Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE IVESTIGACIÓN Y POSGRADO (I.I.P)
COMPARACIÓN DEL ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL, LINEAL Y
NO LINEAL
ING. PAOLA XIMENA VILLALBA NIETO
TUTOR: DR. ROBERTO RODRIGO AGUIAR FALCONÍ
Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado de:
MAGISTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS
MATERIALES
Quito Ecuador
2015
ii
DEDICATORIA
A Byron Armando, compañero de estudios, amigo, pero sobre todo mi amado
esposo; una meta más cumplida en nuestras vidas, tenemos un largo camino que
recorrer juntos.
A mis padres, Jimena y Edwin quienes siempre me han apoyado y entregado
todo su amor incondicional en cada día de mi vida.
A mis hermanos, Alex, Belén, David, Matis, Sofi, Sebas y Nico; nunca dejen
de seguir cumpliendo sus sueños.
A Dios...
Paola Ximena Villalba Nieto
iii
AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Central del Ecuador, Instituto de Investigación y Posgrado
de la Facultad de Ingeniería Ciencias Físicas y Matemática; a los maestros que en
estos años me ayudaron en mi formación de esta nueva etapa profesional.
Al Dr. Roberto Aguiar Falconí, por quien siento un respeto y admiración
profunda, gracias por todo su tiempo, esfuerzo y apoyo; sus conocimientos fueron los
pilares fundamentales en el desarrollo de este trabajo.
Paola Ximena Villalba Nieto
iv
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Yo, VILLALBA NIETO PAOLA XIMENA, en calidad de autora del trabajo de
investigación o tesis realizada sobre la COMPARACIÓN DEL ANÁLISIS
MODAL ESPECTRAL, LINEAL Y NO LINEAL, por la presente autorizo a la
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR, hacer uso de todos los contenidos
que me pertenecen o de parte de los que contiene esta obra, con fines estrictamente
académicos o de investigación.
Los derechos que como autor me corresponden, con excepción de la presente
autorización, seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo establecido en los
artículos 5, 6, 8, 19 y demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y su
Reglamento.
Quito, marzo de 2015
PAOLA XIMENA VILLALBA NIETO
C.C. 171637461-4
v
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue realizado en su totalidad por la Ing. PAOLA
XIMENA VILLALBA NIETO como requisito parcial a la obtención del título de
MAGISTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS MATERIALES.
Quito, marzo de 2015
DR. ROBERTO RODRIGO AGUIAR FALCONÍ
vi
CONTENIDO
pág.
DEDICATORIA………………………………………………………………
AGRADECIMIENTOS………………………………………………………
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL…………………...
CERTIFICACIÓN……………………………………………………………..
CONTENIDO…………………………………………………………………..
LISTA DE FIGURAS………………………………………………………….
LISTA DE TABLAS…………………………………………………………..
RESUMEN……………………………………………………………………..
ABSTRACT…………………………………………………………………….
CERTIFICACIÓN……………………………………………………………..
CAPÍTULO 1
GENERALIDADES………………………………………………...................
1.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………….....
1.2 JUSTIFICACIÓN…………………………………………………………..
1.3 POSICIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………….
1.4 OBJETIVO GENERAL……………………………………………………
1.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………………
1.6 HIPÓTESIS………………………………………………………………...
1.7 IMPACTO………………………………………………………………….
1.8 METODOLOGÍA…………………………………………………………..
1.9 RECURSOS………………………………………………………………...
CAPÍTULO 2
MICROZONIFICACIÓN SÍSMICA DE QUITO…………………………..
2.1 IMPORTANCIA DE ESTUDIOS DE MICROZONIFICACIÓN…………
ii
iii
iv
v
vi
xi
xv
xvii
xviii
xix
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
5
5
vii
2.2 FACTORES DE SITIO DADOS POR LA NEC…………………………...
2.2.1 Mapa de zonificación sísmica…………………………………………….
2.2.2 Tipos de suelos……………………………………………………………
2.2.3 Factores de sitio…………………………………………………………..
2.3 FACTORES DE SITIO DEL ESTUDIO DE MICROZONIFICACIÓN
SÍSMICA DE QUITO………………………………………………………….
2.3.1 Clasificación de suelos EPN (1994)……………………………………...
2.3.2 Clasificación de suelos CEC (2002)……………………………………...
2.3.3 Clasificación de suelos EPN (2002)……………………………………...
2.3.4 Estudios para el metro de Quito…………………………………………..
2.3.5 Evaluación de Riesgos Naturales ERN 2012……………………………..
2.4 ESPECTROS DE DISEÑO………………………………………………...
2.4.1 Espectro elástico de diseño en aceleraciones……………………………..
2.4.2 Espectro elástico de diseño en desplazamientos………………………….
2.5 ESPECTROS UTILIZANDO LA MICROZONIFICACIÓN SÍSMICO DE
QUITO……………………………………………………………………...
2.5.1 Factor de reducción de resistencia sísmica R…………………………….
2.5.2 Factores de sitio utilizando el ERN-12…………………………………...
2.5.3 Espectros inelásticos de aceleraciones utilizando el NEC-11 y el ERN-
12………………………………………………………………………………..
CAPÍTULO 3
ESCALAMIENTO DE SISMOS……………………………………………..
3.1 FALLAS CIEGAS DE QUITO…………………………………………….
3.1.1 Sistema de fallas de Quito………………………………………………..
3.1.2 Sismicidad asociada a las fallas de Quito………………………………...
3.2 SISMOS IMPULSIVOS……………………………………………………
3.2.1 Método propuesto por Araya y Satagoni (1984)………………………….
3.2.2 Método propuesto por Baker (2008)……………………………………...
3.2.3 Método propuesto por Panella et al. (2013)………………………………
7
7
8
10
12
12
15
16
17
19
23
24
25
25
25
27
28
30
30
30
32
38
39
39
41
viii
3.2.4 Registros sísmicos considerados………………………………………….
3.3 DESCRIPCIÓN DEL ESCALAMIENTO…………………………………
3.4 MODELO DE ESCALAMIENTO DEL ASCE 2010……………………...
3.5 ACELEROGRAMAS ESCALADOS……………………………………...
CAPÍTULO 4
MÉTODO MODAL ESPECTRAL………………………………………….
4.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO……………………………...
4.2 MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO……………..
4.2.1 Matriz de rigidez de una estructura……………………………………….
4.2.2 Condensación estática de la matriz de rigidez……………………………
4.2.3 Obtención de la matriz de rigidez espacial (en coordenadas de piso)……
4.3 MATRIZ DE MASAS……………………………………………………...
4.4 DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS MÁXIMAS MODALES…………..
4.5 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL……………………………...
4.5.1 Combinación cuadrática completa (CQC)………………………………..
4.5.2 Combinación del máximo valor probable (SRSS)………………………..
4.5.3 Combinación de la suma de absolutos (ABSSUM)………………………
4.5.4 Combinación propuesta de Alejandro Gómez (2002)……………………
4.5.5 Combinación propuesta por la Norma Técnica del Perú (2003)………….
4.5.6 Combinación propuesta por el Laboratorio de Investigación Naval
(NRL)……………………………………………………………………………
4.5.7 Combinación de la doble suma (DSUM) (1976)………………………….
4.5.8 Combinación del Grouping Method (GRP) (1976)……………………….
4.5.9 Combinación propuesta por las Normas estructurales de diseño y
construcción de Guatemala (1996)……………………………………………...
4.6 RESPUESTAS MÁXIMAS EN ESTRUCTURAS DE 6 Y 8 PISOS……...
4.6.1 Estructura de seis (6) pisos………………………………………………..
4.6.2 Estructura de ocho (8) pisos………………………………………………
42
46
48
52
58
58
65
65
65
67
68
70
71
71
72
72
72
73
73
73
74
74
74
75
84
ix
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL……………………………………………….
5.1 MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO……………………………………..
5.1.1 Amortiguamiento de Caughey…………………………………………….
5.1.2 Amortiguamiento de Rayleigh…………………………………………….
5.1.3 Amortiguamiento de Wilson y Penzien…………………………………...
5.2 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO BETA DE NEWMARK………………...
5.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE ESTRUCTURAS DE 6 PISOS……….
5.4 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE ESTRUCTURAS DE 8 PISOS………
5.5 COMPARACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS OBTENIDOS CON
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL Y ANÁLISIS LINEAL…………
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS NO LINEAL………………………………………………………
6.1 DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS NO LINEAL……………………………
6.1.1 Diagrama Momento – Curvatura (M - )…………………………………
6.1.2 Modelos de comportamiento no lineal……………………………………
6.1.3 Modelo bilineal……………………………………………………………
6.2 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL EN ESTRUCTURAS DE 1, 2
Y 3 PISOS………………………………………………………………………
6.2.1 Estructura de 1 piso……………………………………………………….
6.2.2 Estructura de 2 pisos………………………………………………………
6.2.3 Estructura de 3 pisos………………………………………………………
6.3 ANÁLISIS NO LINEAL EN ESTRUCTURAS DE 1, 2 Y 3 PISOS………
6.3.1 Análisis no lineal en estructura de 1 piso…………………………………
6.3.2 Análisis no lineal en estructuras de 2 y 3 pisos…………………………...
6.4 COMPARACIÓN DE RESULTADOS…………………………………….
CAPÍTULO 7
92
92
92
93
93
94
97
116
126
132
132
132
134
136
141
142
143
144
144
145
155
176
181
x
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………...
7.1 CONCLUSIONES…………………………………………………………..
7.2 RECOMENDACIONES……………………………………………………
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………
BIOGRAFÍA…………………………………………………………………...
182
182
183
184
187
xi
LISTA DE FIGURAS
pág.
Figura 2.1 Registros de movimiento y espectros de respuesta del sismo de
Loma Prieta 1989……………………………………………………………….
Figura 2.2 Mapa de zonificación sísmica………………………………………
Figura 2.3 Zonificación primaria de la ciudad de Quito………………………..
Figura 2.4 Microzonas de la ciudad de Quito………………………………….
Figura 2.5 Clasificación de suelos EPN-2002………………………………….
Figura 2.6 Caracterización sísmica de la ruta de metro………………………..
Figura 2.7 Delimitación de las zonas homogéneas en la ciudad……………….
Figura 2.8 Espectros de respuesta para periodo de retorno de 475 años……….
Figura 2.9 Espectros elásticos de diseño ajustados para zonas………………...
Figura 2.10 Mapas de microzonificación sísmica……………………………...
Figura 2.11 Espectro sísmico elástico de aceleraciones………………………..
Figura 2.12 Espectro sísmico elástico de desplazamientos…………………….
Figura 2.13 Espectros inelásticos de aceleraciones con NEC-11 y ERN-12…..
Figura 3.1 Esquema geomorfológico del sistema de fallas de Quito…………..
Figura 3.2 Sismicidad asociada a las fallas de Quito registrada entre 1900 y
agosto de 2014………………………………………………………………….
Figura 3.3 Sismicidad asociada a las fallas de Quito registrada en el mes de
agosto de 2014. Réplicas del sismo del 12 de agosto de 2014…………………
Figura 3.4 Mapa de isosistas del sismo de 12 de agosto de 2014………………
Figura 3.5 Zonas fuentes focales y réplicas del sismo del 12 de agosto de 2014
Figura 3.6 Plano de ruptura del sismo del 12 de agosto de 2014………………
Figura 3.7 Pulso mayor extraído del sismo de 1979 Imperial Valley………….
Figura 3.8 Acelerogramas de registros sísmicos considerados………………...
Figura 3.9 Espectro promedio y espectro objetivo del escalamiento de sismos..
6
8
13
14
17
19
21
22
22
23
24
25
29
31
33
35
36
37
38
40
44
50
xii
Figura 3.10 Espectro multiplicado por SF1…………………………………….
Figura 3.11 Espectro multiplicado por SF……………………………………...
Figura 3.12 Espectros de respuesta de aceleración sin escalar…………………
Figura 3.13 Espectro de respuesta escalado con factor SF de estructura de
periodo corto……………………………………………………………………
Figura 3.14 Espectro de respuesta escalado con factor SF1 de estructura de
periodo corto……………………………………………………………………
Figura 3.15 Espectro de respuesta escalado con factor SF de una estructura de
periodo alto……………………………………………………………………..
Figura 3.16 Espectro de respuesta escalado con factor SF1 de una estructura
de periodo alto………………………………………………………………….
Figura 3.17 Espectro de respuesta SRSS escalado……………………………..
Figura 4.1 Pórtico con vigas axialmente rígidas y columnas totalmente
flexibles…………………………………………………………………………
Figura 4.2 Ubicación del centro de gravedad en planta (6 pisos)………………
Figura 4.3 Ubicación del vector r (6 pisos)…………………………………….
Figura 4.4 Elevación del pórtico A con secciones de elementos (6 pisos)……..
Figura 4.5 Elevación del pórtico 1 con secciones de elementos (6 pisos)……..
Figura 4.6 Numeración de gdl del pórtico A (6 pisos)…………………………
Figura 4.7 Desplazamiento inelástico en X (6 pisos)…………………………..
Figura 4.8 Desplazamiento inelástico en Y (6 pisos)…………………………..
Figura 4.9 Ubicación del centro de gravedad en planta (8 pisos)………………
Figura 4.10 Ubicación del vector r (8 pisos)…………………………………...
Figura 4.11 Elevación del pórtico 1 con secciones de elementos (8 pisos)…….
Figura 4.12 Numeración de gdl del pórtico 1 (8 pisos)………………………...
Figura 4.13 Desplazamiento inelástico en X ( 8 pisos)………………………...
Figura 4.14 Desplazamiento inelástico en Y (8 pisos)…………………………
Figura 5.1 Variación de la aceleración de la masa en un intervalo Δt de
acuerdo al valor de β de Newmark……………………………………………..
Figura 5.2 Espectros de respuesta escalados (6 pisos)…………………………
51
51
52
54
54
55
56
57
66
76
76
77
77
78
83
83
84
85
85
87
90
90
95
98
xiii
Figura 5.3 Respuesta en el tiempo en sentido X (6 pisos)……………………...
Figura 5.4 Respuesta en el tiempo en sentido Y (6 pisos)……………………...
Figura 5.5 Espectros de respuesta escalados (8 pisos)…………………………
Figura 5.6 Respuesta en el tiempo en sentido X (8 pisos)……………………..
Figura 5.7 Respuesta en el tiempo en sentido Y (8 pisos)……………………...
Figura 5.8 Desplazamientos máximos en sentido X (6 pisos)………………….
Figura 5.9 Desplazamientos máximos en sentido Y (6 pisos)………………….
Figura 5.10 Desplazamientos máximos en sentido X (8 pisos)………………...
Figura 5.11 Desplazamientos máximos en sentido Y (8 pisos)………………..
Figura 6.1 Diagrama Momento – Curvatura.......................................................
Figura 6.2 Sección de viga (método fibras)…………………………………….
Figura 6.3 Diagrama Momento – Curvatura (método de las fibras)……………
Figura 6.4 Descripción de las ramas del modelo bilineal y puntos de ajuste…..
Figura 6.5 Punto de ajuste 1……………………………………………………
Figura 6.6 Punto de ajuste 3……………………………………………………
Figura 6.7 Configuración y secciones del pórtico de un piso…………………..
Figura 6.8 Configuración y secciones del pórtico de dos pisos………………..
Figura 6.9 Configuración y secciones del pórtico de tres pisos………………..
Figura 6.10 Detalle de viga del pórtico de un piso……………………………..
Figura 6.11 Detalle de columna del pórtico de un piso………………………...
Figura 6.12 Espectros de respuesta escalados del pórtico de un piso………….
Figura 6.13 Diagramas de momento – curvatura en pie de columna del pórtico
de 1 piso………………………………………………………………………...
Figura 6.14 Diagramas tiempo – desplazamiento (1 piso)……………………..
Figura 6.15 Detalle de viga del pórtico de dos pisos…………………………...
