 ,

12). V2 es optimo.

�

Problema 21 Los alumnos se acercan a la maquina de cafe de los laboratorios de la ETSIsiguiendo una Poisson de media 4 alumnos/minuto. Si la maquina esta ocupada, no esperan y sevan sin cafe. La maquina tarda 10 segundos en servir un cafe. Se pide:

1. Probabilidad de que al menos se acerquen 2 alumnos en 15 segundos.

2. Probabilidad de que pasen 20 segundos sin que se acerque ningun alumno.

3. Probabilidad de que se acerque un alumno y la maquina este libre.

4. Probabilidad de que, si 5 alumnos han ido a la maquina, 2 o mas se hayan tenido que irsin cafe.

5. Si la probabilidad de que un alumno que va a la maquina sea de master es de 0.1, calcular laprobabilidad de que ningun alumno de master se haya acercado a la maquina en 1 minuto.Nota:

ex =

∞∑i=0

xi

i!

Solucion

1. 0.2642

2. 0.2636

3. 0.5134

4. 0.7953

5. 0.6703

�

Problema 22 Una companıa aerea realiza 8 vuelos diarios en la ruta Sevilla-Barcelona. El tiem-po en cubrir la ruta depende de si hay o no incidencias en el vuelo: si no las hay, sigue unaN(150, 4), y si las hay, sigue una N(152, 9). En el 55% de los vuelos, el tiempo en cubrir laruta es superior a los 151 minutos. Asumiendo que el numero medio de incidencias por vuelo esconstante y no depende de las del resto de vuelos, se pide:

19

1. Probabilidad de que no haya ninguna incidencia en un vuelo.

2. Porcentaje de vuelos que tardan mas de 153 minutos en cubrir la ruta.

3. Porcentaje de dıas en los que al menos un vuelo tarda mas de 153 minutos en cubrir laruta.

4. Numero mınimo de incidencias que suceden en un vuelo con al menos una probabilidad del70%

5. Probabilidad de que en al menos algun vuelo del dıa no se haya producido ninguna inciden-cia.

Se pretende averiguar si efectivamente las incidencias durante el vuelo determinan el tiempoen cubrir la ruta, por lo que se han medido los tiempos de 18 vuelos:

Vuelo 1 2 3 4 5 6 7 8 9Tiempo(min) 150.4 150.9 150.9 150.4 152.2 150.2 152.9 150.8 150.4No. incidencias 3 2 0 0 1 0 2 0 0

Vuelo 10 11 12 13 14 15 16 17 18Tiempo(min) 151.1 148.6 149.9 150.4 150.7 149.7 149.6 150.9 152.5No. incidencias 2 0 0 0 0 0 1 1 2

6. A la vista de los datos de la muestra, determinar con un nivel de confianza del 90% si elque haya incidencias en el vuelo influye en su duracion.

Solucion

1. 0.2472

2. 0.2956

3. 0.9394

4. 2

5. 0.8968

6. IC0.9

(σ2Xsi

σ2Xci

)= [0.0983, 1.1898]

IC0.9 (µXsi − µXci) = [−1.8587,−0.3663]

�

Problema 23 1. Considere la siguiente funcion:

f(x) = bxe−a2 x2

2

Con x > 0. Se pide:

a) Determinar b para que la funcion anterior sea funcion de densidad de una variablealeatoria X.

b) Calcular la funcion de distribucion de X.

20

c) Demostrar que si Y ∼ Exp(λ), entonces X =√Y sigue la distribucion del apartado

anterior. Determinar la relacion entre λ y a.

2. Obtenga una forma estandar del siguiente modelo de programacion lineal:

Max. 3x1 − 2x2 + 6x3s.a. x1 + 3x2 ≥ −5

x2 − x3 = 12x1 ≤ 0, x2 libre, x3 ≥ 0

3. A partir de la forma canonica del siguiente modelo de programacion lineal, obtenga unnuevo vertice V1 aplicando el metodo de exploracion de aristas. Razone si el nuevo verticees la solucion optima.

