CMO RESOLVER UN MODELO MATEMTICO DE PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO EL MTODO GRFICOIngeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Resolver con el MTODO GRFICO el siguiente modelo de Programacin Lineal :

MAXIMIZAR Z = 900 X1 + 600 X2

Sujeto a las siguientes restricciones :

X1 + X2 100 (1)X1 40 (2)X1 20 (3)X2 50 (4)Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Refresque sus conocimientos en cmo graficar una recta conociendo su ecuacinIngeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

En Programacin Lineal el grfico se limitar al Primer Cuadrante (las variables o incgnitas solamente pueden tomar valores mayores o iguales a cero. CONDICIN DE NO NEGATIVIDAD)Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

X2X1VALORES POSITIVOSDE LAS DOS INCGNITASIngeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

UTILICE UNA ESCALA APROPIADAIngeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1

El procedimiento consiste en estudiar las desigualdades una a una, sobre el mismo grfico. Para lo cual tomo la desigualdad o inecuacin y la grafico como una recta.

El plano quedar dividido en dos partes; una que cumple con la desigualdad y la otra no.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Estudiemos la primera restriccin :

X1 + X2 100

Para hacerlo, grafico la recta :

X1 + X2 = 100Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

RECUERDE que para graficar una recta basta con calcular dos de sus puntos (par ordenado) y trazar una lnea recta que pase por ellos.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 + X2 = 100Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Para determinar cual lado cumple con la desigualdad escojo un punto cualquiera y lo introduzco en la inecuacin, si se cumple con ella, cumplirn todos los que estn de ese lado y viceversa.En el grfico anterior puedo escoger el punto origen (0,0) y estudio la desigualdad:

Para X1 = 0 y X2 = 0

Sustituyendo en X1 + X2 100

0 + 0 100 (cierto)Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Como se cumpli para el origen se cumplir para todos los otros puntos que estn a la izquierda y debajo de la recta X1 + X2 = 100Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 + X2 = 100Lado que cumple con la restriccin (1)X1 + X2 100Lado que NO cumple con la restriccin (1)X1 + X2 100Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

El procedimiento recomendado consiste en sombrear el lado factible (que cumple con la desigualdad) y a medida que vayamos estudiando nuevas rectas borramos el rea sombreada anteriormente que no cumpla con esta nueva restriccin.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 + X2 = 100Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Estudiemos la segunda restriccin :

X1 40

Para hacerlo, grafico la recta :

X1 = 40Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 = 40Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Los valores de X1 menores a 40 se encuentran a la izquierda de esta recta.

Condicin que me obliga a borrar los puntos que estan a la derecha (no cumplen con X1 40)RECUERDE que la zona factible de solucin estar conformada por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 = 40Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 = 40Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Estudiemos la tercera restriccin :

X1 20

Para hacerlo, grafico la recta :

X1 = 20Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 = 20Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Los valores de X1 mayores a 20 se encuentran a la derecha de esta recta.

Condicin que me obliga a borrar los puntos que estan a la izquierda (no cumplen con X1 20)RECUERDE que la zona factible de solucin estar conformada por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones.

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X1 = 20

NOTE que a medida que se van analizando las restricciones el ESPACIO o ZONA FACTIBLE DE SOLUCIN (rea punteada) se hace menor. JAMS crecer.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Estudiemos la cuarta restriccin :

X2 50

Para hacerlo, grafico la recta :

X2 = 50Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X2 = 50Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Los valores de X2 mayores a 50 se encuentran por encima de esta recta.

Condicin que me obliga a borrar los puntos que estan por debajo (no cumplen con X2 50)RECUERDE que la zona factible de solucin estar conformada por los puntos que cumplan con TODAS las restricciones.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1X2 = 50Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Analizadas, como han sido, todas las restricciones; el rea punteada resultante representa la ZONA FACTIBLE DE SOLUCIN. Es en esta, y nicamente en esta zona, donde se encuentran los puntos que cumplen con TODAS las restricciones del Modelo Matemtico.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

En un punto de esquina de esta rea sombreada :Se encuentra el punto ptimo de solucin, es decir, el punto que contiene el valor de X1 y X2 que cumpliendo con todas las restricciones permitir obtener el mximo o mnimo valor de Z ( Zmax Zmin, segn sea el caso de estudio).Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Para determinar este punto de esquina se utiliza un procedimiento de ensayo y error que consiste en darle valores arbitrarios a la funcin objetivo (Z) e ir graficndola. Esta recta graficada es paralela a la que generar la funcin objetivo ptima.En el caso de maximizacin, la recta Zmax ser la que est ms alejada del origen y pasar por un punto de esquina de la regin sombreada. En el caso de minimizacin, ser la recta que est ms cerca del origen y pasar tambin por un punto de esquina de la ya mencionada zona punteada.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Antes de seguir el procedimiento es bueno aclarar que los valores que arbitrariamente se le asignen a Z no representan ningn dato importante en la solucin del problema.

Son valores arbitrarios que nicamente nos ayudan a visualizar la pendiente de la recta generada por la funcin objetivo ptima.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X1Volviendo a nuestro caso. Le asigno a Z un valor de 36.000 y la grafico.

Le asigno a Z un valor de 36.000 porque se me ocurri ese nmero, por ms nada.

Este valor no tiene ninguna importancia en la solucin del problema. Le podemos asignar cualquier valor.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X136.000 = 900 X1 + 600 X2Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Sobre esta grfica procedo a dibujar rectas paralelas a Z = 36.000 y visualizo el punto de esquina de la regin punteada que est contenido en la recta paralela ms alejada del origen.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Para fijar mejor la idea vamos a graficar varias rectas (sin ninguna norma o regla especfica) paralelas a Z = 36.000Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X136.000 = 900 X1 + 600 X2Punto ptimo de maximizacinIngeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Imagine que toma una regla plstica transparente, colquela sobre la recta Z = 36.000 y se va desplazando hacia arriba y hacia la derecha, siempre paralelo a ella, el primer punto del rea sombreada que toque (ms cerca del origen) es el punto ptimo de minimizacin, y el ltimo punto que toque (ms alejado del origen) es el punto ptimo de maximizacin.Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X136.000 = 900 X1 + 600 X2Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Para calcular el punto donde se cruzan dos rectas basta con resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Las ecuaciones del sistema sern las dos ecuaciones de las rectas que se cruzan (punto de interseccin).

X1 + X2 = 100 (1) X1 = 40 (2)Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos que :X1 = 40 y X2 = 60El punto de optimizacin es el par ordenado (40,60)

Para obtener el valor mximo de la funcin objetivo basta con introducir estos valores en :Z = 900 X1 + 600 X2Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Zmximo = 900 (40) + 600 (60)Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

Zmximo = 900 (40) + 600 (60)Zmximo = 72.000,ooIngeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

En el caso de que el problema hubiese sido de minimizacin, el punto de minimizacin estara representado por:Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR

100

80

60

40

20

10 30 50 70 90X2X136.000 = 900 X1 + 600 X2Ingeniero JOS LUS ALBORNOZ SALAZAR