COLUMNA DE DESTILACION
INTRODUCCION
Una columna de destilacin simple es una unidad compuesta de un
conjunto de etapas de equilibrio con un solo alimento y dos
productos, denominados destilado y fondo. Incluye, por lo tanto,
una etapa de equilibrio con alimentacin que separa dos secciones de
etapas de equilibrio, denominadas rectificacin y agotamiento.Se
requiere de un dispositivo, como un rehervidor, donde se transfiera
calor al lquido que emerge de la etapa de equilibrio
correspondiente al fondo de la columna para vaporizarlo
parcialmente, de tal manera que la fraccin vaporizada se recircula
al fondo de la columna y se mantenga en un flujo ascendente a travs
de la columna. La fraccin no vaporizada se remueve como producto de
fondo.El vapor que emerge de la etapa superior de la seccin de
rectificacin es condensado, y el lquido resultante se divide en dos
fracciones. Una fraccin se remueve como el producto de tope o
destilado. La otra fraccin lquida, denominada reflujo, se recircula
al tope de la columna y se mantiene en un flujo descendente a travs
de ella, estableciendo el contacto requerido con la fase vapor
ascendente para la transferencia de masa deseada en cada una de las
etapas de equilibrio lquido - vapor.En la gran mayora de columnas
de destilacin, el rehervidor es parcial pero el condensador puede
ser total o parcial. Un condensador es total cuando todo el vapor
del tope de la columna es completamente condensado, en el caso
contrario se conoce como un condensador parcial. Si toda la fraccin
condensada se recircula a la columna se dice que la columna opera a
reflujo totalLas columnas de destilacin complejas muestran una
configuracin diferente a las columnas simples. Por ejemplo, varias
corrientes de alimento o varias corrientes de productos
laterales.El nmero de variables de diseo, tanto para columnas
simple como complejas, se puede hacer mediante la determinacin de
la suma de las variables de los elementos que las integran y
restndole a esta las nuevas relaciones de restriccin que surgen
cuando los elementos se combinan, es decir, aplicando la ecuacin
(4.2). De igual manera, las nuevas restricciones incluidas son las
identidades entre corrientes que existen en cada una de las
corrientes comunes entre dos elementos. Por lo tanto, un nmero de C
+ 2 nuevas relaciones de restriccin deben contarse para cada
corriente comn en la combinacin de elementos En esta seccin se
analizan columnas de destilacin simple y compleja, con
condensadores total o parcial y con reflujo parcial o total
ANALISIS DE COLUMNAS DE DESTILCION TIPICASA continuacin se
analizan algunos casos de columnas de destilacin con diferencias
como el nmero de corrientes de alimento, el nmero de corrientes
laterales y el tipo de condensador
DESTILACIN CON UN ALIMENTO, CONDENSADOR TOTAL Y RE HERVIDOR
PARCIAL
Figura 6.1. Columna de destilacin condensador total re hervidor
parcial
Esta unidad, Figura 6.1, contiene dos elementos conformados por
M y N M 1 etapas de equilibrio, una etapa de equilibrio con
alimentacin, un condensador total, un divisor de corrientes y un re
hervidor parcial.El nmero total de variables para cada uno de los
seis elementos es
Condensador Total C +4Divisor de corrientesC + 5Seccin de
rectificacin 2C + 2(N M 1) +5Etapa de alimentacin 3C + 8Seccin de
agotamiento2C + 2M + 5Rehervido C + 4Total 10C + 2N + 29El nmero de
restricciones adicionales, correspondientes a las 9 corrientes
comunes est dado por: y el nmero total de variables de la columna
de destilacin con condensador total y re hervidor parcial esta dado
por.
El diseador podra utilizar estos (C + 2N + 11) grados de
libertad de la siguiente manera,
Presin en cada etapa de equilibrio NFlujo calrico en cada etapa
de equilibrio NCorriente de alimentacin C + 2Cantidad de etapas de
equilibrio 1Nmero de la etapa de alimentacin 1Presin en el fondo de
la columna 1Cada de presin en el re hervidor 1Presin en el tope de
la columna 1Cada de presin en el condensador 1Flujo calrico en el
re hervidor 1Flujo calrico en el condensador 1Razn de reflujo
1Total C + 2N + 11
DESTILACIN CON UN ALIMENTO, CONDENSADOR PARCIAL Y RE HERVIDOR
PARCIAL
Esta unidad, Figura 6.2, contiene dos elementos conformados por
M y N M 1 etapas de equilibrio, una etapa de equilibrio con
alimentacin, un condensador parcial, un divisor de corrientes y un
re hervidor parcial. El nmero total de variables, el nmero de
restricciones adicionales y el nmero de variables de diseo para la
unidad es el mismo del caso anterior y por lo tanto, las posibles
especificaciones tambin son las mismas.
