Colección Matemáticas para la Administración · La matriz identidad es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Es decir, que si la

Colección Matemáticas para la Administración Algebra Lineal y Métodos Cuantitativos (Incluye aplicaciones en Microsoft EXCEL©)

Carlos Mario Morales C Ingeniero Electricista (U de A) Magíster en Administración de Empresas (EAFIT) Especialista en Pedagogía para el Aprendizaje Autónomo (UNAD)

Algebra Lineal y Métodos Cuantitativos para Administración

Copyright © 2008 Carlos Mario Morales C.

2

UNID

AD

DE

APR

END

IZA

JE II

I IN

TRO

DUC

CIÓ

N A

L Á

LGEB

RA L

INEA

L –T

EORÍ

A D

E M

ATR

ICES

-

Competencias

- Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.

- Identificar los diferentes tipos de matrices - Comprender las propiedades que cumplen las

operaciones con matrices. - Realizar las operaciones algebraicas básicas con

matrices. - Realizar las operaciones básicas de matrices

utilizando Microsoft EXCEL

Contenido

Introducción 1. Definición de matriz 2. Operaciones entre matrices 2.1 Suma de matrices 2.2 Multiplicación escalar 2.3 Diferencia entre matrices 2.4 Multiplicación de matrices 3. Propiedades de las operaciones con matrices 3.1 Propiedades de la suma de matrices 3.2 Propiedades de la multiplicación de matrices 3.3 Propiedades de la multiplicación escalar 3.4 Propiedades de la transpuesta 4. La inversa de una matriz 5. Determinantes 6. Algebra de matrices con Microsoft EXCEL de

Microsoft Office XP 7. Aplicaciones de Microsoft EXCEL Referencias Bibliográficas

Preguntas y problemas



3

INTRODUCCIÓN Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace una introducción a la teoría general de matrices y se define el concepto de los determinantes estrechamente ligada con ellas. En la primera parte se presenta la definición de matriz, las operaciones con matrices, y finalmente se analiza la teoría sobre determinantes, la cual esta ligada estrechamente a las matrices. 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz A se define como un arreglo rectangular de números ordenados en filas (m) y columnas (n). De esta forma una matriz de m x n se escribe como:

Notación de una matriz: De manera abreviada las matrices se denotan con una letra mayúscula acompañada de subíndices que indican el número de filas por el número de columnas. Así por ejemplo para la matriz de la definición será: Amxn y la notación indica que se trata de una matriz A de orden m x n.

En forma extensa, las matrices se denotan indicando todos los elementos que la componen entre corchetes, ubicados en la posición que ocupan en el arreglo. Los elementos se denotan con letras minúsculas acompañados de subíndices que indican la fila y la columna en la cual se encuentra ubicado.

F= 5 4 4 -5 0 -8 1 4

Ejemplo 3-2

De acuerdo a la definición se puede afirmar que:

- F es una matriz de orden 2x4 - La notación abreviada es F2x4 - El elemento f22 = -8 - El elemento f14 = -5

A =

5 4 -5 0 1 8 2 4 3 7 14 -10 0 1 4

Ejemplo 3-1

De acuerdo a la definición se puede afirmar que: - A es una matriz de orden 5x3 - La notación abreviada es A5x3 - El elemento a52 = 1 - El elemento a25 = No existe

A =

a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n … … …. … … … …. … am1 am2 …. amn



4

Así por ejemplo el elemento a52 indica que se trata del elemento a ubicado en la fila 5 con la columna 2. Los ejemplos 3-1,3-2,3-3 y 3-4 muestran ejemplos de matrices.

1.1 Matriz cuadrada Si m = n se dice que la matriz es cuadrada. Este tipo de matrices se ilustran en los ejemplos 3-4, 3-5 y 3-6

1.2 Matriz Diagonal La matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir, si la Matriz BixJ es una matriz diagonal todos los elementos bij = 0 para i ≠ j. La matriz G del ejemplo 3-5, ilustra una matriz diagonal; los ejemplos 3-7 y 3-8 también ilustran matrices diagonales.

1.3 Matriz Escalar La matriz escalar es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales. Es decir, que si la Matriz CixJ es una matriz escalar todos los elementos bij son iguales para i = j. Los ejemplos 3-7, 3-9 y 3-10 ilustran matrices escalares.

P= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ejemplo 3-6

P es una matriz cuadrada de 5x5

G = 11 0 0 0 -66 0 0 0 99

Ejemplo 3-5

G es una matriz cuadrada de 3x3 Además G es una matriz diagonal

Z= 5

Ejemplo 3-4


- Z es una matriz de orden 1x1 - La notación abreviada es Z1x1 - El elemento z11 = 5 - El elemento z12 = No existe

D =

5 0 2 7 0

Ejemplo 3-3


- D es una matriz de orden 5x1 - La notación abreviada es D5x1 - El elemento d52 = No existe - El elemento d21 = 0



5

1.4 Matriz Identidad La matriz identidad es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Es decir, que si la Matriz DixJ es una matriz identidad todos los elementos bij = 1 para i = j. El ejemplo 3-10 es el caso de una matriz identidad.

1.5 Transpuesta de una matriz Sea una matriz M = [mij], es decir de orden ixj; se define su transpuesta como la matriz MT = [mji]. Es decir, que la transpuesta será una matriz de orden jxi, cuyos elementos serán mji. En la práctica la transpuesta se obtiene intercambiando las filas y las columnas de la matriz original. En los ejemplos 3-11 y 3-12 se ilustra la forma de hallar la transpuesta de una matriz.

Sea la matriz J4x3 = 4 -84 52 1 -21 5 41 0 51 51 21 1

Ejemplo 3-11

¿Hallar la JT?

K= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Ejemplo 3-10

K es una matriz Escalar de 4x4 Además K es una matriz Identidad

J= 100 0 0 100

Ejemplo 3-9

J es una matriz Escalar de 2x2

W 10 0 0 0 0 0 51 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 0 -54 0 0 0 0 0 -1

Ejemplo 3-8

W es una matriz Diagonal de 5x5

H = 22 0 0 0 22 0 0 0 22

Ejemplo 3-7

H es una matriz diagonal de 3x3 Además H es una matriz Escalar



6

1.6 Igualdad de matrices Dos matrices A y B serán iguales si se cumple que: A y B son del mismo orden y todos los elementos aij = bij

En el ejemplo 3-13 se ilustra el concepto de igualdad de matrices

De acuerdo a la definición de igualdad, L podrá ser igual a S si y solo si se cumple que x = 55 y z = 65. Nótese que L y S son del mismo orden (4x2).

Sean la matrices, L = 15 25 55 45 79 65 84 85

Ejemplo 3-13

y S = 15 25 x 45 79 z 84 85

De acuerdo a la definición ET será del orden 3x1 y las filas se convierten en columnas y estas a su vez en filas, así

25 45 65 85

Solución

ET =

Nótese que: e12 = 45 = eT

21 e14 = 65 = eT

41

Sea la matriz E1x3 = 25 45 65 85

Ejemplo 3-12

¿Hallar la ET?

De acuerdo a la definición JT será del orden 3x4 y las filas se convierten en columnas y estas a su vez en filas, así

4 1 41 51 -84 -21 0 21 52 5 21 1

Solución

JT =

Nótese que: j32 = 0 = jT

23 j42 = 21 = jT

24

j22 = -21 = jT22



7

2. OPERACIONES ENTRE MATRICES En los siguientes apartados se definen las operaciones que pueden realizarse entre matrices. 2.1 Suma de matrices Si A y B son matrices del mismo orden mxn, entonces se puede definir la suma de A + B como la matriz C de orden mxn y cuyos elementos cij serán:

cij = aij + bij En el ejemplo 3-14 se ilustra la suma de matrices.