Figura 6.16 Detalle de columna del pórtico de dos pisos………………………
Figura 6.17 Detalle de viga del pórtico de tres pisos…………………………...
Figura 6.18 Detalle de columna del pórtico de tres pisos………………………
Figura 6.19 Espectros de respuesta escalados del pórtico de dos pisos………...
Figura 6.20 Espectros de respuesta escalados del pórtico de tres pisos………..
100
108
117
118
122
127
127
130
130
133
136
137
138
139
141
142
143
144
146
146
147
148
151
155
155
156
156
158
158
xiv
Figura 6.21 Diagramas tiempo – desplazamiento (2 pisos)…………………….
Figura 6.22 Diagramas tiempo – desplazamiento (3 pisos)…………………….
Figura 6.23 Diagrama desplazamientos máximos (1 piso)……………………..
Figura 6.24 Diagrama desplazamientos máximos (2 pisos)……………………
Figura 6.25 Diagrama desplazamientos máximos (3 pisos)……………………
Figura 6.26 Diagrama desplazamientos máximos con factor de 0.75 (1 piso)…
Figura 6.27 Diagrama desplazamientos máximos con factor de 0.75 (2 pisos)..
Figura 6.28 Diagrama desplazamientos máximos con factor de 0.75 (3 pisos)..
160
168
176
177
177
179
179
180
xv
LISTA DE TABLAS
pág.
Tabla 2.1 Valores del factor Z………………………………………………….
Tabla 2.2 Clasificación de los perfiles de suelo………………………………..
Tabla 2.3 Factores de sitio para zonas sísmicas………………………………..
Tabla 2.4 Factor de reducción de resistencia sísmica R………………………..
Tabla 2.5 Factores de sitio del sector 38 zona Centro Norte…………………...
Tabla 3.1 Réplicas del sismo del 12 de agosto de 2014, magnitudes mayor a 3.
Tabla 3.2 Clasificación de índice de impulsividad.…………………………….
Tabla 3.3 Determinación del índice de impulsividad de varios registros………
Tabla 3.4 Factores de escalamiento para una estructura de periodo corto……..
Tabla 3.5 Factores de escalamiento para una estructura de periodo alto……….
Tabla 3.6 Factores de escalamiento para espectros SRRR……………………..
Tabla 4.1 Cargas consideradas en el análisis (6 pisos)…………………………
Tabla 4.2 Cargas consideradas en el análisis (8 pisos)…………………………
Tabla 5.1 Valores de SF1, SF2 y SF (6 pisos)………………………………….
Tabla 5.2 Valores de SF1, SF2 y SF (8 pisos)………………………………….
Tabla 5.3 Desplazamientos máximos en X (6 pisos)…………………………...
Tabla 5.4 Desplazamientos máximos en Y (6 pisos)…………………………..
Tabla 5.5 Desplazamientos máximos en X (8 pisos)…………………………..
Tabla 5.6 Desplazamientos máximos en Y (8 pisos)…………………………..
Tabla 6.1 Desplazamientos inelásticos del pórtico de 1 piso…………………..
Tabla 6.2 Desplazamientos inelásticos del pórtico de 2 pisos………………….
Tabla 6.3 Desplazamientos inelásticos del pórtico de 3 pisos………………….
Tabla 6.4 Cargas utilizadas en el pórtico de un piso…………………………...
Tabla 6.5 Factores SF1, SF2 y SF para el pórtico de 1 piso……………………
7
9
11
26
28
34
42
43
53
55
56
79
86
98
116
126
128
128
129
142
143
144
146
147
xvi
Tabla 6.6 Desplazamientos máximos (pórtico de 1 piso)………………………
Tabla 6.7 Cargas utilizadas en el pórtico de dos pisos…………………………
Tabla 6.8 Cargas utilizadas en el pórtico de tres pisos…………………………
Tabla 6.9 Factores SF1, SF2 y SF para el pórtico de dos pisos………………...
Tabla 6.10 Factores SF1, SF2 y SF para el pórtico de tres pisos………………
Tabla 6.11 Desplazamientos máximos (pórtico de 2 pisos)……………………
Tabla 6.12 Desplazamientos máximos (pórtico de 3 pisos)……………………
Tabla 6.13 Derivas máximas inelásticas………………………………………..
Tabla 6.14 Factor R para diferentes normas de un mismo país………………...
147
157
157
157
157
159
159
178
178
xvii
RESUMEN
COMPARACIÓN DEL ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL,
LINEAL Y NO LINEAL
Se realiza la comparación de varios métodos de análisis con estudios de
microzonificación sísmica, utilizando acelerogramas escalados. Para esto se presentan
los factores de sitio encontrados dentro del estudio de microzonificación sísmica de la
ciudad de Quito, ERN-12, los cuales son específicos para cada sector de la ciudad,
comparando los espectros de diseño en aceleraciones al utilizar los parámetros
establecidos en la NEC. Después de analizar las fallas ciegas de la ciudad y los
sismos producidos en los últimos años, de manera más específica el ocurrido el 12 de
agosto de 2014, se presenta el procedimiento para escalamiento de sismos propuesto
por el ASCE 2010, comparando los acelerogramas escalados obtenidos para ocho
registros sísmicos impulsivos, determinando que para estructuras de periodos cortos,
el factor SF2 es alto.
Para estructuras de seis y ocho pisos, se determinan los desplazamientos
inelásticos utilizando el método de superposición modal, y se comparan los mismos
con los desplazamientos máximos encontrados con el método Beta de Newmark del
análisis lineal con acelerogramas escalados, realizando el estudio tanto en el sentido x
como en el sentido y, obteniendo resultados similares.
Finalmente, para pórticos de uno, dos y tres pisos se calculan los desplazamientos
inelásticos con el método de superposición modal, comparando los resultados con los
desplazamientos máximos obtenidos en el análisis no lineal mediante un modelo
bilineal con acelerogramas escalados, logrando resultados similares si se aplica lo
estipulado en la NEC para el cálculo de derivas inelásticas.
DESCRIPTORES: MICROZONIFICACIÓN / FALLAS CIEGAS / SISMOS
IMPULSIVOS / ESCALAMIENTO DE SISMOS / ACELEROGRAMAS
ESCALADOS / SUPERPOSICIÓN MODAL / ANÁLISIS LINEAL / ANÁLISIS
NO LINEAL
xviii
ABSTRACT
COMPARISON OF MODAL SPECTRAL ANALYSIS BETWEEN
LINEAL AND NO LINEAL METHOD
This study set a comparison between some methods of analysis with seismic
microzonification in which was used accelerogram scaled. For this study, it was
presented factors of the place which were found in a previous study, ERN-12 about
seismic microzonification which took place in Quito city. Those factors are specific
for each area of the city. Investigator compared the spectrum design on acceleration
when using the parameters which NEC prescribes. This study analyzed the city’s
blind faults and the earthquakes which were produced in Quito in the last years. The
researcher was focused on the earthquake which occurred on 12th
august, 2014. After
that, it was presented the procedures for seismic scaled which are proposed by ASCE
2010. Accelerogram scales were compared by eight impulsive seismic registers which
determined that for structures of short periods, SF2 is too high.
For structures of sixth and eight floors, it is determined the inelastic displacements by
using the modal superposition method. Then, they were compared with the maximum
displacements which are found in the BETA NEWMARK METHOD which contains
the plane analysis with accelerogram scaled. The researcher developed this study in
one direction X as well as in the other direction Y which threw similar findings.
Finally, for porches of first, second or three floors, it is calculated the inelastic
displacement with the modal superposition method. Researcher compared the
findings with the maximum displacement which were obtained in the no lineal
analysis through bilinear model with accelerogram scales. Achieving similar findings
if it is applied following the NEC prescription for derives inelastic calculation.
KEY WORDS: MICROZONIFICATION, BLIND FAULTS, SEISMIC, SEISMIC
SCALES, ACCELEROGRAM SCALED, MODAL SUPERPOSITION, LINEAL
ANALYSIS, NO LINEAL ANALYSIS.
xix
CERTIFICADO
Yo, CARLOS OMAR QUILLUPANGUI QUILLUPANGUI, con cédula de
ciudadanía 1715500342, certifico el haber realizado la traducción del resumen de
“COMPARACIÓN DEL ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL, LINEAL Y NO
LINEAL”, elaborado por la señora ingeniera VILLALBA NIETO PAOLA
XIMENA, alumna de la Maestría en la Especialidad de “MAESTRÍA EN
ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS MATERIALES”, previa a la obtención
del título de la maestría.
Atentamente,
TRADUCTOR
C.C.: 1715500342
xx
1
CAPÍTULO 1
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN
En el Ecuador se encuentra en vigencia la Norma Ecuatoriana de la Construcción
NEC -11, la cual contiene información importante y actualizada para el diseño sismo
resistente de estructuras. En el capítulo “Cargas sísmicas diseño sismo resistente” se
ha incorporado nuevos parámetros para el cálculo de los espectros elásticos de diseño
tanto de aceleración como de desplazamiento, entre los que se encuentran los factores
de sitio que dependen exclusivamente del tipo de suelo donde se cimentará una
estructura.
En cumplimiento a esta norma, y a fines de investigación, el grupo consultor ERN
-12 (Evaluación de Riesgos Naturales) realizó el estudio de la microzonificación
sísmica de la ciudad de Quito. En Aguiar 2013 se pueden encontrar los factores de
sitios propios para diferentes sectores de la ciudad, por lo que se considera importante
la comparación de los resultados en el cálculo de una estructura con los parámetros
constantes en la norma NEC -11 y este estudio de microzonificación.
Adicionalmente, al no existir en el NEC -11 ningún procedimiento para el
escalamiento de sismos cuando se desea utilizar registros sísmicos reales en la
aplicación de las fuerzas laterales en una estructura, se debe conocer los
procedimientos establecidos por otras normas y utilizar el más apropiado para la
realidad de nuestro país.
El trabajo de esta tesis pretende comparar los resultados obtenidos mediante la
utilización de varios métodos de análisis aportando con los conocimientos actuales de
microzonificación sísmica y escalamiento de sismos.
2
Al ser el campo de estudio muy amplio, se limitó a la utilización del estudio de
microzonificación sísmica de Quito ERN-12 y al modelo de escalamiento propuesto
por el ASCE 2010 utilizando el análisis modal espectral, lineal y no lineal.
1.2 JUSTIFICACIÓN
El estudio y comparación de varios métodos de análisis con estudios de
microzonificación sísmica que contengan los parámetros propios para un lugar
específico, son importantes para la determinación de las respuestas máximas de una
estructura que se acerquen lo mejor posible al real comportamiento de la estructura.
1.3 POSICIÓN DEL PROBLEMA.
Los sismos ocurridos en los últimos años en Haití y Chile han llevado a la
promulgación de nuevas normativas y estudios específicos en varios países. En el
Ecuador se encuentra en vigencia la Norma Ecuatoriana de la Construcción NEC, que
si bien es cierto contiene nuevos parámetros en la determinación de los espectros de
diseño, introduce la necesidad de la realización de estudios de microzonificación
sísmica en poblaciones de más de 100.000 habitantes.
En ese contexto, se requiere investigar y comparar con diferentes métodos de
análisis lo contenido en la Norma Ecuatoriana de la Construcción y un estudio de
microzonificación sísmica específico. De manera adicional, se puede utilizar el
escalamiento de sismos a fin de comparar los resultados obtenidos.
1.4 OBJETIVO GENERAL
Comparar los métodos modal espectral, lineal y no lineal en estructuras de
hormigón armado.
3
1.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Comparar los resultados obtenidos por un mismo método de análisis con los
parámetros de los factores de sitio establecidos en la Norma Ecuatoriana de la
Construcción NEC y el estudio de microzonificación sísmica ERN-12.
Investigar y comparar los acelerogramas escalados con la metodología del
ASCE 2010 para estructuras de periodo corto y periodo alto.
Comparar los desplazamientos inelásticos obtenidos con los métodos modal
espectral, lineal y no lineal.
1.6 HIPOTESIS
La utilización de estudios de microzonificación sísmica y acelerogramas
escalados presentan las respuestas máximas de una estructura más cercanas al real
comportamiento de la misma.
1.7 IMPACTO
Esta tesis contiene una comparación de métodos de análisis de una estructura
utilizando estudios de microzonificación sísmica y escalamiento de sismos.
Se espera que sea el inicio en el Ecuador para la utilización de estudios de
microzonificación sísmica y del planteamiento de normativas en la selección y
escalamiento de registros sísmicos.
1.8 METODOLOGÍA
Se comenzará revisando la importancia de contar con estudios de
microzonificación sísmica, así como los valores de los factores de sitio Fa, Fd y Fs
propuestos por el ERN-12 de la ciudad de Quito.
4
Posteriormente se expondrá la metodología propuesta por el ASCE 2010 para
escalamiento de sismos, investigando los resultados obtenidos para estructuras de
periodo corto y estructuras de periodo alto, determinado los sismos escalados para las
estructuras que se analizarán.
Se presentará el marco teórico del método modal espectral calculando las
respuestas máximas en estructuras de seis y ocho, comparando los resultados
obtenidos con los valores de factores de sitio indicados en la Norma Ecuatoriana de la
Construcción y los propuestos por los estudios de microzonificación sísmica de Quito
realizados por el ERN-12.
Después de exponer el marco teórico del método lineal, orientando la
investigación a la utilización del método Beta de Newmark, se encontrará las
respuestas máximas en estructuras de seis y ocho pisos comparando los resultados
con el método modal espectral.
Finalmente, se revisará el procedimiento para el análisis no lineal utilizando el
modelo bilineal para determinar las respuestas máximas en pórticos de uno, dos y tres
pisos comparando los resultados con los obtenidos con el método modal espectral. Se
analizará los valores propuestos por la Norma Ecuatoriana de la Construcción y otras
normativas con respecto al cálculo de los desplazamientos inelásticos.
Se espera realizar por lo menos un artículo en el transcurso de esta investigación.
1.9 RECURSOS
Se encuentran disponibles estudios, libros, publicaciones de voces autorizadas
sobre los métodos de análisis a realizar en las estructuras. A nivel nacional se cuenta
con la Norma Ecuatoriana de la Construcción y el estudio de microzonificación
sísmica de la ciudad de Quito ERN-12.
5
CAPÍTULO 2
MICROZONIFICACIÓN SÍSMICA DE QUITO
2.1 IMPORTANCIA DE ESTUDIOS DE MICROZONIFICACIÓN SÍSMICA
La microzonificación sísmica consiste en establecer zonas geográficas donde los
suelos tengan comportamiento similar ante la ocurrencia de sismos, a fin de que
existan recomendaciones locales específicas y puedan obtenerse mapas que se
utilicen en la reducción del riesgo sísmico en el diseño.
Es importante señalar que para diferentes tipos de suelo, la reacción del mismo
ante un sismo es diferente. El sismo ocurrido en San Francisco en 1989, conocido
como el terremoto de Loma Prieta, comprobó que el daño producido por un sismo
depende del carácter geológico del suelo, por ejemplo las amplificaciones del suelo
provocadas por depósitos de suelo blando son mucho mayores que en un suelo
rocoso. La figura 2.1 demuestra la diferencia de los registros de movimiento y
espectros de respuesta para el sismo de Loma Prieta para el sector de Treasure Island
donde existen rellenos y suelos arcillosos, y Yerba Buena Island donde los suelos
predominantes son roca.
Para el diseño de proyectos en la ciudad de Quito los Estudios de Suelos,
cuando son realizados, son a nivel superficial alcanzando profundidades de seis y diez
metros, dejando la incertidumbre de las características geológicas y geotécnicas por
debajo de estos niveles. Además, no se consideran otros factores importantes como
son la presencia de fallas ciegas, factores de cercanía, amplificación de ondas de
aceleración, velocidad y desplazamiento de acuerdo a la ubicación del estrato rocoso.