DESTILACIN CON UN ALIMENTO, CONDENSADOR PARCIAL DE REFLUJO TOTAL
Y RE HERVIDOR PARCIAL.
Esta unidad, Figura 6.3, contiene dos elementos conformados por
M y N M - 1 etapas de equilibrio, una etapa de equilibrio con
alimentacin, un condensador parcial con reflujo total de lquido, un
divisor de corrientes y un re hervidor parcial.
El nmero total de variables, el nmero de restricciones
adicionales y el nmero de variables de diseo para la unidad es el
mismo del caso anterior y por lo tanto, las posibles
especificaciones tambin son las mismas. Se sabe anticipadamente que
la razn de reflujo es 1, porque la columna opera a reflujo
total.
DESTILACIN CON DOS ALIMENTOS, CONDENSADOR PARCIAL Y RE HERVIDOR
PARCIALEsta unidad, Figura 6.4, contiene tres secciones de etapas
de equilibrio en cantidades de M, L M 1 y N L - 1, dos etapas de
equilibrio con alimentacin, un condensador parcial, un divisor de
corrientes y un re hervidor parcial.
El nmero total de variables para cada uno de los ocho elementos
es
Condensador Parcial C +4Divisor de corrientes C + 5Seccin de N L
-1 etapas de equilibrio2C + 2(N L 1) +5Etapa de alimentacin F1 3C +
8Seccin de L M 1 etapas de equilibrio 2C + 2(L M 1) + 5Etapa de
alimentacin F2 3C + 8Seccin de M etapas de equilibrio 2C + 2M + 5Re
hervidor C + 4Total 15C + 2N + 40El nmero de restricciones
adicionales, correspondientes a las 13 corrientes comunes est dado
por: y el nmero total de variables de la columna de destilacin con
dos alimentos, condensador parcial y re hervidor parcial esta dado
por
El diseador podra utilizar estos (2C + 2N + 14) grados de
libertad de la siguiente manera,
Presin en cada etapa de equilibrio NFlujo calrico en cada etapa
de equilibrio NCorriente de alimentacin F1 C + 2Corriente de
alimentacin F2 C + 2Cantidad de etapas de equilibrio 1Nmero de la
etapa de alimentacin F1 1Nmero de la etapa de alimentacin F2
1Presin en el fondo de la columna 1Cada de presin en el rehervidor
1Presin en el tope de la columna1Cada de presin en el condensador
1Flujo calrico en el rehervidor 1Flujo calrico en el condensador
1Razn de reflujo 1Total 2C + 2N + 14
DESTILACIN CON UN ALIMENTO, UNA CORRIENTE LATERAL, CONDENSADOR
TOTAL Y RE HERVIDOR PARCIAL.Esta unidad, Figura 6.5, contiene tres
secciones de etapas de equilibrio en cantidades de M, L M 1 y N L -
1, una etapa de equilibrio con alimentacin, una etapa de equilibrio
con corriente lateral, un condensador total, un divisor de
corrientes y un re hervidor parcial.El nmero total de variables
para cada uno de los seis elementos es
Condensador Total C +4Divisor de corrientes C + 5Seccin de N L
-1 etapas de equilibrio 2C + 2(N L 1) +5Etapa de con corriente
lateral 2C + 7Seccin de L M 1 etapas de equilibrio 2C + 2(L M 1) +
5Etapa de alimentacin F2 3C + 8Seccin de M etapas de equilibrio 2C
+ 2M + 5Re hervidor C + 4Total 14C + 2N + 39
El nmero de restricciones adicionales, correspondientes a las 13
corrientes comunes est dado por: y el nmero total de variables de
la columna de destilacin con dos alimentos, condensador parcial y
re hervidor parcial esta dado por:
El diseador podra utilizar estos (2C + 2N + 13) grados de
libertad de la siguiente manera,
Presin en cada etapa de equilibrio NFlujo calrico en cada etapa
de equilibrio NCorriente de alimentacin C + 2Flujo de corriente
lateral 1Cantidad de etapas de equilibrio 1Nmero de la etapa de
alimentacin 1Nmero de la etapa con corriente lateral 1Presin en el
fondo de la columna 1Cada de presin en el re hervidor 1Presin en el
tope de la columna 1Cada de presin en el condensador 1Flujo calrico
en el re hervidor 1Flujo calrico en el condensador 1Razn de
reflujo1Total C + 2N + 13
ANALISIS DE COLUMNAS - METODO CORTOUno de los procedimientos ms
usualmente utilizados para obtener estimativos simplificados del
nmero de etapas tericas requeridas en una separacin por destilacin
es el propuesto por Fenske, Underwood y Gililand.