Min. −3x1 + 2x5s.a. x1 − 2x4 − 3x5 = 15

x2 + 3x4 = 12x3 + 2x5 = 8x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Solucion

1. a) b = a2

b) F (x) = 1− e−a2 x2

2

c) λ = a2

2

2. Forma estandar:

Min. 3y1 + 2u2 − 2v2 − 6x3s.a. y1 − 3u2 + 3v2 + h1 = 5

u2 − v2 − x3 = 12y1, u2, v2, x3, h1 ≥ 0

3. V1 = (27, 12, 0, 0, 4). rD = (−6, 72). V1 no es optimo.

�

Problema 24 Los alumnos de una autoescuela suspenden el examen practico 2.5 veces en prome-dio antes de aprobarlo. Si se asume que la probabilidad de que un alumno apruebe es independientedel numero de veces que se presenta, se pide:

1. Probabilidad de que un alumno apruebe el examen la primera vez que se presenta.

2. Numero de alumnos n que deben realizar el examen para que, en valor esperado, aprueben6 de ellos. Probabilidad de que aprueben exactamente 6 si se han presentado n.

3. Probabilidad de que 4 alumnos se hayan examinado en total 14 veces antes de que todosaprueben.

4. Se conocen los datos mensuales de aprobados de los alumnos de otra autoescuela que pre-senta 60 alumnos cada mes (ver tabla). A la vista de estos datos y con un nivel de confianzadel 95%, comprobar si se puede considerar que el exito de ambas autoescuelas es similar.

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Num. Aprobados 21 18 17 18 17 19 25 14 22 18 20 15

21

Solucion

1. 0.2875

2. n = 21, 0.1887

3. 0.066

4. IC1−α(µB) = [16.7445, 20.5887]

�

Problema 25 En epoca de examenes, la copisterıa de la ETSI tiene una afluencia maxima ysiempre hay alumnos esperando para ser atendidos. En este caso puede asumirse que el numeromedio de alumnos atendidos por unidad de tiempo es constante. Sabiendo que el 50% de losalumnos son atendidos en menos de dos minutos, se pide:

1. Probabilidad de que un alumno tarde mas de 5 minutos en ser atendido.

2. Probabilidad de que se atiendan menos de 3 alumnos en 5 minutos.

3. Probabilidad de que, de 5 alumnos, a dos de ellos se les haya atendido en menos de dosminutos cada uno.

Si un alumno llega a la copisterıa y se encuentra con que se esta empezando a atender al primeralumno de una cola de 5 alumnos, hallar:

4. Probabilidad de que ninguno de los alumnos en la cola tarde mas de 3 minutos en seratendido.

5. Probabilidad de que lo empiecen a atender antes de 10 minutos.

6. Probabilidad de que, si vuelve dentro de un minuto, haya de nuevo 5 alumnos en la cola.Para ello, suponga que el numero de alumnos que llegan a copisterıa en un minuto sigueuna distribucion geometrica con p = 0.5. Nota:

ex =

∞∑i=0

xi

i!

Solucion

1. 0.1768

2. 0.7486

3. 0.3125

4. 0.1128

5. 0.2679

6. 0.4204

22

�

Problema 26 1. Sean X1,. . . , Xn variables aleatorias iid siguiendo una distribucion Be(p).

a) Hallar la funcion de probabilidad de MAX = max{X1, . . . , Xn}, E[MAX] y V [MAX].

b) Hallar φMAX(t) y decir la distribucion que sigue MAX.

2. Sea X ∼ U(3), y sea Y variable aleatoria tal que P [Y = k|X = n] =(nk

)pkqn−k con p = 1

2 .

a) Hallar la funcion de probabilidad de Y , E[Y ] y V [Y ].

b) Hallar P [X = 3|Y = 3].

c) Hallar Cov[X,Y ].