En muchos casos, ni siquiera se realizan estudios, ejecutando los diseños utilizando
parámetros y recomendaciones generales, no propias para el sector ni para la
envergadura del proyecto.
6
Figura 2.1 Registros de movimiento y espectros de respuesta del sismo de Loma
Prieta 1989 (Rodríguez 2005)
Los estudios necesarios para establecer la microzonificación sísmica de una
zona, requieren un procedimiento multidisciplinario, con la realización de estudios
geológicos, topográficos, geotécnicos, hidrológicos y sísmicos. Estos estudios
permitirán obtener factores de sitio para sectores y periodos de vibración específicos,
factores de cercanía, periodos de vibración del suelo, características propias del suelo
de un lugar específico.
La Norma Ecuatoriana de la Construcción, aprobada los primeros capítulos en
diciembre de 2013, establece en el Capítulo 2 “Peligro Sísmico y Requisitos de
Diseño sismo resistente” la necesidad de contar con estudios de microzonificación
sísmica y geotécnica en poblaciones que tengan más de 100.000 habitantes, a fin de
conocer la geología local, la distribución espacial de los estratos de suelo y evaluar
las demandas sísmicas locales. Estos estudios deben incluir los posibles efectos
topográficos, amplificación o efecto de sitio en suelos, inestabilidad sísmica en zonas
licuables o de rellenos, presencia de taludes inestables, etc.
De acuerdo a la Norma, a partir de los estudios de microzonificación se
obtendrán mapas de zonificación de suelos, espectros de diseño sísmico locales que
“prevalecerán sobre los espectros de diseño generales de la presente norma”.
7
2.2 FACTORES DE SITIO DADOS POR LA NEC-11
2.2.1 Mapa de zonificación sísmica
El mapa de zonificación sísmica incluido en la Norma Ecuatoriana de la
Construcción NEC, es el resultado de estudios actualizados al año 2011 de peligro
sísmico para un 10% de excedencia en 50 años (periodo de retorno 475 años),
incluyendo una saturación de 0,50 g de los valores de aceleración sísmica en roca en
la costa.
Entre las principales consideraciones para la elaboración de este mapa están:
- Principal fuente de energía sísmica la subducción de la placa de Nazca
- Estudio de principales eventos históricos
- Uniformidad del peligro y practicidad del diseño
- Protección de ciudades importantes
- Compatibilidad con normativas sísmicas en países vecinos
De acuerdo al mapa de zonificación sísmica, el cual se indica en la figura 2.2, el
territorio del Ecuador se encuentra dividido en seis zonas sísmicas, donde cada zona
tiene su propio valor del factor de zona Z, que representa la aceleración máxima en
roca esperada para el sismo de diseño, expresada como fracción de la aceleración de
la gravedad, de acuerdo a la tabla 2.1.
Tabla 2.1 Valores del factor Z (NEC-11)
Zona sísmica I II III IV V VI
Valor factor Z 0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 ≥ 0.50
Caracterización del
peligro sísmico
Intermedia Alta Alta Alta Alta Muy alta
Se incluye en la NEC una tabla donde se encuentran lugares a nivel de
población - parroquia – cantón - provincia para determinar de manera más fácil el
valor de Z de una localidad específica.
8
Figura 2.2 Mapa de zonificación sísmica (NEC-11)
2.2.2 Tipos de suelos
Los parámetros utilizados en la Norma Ecuatoriana de la Construcción para
clasificar los tipos de perfil de suelo son:
- Velocidad media de la onda de cortante (Vs30)
- Número medio de golpes del ensayo de penetración
- Resistencia media al corte
- Índice de plasticidad y contenido de agua
De acuerdo a los anteriores parámetros, se establecen seis tipos de perfiles de
suelo, que se indican en la tabla 2.2.
9
Tabla 2.2 Clasificación de los perfiles de suelo (NEC-11)
Tipo de perfil Descripción
A Perfil de roca competente
B Perfil de roca de rigidez media
C
Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, que cumplan con el
criterio de velocidad de la onda de corte
Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, que cumplan con
cualquiera de los dos criterios
D
Perfiles de suelos rígidos que cumplan con el criterio de
velocidad de la onda cortante
Perfiles de suelos rígidos que cumplan con cualquiera de las dos
condiciones
E
Perfil que cumpla con el criterio de velocidad de la onda de
cortante
Perfil que contiene un espesor total H mayor de 3 m de arcillas
blandas
F
F1 - Suelos susceptibles a la falla o colapso ( licuables, arcillas
sensitivas, suelos dispersivos o débilmente cementados)
F2 - Turba y arcillas orgánicas y muy orgánicas
F3 - Arcillas de muy alta plasticidad
F4 - Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a
blanda
F5 - Suelos con contrastes de impedencia
F6 – Rellenos colocados sin control ingenieril
En la NEC se establece paso a paso el procedimiento y criterios para la
clasificación de un perfil de suelo específico.
10
2.2.3 Factores de sitio
Los factores de sitio son coeficientes de aplificación o deamplificación
dinámica de los perfiles de suelo. En la NEC se presentan los valores para cada tipo
de suelo y para cada zona sísmica Z de los factores:
Factor Fa: amplifica las ordenas del espectro de respuesta elástico de aceleraciones
para diseño en roca.
Factor Fd: amplifica las ordenadas del espectro elástico de respuesta de
desplazamientos apara diseño en roca.
Factor Fs: del comportamiento inelástico, degradación del periodo del sitio y
desplazamientos relativos para los espectros de aceleraciones y desplazamientos.
No se establecen los valores para el tipo de suelo F debido a que necesitan un
estudio particular, realizando investigaciones geotécnicas específicas para obtener el
comportamiento dinámico especificado en la Norma. Los factores de sitio para cada
zona sísmica se indican en la tabla 2.3.
La Norma Ecuatoriana de la Construcción establece que en las poblaciones
que no cuenten con estudios de microzonificación sísmica, se utilizarán los factores y
recomendaciones constantes en la Norma, los cuales son requisitos mínimos. En
proyectos de infraestructura importante y otros proyectos distintos a los de
edificación se deberán realizar estudios detallados.
Como se puede observar, los valores constantes en la NEC son generales, por lo
que es importante contar con estudios de microzonificación sísmicas que
proporcionen valores y recomendaciones propias para una zona específica.
11
Tabla 2.3 Factores de sitio para zonas sísmicas (NEC-11)
Tipo de
perfil del
subsuelo
Zona sísmica
I II III IV V VI
Valor Z 0,15 0,25 0,3 0,35 0,4 0,5
Factores de sitio Fa
A 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
B 1 1 1 1 1 1
C 1,4 1,3 1,25 1,23 1,2 1,18
D 1,6 1,4 1,3 1,25 1,2 1,12
E 1,8 1,5 1,39 1,26 1,14 0,97
F ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC
Factores de sitio Fd
A 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
B 1 1 1 1 1 1
C 1,6 1,5 1,4 1,35 1,3 1,25
D 1,9 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3
E 2,1 1,75 1,7 1,65 1,6 1,5
F ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC
Factores de sitio Fs
A 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75
B 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75
C 1 1,1 1,2 1,25 1,3 1,45
D 1,2 1,25 1,36 1,4 1,5 1,65
E 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
F ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC ver NEC
12
2.3 FACTORES DE SITIO DEL ESTUDIO DE MICROZONIFICACIÓN
SÍSMICA DE QUITO
Varios estudios sobre microzonificación sísmica de Quito han sido realizados, los
mismos que presentan a continuación en una forma resumida.
2.3.1 Clasificación de suelos EPN (1994)
El proyecto para el “Manejo del riesgo sísmico para Quito – Ecuador”, se
realizó en los años 1992-1994 utilizando información de sismología, geología e
ingeniería de suelos, levantamientos estructurales de la ciudad y el Sistema Urbano de
Información del Municipio vigente a esa fecha.
El proyecto incluyó perforaciones de hasta 20 m sin alcanzar la base de roca,
provocando la incertidumbre del comportamiento del suelo a mayores profundidades,
dio como resultado la división de la ciudad de Quito en tres zonas básicas primarias
que se muestran en la figura 2.3:
Flancos del Pichincha (F): depósitos aluviales, cenizas volcánicas y depósitos
de cangahua.
Depósitos lacustres (L): antiguos depósitos de ceniza volcánica y depósitos
lacustres superficiales.
Cangahua (Q): depósitos de cangahua y cenizas volcánicas.
A partir de esta división primaria, se establecieron 11 perfiles transversales de
este a oeste escogidos para que puedan cubrir la mayor longitud de la ciudad; se
obtuvo los valores de la velocidad de ondas de corte Vs y, con información de los
estudios geológicos del Instituto Geográfico (EPN) que complementaron secciones
transversales de zonas donde no se disponía de información, se conformó subzonas o
microzonas dentro de las 3 zonas primarias de respuesta sísmica diferente. En los
flancos del Pichincha existen 7 subzonas, en los depósitos lacustres r y 7 en los
depósitos de cangahua, adicionalmente de una subzona independiente en la zona de la
13
loma del Panecillo. Las veinte microzonas se indican en la figura 2.4, de las cuales se
obtuvieron columnas de suelo tipo.
Figura 2.3 Zonificación primaria de la ciudad de Quito. (EPN et. al 1994)
En los flancos del Pichincha las zonas de mayor representatividad son las F4 y
F6. La zona F1 contiene material coluvial, pero está cubierto de depósitos de
cangahua reciente. Las zonas F2 y F3 son cangahuas cubiertas por otros materiales.
En los depósitos lacustres, es posible que a profundidades mayores se encuentre
cangahua. La zona L1 es un depósito lacustre con formaciones de cangahua. La zona
L2 es una formación de la zona F1 cubierta por materiales de la zona L1 en las capas
más superficiales. La zona L3 contiene depósitos lacustres superficiales. En la zona
14
L4 se encuentran niveles freáticos altos, presentando similares características a la
zona L5.
Las zonas Q1 y Q2 son similares, conformadas en su totalidad por cangahua. La
zona Q3 contiene depósitos de suelo suave en la superficie mientras que la zona Q4
tiene depósitos de cangahua recientes.
Figura 2.4 Microzonas de la ciudad de Quito. (EPN et. al 1994)
Para entender la microzonificación sísmica de Quito realizada por la EPN en el
año 2002, es necesario presentar la clasificación de suelos de la norma vigente en esa
época, en vista de que los resultados consideran esa clasificación de suelos.
15
2.3.2 Clasificación de suelos CEC (2002)
En el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC – 2002, se establecen cuatro
tipos de suelo:
Perfil tipo S1: Roca o suelo firme: rocas y suelos endurecidos con velocidades
de ondas de corte similares a las de una roca (mayores a 750 m/s), con
periodos fundamentales de vibración menores a 0.20m/s, incluyendo:
- Roca sana o parcialmente alterada, con resistencia a la compresión no
confinada mayor o igual a 500 KPa.
- Gravas arenosas, limosas o arcillosas, densas y secas.
- Suelos cohesivos duros con resistencia al corte en condiciones no drenadas
mayores a 100 Kpa, con espesores menores a 20 m, sobreyacentes a roca u
otro material endurecido con velocidad de onda de corte superio0r a 750 m/s.
- Arenas densas con número de golpes del SPT N>50 con espesores menores a
20 m sobreyacentes a roca u otro material endurecido con velocidad de onda
de corte superior a 750 m/s.
- Suelos y depósitos de origen volvánico firmemente cementados, tobas y
conglomerados con número de golpes del SPT N>50.
Perfil tipo S2: Suelos intermedios: suelos con características intermedias que
no se ajustan a los perfiles de suelos tipo S1 y S3.
Perfil tipo S3: Suelos blandos o estratos profundos: suelos blandos o estratos
de gran espesor, en los que los periodos fundamentales de vibración son
mayores a 0.6 s, incluyendo:
- Suelos cohesivos blandos, semiblandos, duros y muy duros, de acuerdo a los
valores indicados en el CEC de Velocidad de ondas de corte Vs, Resistencia
al corte no drenada, Su y espesor del estrato.
16
- Suelos granulares sueltos, semidensos y densos de acuerdo a los valores
indicados en el CEC de Velocidad de ondas de corte Vs, calores N del SPT y
espesor del estrato.
Perfil tipo S4: Condiciones especiales de evaluación del suelo, con suelos
altamente compresibles y donde las condiciones geológicas y/o topográficas
sean especialmente desfavorables, que requieran estudios geotécnicos no
rutinarios para determinar sus características mecánicas, incluyendo:
- Suelos con alto potencial de licuefacción, colapsibles y sensitivos.
- Turbas, lodos y suelos orgánicos.
- Rellenos sin control ingenieril.
- Arcillas y limos de alta plasticidad.
- Arcillas suaves y medio duras con espesor mayor a 30 m.
Esta clasificación es general para todo el país, no considerando las características
geológicas y geotécnicas de una zona específica.
2.3.3 Clasificación de suelos EPN (2002)
En la clasificación de suelos de la ciudad de Quito propuesta por Valverde et. al.
(2002), se extendió el área de estudio de la clasificación de suelos EPN (1994),
utilizando espectros de respuesta elástica. Se utilizó el programa SHAKE para
determinar el comportamiento al corte de varios tipos de suelo. Esta clasificación
partió de los perfiles de suelo considerados en el Código Ecuatoriano de la
Construcción CEC-2000, concluyendo que no existe perfiles de suelo S4 en la ciudad,
de acuerdo a lo que se muestra en la figura 2.5.
En este estudio se determinó los espectros de respuesta elásticos para las
columnas de suelo tipo obtenidas en el EPN (1994) empleando nueve sismos de baja
magnitud, los que fueron escalados a 0.1g, 0.2g, 0.3g y 0.4g.
17
Para el estudio de microzonificación sísmica de Quito realizada por el grupo
consultor de Colombia ERN-2012 es necesario hacer referencia a los estudios de
geofísica realizados para el Metro de Quito, ya que estos se constituyeron en una
parte de la base de datos utilizados por el ERN-2012.
Figura 2.5 Clasificación de suelos EPN -2002. (EPN et. al 2002)
2.3.4 Estudios para el metro de Quito
En el marco de estudios para el metro de Quito, se realizaron las siguientes
actividades:
18
- Perforación de 70 sondeos a rotación con profundidades entre los 25 y 85 m, a
lo largo de la línea de metro; descripción de la estratigrafía a través de las
muestras obtenidas.
- Elaboración del perfil geológico – geotécnico, zonificación de unidades
litoestratigráficas y correlación estratigráfica de las columnas litológicas.
- Determinación de permeabilidad de estratos, niveles piezométricos, niveles
freáticos.
- Propiedades elásticas de las capas, con correlaciones obtenidas con el método
Down Hole.
- Propiedades geofísicas de los suelos con Diagrafías – Registro de pozo
(gamma, potencial espontáneo SP, resistividad SPR).
- Este estudio determinó que más del 99% de la línea de metro atravesará suelos
entre compactos y sueltos, teniendo la posibilidad de encontrar roca del 1%.
En el sector norte, a partir del Panecillo en el perfil de la línea del metro
predomina la presencia de la formación Cangahua, conformada por limos
arenosos, generalmente intercaladas con cenizas, pómez, flujos de lodos y
canales aluviales. Desde El Ejido hacia el norte, sobre la cangahua se
presentan depósitos de origen fluvio – lacustre. EN el sector sur, se
encontraron depósitos fluvio – lacustres desde Chillogallo hasta el sector de
El Calzado, volviéndose más potentes hacia el norte, además recubriendo
algunos niveles aparece la cangahua en espesores mucho menores que en el
norte.