CORRELACIN DE GILILANDGililand (1950) desarroll una correlacin
emprica para estimar el nmero de etapas tericas requeridas en una
destilacin, en funcin del nmero mnimo de etapas a reflujo total,
Nm, la relacin de reflujo mnimo, Rm, y la relacin de reflujo de
operacin, R.Posteriormente, H. E. Eduljee, desarroll una ecuacin
ajustada a la correlacin grfica de Gililand que fue publicada en la
revista Hydrocarbon Processing de Septiembre de 1975 y que tiene la
siguiente forma:
ECUACIN DE FENSKEPara sistemas de volatilidad relativa
constante, , Fenske demostr una ecuacin para el nmero mnimo de
etapas a reflujo total en una columna de destilacin. Para una
mezcla multicomponente, la ecuacin de Fenske se expresa en trminos
de las concentraciones en el destilado, D, y en los fondos, W, de
los componentes escogidos como clave liviano, LK y clave pesado,
HK, y, adems, de la volatilidad relativa del componente clave
liviano con respecto a la del clave pesado. La ecuacin de Fenske
es
Escogiendo los componentes claves, especificando sus
concentraciones o fracciones de recuperacin en el destilado y
eligiendo una presin en el tope de la columna para el clculo de la
volatilidad relativa del componente clave liviano con respecto al
clave pesado se puede calcular el nmero mnimo de etapas con la
ecuacin anterior. Conocido ste se pueden calcular las
concentraciones o recuperaciones para los otros componentes con sus
respectivas volatilidades con respecto al clave pesado con la misma
ecuacin.
MODELO DINMICO DE UNA COLUMNA DE DESTILACIN
Los modelos dinmicos de columnas de destilacin se encuentran
entre los sistemas de control ms complejos que hay para una sola
unidad de operacin. La complejidad del modelo estriba en la gran
cantidad de ecuaciones diferenciales no lineales que se deben
resolver para estudiar la respuesta dinmica de la temperatura, de
la composicin en cada bandeja de la columna y la composicin de los
productos. Por ejemplo, para una columna con 100 bandejas y cinco
componentes de alimentaci6n se requiere resolver alrededor de 600
ecuaciones diferenciales -cinco de balance de componentes y una de
balance de entalpia para cada una de las 100 bandejas- sin contar
las ecuaciones que se requieren para simular el condensador, el
rehervidor y el sistema de control. Adems, para cada componente de
cada bandeja se debe establecer una relacin de equilibrio de fase y
las relaciones hidrulicas en la bandeja; entalpia, densidad y otras
propiedades fsicas. En la mayora de los casos estas relaciones son
funcionales no lineales de la temperatura, la presin y la
composicin.
A continuacin se considera la columna de destilacin que se
esboza en la figura 9-1, con N componentes de alimentacin, un
condensador total y un re hervidor de termosifn; se tiene inters en
la respuesta de la composicin de los productos y a lo largo del
tiempo. Las dos variables manipuladas son el flujo de vapor que
llega al re hervidor y la razn de destilacin de producto. La razn
de reflujo se maneja en el controlador del nivel del acumulador, y
la de produccin de sedimentos, con el controlador de nivel de
sedimentos; ste es un arreglo usual de controladores. Se supone que
la presin en la columna no se controla, y que es esencialmente
constante desde la parte baja hasta la parte alta, es decir, la
cada de presin de una bandeja a otra es despreciable.
A pesar de que nicamente se tiene inters en la composicin y las
razones de las corrientes del producto, stas dependen de las
condiciones en las bandejas, el re hervidor y el condensador, lo
cual provoca que se divida la columna en cierta cantidad de
volmenes de control, uno por cada bandeja, uno para el re hervidor
y uno para el condensador.Para cada uno de estos volmenes de
control se deben escribir los N balances de masa y las ecuaciones
de balance de entalpia; todas estas ecuaciones se deben resolver
simultneamente, junto con las ecuaciones adicionales con que se
describe el sistema de control.