Solucion

1. a) P [MAX = 0] = (1 − p)n, P [MAX = 1] = 1 − P [MAX = 0] = 1 − qn,E[MAX] = 1− qn, V [MAX] = qn(1− q2)

b) φ(t) = qn + (1− qn)et, MAX ∼ Be(1− qn)

2. a) P [Y = 0] = 724 , P [Y = 1] = 11

24 , P [Y = 2] = 524 , P [Y = 3] = 1

24 . E[Y ] = 1,V [Y ] = 2

3

b) 1

c) Cov[X,Y ] = 13

�

Problema 27 Una empresa de envasado de aceitunas tiene una maquina que procesa las acei-tunas separandolas en tres tipos: aceitunas de tamano grande, tamano pequeno, y deterioradasque se desechan.

Las cantidades de aceituna (en Kg) de cada tipo obtenidas por hora por la maquina son indepen-dientes y siguen una distribucion normal, todas ellas con varianza σ2 = 25 Kg2.

1. Hallar la cantidad esperada (en Kg) de aceitunas de cada tipo obtenidas en una hora, si laprobabilidad de que la maquina obtenga menos de las siguientes cantidades de cada tipo esdel 94.5%.

Grandes Pequenas DesechoKg/h 200 150 20

2. Hallar la probabilidad de que la cantidad total de aceitunas obtenidas en una hora sea mayorde 350 Kg.

3. Hallar la probabilidad de que, en una hora, la maquina separe mas aceitunas grandes quepequenas.

23

4. Hallar la probabilidad de que en total se hayan obtenido menos de 1000 Kg de aceitunasen tres horas.

5. Se ha tomado la siguiente muestra de las ultimas 12 horas de cantidades de cada tipo deaceitunas. Comprobar con un nivel de confianza del 90% si la suposicion del enunciadosobre las varianzas es adecuada.

Grandes 195.12 190.67 188.84 192.36 191.98 193.48199.37 188.15 196.02 192.51 194.53 188.06

Pequenas 135.51 147.32 138.85 142 144.23 144.28138.72 140.47 142.26 135.31 151.39 143.38

Solucion

1. XC ∼ N(192, 25), XS ∼ N(142, 25), XD ∼ N(12, 25).

2. 0.32276

3. 0

4. 0.0057

5. Primera forma: IC0.9(σ2C/σ

2S) = [0.2708, 2.1512]

Segunda forma: IC0.9(σ2C) = [6.4602, 27.7836], IC0.9(σ

2S) = [12.1223, 52.1354]

�

Problema 28 El numero de siniestros en carretera a la semana se distribuye segun una Poisson.Sabiendo que no hay siniestros en el 20% de las semanas, se pide:

1. Probabilidad de que en dos semanas el numero de siniestros sea menor que 2.

2. Probabilidad de que el numero maximo de siniestros por semana producidos en 4 semanassea al menos 5.

3. Probabilidad de que el numero maximo de siniestros por semana producidos en 4 semanassea exactamente 4 .

4. Probabilidad de que en 4 semanas, el numero maximo de siniestros se produzca en la segundasemana.

5. Calcular la probabilidad de que en menos de 200 dıas haya 30 siniestros.

Los siniestros pueden dividirse en los que hay motos involucradas y los que no. Si el numero desiniestros en ambos casos se consideran tambien Poisson, se pide:

6. Calcular la tasa media de siniestros en los que hay motos involucrados en un dıa, si en el70% de las ocasiones el tiempo que transcurre hasta el siniestro de este tipo numero 30 esde menos de 200 dıas.