2.2 Multiplicación escalar Si A = [aij] es una matriz de mxn y ρ es un número real, entonces el múltiplo escalar de A por ρ, ρA, es una matriz B = [bij] de mxn, donde:

Los costos de fabricar cada producto por ciudad se muestran en la matriz Q (valores en miles); por su parte, los costos de distribución de distribución de los productos por ciudad se muestran en la matriz R (en miles)

Medellín Bogota Cali Camas 200 180 210 Sillas 80 95 105 Mesas 105 160 170 Valores en miles

Solución

Q =

Medellín Bogota CaliCamas 20 25 35 Sillas 5 7 7 Mesas 12 16 14 Valores en miles

R =

Para conocer los costos totales se suman Q costos de fabricación más R costos de distribución, lo cual se puede hacer que ambas matrices tienen el mismo orden. C = Q+R

Medellín Bogota Cali Camas 200+20 180+25 210+35 Sillas 80+5 95+7 105+7 Mesas 105+12 160+16 170+14 Valores en miles

C= =

Medellín Bogota Cali 220 205 245 85 102 112 117 176 184 Valores en miles

Ejemplo 3-14 Un fabricante de muebles produce camas, sillas y mesas en sus fábricas de Medellín, Bogotá y Cali. Los costos de fabricar las camas son de 200, 180 y 210 mil en Medellín, Bogota y Cali respectivamente; los de producir las sillas son de 80, 95 y 105 mil y los de fabricar las mesas son de 105, 160, 170 mil en las mismas ciudades respectivamente. Por su parte los costos de distribución de las camas son de 20, 25, 35 mil; los de distribuir las sillas son de 5, 7 y 7 mil y los de distribuir las mesas son de 12, 16, 14 mil para las ciudades de Medellín, Bogotá y Cali respectivamente. Se solicita hallar los costos totales para cada producto en cada ciudad.



8

bij = ρaij donde i > 1 y i < m; j > 1 y j < n En el ejemplo 3-15 se ilustra la multiplicación escalar.

2.3 Diferencia entre matrices La diferencia entre matrices no esta definida directamente. No obstante, considerando la definición de la suma y de la multiplicación escalar se puede definir la diferencia entre matrices como la suma de dos matrices, donde la segunda esta multiplicada por el escalar ρ = -1.

Es decir, la diferencia de A y B, siendo ellas del mismo orden, se define como: A + (-1)B. El ejemplo 3-16 ilustra la diferencia entre matrices.

Ejemplo 3-16 El fabricante del ejemplo 3-14 y 3-15 ofrece descuentos por ventas al por mayor del 12%, 16% y del 10% para cada producto en las ciudades de Medellín, Bogotá y Cali respectivamente. Considerando lo anterior calcule el precio de venta de cada producto en cada ciudad.

Considerando que el margen de utilidad es del 45% para cada producto, entonces, los costos totales de los productos por ciudad deben ser multiplicados por 1.45 para determinar el precio al cual estos deben ser vendidos. Es decir, ρ = 1.45.

Solución

Medellín Bogota Cali Camas (1.45). 220 (1.45). 205 (1.45). 245 Sillas (1.45). 85 (1.45). 102 (1.45). 112 Mesas (1.45). 117 (1.45). 176 (1.45). 184 Valores en miles

P = ρ.C =

Medellín Bogota Cali Camas 319.00 297.25 355.25 Sillas 123.25 147.90 162.40 Mesas 169.65 255.20 266.80 Valores en miles

P =

Ejemplo 3-15 Para el caso del ejemplo 3-14, suponga que el fabricante exige un margen de utilidad del 45%. ¿Cuál será, entonces, el precio de venta de las camas, sillas y mesas en cada ciudad?



9

2.4 Multiplicación de matrices Si A es una matriz de orden mxn y B una matriz de orden kxp, se puede definir la multiplicación de AB solo si n = k. Es decir si el número de columnas de A es igual al número de filas de B

En caso de que n = k, entonces, el producto de AB = C será del orden mxp y los elementos de C = [cij] son iguales a la sumatoria del producto de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B. Es decir:

cij = ∑ aik . bkj (1)

K=1

p

Lo primero que se debe hacer es calcular los descuentos para cada producto en cada ciudad. Estos se calculan como el precio de venta (Valores de la P del ejemplo anterior) por el % de descuento en cada ciudad. Los resultados se consignan en la Matriz D

Solución


D =

-38.28 -47.56 -35.53 -14.79 -23.66 -16.24 -20.35 -40.83 -26.68 Valores en miles

ρD =

De otro lado el precio con descuento (P´) se puede calcular, como: P´ = P + ρD, siendo ρ= -1 y P la matriz del ejemplo 15:

Medellín Bogota Cali Camas 319.00+(-38.28) 297.25+(-47.56) 355.25+(-35.53) Sillas 123.25+(-14.79) 147.90+(-23.66) 162.40+(-16.24) Mesas 169.65+(-20.35) 255.20+(-40.83) 266.80+(-26.68) Valores en miles

P´=P+ρD =


P´=



10

Los ejemplos 3-17, 3-18 y 3-19 ilustran la multiplicación de matrices:

Solución Es posible hallar el producto de M por G ya que el número de columnas de M (3) es igual al número de filas de G (3). De otro lado, el orden de MG = C será 2x2 y los elementos de C, serán:

15 10 5 4 0 3 2x3

M = 10 1 0 2 3 5 3x2

G =

c11 = [(15x10)+(10x0)+(5x3)] = 165

c12 = [(15x1)+(10x2)+(5x5)] = 60

15 10 5 4 0 3 2x3

M = 10 1 0 2 3 5 3x2

G =

c21 = [(4x10)+(0x0)+(3x3)] = 49

15 10 5 4 0 3 2x3

M = 10 1 0 2 3 5 3x2

G =

c22 = [(4x1)+(0x2)+(3x5)] = 19

15 10 5 4 0 3 2x3

M = 10 1 0 2 3 5 3x2

G =

Ejemplo 3-17 Sean las matrices M y G. Hallar el producto de M por G

15 10 5 4 0 3 2x3

M = 10 1 0 2 3 5 3x2

G =

Amxn Bkxp = ABmxp Deben ser iguales

Orden de AB



11

Ejemplo 3-19 Una fábrica de muebles produce camas y comedores que deben pasar por un proceso de armado y uno de acabado. Las camas requieren 5 horas de armado y 3 de acabado y los comedores 6 horas de armado y 4 de acabado. Se fabrica en dos centros de producción ubicados en Medellín y Bogotá. En Medellín el costo por hora de armado es de 500 unidades monetarias (u.m) y el de acabado de 600 u.m; en Bogotá el costo de armado es 400 u.m y el de acabado 550 u.m. Se pide que usted calcule los siguientes costos:

a) Costos de fabricar una cama en Medellín. b) Costos de fabricar una cama en Bogotá. c) Costos de fabricar un comedor en Medellín d) Costos de fabricar un comedor en Bogotá.

Solución De acuerdo al enunciado:

1 x 3 2 -1 1 2x3 DE =

2 4 z 3x2

Realizando la multiplicación se tiene:

DE =

2 + 4x + 3z = 12 (2) z = 6 (3) Remplazando (3) en (2) se obtiene que x = -2

= 12 6 2x1

2 + 4x +3z 4 – 4 +z 2x1

12 6 2x1 =

Aplicando la igualdad de matrices se tiene:

Ejemplo 3-18 Sean las matrices D = y E =

1 x 3 2 -1 1 2x3

2 4 z 3x1

Sí DE = , determine x y z. 12 6 2x1

165 60 49 19 2x2 MG = C =



12

3. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Las propiedades no se demostraran por considerar que este aspecto esta fuera del alcance de este texto. No obstante, aquellas personas interesadas podrán consultar la bibliografía especializada que se relaciona al final. A cambio de lo anterior, lo que se hará será comprobar a través de ejemplos cada una de las propiedades que se exponen para cada operación.