En la figura 9-2 se esboza una bandeja tpica, la bandeja j,
contando de arriba a abajo.La primera ecuacin que se escribe es el
balance total de masa, el cual, cuando no hay reacciones qumicas,
se puede escribir en unidades molares. Si se supone que a causa de
su baja densidad la acumulacin de masa en la fase de vapor es
despreciable, en comparacin con la de la fase lquida, el balance
total de masa es:
Donde: es el lquido residual en la bandeja j, kgmol es la razn
de lquido que sale de la bandeja j en kgmol/s es la razn de vapor
que sale de la bandeja j en kgmol/s
Para escribir el balance de masa del componente en cada bandeja,
se supone que el lquido en la misma est perfectamente mezclado, de
manera que las propiedades del lquido que sale de la bandeja son
iguales a las del lquido que resta en la misma. Sin esta
aproximacin de parmetro localizado, seria necesario escribir los
balances en cada punto de cada bandeja+ y las ecuaciones
resultantes seran diferenciales parciales. Una cuestin importante
es saber qu hacer con el liquido que sigue hacia abajo; se puede
suponer que se mezcla perfectamente con el que est en la bandeja y
tratar sta como un tanque con mezclado perfecto (retardo en las
propiedades del lquido), como una tubera en la que no hay mezclado
(tiempo muerto) o despreciar los dos tipos de tratamiento. Se notar
que la nica diferencia entre la primera posicin y la ltima consiste
en que los moles del lquido que va haca abajo forman parte o no del
que queda en la bandeja (Mj).Entonces, el balance del componente i
en la bandeja j es
Donde:
es la fraccin molar del componente i en el lquido de la bandeja
j es la fraccin molar del componente i en el vapor que sale de la
bandeja j
La ecuacin (9-4) se aplica a N - 1 componentes, ya que la suma
de las fracciones molares debe ser uno:
En este punto se tienen N + 1 ecuaciones para cada bandeja; se
incluye la ecuacin(9-5), la cual no es una ecuacin de balance, y 2N
+ 3 variables; es decir, 2N composiciones de lquido y vapor, las
razones de lquido y vapor y los moles de lquido en la bandeja. Si
se desprecian las prdidas de calor, el balance de energa en la
bandeja j se expresa mediante.
donde: es la entalpia molar del lquido en la bandeja j, J/kgmol
es la entalpia molar del vapor que sale de la bandeja j,
J/kgmol
En la ecuacin (9-6), as como en los balances de energa que
siguen, se supone que la entalpia del lquido, hj, es esencialmente
igual a su energa interna. En rigor, en el trmino de acumulacin se
debe utilizar la energa interna en lugar de la entalpia.Ahora se
tienen (N + 2) ecuaciones por bandeja y (2N + 5) variables, las dos
nuevas variables son la entalpia del lquido (hj) y del vapor (Hj).
Puesto que se utilizaron ya todas las ecuaciones de conservacin de
inters, ahora se debe recurrir a la termodinmica y a otras
relaciones para calcular las variables que restan; la composicin
del vapor se puede obtener a partir de la relacin de Murphree para
la eficiencia en una bandeja:
Donde: es la eficiencia de Murphree para la bandeja (se supone
constante) es la fraccin molar del componente i en el vapor, en
equilibrio con el lquido que sale de la bandeja j
Al aplicar la ecuacin (9-7) a cada componente de cada bandeja,
se obtienen N ecuaciones adicionales por bandeja, a la vez que se
introducen N variables nuevas, las fracciones molares en equilibrio
Entonces, de las N relaciones de equilibrio vapor-lquido, se
obtiene:
donde:
es el coeficiente de equilibrio para el componente i es la
temperatura en la bandeja j, K es la presin en la columna, N/m2
La ecuacin (9-8) se puede escribir para cada componente en cada
bandeja, con lo que se obtienen N ecuaciones adicionales por
bandeja y slo una nueva variable, la temperatura Tj, debido a que
la presin es comn a todas las bandejas. Con base en el hecho de que
la suma de las fracciones molares de vapor debe ser igual a la
unidad, se obtiene una ecuacin adicional:
En este punto se tienen 3N + 6 variables y (3N + 3) ecuaciones
para cada bandeja.A partir de la hidrulica de la bandeja se puede
obtener una relacin entre los moles del lquido que estn en la
bandeja y la razn de lquido que sale de la misma; una ecuacin
popular es la frmula de Francis para presas:
Donde:
es el lquido que se retiene con flujo cero, kgmol es la densidad
molar del lquido, kgmol/m3 es el rea transversal de la bandeja, m2
es un coeficiente dimensional, m1.5/s
Las relaciones finales se obtienen a partir de las correlaciones
de las propiedades fsicas:
De esto se obtiene un total de 3N + 7 ecuaciones con 3N + 7
variables por bandeja y, por lo tanto, se tiene una ecuacin para
calcular cada variable. De las ecuaciones, N + 1 son ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden, y el resto son ecuaciones
algebraicas.
BANDEJA DE ALIMENTACIN Y SUPERIOR
A pesar de que las ecuaciones de bandeja se aplican a todas las
bandejas, las ecuaciones para la de alimentacin y la superior son
ligeramente diferentes. En la bandeja de alimentacin se tiene un
trmino adicional de entrada, la alimentacin, lo cual significa que
en el miembro derecho de las ecuaciones de balance se deben aadir
los siguientes trminos de razn:
Masa total F kgmol/s, en la ecuacin (9-3)Masa del componente F
zi kgmol/s, en la ecuacin (9-4)Energa F hF J/s, en la ecuacin
(9-6)
Donde:
es la fraccin molar del componente i en la alimentacin es la
entalpia molar de la alimentacin, J/kgmol
Para la bandeja superior, las ecuaciones son las mismas que para
las dems, con excepcin de que el caudal de lquido que entra a la
bandeja es el reflujo. En la notacin esto significa que el trmino
L0 es la razn de reflujo, X,0 es la fraccin de mol del componente i
en el reflujo, y h0 es la entalpia molar del reflujo.