En la figura 2.6 se indican los resultados obtenidos en el estudio para el Metro de
Quito, pudiéndose observar que en el primer gráfico se tiene la velocidad de la onda
de corte Vs para cada una de las estaciones en la línea de metro, observándose valores
por encima de 1000 m/s en la estación de San Francisco, lo que indica presencia de
roca. En el segundo gráfico se observa la velocidad de la onda de corte en los
19
primeros 30 m Vs30 donde se verifica que la mayoría de los suelos de acuerdo a la
clasificación del IBC (International Building Code) son clase D (180 y 340 m/s),
mientras que algunos suelos comprendidos entre las estaciones de El Recreo y La
Alameda son suelos clase “C”. En el tercer gráfico se aprecia la rigidez G (Kg/cm2) a
los 10, 20, 30 y 40 m, teniendo como promedio un valor de 2.000 Kg/cm2 entre las
estaciones de El Recreo y La Carolina, y menores valores en las demás estaciones.
Figura 2.6 Caracterización sísmica de la ruta de metro. (Estudios Metro de Quito
2012)
2.3.5 Evaluación de Riesgos Naturales ERN 2012
Dentro del Programa para la reducción de riegos urbanos en el Distrito
Metropolitano de Quito, el consorcio ERN (Evaluación de Riesgos Naturales) realizó
la “Microzonificación Sísmica del Distrito Metropolitano de Quito: Estudio de la
Amenaza Sísmica a Nivel Local” en el 2012, mediante un consorcio conformado por
20
especialistas de Colombia, España, México y Ecuador, contando además con la
colaboración de asesores y profesionales ecuatorianos.
El objetivo principal del estudio es de ejecutar el estudio de microzonificación
sísmica del Quito, a fin de contar además del mapa de microzonificación, con
recomendaciones en cada una de las zonas establecidas, para la elaboración de un
código local de construcción. Entre las actividades principales del estudio están:
- Reconocimiento y caracterización geológica.
- Investigación geotécnica local que incluye investigación de campo y
laboratorio.
- Estudio de la respuesta dinámica de los suelos según los perfiles
estratigráficos típicos identificados.
- Integración de la respuesta dinámica para el área de estudio.
- Microzonificación sísmica y definición de espectros elásticos de diseño sismo
resistente en la zona de estudio.
- Consideraciones para la instalación y operación de una red de acelerógrafos.
- Desarrollo y puesta en marcha del sistema de información sísmica de Quito –
SISQuito.
En la figura 2.7 se muestra la delimitación de las zonas homogéneas encontradas
en Quito y la identificación del sondeo que caracteriza el comportamiento de cada
una de estas zonas.
En base al mapa de microzonificación sísmica de la ciudad, el ERN integró los
resultados para generar mapas para 475 años de periodo de retorno y
amortiguamiento estructurales con respecto al crítico del 5% para diferentes medidas
de intensidad sísmica, obteniendo espectros de aceleración, velocidad y
desplazamiento como se muestra en la figura 2.8.
21
Figura 2.7 Delimitación de las zonas homogéneas en la ciudad. (ERN 2012)
Estos espectros resultantes se ajustaron a las formas espectrales para diseño definidas
en la NEC conforme se indica en la figura 2.9. En la figura 2.10 se presenta los mapas
de microzonificación sísmica obtenidos por el ERN 2012 para un periodo de retorno
de 475 años en términos de los factores Fa, Fd y Fs establecidos en el NEC para
cualquier punto de la ciudad.
22
Figura 2.8 Espectros de respuesta para periodo de retorno de 475 años. (ERN 2012)
Figura 2.9 Espectros elásticos de diseño ajustados para zonas. (ERN 2012)
23
Figura 2.10 Mapas de microzonificación sísmica. (ERN 2012)
2.4 ESPECTROS DE DISEÑO
En la NEC en el Capítulo 2 “Peligro Sísmico y Requisitos de Diseño sismo
resistente” se establece los espectros elásticos de diseño:
24
2.4.1 Espectro elástico de diseño en aceleraciones
El espectro de respuesta elástico de aceleraciones expresado como fracción de la
aceleración de la gravedad Sa para el nivel del sismo de diseño se indica en la figura
2.11. El espectro obedece a una fracción de amortiguamiento respecto al crítico de
0,05, y resulta de la aplicación de las ecuaciones constantes en el gráfico, válidas para
periodos de vibración estructural T pertenecientes a los dos rangos indicados.
Donde Z es el factor de zona sísmica mencionado anteriormente, Fa, Fd y Fs los
factores de sitio que dependen del tipo de suelo, To y Tc los periodos que definen los
rangos del espectro. Para suelos de tipo A, B o C se utiliza el valor de r = 1, y para
suelos tipo D o E r = 1,5.
Figura 2.11 Espectro sísmico elástico de aceleraciones. (NEC-11)
Los valores de la relación de amplificación espectral, ƞ (Sa/Z en roca), de acuerdo
a la NEC varías dependiendo de la región del Ecuador, teniendo un valor de 1,80 para
provincias de la Costa, excepto Esmeraldas; 2,48 para la Sierra, Esmeraldas y
Galápagos y 2,60 para provincias del Oriente.
25
2.4.2 Espectro elástico de diseño en desplazamientos
El espectro elástico de diseño en desplazamientos correspondiente al nivel del
sismo de diseño Sd se encuentra en la figura 2.12, definido para una fracción del
amortiguamiento respecto al crítico igual a 0,05. Los valores de TL se limitan a un
valor de 4 segundos máximo para los perfiles de suelo tipo D y E.
Figura 2.12 Espectro sísmico elástico de desplazamientos. (NEC-11)
2.5 ESPECTROS UTILIZANDO LA MICROZONIFICACIÓN SÍSMICO DE
QUITO
2.5.1 Factor de reducción de resistencia sísmica R
El factor R de reducción de resistencia sísmica, permite disminuir la ordenada
elástica espectral, disponiendo un buen comportamiento inelástico durante el sismo
de diseño. De esta manera, se logra una ductilidad y disipación de energía adecuada
que impidan el colapso de la estructura.
26
Tabla 2.4 Factor de reducción de resistencia sísmica R. (NEC-11) Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural R, Sistemas Estructurales
Dúctiles
Sistemas Duales
Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas
descolgadas, con muros estructurales de hormigón armado o con diagonales
rigidizadoras, sean de hormigón o acero laminado en caliente.
7
Pórticos de acero laminado en caliente con diagonales rigidizadoras
(excéntricas o concéntricas) o con muros estructurales de hormigón armado. 7
Pórticos con columnas de hormigón armado y vigas de acero laminado en
caliente con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas). 7
Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas banda,
con muros estructurales de hormigón armado o con diagonales rigidizadoras. 6
Pórticos resistentes a momentos
Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas
descolgadas. 6
Pórticos especiales sismo resistentes, de acero laminado en caliente o con
elementos armados de placas. 6
Pórticos con columnas de hormigón armado y vigas de acero laminado en
caliente. 6
Otros sistemas estructurales para edificaciones.
Sistemas de muros estructurales dúctiles de hormigón armado. 5
Pórticos especiales sismo resistentes de hormigón armado con vigas banda. 5
Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural R, Sistemas
Estructurales de Ductilidad Limitada
Pórticos resistentes a momento
Hormigón Armado con secciones de dimensión menor a la especificada en la
NEC-SE-HA, limitados a viviendas de hasta 2 pisos con luces de hasta 4
metros.
3
Estructuras de acero conformado en frío, aluminio, madera, limitados a 2
pisos. 3
Muros estructurales portantes
Mampostería no reforzada, limitada a un piso. 1
Mampostería reforzada, limitada a 2 pisos. 3
Mampostería confinada, limitada a 2 pisos. 3
Muros de hormigón armado, limitados a 4 pisos. 3
27
El factor de reducción de resistencia sísmica permite la reducción de las fuerzas
sísmicas de diseño, siempre y cuando las estructuras y sus conexiones desarrollen un
mecanismo de falla previsible y con adecuada ductilidad, concentrando el daño en
secciones que funcionen como rótulas plásticas. Estos valores de R dependen de
varias variables, por ejemplo tipo de estructura, tipo de suelo, periodo de vibración
considerado y factores de ductilidad, sobre resistencia, redundancia y
amortiguamiento de una estructura en condiciones límite. En la NEC-11, el valor del
factor R se establece para diferentes tipos de estructuras, de acuerdo a lo indicado en
la tabla 2.4.
Para las estructuras de análisis de este trabajo, se utilizó un valor del factor R
correspondiente a pórticos especiales sismo-resistentes, de hormigón armado con
vigas descolgadas igual a 6.
2.5.2 Factores de sitio utilizando el ERN-12
En esta tesis, se calculan los espectros de diseño en aceleraciones, utilizando los
valores de los factores de sitio encontrados por ERN-2012.
En la tabla 2.5 se presenta a manera de ejemplo los factores de sitio encontrados
por ERN -2012 para el sector 38 de la zona Centro Norte. Se consideró que las
estructuras de análisis se encuentran ubicadas en el sector 38 del centro norte de
Quito, en el barrio de Tenis Club, por lo que se utilizaron los factores de sitio
establecidos por el ERN-12: para Fa un valor de 1,155, Fd de 0,575 y para Fs 1,790.
A fin de comparar resultados, se presentan los valores de los factores establecidos en
el NEC-11.
Tomando en consideración un suelo tipo D, valor conservador para los suelos de
la ciudad de Quito, los factores de sitio de acuerdo al NEC corresponden a los valores
de 1.200 a Fa, 1.400 a Fd y 1.500 para Fs. Se observa que para el sector de Tenis
Club, estos valores son mayores, sin embargo para otros sectores de la ciudad los
valores pueden ser mayores o iguales.
28
Tabla 2.5 Factores de sitio del sector 38 zona Centro Norte. (ERN 2012)
Barrio Sector Zona Fa Fd Fs
Cochapamba Sur Sector 38 centro norte 0,780 0,775 1,100
Colinas de Pichincha Sector 38 centro norte 0,850 0,575 2,045
El Bosque Sector 38 centro norte 0,850 0,575 1,790
Unión Nacional 2 Sector 38 centro norte 0,850 0,900 1,340
Unión Nacional 1 Sector 38 centro norte 1,155 0,775 1,225
San Patricio Sector 38 centro norte 1,055 0,575 1,545
Tenis Club Sector 38 centro norte 1,155 0,575 1,790
Voz de los Andes Sector 38 centro norte 1,155 0,775 1,545
Chaupicruz Sector 38 centro norte 1,255 0,900 1,545
F.A.E. Sector 38 centro norte 1,255 0,975 1,225
Profesores Municipales Sector 38 centro norte 1,155 0,900 1,225
Life Sector 38 centro norte 1,155 0,775 1,225
Einstein Sector 38 centro norte 1,155 0,900 1,225
2.5.3 Espectros inelásticos de aceleraciones utilizando el NEC-11 y el ERN-12
Se realiza el cálculo de los espectros inelásticos de aceleraciones para estructuras
de hormigón armado con vigas descolgadas, ubicadas en el sector Quito Tenis. Para
el espectro con el NEC se considera un suelo tipo D, utilizando los valores de los
factores de sitio mencionados anteriormente, y el correspondiente valor de r (1,5).
Para el cálculo del espectro inelástico con el ERN-12, se toma en cuenta los
factores de sitio proporcionados por el ERN-12 para el sector en mención. Las
ecuaciones utilizadas son las establecidas en el NEC-11, pero considerando un valor
de r = 1, independiente del tipo de suelo.
29
Figura 2.13 Espectros inelásticos de aceleraciones con NEC-11 y ERN-12.
En la figura 2.13 se tienen los espectros inelásticos de aceleraciones utilizando lo
dispuesto en el NEC-11 y en ERN-12, donde se observa para estructuras ubicadas en
el sector Tenis Club, los valores de las aceleraciones encontradas con el ERN-12 son
menores a las establecidas por el NEC-11.
30
CAPÍTULO 3
ESCALAMIENTO DE SISMOS
3.1 FALLAS CIEGAS DE QUITO
3.1.1 Sistema de fallas de Quito
El sistema de fallas de Quito se encuentra al oriente de la cordillera occidental,
extendiéndose entre los 0° y 0.4°S, en una dirección aproximada NNE y con una
longitud total cercana a los 60 Km. Morfológicamente, Quito presenta sucesiones de
lomas que limitan las cuencas alargadas Machángara, El Batán y San Antonio, por lo
que se ha propuesto que este conjunto de lomas corresponden a estructuras plegadas
por un sistema de fallas inversas, las que no afloran en la superficie (Soulas et al.,
1991; Lavenu, 1994; Alvarado, 2009; Alvarado, 2012). Los planos de este sistema de
fallas estarían inclinándose entre 30° y 45° al occidente, de acuerdo a Alvarado
(2012).
Alvarado (2012) en base a la orientación y estructuras del conjunto de lomas
divide en seis segmentos principales a las fallas ciegas de Quito que se muestran en la
figura 3.1, caracterizados de sur a norte como:
1. San Miguel, pequeña loma redondeada que puede representar el límite sur del
sistema de fallas de Quito.
2. El Tablón, de forma oval. Está constituida principalmente por sedimentos
volcánicos recubiertos por cangahua. Los depósitos en su zona interna se
observan intensamente fracturados.
31
3. Puengasí, corresponde a una elevación alargada, caracterizada por mostrar
numerosos deslizamientos, en especial en su flanco oriental. Los
afloramientos dentro de esta loma son escasos y generalmente sólo se observa
cangahua.
Figura 3.1 Esquema geomorfológico del sistema de fallas de Quito
(Alvarado 2012)
32
4. Ilumbisí – La Bota, se encuentra cortada por el río Machángara, principal
drenaje de Quito. La loma de Ilumbisí presenta flancos aproximadamente
simétricos y dentro de las quebradas que cruzan esta loma se han reportado
capas plegadas. La zona de El Batán – La Bota morfológicamente es distinta,
muestra una pendiente suave y uniforme hacia el W, mientras que hacia el E
es irregular y con quebradas más profundas. En el flanco oriental de esta
elevación se han identificado afloramientos de capas buzando al oriente.
5. El Inca – Carcelén, ubicada en el sector centro oriental, la elevación está
formada por dos colinas El Inca – Carcelén, siendo estas elevaciones el límite
sur de la cuenca San Antonio de Pichincha:
6. Catequilla – Bellavista, se presenta como una estructura bastante compleja
que se ensancha hacia el S, con una depresión en su lomo. La elevación está
limitada por dos colinas que posiblemente correspondan a pliegues, siendo la
elevación Calderón – Catequilla el límite oriental de la cuenca de San
Antonio. .
3.1.2 Sismicidad asociada a las fallas de Quito
La ciudad de Quito ha estado expuesta a varios sismos a lo largo de su historia. Se
cuenta con información histórica de los sismos registrados antes de 1900, debido a los
efectos y daños ocasionados. En la figura 3.2 se presentan actualizados los epicentros
de los sismos registrados entre 1990 y agosto de 2014 con magnitudes mayores a 3,0
en la escala de Richter. Se puede observar que la mayoría de los sismos son de una
profundidad focal pequeña, es decir son sismos superficiales.
33
Figura 3.2 Sismicidad asociada a las fallas de Quito registrada entre 1900 y agosto
de 2014. (Actualizado de Aguiar, 2011)
3 < M < 4 4 < M < 5 M > 5
La cantidad indicada es la profundidad focal.
34
El sismo ocurrido el 29 de octubre de 2011 a las 08:50 (tiempo local), tuvo el
epicentro en las coordenadas longitud -0.123 y latitud -78.374, a pocos kilómetros del
actual aeropuerto en Tababela, con una magnitud de 4.0 y con una profundidad focal
de 5.2 Km de acuerdo a los datos proporcionados por el Instituto Geofísico de la
Escuela Politécnica Nacional. Fue percibido de moderado a fuerte por la mayoría de
quiteños, incluidos los valles de Tumbaco, Cumbayá y Los Chillos.