Solución Los tiempos de armado y acabado para cada ciudad se pueden consignar en una matriz que se llamara F, de la siguiente forma:

Armado Acabado Camas 5 3 Comedores 6 4

F =

Medellín Bogota Armado 500 400 Acabado 600 550 M =

De igual forma se pueden ordenar los costos de mano de obra de armado y acabado en cada ciudad en una matriz M, así:

Detállese que al multiplicar FM = Ñ, se obtienen los costos que se están solicitando.

Valores en horas

Valores en Unidades monetarias

5 3 6 4

500 400 600 550 = 2500+1800 ¿?

¿? ¿?

Costo de producir camas en Medellín

5 3 6 4

500 400 600 550 = 4300 2000+1650

¿? ¿?

Costo de producir camas en Bogotá

5 3 6 4

500 400 600 550 = 4300 3650

3000+2400 ¿?

Costo de producir comedores en Medellín

5 3 6 4

500 400 600 550 = 4300 3650

5400 2400+2200

Costo de producir comedores en Bogotá



13

3.1 Propiedades de la suma de matrices Sean las matrices A, B, C, y D de orden m x n, se puede comprobar que: a) A + B = B + A –Propiedad Conmutativa- b) A + (B + C) = (A + B) + C –Propiedad Asociativa- c) Existe una Matriz O de orden m x n, tal que: A + O = A; O se denomina la

matriz nula o neutro aditivo. d) Para cada matriz A existe una matriz D de m x n, tal que A + D = O; es decir

que D = – A, donde –A se denomina Inverso aditivo o negativo de A. En los ejemplos 3-20 a 3-23 se comprueban las propiedades de la suma de matrices.

Ejemplo 3-21 - Comprobar la propiedad c) de la suma

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sea O = 2+0 -2+0 5+0 1+0 0+0 -4+0 2+0 -2+0 7+0

A + O = 2 -2 5 1 0 -4 2 -2 7

=

De acá se puede comprobar que A+O = A

= A

Ejemplo 3-20 - Comprobar la propiedad a) de la suma

2+6 -2+10 5-9 1+12 0-5 -4+11 2+0 -2+1 7+10

A + B = 8 8 -4 13 -5 7 2 -1 17

=

6+2 10-2 -9+5 12+1 -5+0 11-4 0+2 1-2 10+7

B + A = 8 8 -4 13 -5 7 2 -1 17

=

De acá se puede comprobar que A+B = B+A

Sean las matrices A, B, C y D, las que se muestran a continuación:

2 -2 5 1 0 -4 2 -2 7

A= 6 10 -9 12 -5 11 0 1 10

B=

3 10 -25 25 10 -1 -12 10 5

C= 4 2 -10 5 -5 4 3 2 1

D=



14

3.2 Propiedades de la multiplicación de matrices Sean las matrices A, B y C son del orden apropiado para ser multiplicadas, entonces, se puede comprobar que:

a) A(BC) = (AB)C –Propiedad asociativa de la multiplicación-

b) A(B+C) = AB +BC –Propiedad distributiva-

c) (A+B)C = AC +BC –Propiedad distributiva- En los ejemplos 3-24 a 3-26 se comprueban estas propiedades de la multiplicación de matrices.

Ejemplo 3-23 - Comprobar la propiedad d) de la suma

-2 2 -5 -1 0 4 -2 2 -7

Sea D = 2-2 -2+2 5-5 1-1 0 -4+4 2-2 -2+2 7-7

A + D = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

De acá se puede comprobar que A+D = A; si D = -A

= O

Ejemplo 3-22 - Comprobar la propiedad b) de la suma

6+3 10+10 -9-25 12+25 -5+10 11-1 0-12 1+10 10+5

(B+C) = 9 20 -34 37 5 10 -12 11 15

=

2+9 -2+20 5-34 1+37 0+5 -4+10 2-12 -2+11 7+15

A+(B+C) = 11 18 -29 38 5 6 -10 9 22

=

2+6 -2+10 5-9 1+12 0-5 -4+11 2+0 -2+1 7+10

(A+B) = 8 8 -4 13 -5 7 2 -1 17

=

8+3 8+10 -4-25 13+25 -5+10 7-1 2-12 -1+10 17+5

(A+B)+C) = 11 18 -29 38 5 6 -10 9 22

=

De acá se puede comprobar que A+(B+C) = (A+B)+C)



15

Para comprobar estas dos últimas propiedades se utilizaran las matrices D, E y F, y esto se muestra en los ejemplos 3-27 y 3-28, los cuales se muestran a continuación.

Ejemplo 3-26 - Comprobar la propiedad c) de la multiplicación

No es posible comprobar esta propiedad con las matrices dadas ya que A y B no son del mismo orden y entonces no se puede hallar A+B

Ejemplo 3-25 - Comprobar la propiedad b) de la multiplicación

No es posible comprobar esta propiedad con las matrices dadas ya que B y C no son del mismo orden y entonces no se puede hallar B+C

Ejemplo 3-24 - Comprobar la propiedad a) de la multiplicación

4 7 6 8 BC = -72 110 -65

-78 140 -110 =

A(BC) = -216 330 -195 -150 250 -175 -516 830 -545

=

De acá se puede comprobar que A(BC) = (AB)C

3 10 -25 -12 10 5

3 0 1 1 5 2

-72 110 -65 -78 140 -110

3 0 1 1 5 2

AB = 4 7 6 8

= 12 21 10 15 32 51

(AB)C = 12 21 10 15 32 51

3 10 -25 -12 10 5

= -216 330 -195 -150 250 -175 -516 830 -545

Sean las matrices A, B y C las que se muestran a continuación:

3 0 1 1 5 2

A= 4 7 6 8 B=

3 10 -25 -12 10 5C=



16

Ejemplo 3-28 - Comprobar la propiedad c) de la multiplicación

A+B = = 3 1 0 1 0 1 5 3 2

7 1 7 -1 1 1 11 -7 10

4 0 7 -2 1 0 6 -10 8

+

Ejemplo 3-27 - Comprobar la propiedad b) de la multiplicación

B+C = =

De acá se puede comprobar que A(B+C) = AB +BC

4 0 7 -2 1 0 6 -10 8

AB = = 10 1 21 10 -10 15 26 -17 51

7 10 -18 -3 1 7 7 0 13

3 10 -25 -1 0 7 1 10 5

+

A(B+C) = 7 10 -18 -3 1 7 7 0 13

3 1 0 1 0 1 5 3 2

= 18 31 -47 14 10 -5 40 53 -43

3 1 0 1 0 1 5 3 2

4 0 7 -2 1 0 6 -10 8

AC = 3 1 0 1 0 1 5 3 2

3 10 -25 -1 0 7 1 10 5

= 8 30 -68 4 20 -20 14 70 -94

AB+AC = 10 1 21 10 -10 15 26 -17 51

+ 8 30 -68 4 20 -20 14 70 -94

= 18 31 -47 14 10 -5 40 53 -43

Sean las matrices D, E y F las que se muestran a continuación:

3 1 0 1 0 1 5 3 2

A= 4 0 7 -2 1 0 6 -10 8

B=

3 10 -25 -1 0 7 1 10 5

C=



17

3.3 Propiedades de la multiplicación escalar Si ρ y γ son números reales y A, B son matrices del orden apropiado para las operaciones que se plantean, entonces se puede demostrar que:

a) ρ(γA) = (ργ)A b) (ρ + γ)A = ρA + γA c) ρ(A + B) = ρA + ρB d) A(ρB) = ρ(AB) = (ρA)B

En los ejemplos 3-29 a 3-32 se comprueban las propiedades de la multiplicación escalar.