24

7. Calcular la tasa media de siniestros en los que no hay motos involucradas en un dıa.

Solucion

1. 0.1687

2. 0.0944

3. 0.1906

4. 0.25

5. 0.99825

6. 0.1645

7. 0.0655

�

Problema 29 1. Resolver las siguientes cuestiones teoricas:

a) De las distribuciones continuas del formulario, demostrar cuales verifican que W =αX sigue la misma distribucion que X, con α > 0. Indicar como afecta a el/losparametro/s.

b) Sea X ∼ N(µ, σ2) y X1, . . . , Xn mas de X. Sabiendo que E[X2] = θ = µ2 + σ2,demostrar cual de los siguientes estimadores de θ es insesgado:

θ1 = X2

θ2 =

∑ni=1X

2i

n


Max 3x1 + 2x2 − 2x3 + x4s.a. 3x1 + x3 + x4 ≤ 1

−3x1 − x2 + 3x4 = −62x1 + 3x3 + 5x4 ≥ −3

x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0


b) Comprobar que la forma estandar del modelo esta en forma canonica, dando las va-riables basicas y las variables no basicas. Razonar si es optimo el vertice de la formacanonica V1.

c) Hallar un vertice V2 mejor que V1 por el metodo de exploracion de las aristas.

d) Razonar si V2 es optimo o no.

e) Decir cuanto ha mejorado la funcion objetivo de ir de V1 a V2.

Solucion

25


a) Usando que φW (t) = E[etW ] = E[etαX ] = φX(tα)

X ∼ U [a, b] ⇒ W ∼ U [αa, αb]

X ∼ Exp(λ) ⇒ W ∼ Exp(λ/α)

X ∼ Ga(p, a) ⇒ W ∼ Ga(p, a/α)

X ∼ N(µ, σ2) ⇒ W ∼ N(αµ, (ασ)2)

b) θ2


a) Forma estandar:Min 3y1 − 2x2 + 2x3 − x4s.a. −3y1 + x3 + x4 + h1 = 1

−3y1 + x2 − 3x4 = 62y1 − 3x3 − 5x4 + h3 = 3

y1, x2, x3, x4, h1, h3 ≥ 0

b) Forma canonica: Coincide con la forma estandar, xB = (x2, h1, h3), xD =(y1, x3, x4), V1 = (0, 6, 0, 0, 1, 3) con Z0 = −12. rD = (−3, 2,−7). V1 no esoptimo.

c) V2 = (0, 9, 0, 1, 0, 8) con Z0 = −19

d) rD = (−24, 9, 7). V2 no es optimo.

e) -7

�

Problema 30 Una estacion eolica genera diariamente energıa electrica siguiendo una distribu-cion normal. En los dıas de viento la energıa media que genera es de 3 Gigavatios, con unadesviacion tıpica de 1 Gigavatio. Sin embargo, en los dias sin viento, la energıa media generadadisminuye a 1.5 Gigavatios, con desviacion tıpica de 0.5.

1. Hallar la probabilidad de que se hayan generado mas de 10 Gigavatios de energıa en totalen cuatro dıas con viento.

2. En un dıa cualquiera, la probabilidad de que se generen menos de 2 Gigavatios es 0.4. Hallarel porcentaje de dıas que hace viento.

3. Hallar la probabilidad de que en una semana haya tres dıas en los que se generen mas de 3Gigavatios.

El consumo de energıa de la zona que es abastecida por la estacion sigue una distribucion normalde media 2.8 Gigavatios y desviacion tıpica 2 Gigavatios.

4. Hallar la probabilidad de que el generador sea suficiente para abastecer el consumo en undıa sin viento.

5. El generador se para cuando la energıa no es consumida. Hallar el porcentaje de dıas conviento en los que se para.

26

Solucion

1. 0.84134

2. 0.6465

3. 0.3237

4. 0.442

5. 0.53586

�

Problema 31 En la hamburgueserıa de un centro comercial tienen tres menus con alta demanday el numero medio de pedidos por minutos es constante para cada uno de ellos segun se indica enla tabla:

Menu Num. medio por minuto PrecioBigBurger 2 4.95 ePolloBurger 3 3.95 eInfantil 1 2.95 e

1. Hallar la probabilidad de que se pidan 4 menus en un minuto.

2. Hallar el numero mınimo de menus BigBurger que hay que tener preparados para que el90% de los clientes que los soliciten en un minuto no tengan que esperar.