Tabla 3.1 Réplicas del sismo del 12 de agosto de 2014, magnitudes mayor a 3
Fecha Coordenadas
Magnitud Profundidad
Focal Latitud Longitud
12/08/2014 -0,05 -78,42 5,1 5,0
12/08/2014 -0,05 -78,4 4,0 5,0
12/08/2014 -0,06 -78,42 3,7 5,0
12/08/2014 -0,05 -78,43 3,3 6,0
12/08/2014 -0,05 -78,41 3,1 6,0
13/08/2014 -0,05 -78,41 3,4 4,0
13/08/2014 -0,05 -78,42 3,3 2,0
13/08/2014 -0,06 -78,42 3,9 5,0
13/08/2014 -0,05 -78,42 3,8 4,0
15/08/2014 -0,07 -78,44 3,0 11,0
16/08/2014 -0,05 -78,41 4,8 4,0
16/08/2014 -0,06 -78,41 3,1 6,0
16/08/2014 -0,05 -78,42 3,7 7,0
16/08/2014 -0,05 -78,41 3,1 5,0
16/08/2014 -0,04 -78,41 3,1 5,0
17/08/2014 -0,03 -78,43 3,0 5,0
17/08/2014 -0,07 -78,43 3,3 7,0
17/08/2014 -0,05 -78,42 4,0 6,0
17/08/2014 -0,07 -78,42 3,0 5,0
21/08/2014 -0,07 -78,41 3,0 4,0
22/08/2014 -0,08 -78,43 3,1 7,0
25/08/2014 -0,08 -78,43 3,3 10,0
35
Figura 3.3 Sismicidad asociada a las fallas de Quito registrada en el mes de agosto de
2014. Réplicas del sismo del 12 de agosto de 2014.
3 < M < 4 4 < M < 5 M > 5
La cantidad indicada es la profundidad focal.
36
El 12 de agosto de 2014 se registró un sismo de magnitud 5.1 teniendo como
epicentro las coordenadas longitud -0.05 y latitud -78.42 y una profundidad focal de
5.0 Km. Se presentaron un sinnúmero de réplicas de magnitudes comprendidas entre
3.0 y 4.7 de acuerdo a la información de la tabla 3.1, donde se observa que tienen una
profundidad focal pequeña, teniendo como valor mínimo 2 Km (magnitud de 3,3) y
un valor máximo de 11 Km (magnitud de 3,0). En la figura 3.3 se observan las
ubicaciones de las réplicas, verificándose que tienen una profundidad focal pequeña.
En la figura 3.4 se muestra el mapa de isosistas del sismo del 12 de agosto de
2014, donde se observa la zona epicentral cuya intensidad es de 6 en la escala macro
sísmica europea, EMS-98. En la mayor parte de la ciudad de Quito se presentó una
intensidad de 4 mientras que en los valles de los Chillos y de Tumbaco ubicados a 30
km aproximadamente del epicentro los valores están entre 3 y 4, de acuerdo a Aguiar
et al. (2014).
Figura 3.4 Mapa de isosistas del sismo de 12 de agosto de 2014
(Aguiar et al. 2014)
37
Alvarado et al. (2014) en base al área y longitud de ruptura y en base al ángulo de
buzamiento de 55° encontró zonas de fuente locales para cada una de las fallas ciegas
de Quito. En la figura 3.5 se observa que el sismo del 12 de agosto de 2014 se
encuentra en la zona del segmento Bellavista – Catequilla, así como la mayoría de
las réplicas (Aguiar et al. 2014).
Figura 3.5 Zonas fuentes focales y réplicas del sismo del 12 de agosto de
2014. Aguiar et al. (2014)
Aguiar et al. (2014) determinaron la proyección del plano de ruptura del sismo
del 12 de agosto de 2014, utilizando las ecuaciones propuestas por Leonard (2010)
para el caso de un sismo asociado a una componente vertical del movimiento de
suelo, encontrando que el plano de ruptura es W = 4.4 km. Este plano de ruptura se
puede observar en la figura 3.6.
38
Figura 3.6 Plano de ruptura del sismo del 12 de agosto de 2014
(Aguiar et al. 2014)
3.2 SISMOS IMPULSIVOS
Los acelerogramas que han sido registrados por acelerógrafos al ocurrir un sismo,
es decir acelerogramas reales, tienen la ventaja de tener las características,
propiedades y medidas detalladas del movimiento real del suelo durante un sismo,
además de poder obtener el comportamiento del mismo en diferentes lugares. El
parámetro de mayor interés es la aceleración del movimiento del suelo, sin embargo
son primordiales también la velocidad y desplazamiento de este.
Los registros de sismos obtenidos en estaciones cercanas a una falla son
diferentes a los obtenidos en estaciones que se encuentran a cierta distancia. Los
movimientos sísmicos cercanos a fallas han sido estudiados en los últimos años, ya
que generan movimientos impulsivos de corta duración, exponiendo gravemente a las
estructuras a estos movimientos con pulsos de velocidad intensos. Esta presencia de
pulsos de aceleración y velocidad en los registros sísmicos confiere un alto poder
destructivo.
39
El término “pulso” se refiere a la aceleración, velocidad y desplazamientos de
grandes movimientos del suelo debido a sismos. Existen métodos para clasificar si los
registros obtenidos de un sismo se clasifican como impulsivos, entre ellos se
mencionan los propuestos por Araya y Saragoni (1984), Baker (2008) y por Panella et
al. (2013).
3.2.1 Método propuesto por Araya y Satagoni (1984)
Araya y Saragoni (1984) establecen la siguiente expresión para valorar la
capacidad de producir daño o colapso estructural de un sismo, la cual es función
inversa del cuadrado de ka intensidad de cruces por cero del acelerograma, y función
directa a la intensidad de Arias:
𝑃𝐷 =𝜋
2𝑔
∫ ü𝑔2 (𝑡)𝑑𝑡
𝑡00
𝑣02 (3.1)
En donde v0 es el número de cruces por cero por segundo o intensidad de cruces
por cero del registro de aceleraciones, üg es la aceleración del suelo, t0 la duración del
registro y g la aceleración de la gravedad.
3.2.2 Método propuesto por Baker (2008)
Este criterio consiste en aislar o extraer los pulsos contenidos en un registro de
velocidades utilizando análisis de ondas wavelet, el cual descompone en una señal de
ondas que se localizan en el tiempo y que representan un rango estrecho de
frecuencias. Esta función wavelet es similar en el tiempo y rango de frecuencias a la
forma de los pulsos de velocidad, causado por la directividad:
𝑠.𝑙(𝑡) =
1
√𝑠 (
𝑡−𝑙
𝑠) (3.2)
40
En donde es la función wavelet madre, s es el parámetro de escala que dilata la
onda, y l el parámetro de ubicación que traslada la onda en el tiempo t. Cualquier
señal f(t) representa la combinación lineal de funciones base y coeficientes, por lo que
una combinación lineal se calcula con la integral de la convulsión. El coeficiente
asociado a la onda wavelet, debe ser escalado a s y su posición viene representada por
el parámetro de ubicación que traslada la onda en el tiempo l.
El criterio indica que para cada registro sísmico se extrae el mayor pulso de
velocidad, obteniendo un registro residual. En la figura 3.7 se muestra el
procedimiento utilizado para extraer el pulso del sismo de 1979 Imperial Valley,
tomando en consideración los registros de la estación El Centro Array # 5. Para
registros no impulsivos, el registro residual es similar o igual al movimiento del
registro sísmico original. Después, se realiza un análisis de discriminación lineal para
descartar los registros sísmicos donde la velocidad máxima del suelo se encuentre por
debajo de 30 cm/s, en vista que se considera que los sismos de baja velocidad del
suelo, son poco probable que produzcan daños en estructuras.
Figura 3.7 Pulso mayor extraído del sismo de 1979 Imperial Valley. (Baker 2008)
41
Se define el Indicador de Pulso, a fin de predecir la probabilidad de que un
registro sísmico pueda ser considerado como pulso:
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃𝑢𝑙𝑠𝑜 =1
1+𝑒−23.3+14.6(𝑃𝐺𝑉𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜)+20.5(𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜) (3.3)
En la ecuación anterior, la primera variable es la relación del cociente de la
velocidad máxima del suelo (PGV) del registro residual y del registro original, y la
segunda el cociente de la energía del registro residual y la energía del registro
original, donde la energía se considera como cuadrado de la velocidad acumulada de
la señal.
Los valores del Indicador de Pulso varían entre 0 y 1: los registros sísmicos con
valores menores a 0.15 no se consideran como pulsos, los mayores a 0.85 son
considerados como pulsos; y entre 0.85 y 0.15 son registros ambiguos.
3.2.3 Método propuesto por Panella et al. (2013)
Este método se concentra en el análisis de la longitud desarrollada de la historia
de tiempo de velocidades obtenidas por integración de las aceleraciones medidas en
los registros sísmicos. Esta longitud Ldv se obtiene a través del concepto de la
longitud de una curva expresada en forma de par ordenado x e y, para este caso, paso
del tiempo e incremento de velocidad:
𝐿𝑑𝑣 = ∑ √∆𝑡𝑖2 + ∆𝑣𝑖
2𝑛𝑖=1 (3.4)
Donde ti es el paso de tiempo del registro en (ti+1 – ti) en segundos, vi el
incremento de velocidades en (ti+1 – ti) en cm/s y n el número de muestras en el
registro.
A partir de la definición de la longitud desarrollada de velocidad y el valor
máximo absoluto del registro de velocidad PGV, se define el índice de impulsividad
Ip, proponiendo la clasificación de los registros de acuerdo a la Tabla 3.1.
42
𝐼𝑝 =𝐿𝑑𝑣
𝑃𝐺𝑉 (3.5)
Tabla 3.2 Clasificación de índice de impulsividad. (Panella et al. 2013)
Ip Clasificación
Ip 12 Fuertemente Impulsivo
12 Ip 20 Impulsivo
20 Ip 30 Moderadamente impulsivo
Ip 30 No impulsivo
En Panellaet al. (2013) a fines de evaluar la efectividad de este índice, se realizó
el estudio de 17 registros de aceleración, obteniéndose los resultados indicados en la
tabla 3.3.
En Aguiar et al. (2014) se establece que los sismos asociados a las fallas ciegas de
Quito son impulsivos, de pequeña profundidad focal y de corta duración con un alto
poder destructivo.
3.2.4 Registros sísmicos considerados
A pesar que en la ASCE/SEI 7 se indica que no se considere dos registros de un
mismo evento, a fines de esta investigación se han seleccionado cuatro registros de
movimientos sísmicos, en las dos direcciones, de diferentes estaciones del sismo de
Northridge de 1994.
Este terremoto ocurrió en el área norte del valle de San Fernando en la ciudad de
Los Ángeles el 17 de enero de 1994, presentando un valor máximo de 6.7 en la escala
de Ritcher, cuyo epicentro estuvo localizado en las coordenadas 34° 12’ N y 118° 32’
E y con una profundidad focal aproximada entre 15 y 20 Km. De acuerdo a la
identificación de registros sísmicos impulsivos para uso de ingeniería estructural
43
desarrollado por Panella et all. (2013), este sismo tiene un valor del índice de
impulsividad de 13.7 para la estación Newhall - Fire Sta, y de 8.6 para Newhall - W
Pico Canyon Rd.; por lo que es considerado como sismo impulsivo.
Tabla 3.3 Determinación del índice de impulsividad de varios registros
(Panella et al. 2013)
Nombre de
Terremoto Estación
t
(s)
PGV
(cm/s) Ldv Ip
Coyote Lake SJB Overpass, Bent 3 g.l. 0.005 5.87 177.9 30.3
Coyote Lake SJB Overpass, Bent 5 g.l. 0.005 5.47 173.2 31.6
Chi-Chi, Taiwan TCU117 0.005 57.81 1522.3 26.3
Chi-Chi, Taiwan WGK 0.005 67.21 1857.1 27.6
Imperial Valley-06 Chihuahua 0.01 30.44 1167.0 38.3
San Fernando Lake Hughes #9 0.01 4.55 251.3 55.3
Irpinia, Italy-01 Bovino 0.003 2.76 245.0 88.9
Whittier Narrows-
01
Downey - Birchdale 0.02 36.51 498.9 13.7
Cape Mendocino Cape Mendocino 0.02 58.40 980.7 16.8
Northridge-01 Newhall - Fire Sta 0.02 119.77 1641.3 13.7
Loma Prieta Saratoga - W Valley Coll. 0.005 71.47 989.3 13.8
Imperial Valley-06 El Centro Array #4 0.005 77.9 762 9.8
Erzican, Turkey Erzincan 0.005 95.4 865 9.1
Northridge-01 Newhall - W Pico Canyon
Rd.
0.01 87.7 756 8.6
Chi-Chi, Taiwan TCU068 0.005 191.1 1822 9.2
Imperial Valley-06 EC Meloland Overpass FF 0.005 114.9 816 7.1
Chi-Chi, Taiwan -
03
TCU076 0.005 59.3 601 10.1
44
Los acelerogramas de los registros sísmicos, cada uno con dos componentes
horizontales x e y considerados se muestran en la figura 3.8.
Figura 3.8 Acelerogramas de registros sísmicos considerados
ux corralitos
uy corralitos
ux newhall
45
uy newhall
ux sylmar
uy sylmar
ux jma
46
uy jma
3.3 DESCRIPCIÓN DEL ESCALAMIENTO
Los acelerogramas son registros de la aceleración del terreno debida a un
movimiento fuerte producido por un sismo. El registro se lleva a cabo mediante
acelerógrafos. Existen tres factores que influyen en la medición de los acelerogramas:
- Fuente sísmica: liberación de energía, los parámetros de fuente sísmica que
definen la naturaleza del movimiento fuerte, magnitud, mecanismo de ruptura,
directividad y profundidad local.
- Trayectoria: ruta específica que recorre la energía liberada en la fuente
sísmica, teniendo como principales variables la distancia de la fuente al sitio y
la estructura de la corteza.
- Efectos locales: la presencia de depósitos superficiales hace que las
características de las ondas sísmicas se modifiquen al propagarse las ondas a
través de dichos depósitos.
En este contexto se debe manifestar que existen varias técnicas para encontrar
acelerogramas sintéticos compatibles con cualquier espectro de diseño, En general,
este escalamiento consiste en utilizar factores de escala lineales de manera de que el
espectro de aceleraciones de los registros se ajuste al espectro de diseño definido por
una norma en un rango de periodos cercano al periodo natural de la estructura a
47
analizar, pero que al mismo tiempo se mantengan inalteradas la fase, características y
duración de los acelerogramas originales.
En la comunidad científica no existe un completo acuerdo del procedimiento de
escalar los sismos, existiendo varios métodos de escalamiento, como ejemplo se
explicará los métodos propuestos por las normas europeas, neozelandesa y
norteamericana.
La norma europea Eurocode 8 (EC8) recomienda escalar los registros de
aceleraciones de manera que el espectro promedio del conjunto de registros sea
siempre mayor al 90% de espectro de diseño en un rango de periodos entre 0,2T y
2,0T, siendo T el periodo fundamental de la estructura. También se exige que el valor
de la ordenada del espectro promedio en T=0 sea mayor que el valor del espectro de
diseño en dicho punto. Se indica que se utilice al menos tres registros, en el caso de
tener menos de siete, se considerará la respuesta máxima de la estructura, pero si se
utilizan siete o más registros, se recomienda utilizar la respuesta estructural promedio.
La norma neozelandesa SNZ (2004) recomienda el uso de al menos tres registros,
los que deben ser escalados utilizando dos factores: el factor de escala del registro k1
para ajustar el espectro de cada registro al espectro de diseño en el rango de periodos
0,4T y 1,3T, minimizando la función; y el factor de escala de la familia de registros k2
que se aplica para asegurar que la energía de al menos el espectro de uno de los
registros ya escalados por el factor k1 sea mayor a la energía contenida en el espectro
de diseño. Este factor k2 corresponde al máximo valor obtenido para el cociente entre
la aceleración espectral definida por el espectro de la norma considerada y la
aceleración espectral obtenida de la componente principal de cada registro escalado,
considerando el conjunto completo de registros, siempre y cuando ésta sea mayor que
1.