De acá se puede comprobar que (A+B)C = AC +BC

(A+B)C = 3 10 -25 -1 0 7 1 10 5

7 1 7 -1 1 1 11 -7 10

= 27 140 -133 -3 0 37 50 210 -274

AC = 3 1 0 1 0 1 5 3 2

3 10 -25 -1 0 7 1 10 5

= 8 30 -68 4 20 -20 14 70 -94

AC+BC = 8 30 -68 4 20 -20 14 70 -94

+ 19 110 -65 -7 -20 57 36 140 -180

= 27 140 -133 -3 0 37 50 210 -274

BC = 4 0 7 -2 1 0 6 -10 8

3 10 -25 -1 0 7 1 10 5

= 19 110 -65 -7 -20 57 36 140 -180

Sean las matrices A y B y los escalares ρ, γ los que se muestran a continuación:

3 0 1 1 0 2

A= 4 7 2 0 1 2

B= ρ =-2; γ = 3



18

Ejemplo 3-31 - Comprobar la propiedad c) de la multiplicación escalar

-8 -14 -4 0 -2 -4

ρB =

-6 0 -2 -2 0 -4

ρA =

ρ = -2

A+B = 7 7 3 1 1 4

De donde se comprueba que ρ(A + B) = ρA + ρB

ρA + ρB = -14 -14 -6 -2 -2 -8

ρ(A + B) = -14 -14 -6 -2 -2 -8

Ejemplo 3-30 - Comprobar la propiedad b) de la multiplicación escalar

9 0 3 3 0 6

γ A =

-6 0 -2 -2 0 -4

ρA =

ρ+ γ = 1

(ρ+γ) A = 3 0 1 1 0 2

De donde se comprueba que (ρ+γ) A = ρA + γ A

ρA + γ A = 3 0 1 1 0 2

Ejemplo 3-29 - Comprobar la propiedad a) de la multiplicación escalar

9 0 3 3 0 6

γ A =

-18 0 -6 -6 0 -12

ρ(γ A)=

ργ = -6

(ργ) A = -18 0 -6 -6 0 -12

De acá se puede comprobar que ρ(γ A) = (ργ) A



19

3.4 Propiedades de la transpuesta Si ρ es un número real y A, B son matrices del orden apropiado para las operaciones que se plantean, entonces se puede demostrar que:

a) (AT)T = A b) (A + B)T = AT + BT c) (AB)T = BTAT d) (ρA)T = ρAT En los ejemplos 3-33 a 3-36 se comprueban las propiedades de la transpuesta.

Ejemplo 3-33 - Comprobar la propiedad a) de la transpuesta

3 1 0 0 1 2 AT =

3 0 1 1 0 2

De acá se comprueba que: (AT)T = A

(AT)T=

Sean las matrices A y B y el escalar ρ, los que se muestran a continuación: 3 0 1 1 0 2

A= 4 7 1 2 B= ρ = 4

Ejemplo 32 - Comprobar la propiedad d) de la multiplicación escalar

-8 -14 -4 0 -2 -4

ρB = 3 0 1 1 0 2

A =

Nótese que el orden de A es de 3x2 y el orden de ρB es 3x2; luego el número de columnas de la primera no coincide con el número de filas de la segunda por lo tanto no es posible hallar: A(ρB). Igualmente sucede con el producto AB



20

3.5 Matriz Escalonada por Filas (MERF) Definición

Ejemplo 3-36 - Comprobar la propiedad d) de la transpuesta

12 0 4 4 0 8

ρA =

De acá se comprueba que: (ρA)T = ρAT

12 4 0 0 4 8

ρ = 4

AT = 3 1 0 0 1 2

ρAT = 12 4 0 0 4 8 (ρA)T =

Ejemplo 3-35 - Comprobar la propiedad c) de la transpuesta

3 0 1 1 0 2

AB =

De acá se comprueba que: (AB)T = BTAT

4 7 1 2

12 21 5 9 2 4

AB =

12 5 2 21 9 4

BT = 4 1 7 2

AT = 3 1 0 0 1 2

BTAT = 12 5 2 21 9 4 (AB)T =

Ejemplo 3-34 - Comprobar la propiedad b) de la transpuesta

B = 3 0 1 1 0 2

A =

Nótese que el orden de A es de 3x2 y el orden de B es 2x2; luego no es posible determinar A+B

4 7 1 2



21

Una matriz de m x n esta en forma escalonada reducida por filas cuando satisface las siguientes propiedades: a) Todas las filas que constan solo de ceros, si las hay, están en la parte inferior de

la matriz b) Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en cada fila

(que no esté formado completamente por ceros) es un 1, llamado la entrada principal de su fila

c) Si las filas i y i+1 son dos filas sucesivas que no consten completamente de ceros entonces la entrada principal de la fila i+1 esta a la derecha de la entrada principal de la fila i

d) Si la columna contiene una entrada principal de alguna fila, entonces el resto de las entradas de esta columna son iguales a cero.

Nótese que una matriz escalona reducida por filas podrá tener filas que consten completamente de ceros En los ejemplos 3-37, 3-38, 3-39 y 3-40 se muestran matrices escalonadas por filas.

Ejemplo 3-38

1 0 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A =

Es una matriz escalonada reducida por filas porque:

a) Todas las filas que constan de solo ceros están en la parte inferior de la matriz

b) De izquierda a derecha la primera entrada de cada fila es 1

c) La entrada principal de la fila 2 esta a la derecha de la entrada principal de la fila 1; y a su vez la entrada principal de la fila 3 esta a la derecha de la fila 2

d) Las columnas 1, 3 y 4 tienen entradas principales (1) y las demás entradas son cero

Ejemplo 3-37

1 0 0 5 0 1 0 7 0 0 1 5 A =

Es una matriz escalonada reducida por filas porque:

a) No aplica b) De izquierda a derecha la primera entrada

de cada fila es 1 c) La entrada principal de la fila 2 esta a la

derecha de la entrada principal de la fila 1; y a su vez la entrada principal de la fila 3 esta a la derecha de la fila 2

d) Las columnas 1, 2 y 3 tienen entradas principales (1) y las demás entradas son



22

Transformación de una matriz en una matriz escalonada reducida por filas Para transformar una matriz en una matriz escalonada reducida por filas se pueden realizar las siguientes tres operaciones elementales sobre la matriz A:

a) Intercambiar filas de la matriz A, es decir, pasar la fila i a la posición de la fila j y a su vez pasar la fila j a la posición de la fila i.

b) Multiplicar cualquier fila por un escalar ρ ≠ 0 c) Sumar β veces la fila i de la matriz A a la fila j, i ≠ j. En los ejemplos 3-41 y 3-42 se ilustra la transformación de una matriz en una matriz escalona reducida por filas.

Ejemplo 3-41 – Transformar la matriz del ejemplo 3-39 en una matriz reducida por filas.

1 2 3 4 0 1 -2 5 0 0 1 2 0 0 0 0

A = Sumar (-2) veces la 2da fila a la primera

1 0 -1 -6 0 1 -2 5 0 0 1 2 0 0 0 0

A´ = Sumar (1) veces la 3era fila a la primera Sumar (2) veces la 3era fila a la segunda

1 0 0 -4 0 1 0 9 0 0 1 2 0 0 0 0

A´´ = De acuerdo con la definición esta será una matriz reducida por Filas

Ejemplo 3-40

1 2 0 4 0 0 0 0 0 0 1 -3

A =

No es una matriz escalonada reducida por filas porque: a) La fila 2 que consta solo de ceros no está en

la parte inferior de la matriz

Ejemplo 3-39

1 2 3 4 0 1 -2 5 0 0 1 2 0 0 0 0

A =

No es una matriz escalonada reducida por filas porque: a) Las columnas 2 y 3 tienen entradas

principales (1), pero las demás entradas no son todas cero.