RE HERVIDOR
En la figura 9-3 se muestra el diagrama de un rehervidor; se
supone que la razn de recirculacin a travs del rehervidor de
termosifn es alta, en comparacin con la razn de sedimentacin, de
manera que en la parte baja de la torre el lquido esta bien
mezclado y tiene la misma composicin que el lquido en los tubos del
rehervidor. Por lo tanto, el balance de masa total es
Donde:
es el lquido que se retiene en el fondo de la torre, incluyendo
el lquido en los tubos del re hervidor, kgmol es la razn de lquido
de la bandeja NT, la ltima bandeja, kgmol/s es la razn de produccin
de sedimentos, kgmol/s es la razn de vapor que entra a la ltima
bandeja, kgmol/s
Los balances de masa del componente para N - 1 de los
componentes se pueden escribir como sigue:
Donde:
es la fraccin molar del componente i en el fondo de la torre es
la fraccin molar del componente i en la corriente de vapor que
entra a la ltima bandeja
Para el componente N se aprovecha el hecho de que la suma de las
fracciones de mol debe ser igual a la unidad:
En el balance de energa se debe considerar la capacidad de
transferencia de calor del re hervidor; para ello se expresa la
razn de calor como una funcin de la diferencia de temperatura:
Donde: es la entalpia molar del lquido en el fondo de la torre,
J/kgmol es la entalpia molar del vapor que entra a la ltima
bandeja, J/kgmol es el coeficiente total de transferencia de calor
del re hervidor, J/s-m2K es el rea de transferencia de calor del re
hervidor, m2 es la temperatura del vapor fuera de los tubos del re
hervidor, K es la temperatura en el re hervidor y en el fondo de la
columna, K
Se supone que el vapor que sale del re hervidor esta en
equilibrio con el lquido en el fondo de la torre y, por lo tanto,
las fracciones molares de vapor se expresan con las N relaciones de
equilibrio:
Tambin se puede utilizar el hecho de que la suma de las
fracciones de mol de vapor es igual a la unidad
En este punto, para el re hervidor se tienen 2N + 3 ecuaciones y
2N + 7 variables:MB, B, VNT+I> Xi,B, Yi,NT+, hB, HNT+ , , TB y
Ts. De la relacin entre la razn de produccin de sedimentos y la
retencin de los mismos resulta una ecuacin adicional, la cual se
establece en el controlador proporcional de nivel (LIC202); se
supone que la vlvula de control es lineal:
Donde:
es la ganancia del controlador, sin dimensiones es la retencin
con flujo cero, kgmol la densidad molar del lquido, kgmol/m3 es el
rea de la seccin transversal de la columna, m2 es la razn de
sedimentos cuando la salida del controlador de nivel es mxima,
kgmol/s es el rango del transmisor de nivel, m
Las propiedades fsicas se obtienen con relaciones
termodinmicas:
Con esto queda una variable ms por calcular, la temperatura del
vapor, Ts, para lo cual es necesario definir un nuevo volumen de
control, la cmara de vapor externa a los tubos del re hervidor;
para los balances de la cmara de vapor se supone que la condensacin
no se acumula, es decir, con la trampa de vapor se remueve todo el
vapor condensado en la misma razn en que se produce. Tambin se
supone que el vapor en la cmara esta saturado y que los tubos del
re hervidor estn casi a la misma temperatura que el vapor que se
condensa; es decir, se desprecia la resistencia a la transferencia
de calor en el lado de condensacin de los tubos del re hervidor.
Por lo tanto, la acumulacin de energa se concentra en los tubos del
re hervidor, debido a que la masa del vapor es pequea en comparacin
con la masa de metal de los tubos. Con base en esta suposicin, el
balance de energa en la cmara de vapor se expresa mediante.
Donde:
es la capacitancia calorfica de los tubos del re hervidor, J/K
es la razn de flujo del vapor, kg/s es la entalpia con que entra el
vapor, J/kg es la entalpia del vapor condensado cuando sale a travs
de ,la trampa de vapor,J/kg
Se notar que en la ecuacin (9-24) la acumulacin de vapor en la
cmara se hace despreciable mediante la suposicin de que la razn de
flujo del vapor condensado que sale es igual a la del que entra en
la cmara.La razn de flujo del vapor se calcula a partir del modelo
de la vlvula de control:
Donde:
es el factor de capacidad de la vlvula de vapor, kg/s (N/m2)1/2
es la posicin de la vlvula de vapor en fraccin de desplazamiento es
la presin con que se suministra el vapor, N/m2 es la presin en la
cmara de vapor, N/m2
La posicin de la vlvula puede ser una variable de entrada a la
columna o la variable manipulada que se utiliza para controlar la
fraccin molar de uno de los componentes en la produccin de
sedimentos. En este ltimo caso, se calcula con base en el modelo
del controlador de composicin (ARC202):
Donde:
es la funcin del controlador analizador es la fraccin molar del
componente clave en la produccin de sedimentos. es el punto de
control para la fraccin molar del componente clave.