Las recomendaciones norteamericanas se encuentran en la ASCE/SEI 7 sección
16-2 (ASCE 2010), siendo un método más conservador que se presenta y utiliza en
este trabajo, por lo que se omite su descripción en este momento.
48
La selección de registros adecuados para un determinado estudio, es un proceso
complejo y muchas veces poco claro, que depende en gran medida de la experiencia y
criterios del sismólogo a cargo del proyecto. Existen estudios que pretenden
establecer de forma explícita el conjunto de registros a ser utilizados en el análisis de
respuesta en el tiempo, además de procesos de selección de registros sísmicos
apropiados, se citan como ejemplo Baker and Cornell, 2006; Bommer y Acevedo,
2004; Cornell, 2005; Dhakal et al., 2007; Oyarzo – Vera et al., 2009.
De manera adicional, se pueden utilizar registros sintéticos generados por
modelos matemáticos y numéricos que cumplan con las condiciones establecidas
inicialmente. Se generan acelerogramas artificiales consistentes con la sismicidad
local de la región en estudio.
3.4 MODELO DE ESCALAMIENTO DEL ASCE 2010
El IBC 2006 (International Building Code) y el CBC 2007 (California Building
Code), indican que cuando se requiere un análisis dinámico no lineal para la
verificación del diseño de estructuras, se debe seguir lo indicado en la ASCE/SEI 7
sección 16-2 (ASCE 2010).
De acuerdo a la ASCE/SEI 7, los registros sísmicos deben ser seleccionados de
eventos, magnitudes, distancia de falla y mecanismo focales consistentes con el
máximo sismo considerado. Para el análisis en dos dimensiones de edificios
simétricos en planta, la ASCE/SEI 7 indica que se necesita que los registros se
escalen de tal manera que el espectro de pesudo – aceleración promedio del set de
registros no sea menor que el espectro de diseño para periodos entre 0,2Tn a 1,5Tn.
Para análisis en tres dimensiones, los registros sísmicos deben consistir en dos
componentes horizontales de movimiento sísmico. Para cada par de componentes
horizontales, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los espectros debe ser
obtenida (este espectro se denominará espectro SRSS). Cada par de registros es
escalado con el mismo factor, de tal manera que el promedio de los espectro SRSS
49
para todos los pares de componentes horizontales en el set, no sea menor que el
espectro de diseño en el rango de periodos desde 0.2Tn a 1.5Tn.
Se describirá a continuación el procedimiento empleado en el ASCE/SEI 7 para
escalamiento de sismos:
Se calcula la respuesta espectral A(T) para un amortiguamiento del 5 por ciento y
el vector A de valores espectrales para 300 periodos T espaciados logarítmicamente
para el rango de periodo entre 0.2Tn a 1.5Tn para cada uno de los sismos
considerados. No más de dos registros de un mismo evento deben estar incluidos en
el mismo set, de modo que no hayan eventos dominantes. Tn es el periodo de
vibración fundamental de la estructura.
Se obtiene un espectro de pseudo – aceleración objetivo A (T) como la media
geométrica espectral de los registros. se define como un vector de valores
espectrales máximos i a periodos T en el rango de periodo entre 0,2Tn a 1,5Tn, como
se muestra en la figura 3.9.
A fin de minimizar la diferencia entre el espectro objetivo (T) (Step2) y el
espectro de respuesta A(T), se calcula un factor de escalamiento SF1. Este factor se
determina para cada movimiento sísmico mediante la siguiente expresión:
𝑚𝑖𝑛𝑆𝐹1‖log( ) − log (𝑆𝐹1 × 𝐴)‖ (3.5)
Donde ‖ . ‖ es la norma Euclidiana. Se requiere para este propósito un método
numérico que minimice las funciones escalares de una variable; estos métodos están
disponibles en los libros de texto sobre optimización numérica (por ejemplo, Nocedal
and Stephen, 2006). Esta minimización asegura que cada espectro de respuesta
escalado esté muy cerca del espectro objetivo.
50
Figura 3.9 Espectro promedio y espectro objetivo del escalamiento de sismos
Se calcula la máxima diferencia normalizada escalado para el espectro promedio
escalado definido como el promedio de los espectros escalados SF1 X A del set de m
registros. Las ordenadas del espectro escalado pueden ser más pequeñas que las
ordenadas del espectro objetivo en los mismos periodos como se ve en la figura 3.10.
Se calcula la máxima diferencia normalizada ASCE entre el espectro objetivo y
el espectro promedio escalado escalado en un rango de periodos entre 0,2Tn a 1,5Tn;
esto es:
∈𝐴𝑆𝐶𝐸= max0,2Tn ≤ Ti ≤ 1,5Tn (Âi - Âescalado,i ) / Âi , donde Âi y Âescalado,i son las
ordenadas del espectro de pseudo – aceleración objetivo y el espectro promedio
escalado para un periodo Ti , respectivamente. Se define el factor de escala SF2 = (1 -
∈𝐴𝑆𝐶𝐸)-1
.
Se determina el factor de escala final SF = SF1 X SF2 para cada movimiento
sísmico. Escalando los movimientos sísmicos por el factor de escala SF se asegura
que el valor promedio de la respuesta espectral del set de movimientos seleccionados
51
no es menor que el espectro objetivo para periodos en el rango de periodo entre 0,2Tn
a 1,5Tn. Figura 3.11.
Figura 3.10 Espectro multiplicado por SF1
Figura 3.11 Espectro multiplicado por SF
52
3.5 ACELEROGRAMAS ESCALADOS
Con la ayuda del programa DEGTRA, elaborado en la Universidad Autónoma de
México, después de cargar el registro acelerográfico de cada componente de los cinco
registros sísmicos, se obtuvo el espectro elástico de aceleraciones de los registros
sísmicos considerados.
En la figura 3.12 se presenta la media aritmética de la respuesta espectral de las
componentes x e y de los movimientos sísmicos sin escalar.
Utilizando el programa ESCALAMIENTOCOM de la librería de CEINCI-LAB,
ingresando como parámetros los límites inferior y superior del rango en el que se
necesita se escalen los sismos (0.2Tn a 1.5Tn), el valor de R y los factores de sitio
mencionados en el capítulo anterior, se obtuvo el espectro escalado para diferentes
casos, los cuales son comparados con el espectro de diseño obtenido al aplicar el
ERN 2012.
Figura 3.12 Espectros de respuesta de aceleración sin escalar
Para una estructura de dos pisos, cuyo periodo de vibración fundamental Tn es de
0,67 (periodo corto) se obtuvieron los factores indicados en la Tabla 3.4. La última
53
columna de la tabla corresponde al error porcentual entre el espectro obtenido
aplicando el ERN 2012 y cada uno de los espectros de los registros sísmicos
considerados.
Tabla 3.4 Factores de escalamiento para una estructura de periodo corto
Cada uno de los espectros de respuesta de aceleraciones se multiplicó por el factor
SF correspondiente. Se observa que el valor del factor SF2 es de 1,61, por lo que al
multiplicar este factor por SF1 se obtiene un espectro demasiado alto, como se indica
en la figura 3.13.
Si se utiliza únicamente el factor SF1 en el escalamiento, se obtiene un espectro
cercano al espectro objetivo, aunque en ciertos sectores se observan valores menores
al espectro objetivo, de acuerdo a la figura 3.14.
Para una estructura de ocho pisos, cuyo periodo de vibración fundamental Tn es
de 1,50 (periodo alto), se obtuvieron los factores indicados en la Tabla 3.5.
En la figura 3.15 se encuentra graficado el escalamiento utilizando el factor SF y
en la figura 3.16 utilizando únicamente SF1; se observa que no existe una mayor
diferencia entre ambos escalamientos en vista de ser el factor SF2 muy pequeño.
SISMO SF1 SF2 SF
ux corralitos 0,1508 1,5976 0,2409
uy corralitos 0,1508 1,5976 0,2409
ux Newhall 0,1000 1,5976 0,1598
uy Newhall 0,1333 1,5976 0,2130
ux Sylmar 0,1048 1,5976 0,1674
uy Sylmar 0,1475 1,5976 0,2356
ux jma 0,1000 1,5976 0,1598
uy jma 0,1058 1,5976 0,1690
54
Figura 3.13 Espectro de respuesta escalado con factor SF (periodo corto)
Figura 3.14 Espectro de respuesta escalado con factor SF1 (periodo corto)
55
Tabla 3.5 Factores de escalamiento para una estructura de periodo alto
SISMO SF1 SF2 SF
ux corralitos 0,2102 1,1875 0,2496
uy corralitos 0,2177 1,1875 0,2585
ux Newhall 0,1000 1,1875 0,1188
uy Newhall 0,1387 1,1875 0,1647
ux Sylmar 0,1000 1,1875 0,1188
uy Sylmar 0,1307 1,1875 0,1552
ux jma 0,1000 1,1875 0,1188
uy jma 0,1312 1,1875 0,1558
Figura 3.15 Espectro de respuesta escalado con factor SF de una estructura de
periodo alto
56
Figura 3.16 Espectro de respuesta escalado con factor SF1 de una estructura de
periodo alto
Considerando que se realiza el análisis en tres dimensiones, se obtuvo el espectro
SRSS para la estructura de ocho pisos. Escalando cada par de registros con el mismo
factor, se calcularon los factores correspondientes, de acuerdo a la Tabla 3.6.
En la figura 3.17 se puede apreciar el escalamiento de los espectros SRSS. Este
sismo escalado es similar al obtenido utilizando cada componente horizontal de los
registros sísmicos.
Tabla 3.6 Factores de escalamiento para espectros SRRR
SISMO SF1 SF2 SF
corralitos 0,1435 0,9980 0,1432
Newhall 0,1000 0,9980 0,0998
Sylmar 0,1000 0,9980 0,0998
jma 0,1000 0,9980 0,0998
57
Figura 3.17 Espectro de respuesta SRSS escalado
De lo anterior expuesto, para estructuras de periodos cortos utilizando el
procedimiento para escalamiento de sismos propuesto por el ASCE 2010, se obtienen
factores SF2 altos, por lo que el espectro promedio resulta mucho mayor al espectro
objetivo. Si únicamente se utiliza el factor FS1 se obtiene un espectro de
aceleraciones promedio más cercano, sin embargo se presentan valores de ordenadas
de aceleraciones menores al espectro objetivo.
Para estructuras con periodos altos, el escalamiento de sismos del ASCE 2010
arroja buenos resultados, siendo los valores de aceleraciones cercanas a las del
espectro objetivo.
Si se considera el análisis de una estructura en tres dimensiones, se obtienen los
espectros SRSS escalando cada par de registros sísmicos, siendo similares a los
encontrados escalando cada registro sísmico por separado.
58
CAPÍTULO 4
MÉTODO MODAL ESPECTRAL
4.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO
Dentro de los métodos de análisis para determinar los efectos sísmicos en una
estructura, se tienen los métodos estáticos y dinámicos. Dentro de los métodos
dinámicos, se va a desarrollar el método modal espectral.
El Método Modal Espectral (MME) es un procedimiento de análisis sísmico
lineal de un sistema elástico, es decir, siempre que la estructura se mantenga dentro
del campo elástico y con pequeños desplazamientos. Utiliza expresiones que son de
tipo estático, por lo que no constituye una aproximación del problema, sino que es la
solución exacta para sistemas de un grado de libertad (1 GDL). Para estructuras con
múltiples grados de libertad dinámicos, se realizan ciertas aproximaciones que parten
del análisis exacto mencionado.
Entonces, el MME es un método dinámico aproximado, en el que la respuesta de
una estructura se obtiene mediante la combinación adecuada de contribuciones
modales, las cuales están caracterizadas por la máxima respuesta de cada modo
afectadas por un factor denominado coeficiente de participación modal, el cual indica
la extensión en que cada modo contribuye a la respuesta total de la estructura. Se
admite que la estructura funciona en el campo elástico lineal, y para la excitación
sísmica se utiliza la aplicación de acelerogramas reales o sintéticos.
No cualquier problema se puede resolver mediante este método, solamente
aquellos cuando sea factible el desacoplamiento del sistema de ecuaciones. Entre las
principales limitaciones de este método, son las relacionadas con la forma en que las
estructuras desarrollan el comportamiento inelástico o plástico durante la acción
59
sísmica. Otra limitación importante es que sólo nos da el resultado del valor máximo
de las respuestas de la estructura, sin importar el instante del tiempo en que se
produjo.
El método consiste, de manera general, en integrar a través del tiempo las
ecuaciones desacopladas de movimiento de la estructura según los modos naturales
de vibración, sumando directamente las contribuciones de cada modo instante a
instante, adoptándose como resultado la envolvente de máximas solicitaciones y
deformaciones, obtenidas en la duración del movimiento.
Se toman en cuenta las siguientes consideraciones:
La excitación sísmica se supone actuando translacionalmente en los apoyos
del modelo vibratorio.
Se admite para la determinación de los modos naturales de vibración, que los
materiales se comportan en forma lineal elástica.
Reducción por disipación de energía (ductilidad)
- Se puede considerar la capacidad e disipación de energía por
deformaciones inelásticas de la estructura, empleando las ordenadas
espectrales reducidas por el factor R. Las deformaciones totales calculadas
empleando este criterio de reducción, deberán ser amplificadas
multiplicándolas por la ductilidad global µ.
- Lo anterior descrito, implica admitir un desarrollo simultáneo de rótulas
plásticas que disipen energía con una distribución espacial similar a las
correspondientes distribuciones de energía cinética y/o deformación. De
acuerdo a lo descrito, este método no puede ser aplicado cuando exista la
60
posibilidad de concentración de esfuerzos y deformaciones inelásticas en
zonas específicas de la estructura.
Se debe incluir un número de grados de libertad dinámica de acuerdo a las
características de la estructura que representen los modos naturales más
significativos de la respuesta dinámica.
Cuando sea posible considera un solo grado de libertad asociado a cada masa,
no considerando la interacción suelo – estructura, se deberán ajustar a
lineamientos específicos.
Se debe incluir por lo menos todos los modos cuya contribución a los efectos
totales superen el 5% de la contribución correspondiente del modo
fundamental. No podrán considerarse menos de tres modos, a excepción de
que el modelo presente específicamente sólo dos grados de libertad.
Se calcula la raíz cuadrada de la Cuma de los cuadrados de los efectos
modales para obtener el efecto total en una dirección de análisis. Cuando
existan modos cuyos periodos difieran entre sí en menos del 10%, sus efectos
se sumarán en valores absolutos y se elevarán al cuadrado como grupo.
Se controla que el esfuerzo de corte en la base en cada una de las direcciones
no resulte inferior al 75% del esfuerzo de corte en la base determinado por el
método estático utilizando el periodo fundamental correspondiente. Si no se
cumple lo indicado, se incrementa todos los efectos multiplicando por el
cociente entre el 75% del corte basal estático y el corte basal obtenido.
Se realiza el análisis de acuerdo a las condiciones de simetría estructural
específicas.
61
La ordenada espectral de diseño del modo fundamental no debe ser inferior a
1,3 veces el periodo fundamental determinado en la hipótesis de base fija, si
se tiene en consideración la influencia de la deformabilidad del suelo.
Se debe realizar el control de la distorsión horizontal del piso y de los efectos
P-Δ.
El sistema de ecuaciones diferenciales acoplados del MME se desarrollan
mediante la siguiente expresión:
𝑀 + 𝐶 + 𝐾𝑞 = 𝑄 (4.1)
Donde M es la matriz de masa de la estructura, C la matriz de amortiguamiento, K
la matriz de rigidez, q el vector de desplazamiento, el vector de velocidad, es el
vector de aceleración y Q el vector de cargas generalizadas. Esta ecuación
corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, ya que las matrices
de rigidez y amortiguamiento tienen valores fuera de la diagonal principal, por lo que
es necesario desacoplar el sistema.