23

4. LA INVERSA DE LA MATRIZ Una matriz A de orden pxp es invertible si existe una matriz B de orden pxp, tal que: AB = BA = Ip Reacuérdese la definición de Matriz Identidad en el apartado 1.4. Si no existe la matriz inversa de A, entonces se dice que A es singular o no invertible.

Ejemplo 3-42 – Transformar la matriz del ejemplo 3-40 en una matriz reducida por filas.

Intercambiar la fila 2 con la fila 3

Nótese que la Matriz aún no es una matriz escalonada por filas, pero no puede seguirse transformando, es decir que no es posible la MERF

1 2 0 4 0 0 0 0 0 0 1 -3

A =

1 2 0 4 0 0 1 -3 0 0 0 0

A´ =

Si B es la inversa de A, entonces:

a11 a12 a21 a22 AB= b11 b12

b21 b22 = 1 0 0 1

Matriz Identidad

Ejemplo 3-43 – Determinar la inversa de A

12 0 0 8 A =

De la definición tenemos AB = I2

AB = 12 0 0 8

X1 X2 X3 X4 = 1 0

0 1

Es decir: 12X1 12X2 8X3 8X4

1 0 0 1 =

12 X1 = 1 entonces X1 = 1/12 12 X2 = 0 entonces X2 = 0 8 X3 = 0 entonces X3 = 0 8 X4 = 1 entonces X4 = 1/8

1/12 0 0 1/8 B=A-1 = Inversa de A



24

4.1 Calculo de la matriz Inversa A continuación se expone un procedimiento práctico para hallar la inversa de la matriz. Paso 1 Formar la matriz [A | In], la cual se obtiene de aumentar la matriz A con la

matriz In. Paso 2 Se transforma la Matriz del paso 1 a una Matriz Escalonada Reducida.

Paso 3 Si la Matriz Escalonada Reducida que se obtiene en el paso 2 es [C|D], si C = In entonces D será la Inversa de A; por el contrario si C no es igual In entonces se puede afirmar que A no tiene Inversa.

En el ejemplo 3-44 ilustra el procedimiento para hallar la inversa de una matriz.

Paso 2. Transformar la matriz en una Matriz Escalonada Reducida

1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1

Al tercer renglón (fila) se suma (-1) vez el primer renglón

1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 0 -2 5 -1 0 1

Al segundo renglón (fila) se suma (-2) veces el primer renglón

1 2 3 1 0 0 0 1 -3 -2 1 0 0 -2 5 -1 0 1

Al tercer renglón (fila) se suma (2) veces el segundo renglón

1 2 3 1 0 0 0 1 -3 -2 1 0 0 0 -1 -5 2 1

Al tercer renglón (fila) se divide por -1

Paso 1. Formar la matriz aumentada [A | In] 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1

A´ =

Ejemplo 3-44 Sea A la matriz que se muestra a continuación. Hallar la Inversa.

1 2 3 2 5 3 1 0 8 A =



25

4.2 Propiedades de la matriz Inversa Si A y B son matrices no singulares o invertibles y A-1 y B-1 son las inversas respectivamente se puede probar que:

a) (A-1)-1 = A b) (AB)-1 = B-1A-1 c) (AT)-1 = (A-1)-T En la sección problemas propuestos se solicita comprobar las propiedades de la matriz inversa. 5. DETERMINANTES Por definición a toda matriz cuadrada le podemos asignar un número real el cual se denomina Determinante. El número se define como una serie de operaciones que se realizan en las diagonales de la matriz. Sin ser rigurosos a continuación se hace una definición práctica que permite comprender el concepto y hacer uso de él en las aplicaciones a las que se recurre en el curso de métodos cuantitativos para administración y contaduría.

Paso 3. Determinar si hay inversa

Considerando que de [C | D], si C = In entonces D será la Inversa de A, entonces:

-40 16 9 13 -5 -3 5 -2 -1

A-1=

Paso 2. Continuación 1 2 3 1 0 0 0 1 -3 -2 1 0 0 0 1 5 -2 -1

Al segundo renglón (fila) se suma 3 veces la tercera

1 2 3 1 0 0 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1

Al primer renglón (fila) se suma -2 veces la segunda

1 0 3 -25 10 6 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1

Al primer renglón (fila) se suma -3 veces la tercera

1 0 0 -40 16 9 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1

Matriz Inversa



26

Para las personas interesadas en la bibliografía al final de capitulo se puede consultar el tratamiento matemático riguroso.

5.1 Definición Definición 1: Determinante de una matriz de 2x2

Definición 2: Determinante de una matriz de 3x3

Solución

det F=[(2x1x4)+(0x-2x3)+(-3x1x2)]-[(0x1x4)+(2x-2x2)+(-3x1x3) = 19

Ejemplo 3-46 Sea F la matriz que se muestra a continuación, hallar det F:

2 0 -3 2 0 1 1 -2 1 1 3 2 4 3 2

F =

Se define el determinante de la matriz A (matriz de 3x3), como:

det (A)=(X1.X5.X9 + X2.X6.X7 + X3.X2.X8 )-( X2.X4.X9 + X1.X6.X8 + X3.X5.X7) De manera práctica esto se puede obtener aumentando las dos primeras columnas y sobre la matriz resultante se calcula el determinante como la suma de los productos de las diagonales de izquierda a derecha, menos la suma de los productos de las diagonales de derecha a izquierda, así como se muestra en el ejemplo 3-46

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

Si A =

X1 X2 X3 X1 X2 X4 X5 X6 X4 X5 X7 X8 X9 X7 X8

Ejemplo 3-45 Sea A la matriz que se muestra a continuación, hallar det A:

5 -3 1 8 A =

det A = (5x8) – (-3x1) = 43

Se define el determinante, como: det (A)= │A│ = X1.X4 – X2.X3

X1 X2 X3 X4 Si A =



27

Definición 3: Determinante de una matriz de nxn Antes de definir como calcular el determinante de una matriz de nxn, debemos definir algunos elementos que serán útiles en dicho cálculo. Menor i,j El menor i,j de una matriz A de orden m x m, denotado como Mij, es una matriz de orden (m-1) x (m-1) que resulta de suprimir la fila “i” y la columna “j” en la matriz original A. En el ejemplo 3-47 se ilustra la forma de determinar el menor de una matriz.

Cofactor i,j El cofactor i,j de una matriz A de orden m x m, denotado como Cij, se define como:

Cij = (-1)i+j │Mij│

Donde Mij es el menor de la matriz A. En el ejemplo 3-48 se ilustra la forma de calcular los cofactores.

Solución

M12 = 3 1 5 -2 1 -3 8 6 4

M23 = 4 2 -4 -2 0 -3 8 -2 4

Ejemplo 3-48 Determine los menores C12 y C22 de la siguiente matriz:

A = 4 2 -4 3 -2 5 8 -2 4

Ejemplo 3-47 Determine los menores M12 y M23 de la siguiente matriz:

A = 4 2 3 -4 3 -2 1 5 -2 0 1 -3 8 -2 6 4



28

Determinante de la matriz de orden m x m. El determinante de una matriz A de orden m x m se puede calcular por el desarrollo de cofactores por fila o por columna de la matriz A.

Calculo del determinante de A por desarrollo de cofactores por la fila i │A│ = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + …. + aim Cim , donde i = 1,2,3, ..., m Calculo del determinante de A por desarrollo de cofactores por la columna j │A│ = a1j C1j + a2j C2j + …. + amj Cmj , donde j = 1,2,3, ..., m

Nota: como se puede deducir de la definición el método es aplicable para calcular el determinante de matrices de cualquier orden. En los ejemplos 3-49 y 3-50 se ilustra la forma de calcular el determinante de una matriz A a través del método de desarrollo por cofactores por fila y por columna.