En la ecuacin (9-26) no se muestra el modelo a detalle del
sensor y transmisor de composicin, el cual debe formar parte de
sta. Estos detalles se dan ms adelante, en el modelo del
controlador de la composicin del destilado, el cual forma parte del
modelo del acumulador de condensacin. La presin en la cmara de
vapor es una funcin de la temperatura, si se supone que el vapor
est saturado cuando se condensa:
Con esto se completa el modelo de la cmara de vapor, en el cual
se introducen tres variables adicionales: Fs, VP, y PS; una ecuacin
de balance de entalpia y tres ecuaciones algebraicas para calcular
la variable de estado, Ts.
MODELO DE CONDENSADOR
En la figura 9-4 se muestra un diagrama de todo el condensador;
la corriente de vapor que entra al condensador es el vapor que sale
de la bandeja superior de la columna (bandeja nmero 1) y el lquido
que sale del tambor acumulador se reparte entre el producto
destilado (0) y el reflujo a la columna (&), el cual es la
entrada de lquido a la bandeja superior. La razn del producto
destilado se manipula mediante el controlador de composicin del
producto superficial (ARC201) y la razn de reflujo se manipula
mediante un controlador proporcional de nivel en el tambor del
acumulador (LIC201).
En una columna con un condensador total, la presin se determina
nicamente medianteel balance de calor; es decir, si al re hervidor
se le suministra calor a una razn superior a la razn con que se
elimina en el condensador, la presin en la columna aumenta conforme
transcurre el tiempo. Lo anterior tiene el efecto de incrementar la
temperatura en todas las bandejas y en el condensador, con lo cual
se ocasiona un incremento en la razn de calor que se elimina en el
condensador; dicho incremento contina hasta que se satisface
nuevamente el balance de calor con una presin (ms alta) de estado
estacionario.
Este mecanismo de autorregulacin se presenta aun cuando se
controle la presin y, por tanto, la presin de la columna se puede
controlar mediante la manipulacin de la razn de transferencia de
calor en el condensador o en el re hervidor. Con el fin de
simplificar, se supondr que no se controla la presin en la columna
y que el condensador esta a su mxima capacidad, con lo cual se
logra mantener la presin de la columna en el punto ms bajo que
permite la capacidad del condensador, de lo cual generalmente
resulta una mayor separacin de los componentes.
Al elaborar el modelo del condensador se despreci la acumulacin
de masa en la fase de vapor, lo cual significa que el lquido que
entra al tambor acumulador tiene la misma composicin y razn de
flujo que el vapor que entra al condensador y, por tanto, no se
requieren balances de material alrededor del volumen de control del
condensador. Sin embargo, como la entalpia y la temperatura cambian
al haber condensacin, se requiere un balance de energa:
Donde:
es la temperatura en el condensador, K es la temperatura del
aire de enfriamiento en el exterior de los tubos del condensador, K
es la entalpia molar del lquido que sale del condensador, J/kgmol
es la capacidad calorfica de los tubos del condensador, J/K es el
coeficiente de transferencia de calor del condensador, J/s-m2-K es
el 6rea de transferencia de calor del condensador, m2
Al escribir la ecuacin (9-28) se hicieron varias consideraciones
para simplificar: primera, se supuso que la acumulacin de energa
nicamente tiene lugar en las paredes de los tubos del condensador
como el medio de enfriamiento externo, estn a temperaturas
uniformes Tc y TA, respectivamente; la tercera suposicin es que la
resistencia a la transferencia de calor en el lado de condensacin
de los tubos de condensacin es despreciable, en comparacin con la
resistencia a la transferencia de calor del lado que est en
contacto con el aire. La suposicin de que el lquido que sale del
condensador tiene la misma composicin que el vapor que abandona la
columna, se utiliza para calcular la entalpia del lquido que sale
del condensador.
y la presin en la columna, as como la presin de punto de burbuja
de este lquido a la temperatura del condensador, se calcula
mediante
Donde:
es la presin de punto de burbuja en funcin de la temperatura y
la composicin, N/m2
Se notar que con la combinacin de las ecuaciones (9-28) y (9-30)
se elabora el modelo del efecto de regulacin de presin del balance
de calor que se trat anteriormente. En el modelo, al incrementar la
razn de vapor que sale de la columna, Vr, se provoca un aumento en
la temperatura Tc, lo cual, a su vez, causa un incremento en la
razn de eliminacin de calor, ecuacin (9-28), y en la presin de la
columna, ecuacin (9-30).Si la presin se controlara mediante la
manipulacin del flujo de aire de enfriamiento a travs del
condensador, entonces Uc y Tc se convertiran en variables en la
ecuacin (9-28), por lo que seran necesarios los balances para el
lado del condensador en contacto con el aire. El clculo de?, queda
como ejercicio para el estudiante.
