Column As

UNIDAD III ANÁLISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS SUJETOS A

COMPRESIÓN “COLUMNAS”

INTRODUCCION.• Columna.

Se le da el nombre de columna a los miembros que están sujetos a compresión axial pura, independientemente de que su posición en la estructura sea vertical, horizontal o inclinada.

Las columnas se clasifican de acuerdo a su esbeltez y comportamiento estructural en tres tipos:

TEORIA DE COLUMNA.

Las columnas son elementos estructurales utilizados primordialmente para soportar cargas de compresión.

Las columnas se pueden clasificar como: Cortas. Esbeltas.

Las columnas de concreto se refuerzan mediante acero longitudinal y transversal.

El acero transversal se proporciona por medio de estribos o hélices espaciados estrechamente.

Columnas cortas o intermedia.

Son aquellas en que su capacidad de carga esta basada únicamente en la resistencia de su sección transversal. Tienen muy poco peligro de pandeo debido a su esbeltez y este efecto no afecta mayormente su resistencia.

Fallan por aplastamiento.

En una columna sometida a carga axial puede ocurrir que el acero llegue a *cedencia antes de que el concreto alcance su esfuerzo máximo a compresión.

En caso contrario si el concreto alcanza su resistencia máxima de compresión antes de que el al acero fluya, la deformación del concreto le permite al acero admitir mas carga hasta fluir.

*cedencia: limite de elasticidad.

Columnas esbeltas.

Es aquella en la que la carga ultima esta también influida por la esbeltez, al producir flexión adicional debido a las deformaciones transversales.

Fallan por pandeo.

FORMAS EN QUE UNA COLUMNA PUEDE FALLAR

Cuando las columnas están cargadas axialmente pueden fallar de la siguiente manera:

Pandeo flexionante: Cuando los miembros están sometidos a flexión y se vuelven inestables.

Pandeo local: Ocurre cuando una parte o partes de la sección transversal de una columna son tan delgadas que se pandean localmente en compresión antes de que los otros modos de pandeo puedan ocurrir.

Pandeo torsionante: Puede ocurrir en columnas que tienen ciertas configuraciones en su sección transversal. Esas columnas fallan por torsión o por una combinación de pandeo torsional y flexionante.

FORMAS ESTABLES, INDIFERENTES E INESTABLES DE EQUILIBRIO

Para averiguar en que estado de equilibrio se encuentra una columna, le aplicamos una pequeña fuerza horizontal que la curve:

• Si al retirar esta fuerza la columna vuelve a su posición original el equilibrio es estable.

• Si la columna se queda en la posición deformada estamos ante un equilibrio indiferente.

• Si la columna sigue deformándose el equilibrio es inestable.

La Fórmula De Euler

La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como la ‘’ Carga Critica De Pandeo ‘’, esta es la carga última que pueden ser soportadas por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso.

La columna articulada en sus extremos, se comporta elásticamente y cargada. Puede tener 2 posiciones de equilibrio, recta y ligeramente deformada.

Se aplica una pequeña fuerza lateral Q, la barra se deforma lateralmente una pequeña cantidad. Si se quita Q, la barra regresa a su configuración recta, si no, el valor de P en ese momento seria la Carga Crítica De Pandeo, y se presenta lo que se llama Equilibrio Neutro.

Si en esta condición la carga axial se reduce ligeramente, la barra regresa a su posición recta, si la carga axial se incrementa ligeramente, la barra sufrirá el colapso.

Se llama carga crítica de pandeo, a aquella en la cual corresponde el equilibrio neutro. Se obtiene la carga critica de pandeo para una columna considerando a la barra en la configuración flexionada de equilibrio neutro

De la ecuación de la elástica se obtiene

Haciendo se escribe:

Es una ecuación diferencial de segundo orden cuya solución es

Y = A cos kx + B sen kx

Donde A y B son constantes de integración que debe calcularse en base de dos condiciones fronteras

1.- para X = 0, Y = 0 que sustituyendo en la ecuación se tiene

0 = A cos k (0) + B sen K (0)

0 = A ( 1 ) + B ( 0 )

A = 0

2.- para X = L, Y = 0 por lo tanto la ecuación queda

0 = A cos kl + B sen kl

Pero como A = 0, la ecuación anterior queda

0 = B sen kl

B no puede tomar el valor de cero, ya que A = 0, de otra manera no se tendría solución, entonces B debe tener un valor finito, quedando

Sen kl = 0

Las soluciones son:

Kl =

Tomando la solución general

Kl = n

Despejando P se obtiene

Donde n describe los modos de pandeo, en la mayoría de los casos prácticos el primer modo de pandeo ( n = 1 ) producirá la falla, por lo que

Que representa la carga critica de pandeo de Euler para una columna con articulaciones en sus extremos donde I debe ser el momento de inercia mínima del área transversal de la columna y L la longitud de la misma.