Para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales, se utiliza un algoritmo
matemático, mediante el reemplazo de la variable q por el vector de desplazamiento
en un nuevo sistema de ecuaciones de coordenadas por la matriz modal, que tiene
todos los modos de vibración de la estructura. Lo anterior se traduce en la siguiente
fórmula:
q = X (4.2)
En la ecuación anterior, es la matriz modal donde las columnas son los modos
de vibración, es una matriz que se utiliza para poder traspasar de las coordenadas q a
las coordenadas X. El vector de desplazamientos es X.
62
Reemplazando el cambio de variables en la ecuación 4.1 obtenemos la ecuación
diferencial desacoplada para el nuevo sistema de coordenadas:
𝑀∗ + 𝐶∗ + 𝐾∗𝑋 = 𝑄∗ (4.3)
En el nuevo sistema de coordenadas, M * es la matriz de masa, C * es la matriz de
amortiguamiento, K * es la matriz de rigidez y
Q
* es el vector de cargas generalizadas,
de acuerdo a las siguientes ecuaciones:
𝑀∗ = 𝑡𝑀 (4.4)
𝐶∗ = 𝑡𝐶 (4.5)
𝐾∗ = 𝑡𝐾 (4.6)
𝑄∗ = 𝑡𝑄 (4.7)
Las matrices M *
, C *
y K *
son diagonales, lo cual se puede demostrar realizando
el triple producto matricial indicado en las ecuaciones anteriores. En vista de la
ortogonalidad de los modos de vibración, si i, j son los modos, se verifica que:
(𝑖)𝑡𝑀
(𝑗) = 0 (4.8)
(𝑖)𝑡𝐾(𝑗) = 0 (4.9)
De acuerdo a lo anterior expuesto, las matrices M *
y K *
tienen valores
únicamente en la diagonal principal:
63
De acuerdo a la manera de obtención de los modos, tenemos que Ø(i)t
M Ø(i)
= 1.
La solución del problema de vibraciones libres, sin considerar el amortiguamiento
de un sistema, conduce a la ecuación para la obtención de los valores y vectores
propios de una estructura:
𝐾∅(𝑖) = 𝜆𝑖𝑀∅(𝑖) (4.10)
En la ecuación anterior, λi es el valor propio del modo i, el cual se puede expresar
en función de las frecuencias de vibración Wni:
λi = W 2ni (4.11)
Al multiplicar la ecuación 4.10 por Ø(i)t
, obtenemos que la matriz K * es:
… …
… …
∅ 𝑡𝐾∅
𝐾∗ =
∅ 𝑡𝐾∅
∅ 𝑖 𝑡𝐾∅ 𝑖
∅ 𝑡𝐾∅
… …
… …
∅ 𝑡𝑀∅
𝑀∗ =
∅ 𝑡𝑀∅
∅ 𝑖 𝑡𝑀∅ 𝑖
∅ 𝑡𝑀∅
64
Si se toma en consideración la interacción entre el suelo y la estructura, podemos
expresar el vector de cargas generalizadas de la siguiente manera:
𝑄 = −𝑀𝑏𝑔 (4.12)
En la ecuación anterior b es un vector unitario que relaciona los grados de libertad
con los movimos del suelo y 𝑔 la aceleración del suelo expresado por el espectro de
respuesta.
Reemplazando en las ecuaciones anteriores obtenemos:
(1)t
Q* = -
(1)t M b 𝑔
…
(1)t
(4.13)
Después del desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales se obtiene:
= -Q *
(4.14)
…
W 2n1
W 2n2
W 2nn
𝐾∗ =
65
Después del desacoplamiento de la ecuación diferencial, se obtiene para la fila i:
ƞ𝑖 + 2𝜉ƞ𝑊 𝑖𝑖 + ƞ𝑊 𝑖 𝑥𝑖 = −∅(𝑖)𝑡𝑀𝑏𝑔 (4.15)
La expresión anterior se utilizará más adelante en la definición del cálculo de los
desplazamientos y fuerzas máximos modales.
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
Para efectos de obtener la matriz de rigidez total de una estructura, es necesario
que todas y cada una de las matrices de rigidez de sus elementos se expresen en
coordenadas de piso, es decir, sean expresadas en un único sistema de referencia.
4.2.1 Matriz de rigidez de una estructura
En el análisis de las estructuras, se consideró la hipótesis de que en cada nudo que
conforma la estructura se tienen dos grados de libertad (gdl): el desplazamiento
vertical y la rotación; adicionalmente se tiene un desplazamiento lateral por cada piso.
En la figura 4.1 se muestra un pórtico de tres pisos donde las vigas son axialmente
rígidas, mientras que las columnas totalmente flexibles, cumpliendo con la hipótesis
mencionada.
Se calculó la rigidez de cada uno de los elementos (viga o columna) y utilizando
un vector de colocación, que contiene los grados de libertad del nudo inicial y nudo
final de cada elemento, se ensambla la matriz de rigidez del pórtico.
4.2.2 Condensación estática de la matriz de rigidez
Se denomina K a la matriz de rigidez de la estructura, la cual tiene que ser
condensada, para lo cual se parte de la siguiente ecuación:
66
Q = K q (4.16)
Donde Q es el vector de cargas generalizadas, K la matriz de rigidez de la
estructura y q el vector de coordenadas generalizadas
Figura 4.1 Pórtico con vigas axialmente rígidas y columnas totalmente flexibles
Si se consideran dos tipos de coordenadas, las principales y secundarias, la
ecuación 4.16 se transforma en:
𝑄𝑎𝑄𝑏 =
𝐾𝑎𝑎 𝐾𝑎𝑏𝑘𝑏𝑎 𝑘𝑏𝑏
𝑞𝑎𝑞𝑏
(4.17)
La condensación de estas matrices, se obtienen en los siguientes casos:
- Qa = 0: condensación a las coordenadas “b”
0𝑄𝑏 =
𝐾𝑎𝑎 𝐾𝑎𝑏𝑘𝑏𝑎 𝑘𝑏𝑏
𝑞𝑎𝑞𝑏
(4.18)
Por lo que:
67
0 = Kaa qa + Kab qa (4.19)
Qb = kba qb + kbb qb (4.20)
Obteniendo:
qa = -kaa-1
Kab qb (4.21)
Qb = (Kbb – Kba Kaa-1
Kab) qb (4.22)
Finalmente se calcula la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “b”:
K+ = Kbb – Kba Kaa
-1 Kab (4.23)
- Qb = 0: condensación a las coordenadas “a”
De manera análoga a la condensación a las coordenadas “b”, se obtiene la matriz
de rigidez condensadas a las coordenadas “a”:
K* = Kaa – Kab Kbb
-1 Kba (4.24)
Se va a denominar KL a la matriz de rigidez condensada, matriz de rigidez lateral
de cada uno de los pórticos planos que conforman la estructura.
4.2.3 Obtención de la matriz de rigidez espacial (en coordenadas de piso)
Para determinar la matriz de rigidez lateral espacial, se debe considerar la
hipótesis de que cada losa de entrepiso es rígida, obteniendo tres grados de libertad, el
componente de desplazamiento horizontal en X, el componente de desplazamiento
horizontal en Y y la rotación con respecto al eje perpendicular
68
La matriz de rigidez en coordenadas de piso KE es la suma de todas y cada una de
las matrices de rigidez lateral de los pórticos de acuerdo a la siguiente expresión:
𝐾𝐸 = ∑ 𝐴(𝑖)𝑡𝐾𝐿(𝑖)𝐴(𝑖)
𝑖= (4.25)
Donde KE es la matriz de rigidez en coordenadas de piso, n el número de pórticos
en el sentido de análisis, A(i)
la matriz de compatibilidad de deformaciones del
pórtico i y KL(i)
la matriz de rigidez lateral del pórtico i
La matriz de compatibilidad A(i)
se encuentra a partir de las deformadas
elementales en cada uno de los pórticos:
cos sen r1
cos sen r2
A(i)
= … … …
cos sen rn
(4.26)
En la matriz anterior, es el ángulo de orientación positiva del pórtico con el eje
X y ri la distancia desde el centro de masas a cada pórtico, siendo positivo si rota con
respecto al centro de masas en forma anti horaria
4.3 MATRIZ DE MASAS
Para el cálculo de la matriz de masas espacial se considera el momento de inercia
de la masa J:
𝐽𝑖 =𝑚𝑖
(𝑎𝑖
+ 𝑏𝑖 ) (4.27)
69
En la ecuación anterior, Ji es el momento de inercia de masa, mi la masa y ai, bi
las dimensiones de cada piso.
Tomando en consideración de que en una estructura, cada una de las losas de
entrepiso son rígidas, de acuerdo a la hipótesis establecida en la determinación de la
matriz de rigidez espacial, a fin de obtener la matriz espacial de masas se numeran los
grados de libertad de acuerdo a lo que se presenta en la figura 4.4.
La matriz de masas espacial se define por:
m
M = m (4.28)
J
En la matriz anterior, las matrices m y J son:
m1
m2
m = … (4.29)
mn
J1
J2
J = … (4.30)
Jn
Dentro de las respuestas máximas, las que más se utilizan en el análisis sísmico
de una estructura son los desplazamientos y fuerzas modales.
70
4.4 DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS MÁXIMAS MODALES
El factor de participación modal γi se define con la siguiente expresión:
𝛾𝑖 =∅(𝑖)𝑡𝑀𝑏
∅(𝑖)𝑡𝑀∅(𝑖) (4.31)
Este factor representa lo que cada modo participa en la respuesta de la estructura.
Es en valor absoluto. Dividiendo la ecuación 4.15 para ƞ y reemplazando el valor de
participación modal γi obtenemos:
𝑖 + 2𝜉𝑊 𝑖𝑖 +𝑊 𝑖 𝑥𝑖 = −𝛾𝑖𝑔 (4.32)
La máxima respuesta de un valor de amortiguamiento específico, tomando en
consideración el espectro de diseño es:
𝑥𝑖 = 𝛾𝑖 (𝑇𝑖
𝜋)
𝐴𝑑𝑖 (4.33)
Donde Ti es el periodo de vibración del modo i y Adi la aceleración espectral
asociada al periodo de vibración Ti.
Utilizando la ecuación 4.2, obtenemos los desplazamientos máximos modales en
coordenadas q:
𝑞𝑖 = 𝛾𝑖 (𝑇𝑖
𝜋)
𝐴𝑑𝑖∅(𝑖) (4.34)
Con la ecuación anterior se encuentran los desplazamientos máximos en cada uno
de los modos de vibración. Más adelante se expondrá los criterios de combinación
modal que permiten obtener los desplazamientos máximos totales.
71
Las fuerzas máximas modales para cada modo de vibración se obtienen a partir de
las expresiones de vibración libre sin amortiguamiento, como resultado del producto
de la matriz de rigidez por el vector de desplazamientos del modo i. El vector Q
contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso:
𝑄𝑖 = 𝛾𝑖𝐴𝑑𝑖𝑀∅(𝑖) (4.35)
Donde Ai es el coeficiente de forma, que se obtiene de multiplicar el modo de
vibración i por el factor de participación modal.
4.5 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL
Como ya se mencionó, una de las limitaciones del Método Modal Espectral es
que da como resultado el valor máximo de la respuesta sin importar el tiempo en que
se produce, por lo que surge la necesidad de establecer hipótesis que establezcan la
manera de sumar los máximos obtenidos de los distintos modos.
Entre los muchos criterios de combinación modal, tomando en consideración que
r es un valor de respuesta de desplazamiento, momento, corte que se desea calcular,
N el número de modos e i el modo de vibración, se expondrán los siguientes:
4.5.1 Combinación cuadrática completa (CQC)
Este criterio propuesto por Chopra (2001) es uno de los más conservadores,
utilizando los coeficientes de acoplamiento modal ρij. Debe su nombre a sus siglas en
inglés CQC (Complete Quadratic Combination), y se basa en la siguiente expresión:
𝑟 = ∑ ∑ 𝜌𝑖𝑗𝑁𝑗= 𝑟𝑖𝑟𝑗
𝑁𝑖= (4.36)
En general, los coeficientes ρij son funciones de la duración y del contenido de la
frecuencia, así como del amortiguamiento modal de la estructura. Si la duración del
72
sismo es larga comparada con el periodo de la estructura y si el espectro del sismo es
suave sobre un amplio rango de frecuencias, los coeficientes pueden aproximarse
por:
𝜌𝑖𝑗 =8𝜉2( +𝑎)𝑎1.5
( −𝑎2)2+4𝜉2𝑎( +𝑎)² (4.37)
Donde a es la relación que existe entre las frecuencias de vibración de los modos
i, j (Wnj / Wni), y ξ corresponde a la fracción de amortiguamiento crítico del modo.
4.5.2 Combinación del máximo valor probable (SRSS)
El criterio SRSS la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (Square Root Sum
of Squares) es uno de los más comunes para estimar los valores máximos modales.
Asume que todos los valores máximos modales son estadísticamente independientes:
𝑟 = √∑ (𝑟𝑖)²𝑁𝑖= (4.38)
4.5.3 Combinación de la suma de absolutos (ABSSUM)
Este criterio tiende a sobrestimar la respuesta, en vista que la máxima respuesta
de cada modo asume que sucede en un mismo tiempo:
𝑟 = ∑ |𝑟𝑖|𝑁𝑖= (4.39)
4.5.4 Combinación propuesta de Alejandro Gómez (2002)
Adopta los criterios de la combinación del máximo probable y de la suma de
absolutos:
73
𝑟 = √∑ 𝑟𝑖 𝑁
𝑖= + (∑ (𝑟𝑖))²𝑁𝑖= (4.40)
4.5.5 Combinación propuesta por la Norma Técnica del Perú (2003)
Al igual que la combinación anterior, adopta los dos criterios descritos
mencionados pero dando un valor de coeficientes a cada uno, de acuerdo a estudios
realizados:
𝑟 = 0.25∑ |𝑟𝑖| + 0.75√∑ 𝑟𝑖 𝑁
𝑖= 𝑁𝑖= (4.41)
4.5.6 Combinación propuesta por el Laboratorio de Investigación Naval (NRL)
El NRL (Naval Research Laboratory) igualmente combina el criterio del máximo
absoluto con el del máximo probable, pero solamente toma en consideración el valor
absoluto del primer modo, en vista de ser el más crítico:
𝑟 = |𝑟𝑖| + √∑ (𝑟𝑖)²𝑁𝑖= (4.42)
4.5.7 Combinación de la doble suma (DSUM) (1976)
Fue presentado por la U.S. Nuclear Regulatory Comision en USNRC Regulatory
Guide dentro del estudio “Combining Modal Responses and Spatial Components in
Seismic Response Analysis”. Considera las frecuencias de vibración en los modos i, j
(Wni, Wnj) y el porcentaje de amortiguamiento ξ:
𝑟 = √∑∑𝑟𝑖𝑟𝑗
+ 𝜀𝑖𝑗
𝑁
𝑖=
𝑁
𝑖=
74
(4.43)
𝜀𝑖𝑗 =√ − ξ
ξ[𝑊 𝑖 −𝑊 𝑗
𝑊 𝑖 +𝑊 𝑗]
4.5.8 Combinación del Grouping Method (GRP) (1976)
Fue presentado dentro del estudio anterior mencionado “Combining Modal
Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis”:
𝑟 = √∑∑𝜀𝑖𝑗|𝑟𝑖𝑟𝑗|
𝑁
𝑖=
𝑁
𝑖=
(4.44)
𝜀𝑖𝑗 = ( .0 𝑠𝑖|
𝑊𝑛𝑗−𝑊𝑛𝑖
𝑊𝑛𝑖|≤0.
0.0 𝑠𝑖|𝑊𝑛𝑗−𝑊𝑛𝑖
𝑊𝑛𝑖|>0.