TAMBOR ACUMULADOR DEL CONDENSADOR
Ahora la atencin se vuelve al tambor acumulador del condensador
de la figura 9-4. En estado estacionario, la razn, composicin y
entalpia de las corrientes de lquido que salen del acumulador -el
reflujo y el producto destilado- son las mismas que las del
lquidoque sale del condensador; sin embargo, el lquido en el
acumulador constituye un retardo de tiempo para los cambios en
razn, composicin y entalpia; a esto se debe que en el modelo
dinmico sea necesario incluir los balances referentes al
acumulador. El retardo para los cambios en la razn de vapor se
obtiene con base en el balance total de masa:
Donde:
es el lquido que se retiene en el acumulador, kgmol es la razn
de reflujo, kgmol/s es la razn del producto destilado, kgmol/s
En la ecuacin (9-31) la razn de lquido en el acumulador es la
misma que la razn de vapor en el condensador, ya que se desprecia
la acumulacin de masa en el condensador.El retardo para los cambios
en la composicin del vapor se obtiene con base en los N - 1
balances de masa de los componentes:.Donde:
es la fraccin molar del componente i en el lquido del
acumulador.
La fraccin molar del componente N se obtiene a partir del hecho
de que la suma de las fracciones molares debe ser igual a la
unidad:
El modelo para el retardo de los cambios de entalpia se hace con
el balance de energa:
Donde:
es la entalpia molar del lquido en el acumulador, J/kgmol
Hasta ahora se tienen N + 2 ecuaciones y N + 4 variables: MD,
Xi,D, hD, Lo y D. La ecuacin para la razn de reflujo se obtiene del
controlador proporcional del nivel del acumulador (LIC201); en su
forma ms simple, si se supone que el control del caudal del reflujo
es perfecto (FRC201B)
Donde:
es la razn de reflujo cuando la salida del controlador esta al
mximo, kgmol/s es la ganancia del controlador de nivel (sin
dimensiones) es el lquido que se retiene en el acumulador cuando la
razn de reflujo es cero, kgmol es el lquido que se retiene en el
acumulador cuando el nivel es mximo, kgmol
En la ecuacin (9-35) se desprecian las variaciones en la
densidad del lquido; en cambio, con la ecuacin (9-20) se tiene un
modelo alternativo para el controlador de nivel, en el cual se
consideran las variaciones de densidad. Cualquiera de los modelos
se puede utilizar para cualquier controlador de nivel.La ecuacin
final que se necesita para completar el modelo del tambor
acumulador es la ecuacin para la razn de destilacin D, en la cual
se requiere un modelo del circuito de control de la composicin del
destilado. Con el fin de simplificar, el analizador (AT201) se
simula con un retardo de primer orden:
Donde:
es la seal normalizada que sale del analizador es la fraccin
molar del componente clave en el vapor que sale de la bandeja
superior es el lmite inferior del rango a que se calibra el
analizador (fraccin molar) es el lmite superior del rango a que se
calibra el analizador es la constante de tiempo del retardo de
primer orden, s
Se notar que, conforme la fraccin molar vara de a y0 a ymax, la
seal by del analizador vara de cero a la unidad.El controlador
analizador (ARC201) se modela como un controlador PID
(proporcional-integracional-derivativo) (ver ejemplo 9-4):
Donde:
es la salida del controlador y el punto de control del
controlador del caudal del producto destilado (FRC201A), kgmol/s es
el punto de control del controlador analizador (ARC201). es la
ganancia del controlador analizador. es el tiempo de integracin del
analizador controlador, s es el tiempo de derivacin del controlador
analizador, s
Finalmente, se puede suponer que el controlador de flujo es lo
suficientemente rpido como para mantener el destilado igual al
punto de control en todo momento:
Sin embargo, se deben fijar lmites al destilado para asegurar
que siempre sea positivo y menor al caudal mximo que puede
controlar el controlador de flujo:
Donde:
es el caudal mximo de destilado que se puede medir con el
transmisor de flujo (FT201Aj, kgmol/s
Con esto se completa el modelo de la columna. Para hacer el
modelo se dividi la columna en NT volmenes de control, uno por cada
bandeja; para el re hervidor y su cmara de vapor, el condensador y
su tambor acumulador se utilizaron volmenes adicionales.Las
diversas ecuaciones diferenciales y algebraicas que se escribieron,
incluidas las de fsica bsica y principios de qumica, son necesarias
para calcular las variables del proceso: razones de flujo,
composiciones y temperaturas.