Para la carga crítica la ecuación de la curva elástica es

Y = A sen kx

Esta es la función característica de este problema, y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, existe un número infinito de dichas funciones. En esta solución linealizada de amplitud A del modo de pandeo permanece indeterminada. Para n = 1 la elástica tiene la forma de media senoide. Esta configuración, junto con las correspondientes a n = 2 y n = 3, se encuentran en la siguiente figura. Los modos de más alto orden no tienen significación física en problemas de pandeo, pues la carga critica mínima ocurre cuando n =1

3.4 Longitud efectiva en tipos de apoyos

• Fórmula de Euler puede aplicarse a otras condiciones de apoyo, usando una longitud efectiva de pandeo.

• Este concepto utiliza factores de longitud efectiva K para igualar la resistencia de un miembro en compresión con la de un miembro equivalente bi-articulado de longitud KL. Entonces,

22

EKL

EIP

2

2

Er/KL

EF

Columna aislada con restricción al giro en ambos extremos

P

L

2

24

L

EIPE

22

5.0 L

EIPE

LKL 5.0

COLUMNAS AISLADAS

• KLcolumna aislada = longitud columna equivalente bi-articulada con la misma carga de pandeo elástico.

• Además, KLcolumna aislada = distancia entre puntos de inflexión de la forma pandeada (deformada). => KL puede estimarse de la deformada. ²EI

(0.5L)²²EI

(0.7L)²P ²EI

L²CR = =CRP PCR =

L0.5L0.7L

LL

COLUMNAS AISLADAS

Valores del coeficiente K para columnas aisladas con diversas condiciones de apoyo COLUMNAS AISLADAS

Factores que afectan K:

1. Condiciones de apoyo en sus extremos.

2. Características generales de la estructura de la que forma parte el miembro que se está diseñando.

COLUMNAS EN ESTRUCTURAS

(a) (b)

Modo de pandeo de columnas en un marcocon desplazamiento lateral


Condición (c), K=1.0

(a)

Condición (f), K=2.0

(b)

Valores de K para marcos simples de un solo nivel

con desplazamiento lateral permitido.

B

A A

B

0I c

I g

0I c

I g

0I c

I g

I c

Ig

=


Valores de K para marcos simples de un solo nivel

con desplazamiento lateral permitido.

Condición (e), K=2.0(c)

Inestable, colapso;(d)

II

B

A

0=I c

I g

I c

I g

=I c

I g

=K


Longitud efectiva KL de columnas en marcos o pórticos.

(a) Marco contraventeado (b) Marco no contraventeado, apoyos fijos

P P

L

L<KL<2L

Puntos de inflexión

P P

L

0.5L<KL<0.7L


• El valor de K para columnas de marcos arriostrados y no arriostrados depende de la restricción en las juntas, expresada, para cada una de las juntas, por el parámetro dado por:

donde

Ic y Lc = momento de inercia y longitud libre de cada columna que concurre a la junta.

Ib y Lb = momento de inercia y longitud libre de cada trabe que concurre en la junta.

bb

cc

LI

LIG

COLUMNAS EN ESTRUCTURASNOMOGRAMAS

Método tradicional para determinar los factores de longitud efectivade columnas que forman parte de marcos rígidos.

4

4

3

3

2

2

1

1

v

v

v

v

c

c

c

c

A

LI

LI

LI

LI

G

6

6

5

5

7

7

1

1

v

v

v

v

c

c

c

c

B

LI

LI

LI

LI

G


Desplazamiento lateral permitido Desplazamiento lateral restringido

Nomogramas de Jackson y Morland


Hipótesis de nomogramas de Jackson y Morland:

1. Comportamiento lineal elástico.2. Miembros de sección transversal

constante.3. Nudos rígidos.4. Marcos arriostrados: rotaciones en

extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexión con curvatura simple.

5. Marcos no arriostrados: rotaciones en extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexión con curvatura doble.


Hipótesis de nomogramas de Jackson y Morland:

1. Comportamiento lineal elástico.2. Miembros de sección transversal

constante.3. Nudos rígidos.4. Marcos arriostrados: rotaciones en

extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexión con curvatura simple.

5. Marcos no arriostrados: rotaciones en extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexión con curvatura doble.


EJEMPLO

UNA COLUMNA DE ACERO ARTICULADA DE 2M DE LONGITUD Y UNA SECCION CUADRADA SE DEBE REALIZAR.

SUPONIENDO QUE E= 13GPA Y σpermisible= 12 MPA Y USANDO UN FACTOR DE 2.5 PARA CALCULAR LA CARGA CRITICA DE PANDEO DE EULER , DETERMINE EL TAMAÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL, SI LA COLUMNA DEBE SOPORTAR

A) UNA CARGA DE 100KN

B) B) UNA CARGA DE 200 KN

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