3. Hallar la probabilidad de que pasen menos de treinta segundos entre un pedido y el siguiente.

4. Hallar la probabilidad de que se hayan vendido 3 menus PolloBurger en menos de dosminutos.

5. Hallar la probabilidad de que se vendan exactamente 3 menus PolloBurger durante dosminutos.

6. Hallar la probabilidad de que, si se ha pedido un menu en un minuto, este sea BigBurger.

7. Hallar la probabilidad de que se facturen mas de 1500 e en una hora.

Solucion

1. 0.1338

2. 4

3. 0.95

4. 0.938

5. 0.089

6. 13

7. 0.41 (Tener en cuenta que una variable Poisson multiplicada por un numero noes una variable Poisson).

27

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Problema 32 1. La funcion de probabilidad conjunta de la variable bidimensional (X,Y )viene dada en la siguiente tabla:

X -1 -0.5 0.5 1Y -2 -1 1 2pkl 1/6 1/6 1/3 k

a) Hallar el valor de k para que la funcion dada sea funcion de probabilidad conjunta.Hallar las funciones de probabilidad marginal de X y de Y

b) Hallar P [X < 0.5]; P [Y < 1.5]; P [X > 0.25;Y < 2]

c) Hallar E[X], E[Y ], V [X], V [Y ]

d) Hallar la funcion de probabilidad de X condicionada a Y = 2.

e) Hallar la Cov[X,Y ]. Decir de forma justificada si X e Y son o no independientes.


Max 3x1 − x2 + x3s.a. x1 − x3 ≤ 1

−x1 + x2 = 32x1 + x3 ≥ −2

x1 libre, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0


b) Comprobar que la forma estandar del modelo esta en forma canonica, dando las va-riables basicas y las variables no basicas.

c) Escribir las ecuaciones parametricas de la forma canonica, dar el primer vertice V1 yel valor de la funcion objetivo en dicho vertice.

d) Demostrar que V1 no es optimo y hallar un vertice V2 mejor que V1 por el metodo deexploracion de las aristas.

e) Razonar si V2 es optimo o no.

Solucion


a) k = 13 . P [X = −1] = 1

6 , P [X = −0.5] = 16 , P [X = 0.5] = 1

3 , P [X = 1] = 13 .

P [Y = −2] = 16 , P [Y = −1] = 1

6 , P [Y = 1] = 13 , P [Y = 2] = 1

3 .

b) P [X < 0.5] = 13 , P [Y < 1.5] = 2

3 , P [X > 0.25;Y < 2] = 13

c) E[X] = 14 , E[Y ] = 1

2 , V [X] = 916 , V [Y ] = 11

4

d) Se tiene que el unico caso en el que no es cero es para P [X = 1|Y = 2] =1/31/3 = 1

e) Cov[X,Y ] = 98 . No (ver teorıa).


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a) Forma estandar:

Min − 3u1 + 3v1 + x2 + y3s.a. u1 − v1 + y3 + h1 = 1

−u1 + v1 + x2 = 3−2u1 + 2v1 + y3 + h3 = 2

u1, v1, x2, y3, h1, h3 ≥ 0

b) Forma canonica: Coincide con la forma estandar, xB = (h1, x2, h3), xD =(u1, v1, y3)

c) V1 = (0, 0, 3, 0, 1, 2) con Z0 = 3

d) rD = (−2, 2, 1). V1 no es optimo. V2 = (1, 0, 4, 0, 0, 4) con Z0 = 3− 2 = 1

e) rD = (0, 3, 2). V2 es optimo.

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Colección de problemas de Estadística