Ejemplo 3-49 Calcule el determinante de A por desarrollo de cofactores por filas

A = 4 2 0 -4 3 -2 1 5 -2 0 0 -3 8 -2 6 4

a11 a12 …. a1m a21 a22 …. a2m … … …. … … … …. … am1 am2 …. amm

Sea A =

Solución

C12 = (-1)1+2 │M12│ = 3 5 8 4 (-1) = 12 – 40 = -28

C22 = (-1)2+2 │M22│ = 4 -4 8 4 (1) = 16 + 32 = 48



29

5.2 Propiedades de los Determinantes a. Se puede demostrar que los determinantes de una matriz y de su transpuesta son

iguales; es decir Det (A) = Det (AT) b. Si la matriz B se obtiene de la matriz A al intercambiar dos filas o dos columnas

de A, entonces se puede demostrar que Det(B) = -Det(A)

Solución: Tomando la columna 3, el Determinante se calcula como:

│A│ = (0) C13 + (1) C23 + (0) C33 + (6) C43

C23 = (-1)2+3 │M23│ = 4 2 -4 -2 0 -3 8 -2 4

(-1)

C43 = (-1)4+3 │M43│ = 4 2 -4 3 -2 5 -2 0 -3

(-1)

= [(4x0x4)+(2x-3x8)+(-4x-2x-2)] - [(2x-2x4)+(4x-3x-2)+(-4x0x8)] = 72

= [(4x-2x-3)+(2x5x-2)+(-4x3x0)] - [(2x3x-3)+(4x5x0)+(-4x-2x-2)] = -38

│A│ = (0) + (1)( 72) + (0) + (6) (-38) = -156

Ejemplo 3-50 Calcule el determinante de A por desarrollo de cofactores por columnas

A = 4 2 0 -4 3 -2 1 5 -2 0 0 -3 8 -2 6 4

Solución: Tomando la fila 3, el Determinante se calcula como:

│A│ = (-2) C31 + (0) C32 + (0) C33 + (-3) C34

C31 = (-1)3+1 │M31│ = 2 0 -4 -2 1 5 -2 6 4

(1)

C34 = (-1)3+4 │M34│ = 4 2 0 3 -2 1 8 -2 6

(-1)

= [(2x1x4)+(0x5x2)+(-4x-2x6)] - [(0x-2x4)+(2x5x6)+(-4x1x-2)] = -12

= [(4x-2x6)+(2x1x8)+(0x3x-2)] - [(2x3x6)+(4x1x-2)+(0x-2x-8)] = 60

│A│ = (-2) (-12) + (0) + (0) + (-3) (60) = -156



30

c. Se puede demostrar que si dos filas o dos columnas de A son iguales, entonces Det(A) = 0.

d. Se puede demostrar que si una fila o columna de una matriz A consta solo de ceros, entonces Det (A) = 0

e. Si B se obtiene de multiplicar una fila o columna de A por un número real β, entonces Det (B) = βDet(A)

f. Si B se obtiene de sumar un múltiplo de una fila o columna s a una fila o columna r (r≠s) de una matriz A, entonces el Det(B) = Det(A)

g. Se puede demostrar que el determinante del producto de dos matrices A, B, es igual al producto del determinante de cada una de ellas, es decir: Det(A.B) = Det(A).Det(B)

h. Se puede demostrar que si A tiene inversa, es decir que es no singular, entonces Det(A) ≠ 0.

6. ALGEBRA DE MATRICES CON Microsoft EXCEL de Microsoft Office XP1 Microsoft Excel es una poderosa herramienta en el tratamiento de las matrices, especialmente cuando se trata de realizar operaciones entre ellas. En este apartado se exponen los procedimientos para realizar las diferentes operaciones entre matrices con Microsoft EXCEL. 6.1 Suma de Matrices Esta operación esta definida únicamente entre dos o más matrices que tengan el mismo orden. Es decir, que las matrices que se suman deben de tener el mismo número de filas y columnas. El resultado de sumar A y B es una matriz A+B cuyos elementos son abij = aij + bij; donde aij son los elementos de A y bij los elementos de B. El procedimiento para calcular la suma a través de Microsoft Excel es el siguiente: a. Coloque los elementos de cada matriz de acuerdo a su posición en celdas

consecutivas, así como se muestra en la gráfica No 3-1 b. Seleccione un rango de filas y columnas donde aparecerá el resultado de la suma,

así como se muestra en la gráfica No 3-1

1 Copyright© Microsoft Corporation 1985-2001



31

Gráfica No 3-1 Ejemplo de suma de Matrices utilizando Microsoft EXCEL

c. En el rango seleccionado, utilizando la función suma, calcule la suma de cada uno de los elementos de las matrices que se suman. El resultado, para el ejemplo ilustrativo, se muestra en la gráfica No 3-2; por su parte, en la gráfica No 3-3 se muestran las formulas utilizadas para el calculo.



32



6.2 Multiplicación Escalar de matrices Se define como el producto de una matriz por un escalar, el cual puede ser un número cualquiera, entero, fraccionario, positivo o negativo y afecta a todos los



33

elementos de la matriz. Es decir, que el resultado es una matriz βA, cuyos elementos son βaij, donde β es el escalar y aij son los elementos de A El procedimiento para calcular la multiplicación escalar a través de Microsoft Excel es el siguiente: a. Coloque los elementos de la matriz de acuerdo a su posición en celdas

consecutivas; adicionalmente coloque el escalar en celda aparte así como se muestra en la gráfica No 3-4

b. Seleccione un rango de filas y columnas donde aparecerá el resultado de la multiplicación, así como se muestra también en la gráfica No 3-4

Gráfica No 3-4 Ejemplo de Multiplicación escalar de Matrices utilizando Microsoft EXCEL.

c. En el rango seleccionado, utilizando la función producto, calcule el producto de cada uno de los elementos de la matriz por el escalar. El resultado, para el ejemplo ilustrativo, se muestra en la gráfica No 3-5; por su parte, en la gráfica No 3-6 se muestran las formulas utilizadas para dicho calculo.



34

Gráfica No 3-5 Ejemplo de Multiplicación escalar de Matrices utilizando Microsoft EXCEL

Gráfica No 3-6 Ejemplo de Multiplicación escalar de Matrices utilizando Microsoft EXCEL



35

6.3 Resta de matrices La resta de matrices se define como la suma de una matriz con otra multiplicada por el escalar -1. Es decir, se define entre matrices del mismo orden, como la suma de una matriz A más el producto del escalar menos uno (-1) por la matriz B del mismo orden de A. El resultado será una matriz A+βB, cuyos elementos son (aij + βbij); de los cuales aij son los elementos de A, bij los elementos de B y β el escalar -1. El procedimiento para calcular la multiplicación escalar a través de Microsoft Excel es el siguiente: a. Coloque los elementos de las matrices que se quieren restar de acuerdo a su

posición en celdas consecutivas; así como se muestra en la gráfica No 3-7 b. Seleccione un rango de filas y columnas donde aparecerá el resultado de la resta,

así como se muestra también en la gráfica No 3-7 c. En el rango seleccionado, utilizando la función suma y producto, calcule el valor

de cada uno de los elementos de la matriz resultante de sumar los elementos de A con los elementos de B multiplicados por (-1). El resultado, para el ejemplo ilustrativo, se muestra en la gráfica No 3-8; por su parte, en la gráfica No 3-9 se muestran las formulas utilizadas para dicho calculo

Gráfica No 3-7 Ejemplo de resta de matrices utilizando Microsoft EXCEL



36





37

6.4 Transpuesta de una matriz Se define como una operación sobre la matriz misma, a través de la cual las filas se transforman en columnas y viceversa. El resultado será una matriz AT, cuyos elementos son aji ; siendo los aij los elementos de A. De esta forma si A es de orden mxn, entonces AT será de orden nxm. El procedimiento para calcular la Transpuesta de una matriz a través de Microsoft Excel es el siguiente: a. Coloque los elementos de la matriz que se quiere transponer de acuerdo a su

posición en celdas consecutivas; así como se muestra en la gráfica No 3-10 b. Seleccione un rango de filas y columnas donde aparecerá la transpuesta, así como

se muestra también en la gráfica No 3-10. Recuerde que el orden de la nueva matriz será nxm, si la matriz original tiene orden mxn

c. En el rango seleccionado haga los elementos de las columnas iguales a los elementos de las filas de la matriz original. El resultado, para el ejemplo ilustrativo, se muestra en la gráfica No 3-11; por su parte, en la gráfica No 3-12 se muestran las formulas utilizadas para hallar la transpuesta.