CONDICIONES INICIALES
Para simular la columna se necesitan las condiciones iniciales
de todas las variables de estudio. Las variables de estado son
aquellas que aparecen en las derivadas de las ecuaciones
diferenciales; el nombre se origina en el hecho de que con estas
variables se define un estado nico del modelo en cualquier
instante. Puesto que todas las ecuaciones diferenciales son de
primer orden, nicamente se requiere una condicin inicial por
ecuacin diferencial. Las variables de estado del modelo son las
siguientes:
Los moles de lquido en cada bandeja: j = 1, 2,. . ., NTen el
fondo de la columna: en el tambor del acumulador: Fracciones
molares de lquido por bandeja: i = 1, 2,. . ., N - 1j = 1, 2,. . .,
NTen el fondo de la columna: i = 1, 2,. . ., N - 1en el tambor del
acumulador: i = 1, 2,. * *> N - 1Entalpia molar del lquido en
cada bandeja: j = 1, 2,. . ., NTen el fondo de la columna: y en el
tambor del acumulador: Temperatura en la cmara de vapor: y en el
condensador: Salida del transmisor analizador(AT201):Salidas de los
controladores de composicin y
Las condiciones iniciales de estas variables se determinan por
el tipo de corrida que se trate de simular: el comportamiento ms
comn que se analiza en los estudios de control de sistemas
continuos es el de la respuesta del sistema a los cambios en las
variables de entrada (por ejemplo, perturbaciones y puntos de
control), a partir de ciertas condiciones de diseo de estado
estacionario. Para este tipo de comportamiento, con los valores
iniciales de las variables de estado se deben satisfacer las
ecuaciones del modelo en estado estacionario, es decir, todos los
trminos derivativos se fijan en cero. Para un modelo tan complejo
como el que se acaba de presentar, se necesita un programa de
computadorapara resolver sistemas de ecuaciones algebraicas no
lineales y calcular los valores iniciales de estado estacionario de
las variables de estado, debido a que, cuando los trminos
derivativos se fijan en cero, las ecuaciones diferenciales se
convierten en ecuaciones algebraicas; en los programas comunes para
resolver sistemas de ecuaciones no lineales se incluyen los mtodos
de Newton-Raphson(1) y cuasi Newton(2).
Otro tipo de corrida de simulacin es el de puesta en operacin de
la columna. En este caso se puede suponer que las condiciones
iniciales son aquellas en que las bandejas, el fondo de la columna
y el acumulador estn llenos de lquido con la composicin y la
entalpia de alimentacin. Para la retencin en la bandeja se suponen
razones iniciales de flujo de lquido iguales a cero, es decir,
retencin mnima. Se puede suponer que la temperatura a lo largo de
la columna, re hervidor y condensador es la de alimentacin, y que
la presin es igual a la presin de punto de burbujeo de la
alimentacin a esa temperatura; se pueden suponer muchas variaciones
de tales condiciones. La mayor dificultad al simular la puesta en
operacin estriba en decidir e implementar la secuencia en que las
diferentes entradas de la columna se llevan a sus valores de diseo;
esto puede consumir tiempo si la simulacin no se hace de un modo
interactivo; es decir, con interaccin completa entre el trabajo del
ingeniero y la solucin de las ecuaciones obtenida mediante la
computadora.
VARIABLES DE ENTRADA
Las variables de entrada para el modelo son las siguientes:
Razn de flujo de alimentacin: fraccin molar: i = 1, 2,. . ., N -
1,y entalpia: Razn de flujo del vapor: presin de suministro: y
entalpia: Temperatura del aire para enfriar el condensador: Puntos
de control del controlador de composicin: y
En la corrida de simulacin de perturbacin se cambia el valor de
diseo de cada una de estas variables, generalmente con una funcin
rampa, y se analiza el tiempo de respuesta de la salida y de las
variables internas. En algunas corridas se puede cambiar el valor
de ms de una variable a la vez. En la simulacin de la puesta en
operacin, las variables se llevan a su valor de diseo en una
secuencia que se disea con ayuda de la simulacin tendiente a lograr
un tiempo de puesta en operacin mnimo, consumo de energa mnimo o
prdida mnima de producto fuera de especificacin.
RESUMEN
En esta seccin se desarroll el modelo matemtico de una columna
de destilacin de mltiples componentes. Entre las caractersticas del
modelo se incluye la presin variable de la columna, un modelo
hidrulico simple de la bandeja y modelos dinmicos simples del re
hervidor y el condensador. En el desarrollo paso a paso del modelo
se aprecia la utilizacin de los balances de material y energa, el
equilibrio de fase, los modelos hidrulicos, las relaciones
termodinmicas y los modelos del sistema de control para llegar al
modelo completo de la columna.