Gráfica No 3-10 Ejemplo Transpuesta de matrices utilizando Microsoft EXCEL



38





39

6.5 Multiplicación de matrices Esta operación esta definida entre dos matrices en donde el número de columnas de la primera matriz Amxn es igual al número de filas de la segunda matriz Bnxp. El orden de la matriz AxB será el número de filas de la primera matriz A por el número de columnas de la segunda matriz B, es decir nxp. Y el resultado de multiplicar A por B es una matriz (AxB) cuyos elementos son: (axb)ij = ∑(aik x bkj) donde k varia de 1 hasta p El procedimiento para calcular la multiplicación de matrices a través de Microsoft Excel es el siguiente: a. Coloque los elementos de cada matriz que se quieren multiplicar de acuerdo a su

posición en celdas consecutivas; así como se muestra en la gráfica No 3-13 b. Seleccione un rango de filas y columnas donde aparecerá el resultado del

producto de las dos matrices, así como se muestra también en la gráfica No 3-13. Recuerde que el orden de la nueva matriz será igual al número de filas de la primera matriz por el número de columnas de la segunda.

c. Seleccione un rango de celdas donde se visualizara el producto de las matrices Recuerde que solo se pueden multiplicar A y B; si el número de columnas de A, es igual al número de filas de B y que el resultado será una matriz cuyo orden será el numero de filas de A por el número de columnas de B. La selección del rango se muestra también en la gráfica No 3-13

Gráfica No 3-13 Ejemplo Multiplicación de matrices utilizando Microsoft EXCEL



40

d. Seleccionado el rango, en la opción INSERTAR del menú principal, seleccione FUNCION, a su vez en ella seleccione en la categoría MATEMATICAS Y TRIGRONOMETRIA, la función MMULT e ingrese el rango de las Matrices que se van a multiplicar. Para el ejemplo (B2:E5) y (H2:M5)]

e. Terminado el paso anterior, posicione el cursor en la barra de tareas, al final de la formula que aparece después de insertar la función aplique <control+shift+enter>, la formula debe aparecer ahora entre { }, y en el nuevo rango seleccionado debe aparecer el resultado del producto de las dos matrices. En caso de que no sea posible el producto o haya elementos no numéricos los elementos aparecerán marcados como: #¡NUM!. El resultado se muestra en la gráfica No 3-14, en la cual en la barra de formulas se puede detallar la formula utilizada para el calculo de la multiplicación.

Gráfica No 3-14 Ejemplo Multiplicación de matrices utilizando Microsoft EXCEL 6.6 La Inversa de una Matriz Se dice que A de orden pxp es invertible si existe una matriz B de orden pxp, de tal forma que AxB = BxA = I de orden p. Si no existe la matriz B, entonces se dice que la matriz A es singular o no invertible. Aunque existen varios métodos para hallar la matriz inversa, a través de Microsoft EXCEL permite a través de un sencillo procedimiento determinar la inversa de una matriz. El procedimiento para calcular la inversa de una matriz a través de Microsoft Excel es el siguiente:



41

a. Coloque los elementos de la matriz a la cual se le quiere hallar la inversa; así como se muestra en la gráfica No 3-15

b. Seleccione un rango de filas y columnas donde aparecerá la matriz inversa, así como se muestra también en la gráfica No 3-15. Recuerde que el orden de la inversa es igual al orden de la matriz original. Para el ejemplo que se expone (B8;F12)

c. Seleccionado el rango, en la opción INSERTAR del menú principal, seleccione FUNCIÓN, a su vez en ella seleccione en la categoría MATEMÁTICAS Y TRIGONOMETRÍA, la función MINVERSA e ingrese el rango de la Matriz que se va a invertir. Para el ejemplo (B1:F5)

Gráfica No 3-15 Ejemplo Inversa de Matrices utilizando Microsoft EXCEL d. Terminado el paso anterior, posicione el cursor en la barra de tareas, al final de la

formula que aparece después de insertar la función y aplique <control+shift+enter>, la formula debe aparecer ahora entre { }, y en el nuevo rango seleccionado debe aparecer la Matriz inversa. En caso de que la matriz sea singular o haya valores no numéricos los elementos de la inversa aparecen marcados como: #¡NUM! En la gráfica No 3-16 se muestra la matriz inversa para el ejemplo. Nótese en la barra de funciones la formula a través de la cual se calcula la inversa.



42

Gráfica No 3-16 Ejemplo Inversa de Matrices utilizando Microsoft EXCEL 6.7 Determinante de una matriz Se define el determinante de una matriz como un número denominado Det(A) o |A| el cual se puede calcular en desarrollo por cofactores por la fila i, como: Det(A) = |A| = ∑ ai1Ci1 + ai2Ci2…+ainCin; donde i = 1,2,3...n; o en desarrollo por cofactores por columna j, como: Det(A) = |A| = ∑ a1jC1j + a2jCj2…+anjCjn; donde j = 1,2,3...n. No obstante, que existen varios métodos analíticos para hallar el determinante de una matriz a través de Microsoft EXCEL se puede calcular éste directamente. El procedimiento para calcular la inversa de una matriz a través de Microsoft Excel es el siguiente: a. Coloque los elementos de la matriz a la cual se le quiere hallar el determinante,

así como se muestra en la gráfica No 3-17 b. Seleccione una celda donde aparecerá el Determinante de la Matriz, así como

también se muestra en la gráfica No 3-17. Para el caso del ejemplo ilustrativo la celda es: B8.

c. Seleccionada la celda del punto anterior, en la opción INSERTAR del menú principal, seleccione FUNCIÓN, a su vez en ella seleccione en la categoría MATEMÁTICAS Y TRIGONOMETRÍA, la función MDETERM e ingrese el rango de la Matriz a la cual se le va calcular el determinante, para el ejemplo: (B1:F5). En caso de que alguno o algunos los elementos de la matriz no sean numéricos el determinante será indicado como: #¡VALOR!



43

En la grafica No 3-18 se muestra el resultado para el ejemplo, nótese la formula para calcular el determinante en la barra de formulas.

Gráfica No 3-17 Ejemplo Determinante de una Matriz utilizando Microsoft EXCEL

Gráfica No 3-18 Ejemplo Determinante de una Matriz utilizando Microsoft EXCEL



44

7. APLICACIÓN DE Microsoft EXCEL En el CD, adjunto al texto, se incluye la aplicación EXCEL denominada ALG-MATZ-19.04.06.xls. A través de ella se exponen las diferentes operaciones entre matrices y se resuelven ejercicios que ilustran la forma de realizar estas operaciones a través de Microsoft EXCEL. A continuación se resuelven algunos ejemplos utilizando Microsoft EXCEL.

Ejemplo 3-51 Una empresa fabricante de televisores produce cuatro modelos TV-20; TV-27; TV32 y TV-52 con tres tecnologías. La producción de estos modelos se realiza en las plantas de Medellín y Bogotá. En las tablas siguientes se muestra la capacidad de producción por modelo y tecnología de cada planta. Planta de Medellín Modelo TV-20 TV-27 TV-32 TV-52 TECH #1 1200 500 800 750 TECH #2 750 250 400 300 TECH #3 300 125 200 150

Planta de Bogotá Modelo TV-20 TV-27 TV-32 TV-52 TECH #1 2500 1200 1600 1500 TECH #2 1300 600 800 750 TECH #3 700 300 400 300

Se pregunta: a. ¿Cuál es la capacidad total de producción por modelo y tecnología? b. Si la Compañía incrementa la producción en la planta de Bogotá en un 20%.

¿Cuál será la nueva producción?

Solución Para contestar la primera pregunta lo primero que debe hacerse es colocar la producción de cada ciudad en celdas consecutivas, el resultado se calculara como la suma de los elementos por posición. En la gráfica No 3-19 se muestra el resultado, es decir la capacidad total por modelo y tecnología; además en la gráfica No 3-20 se muestra las formulas utilizadas para realizar el calculo.



45

Gráfica No 3-19 Solución ejemplo 3-51 parte a) utilizando Microsoft EXCEL

Gráfica No 3-20 Solución ejemplo 3-51 parte a) utilizando Microsoft EXCEL



46

Gráfica No 3-21 Solución ejemplo 3-51, parte b) utilizando Microsoft EXCEL


La segunda pregunta es la suma de una matriz multiplicada –producción de Bogotá- por un escalar más una matriz –producción en Medellín- . En la gráfica No 3-21 se muestra el resultado, es decir la capacidad total por modelo y tecnología, cuando se incrementa la producción en Bogotá; además en la gráfica No 3-22 se muestra las formulas utilizadas para realizar el calculo.



47

Ejemplo 3-52 Una matriz cuadrada A es Simétrica si A = AT Una matriz cuadrada A es Antisimétrica si A = -AT Dada la matriz cuadrada A 5 -4 3 A = 6 -1 3 -2 5 1 a) Verifique que la matriz A + AT es simétrica b) Verifique que la matriz A - AT es anti-simétrica c) Verificar que A = (1/2)(A + AT) + (1/2)(A - AT)

Gráfica No 3-23 Solución ejemplo 3-52, parte a) utilizando Microsoft EXCEL

Solución Las soluciones a las preguntas a), b) y c) se presentan en las graficas No 3-23 a 3-28



48

Gráfica No 3-24 Solución ejemplo 3-52, parte a) –“Formulas”- utilizando Microsoft EXCEL




49

Gráfica No 3-26 Solución ejemplo 3-52, parte b) –“Formulas”- utilizando Microsoft EXCEL

Gráfica No 3-27 Solución ejemplo 3-52, parte c) utilizando Microsoft EXCEL



50

Gráfica No 3-28 Solución ejemplo 3-52, parte c) –“Formulas”- utilizando Microsoft EXCEL

Ejemplo 3-53 Un fabricante elabora dos tipos de productos M y N, en sus plantas de Medellín y Bogotá. Durante la fabricación, se producen tres tipos de contaminantes: bióxido de azufre, oxido nítrico y partículas suspendidas. Las cantidades de los contaminantes están dadas en kilogramos y consignadas en la tabla A. Los reglamentos medioambientales exigen la eliminación de estos contaminantes. El costo diario por deshacerse de cada kilogramo de contaminación esta dado en unidades monetarias y se indican en el cuadro B. Tabla A

Bióxido de azufre

Oxido Nítrico Partículas

300 100 150 Producto M 200 250 4000 Producto N

Tabla B

Medellín Bogotá

8000 12000 Bióxido de azufre 7000 9000 Oxido Nítrico

15000 10000 Partículas



51

Gráfica No 3-29 Solución del ejemplo 3-53, utilizando Microsoft EXCEL

Ejemplo 3-54 Valoración de Inventarios. Un comerciante de motos vende cinco marcas diferentes a saber: BMW, SUSUKI, YAMAHA, HONDA y TKT. En este momento posee para la venta 8 motos BMW, 7 motos SUSUKI, 10 YAMAHA, 15 HONDA y 4 motos TKT. Las motos BMW tiene un valor de 16´000.000 u.m cada una, SUSUKI tiene un valor de 17´000.000 u.m cada una; YAMAHA tiene un valor de 18´000.000 u.m cada una; las HONDA un valor de 20´000.000 u.m cada una y las TKT tienen un valor de 25´000.000 u.m.. Se pide expresar el precio de venta total de sus existencias de motos como el producto de dos matrices

Se pregunta: Si las Tablas se pueden entender como las matrices A y B. ¿Cuanto valen y que significan los elementos de la matriz AB?

Solución La solución a las preguntas se presenta en la gráfica No 3-29



52


Ejemplo 3-55 Si A, x y b son matrices, un sistema lineal se puede escribir como Ax = b, siendo x la matriz de variables. Es decir:

1 -2 3 4 5 6 X1 -25 -5 -4 8 6 7 8 X2 36

2 3 4 2 5 -1 X3 = 40 -2 2 1 1 -2 -1 X4 35 3 3 -4 5 7 -1 X5 102 -2 3 -4 7 5 2 X6 45

A x b

Solución Lo primero es expresar los precios y el inventario de cada tipo de moto como matrices, ver las matrices P y I respectivamente en la gráfica 3-30. Para calcular el valor total del Inventario se debe multiplicar la matriz de Precios por la matriz de Inventarios. El resultado se muestra en la gráfica No 3-30.



53


Para resolver la ecuación dada se multiplica la ecuación por A-1, es decir: A-1A x = A-1b, entonces: x = A-1b Considerando lo anterior determinar el valor de x para el sistema dado

Solución Para encontrar la solución lo primero será determinar la inversa de A, como se detalla en la gráfica No 3-31 en la barra de formulas Lo segundo será multiplicar la inversa por la matriz de parámetros b; así como se muestra en la barra de formulas en la gráfica No 3-32 La solución se presenta en las gráficas No 3-31 y 3-32



54


Solución Ya que se trata de comprobar y no probar para cada ítem se supone una Matriz A y se le aplican las operaciones respectivas con el fin de comprobar cada una de las propiedades. La solución para el apartado a) se presenta en la gráfica No 3-33

Ejemplo 3-56 Compruebe los siguientes teoremas sobre Determinantes (Utilice la función MDETERM de Microsoft EXCEL) a) Det(AT) = Det(A) b) Det(AB) = Det(A)Det(B) c) Si todos los elementos de una fila (columna) de A son iguales a cero entonces el

Det(A) = 0 d) Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces Det(A) = 0



55

Gráfica No 3-33 Solución del ejemplo 3-56, parte a) utilizando Microsoft EXCEL

Gráfica No 3-34 Solución del ejemplo 3-56, parte b) utilizando Microsoft EXCEL

La solución para el apartado b) se presenta en la gráfica No 3-34



56

Gráfica No 3-35 Solución del ejemplo 3-56, parte c) utilizando Microsoft EXCEL

Gráfica No 3-34 Solución del ejemplo 3-56, parte d) utilizando Microsoft EXCEL

La solución para los apartados c) y d) se presenta en las gráficas No 3-35 y 3-36 respectivamente.



57

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J y WILLIAMS, Thomas A. Métodos cuantitativos para los negocios. México: Thompson Editores. 1999.

KOLMAN, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones y Matlab. México: Prentice Hall. 1999. ISBN: 970-17-0265-4

HADLEY, G. Álgebra Linear. Bogotá: Fondo Educativo Interamericano S.A. 1969

SOLER F, Francisco y otros. Álgebra lineal y programación lineal. Bogotá: ECOE Ediciones, 2004.ISBN: 958-648-409-2

Documents

Colección Matemáticas para la Administración · La matriz identidad es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Es decir, que si la