)
4.5.9 Combinación propuesta por las Normas estructurales de diseño y
construcción de Guatemala (1996)
Se propuso la combinación modal a través del promedio del procedimiento de la
raíz cuadra de la suma de los cuadrados y la suma de los valores absolutos:
𝑟 = 0.5 (∑ |𝑟𝑖|𝑁𝑖= +√∑ 𝑟𝑖
𝑁𝑖= ) (4.45)
4.6 RESPUESTAS MÁXIMAS EN ESTRUCTURAS DE 6 Y 8 PISOS
Se analiza dos estructuras de seis y ocho pisos utilizando el método Modal
Espectral, considerando a las estructuras de hormigón armado con vigas descolgadas
que se encuentran ubicadas en el sector Tenis Club de la ciudad de Quito. Se utiliza la
75
combinación de la Norma Técnica del Perú (2003), de acuerdo al estudio realizado
por Aguiar et al. (2006).
A fin de comparar resultados, se utiliza los parámetros establecidos en el NEC-11
y los encontrados en el ERN-12.
Para el NEC-11se utilizó los siguientes valores: factor Z igual a 0.4
correspondiente a la zona sísmica V; perfil de suelo tipo D; factores de sitio Fa =
1.20, Fd = 1.40, Fs = 1.50; η = 2,48 para provincias de la Sierra y R = 6 pórtico
sismo resistente de hormigón armado con vigas descolgadas
Para el ERN-12 se utilizaron los valores de los factores de sitio propuestos por
ERN-12 indicados anteriormente.
4.6.1 Estructura de seis (6) pisos
En la figura 4.2 se presenta la planta de la estructura de análisis con la ubicación
del centro de gravedad CG. La estructura tiene un área en planta de 163,80 m² y una
altura de entrepiso de 3,0 m.
La ubicación del vector r (distancias de cada uno de los pórticos al centro de
gravedad) se encuentra en la figura 4.3. Para el análisis se ha considerado unas
columnas de sección de 45 x 45 cm y vigas descolgadas de 40 x40 cm de sección, y
losa de entrepiso alivianada de 25 cm.
En las figuras 4.4 y 4.5 se muestran los pórticos A y 1 con las secciones
respectivas. Se asume que los demás pórticos mantienen iguales secciones.
76
Figura 4.2 Ubicación del centro de gravedad en planta (6 pisos)
Figura 4.3 Ubicación del vector r (6 pisos)
77
Figura 4.4 Elevación del pórtico A con secciones de elementos (6 pisos)
Figura 4.5 Elevación del pórtico 1 con secciones de elementos (6 pisos)
78
Para numerar los grados de libertad de cada pórtico, de acuerdo a lo anterior
mencionado, se consideró en cada nudo un desplazamiento horizontal y uno vertical;
adicionalmente el desplazamiento lateral en cada piso. En la figura 4.9 se observa la
numeración indicada del pórtico A, el cual tiene 54 grados de libertad. La numeración
de elementos y nudos del pórtico A se observa en la figura 4.10. De manera similar,
se realizó la numeración de grados de libertad y de los elementos y nudos de los
pórticos en la otra dirección.
Figura 4.6 Numeración de gdl del pórtico A (6 pisos)
En la Tabla 4.1 se indican las cargas consideradas. En la carga muerta se
considera la carga permanente y el peso de los elementos (vigas y columnas).
79
Tabla 4.1 Cargas consideradas en el análisis (6 pisos)
Piso
CARGA MUERTA (D)
Carga permanente
(T/m²)
Peso elementos
(T/m²)
Total por piso
(T)
1 0,709 0,349 173,28
2 0,709 0,349 173,28
3 0,709 0,349 173,28
4 0,709 0,349 173,28
5 0,709 0,349 173,28
6 0,709 0,207 149,95
Piso
CARGA VIVA (L) CARGA
TOTAL
(T)
MASA
TOTAL
(T.s²/m)
Para carga
vertical (T/m2)
Para análisis
sísmico (T/m2)
Total por
piso (T)
1 0,250 0,063 10,238 183,510 18,726
2 0,250 0,063 10,238 183,510 18,726
3 0,250 0,063 10,238 183,510 18,726
4 0,250 0,063 10,238 183,510 18,726
5 0,250 0,063 10,238 183,510 18,726
6 0,250 0,063 10,238 160,190 16,346
Utilizando los programas de la librería de CEINCILAB para el MATLAB versión
7.10.0, se obtuvo la matriz de rigidez de cada pórtico en los dos sentidos de análisis,
así como las matrices de rigidez espacial para el sentido x e y, utilizando las matrices
de rigidez lateral de cada uno de los pórticos y el vector r, que considera las distancias
de cada uno de los pórticos al centro de gravedad. Las matrices se diferencian en el
orden de ingreso de las matrices de rigidez y del vector r de acuerdo al sentido de
análisis.
80
Con el programa orden_eig se calculó los periodos (T) y frecuencias (OM) de
vibración de la estructura. Se puede observar que el valor mayor de los periodos es de
1,165, por lo que este se considera como el periodo fundamental de la estructura Tn.
A fin de representar la respuesta sísmica, se considerará el número de modos de
vibración que sean iguales a al número de pisos en las dos direcciones ortogonales no
acopladas por un efecto de torsión, en este caso igual a seis (6).
En la determinación de los desplazamientos modales, se utiliza el programa
desplazamientos_modales de la librería de CEINCILAB.
Se presentan los valores del desplazamiento elástico y desplazamiento total
obtenidos para el análisis en el sentido x e y tanto con el NEC-11 como con el ERN-
12.
1,16545 5,39122
1,03761 6,05546
0,83091 7,56186
0,36107 17,40163
0,32671 19,23148
0,26049 24,12089
0,19294 32,56582
0,17879 35,14348
0,14163 44,36486
0,12270 51,20613
0,11711 53,65199
0,09200 68,29700
0,08806 71,35188
0,08617 72,91311
0,07165 87,69439
0,07127 88,15551
0,06720 93,50431
0,05530 113,62082
OM =T =
81
Sentido de análisis X
0,00 0,00
0,05498 0,03139
0,14663 0,08196
0,23479 0,12901
0,30733 0,16695
0,36076 0,19563
0,39586 0,21614
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
quine
(NEC) =
quine (ERN-
12) =
0,00916 0,00523
0,02444 0,01366
0,03913 0,02150
0,05122 0,02783
0,06013 0,03261
0,06598 0,03602
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
qt (NEC)
=
qt (ERN-12)
=
82
Sentido de análisis Y
0,05512 0,02961
0,14180 0,07463
0,22372 0,11588
0,29092 0,14906
0,34048 0,17423
0,37212 0,19163
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
quine
(NEC) =
quine (ERN-
12) =
0,00919 0,00493
0,02363 0,01244
0,03729 0,01931
0,04849 0,02484
0,05675 0,02904
0,06202 0,03194
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
qt (NEC)
=
qt (ERN-12)
=
83
Figura 4.7 Desplazamiento inelástico en X (6 pisos)
Figura 4.8 Desplazamiento inelástico en Y (6 pisos)
84
En las figuras 4.7 y 4.8 se encuentran los desplazamientos inelásticos para cada piso
de la estructura, tanto del análisis realizado en el sentido X como en Y. En los dos
gráficos, se observa que los valores de desplazamientos obtenidos con los parámetros
del ERN-12, son menores a los encontrados con el NEC-11.
4.6.2 Estructura de ocho (8) pisos
En las figuras 4.9, 4.10, 4.11 y 4.12 se muestran la información relevante tanto en
planta como en elevación de la estructura de ocho pisos. En la tabla 4.2 se encuentran
las cargas consideradas por piso.
Se presentan los resultados obtenidos para la estructura de ocho pisos, en la cual
se utilizó los mismos parámetros que en la anterior estructura, a fin de poder
comparar los resultados obtenidos en ambos casos.
Figura 4.9 Ubicación del centro de gravedad en planta (8 pisos)
85
Figura 4.10 Ubicación del vector r (8 pisos)
Figura 4.11 Elevación del pórtico 1 con secciones de elementos (8 pisos)
86
Tabla 4.2 Cargas consideradas en el análisis (8 pisos)
Piso
CARGA MUERTA (D)
Carga
permanente
(T/m²)
Peso elementos
(T/m²) Total por piso (T)
1 0,709 0,394 320,97
2 0,709 0,394 320,97
3 0,709 0,394 320,97
4 0,709 0,394 320,97
5 0,709 0,394 320,97
6 0,709 0,394 320,97
7 0,709 0,394 320,97
8 0,509 0,198 205,74
Piso
CARGA VIVA (L)
CARGA
TOTAL (T)
MASA
TOTAL
(T.s²/m)
Para carga
vertical
(T/m2)
Para análisis
sísmico
(T/m2)
Total por
piso
(T)
1 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
2 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
3 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
4 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
5 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
6 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
7 0,250 0,063 18,188 339,160 34,608
8 0,250 0,063 18,188 223,930 22,850
87
Figura 4.12 Numeración de gdl del pórtico 1 (8 pisos)
1,47414 4,26227
1,41927 4,42705
1,16247 5,40503
0,45544 13,79594
0,44092 14,25006
0,35998 17,45437
0,24239 25,92199
0,23655 26,56199
0,19222 32,68740
0,15280 41,12019
0,15015 41,84653
0,12152 51,70556
0,10593 59,31591
0,10471 60,00373
0,08445 74,40349
0,07921 79,32023
0,07869 79,85177
0,06383 98,43255
0,06364 98,72924
0,06327 99,30096
0,05587 112,45606
0,05583 112,54351
0,05106 123,04594
0,04474 140,45052
T = OM =
88
Sentido de análisis X
0,00 0,00
0,04260 0,02713
0,11994 0,07501
0,20035 0,12324
0,27323 0,16572
0,33436 0,20077
0,38218 0,22834
0,41997 0,25219
0,44482 0,26882
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
quine (NEC) = quine (ERN-12) =
0,00710 0,00452
0,01999 0,01250
0,03339 0,02054
0,04554 0,02762
0,05573 0,03346
0,06370 0,03806
0,07000 0,04203
0,07414 0,04480
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
qt (NEC) = qt (ERN-12) =
89
Sentido de análisis Y
0,04246 0,02760
0,12063 0,07696
0,20251 0,12704
0,27700 0,17129
0,33972 0,20793
0,38889 0,23676
0,42850 0,26222
0,45524 0,28042
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00013 0,00008
0,00035 0,00022
0,00059 0,00035
0,00081 0,00048
0,00099 0,00058
0,00113 0,00065
0,00124 0,00073
0,00132 0,00078
quine (NEC) = quine (ERN-12) =
0,00708 0,00460
0,02011 0,01283
0,03375 0,02117
0,04617 0,02855
0,05662 0,03465
0,06482 0,03946
0,07142 0,04370
0,07587 0,04674
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
0,00002 0,00001
0,00006 0,00004
0,00010 0,00006
0,00013 0,00008
0,00016 0,00010
0,00019 0,00011
0,00021 0,00012
0,00022 0,00013
qt (NEC) = qt (ERN-12) =
90
Figura 4.13 Desplazamiento inelástico en X (8 pisos)
Figura 4.14 Desplazamiento inelástico en Y (8 pisos)
91
En las figuras 4.13 y 4.14 se encuentran los desplazamientos inelásticos para cada
piso de la estructura, tanto del análisis realizado en el sentido X como en Y.
Nuevamente se verifica que para estructuras ubicadas en la ciudad de Quito, los
valores de los desplazamientos obtenidos con los parámetros del ERN-12 son
menores a los encontrados con el NEC-11. Es importante recalcar, como se mencionó
anteriormente, que los estudios de microzonificación sísmica son primordiales en la
obtención de la respuesta real de una estructura.
92
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL
5.1 MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
Cuando una estructura vibra, la amplitud de las vibraciones disminuye con el
tiempo hasta desaparecer. El amortiguamiento es un valor numérico que mide la
disminución de la amplitud, debido a la fricción interna entre los elementos de la
estructura y la disipación de energía. Se presentan varios métodos para la obtención
de la matriz de rigidez de una estructura:
5.1.1 Amortiguamiento de Caughey
La matriz de amortiguamiento elástica propuesta por Caughey (1960) viene dada
en la siguiente expresión:
𝐶 = 𝑀∑ 𝑎𝑖(𝑀−1𝐾)𝑖𝑛−1
𝑖=0 (5.1)
Donde M y K son las matrices de masas y rigidez respectivamente, n el número
de grados de libertad y ai una constante que debe ser calculada para cada modo.
Si se relaciona esta constante con el factor de amortiguamiento del modo i ξ y la
frecuencia natural del modo i Wn tenemos:
ξ𝑛 =1
2∑ 𝑎𝑖𝑗−1𝑖=0 (𝑊𝑛)
2𝑖−1 (5.2)
Si se calculan las constantes para los dos primeros modos de vibración,
corresponde al amortiguamiento de Rayleigh.
93
5.1.2 Amortiguamiento de Rayleigh
El modelo de Rayleigh es un caso particular del amortiguamiento de Caughey,
donde se propone que la masa y la rigidez son proporcionales al amortiguamiento de
acuerdo a la ecuación 5.1, en donde a0 y a1 son constantes que se obtienen de los dos
modos de vibración primeros.
C = a0 M + a1 K (5.3)
Relacionando a estas constantes con el factor de amortiguamiento del modo i ξ y
la frecuencia natural del modo i Wn tenemos:
ξ𝑖 =𝑎0
2𝑊𝑛𝑖+
𝑎1𝑊𝑛𝑖
2 (5.4)
5.1.3 Amortiguamiento de Wilson y Penzien
El amortiguamiento propuesto por Wilson y Penzien se presenta en la siguiente
ecuación:
ϕ t C ϕ = C
* = 2 ξ Ω M
* (5.5)
En la ecuación anterior, ϕ, Ω, y M* son matrices diagonales definidas por:
ϕ = (Ø1 Ø2 … … Øn) (5.6)
ξ1
ξ2
ξ = … (5.7)
…
ξn
94
Wn1
Wn2
Ω, = … (5.8)
…
Wnn
M * = ϕ
t M ϕ (5.9)
La matriz que determina el amortiguamiento en cada modo de vibración i es:
𝐶𝑖 =2ξ𝑖𝑊𝑛𝑖
𝑀𝑖∗ (𝑀∅𝑖)(∅𝑖
𝑡𝑀) (5.10)
Al ser el algoritmo de Caughey complejo al considerar los n modos de vibración,
en este trabajo se utilizó el propuesto por Wilson y Penzien.
5.2 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO BETA DE NEWMARK
A fin de encontrar la respuesta lineal en el tiempo de una estructura con un
sistema de múltiples de grados de libertad ante la acción de un registro sísmico, se
presenta el método propuesto por N.M. Newmark en 1959.
Newmark desarrolló una familia de métodos “paso a paso” o “time – stepping”, a
fin de manejar el problema de que la aceleración no es constante durante el intervalo
de evaluación, utilizando un estimativo de la aceleración al final del intervalo, que se
va corrigiendo por medio de un proceso iterativo, lo que resuelve el problema.
El nombre del método es debido a la constante β (beta) que se incluye en los
algoritmos, teniendo un valor que varía entre 0 y 1/2. En la figura 5.1 se indica la
95
interpretación que tiene esta constante, verificándose que para el caso en que la
aceleración varíe en forma lineal en el periodo de tiempo considerado, el valor de β
es de 1/6.
Figura 5.1 Variación de la aceleración de la masa en un intervalo Δt de acuerdo al
valor de β de Newmark
Si definimos el intervalo de tiempo en el cual se desea conocer la respuesta en el
tiempo tendremos:
τ = t – ti (5.11)
Δt = ti+1 – ti (5.12)
La aceleración y la velocidad para un instante t=i es:
(𝜏) = 𝑖 + 𝑓(𝜏)(𝑖+1 − 𝑖) (5.13)
(𝜏) = 𝑖 + ∫ 𝜏
0(𝜏)𝑑𝜏 (5.14)
96
El algoritmo propuesto por Newmark, introduce el concepto de dos factores β y γ
en las ecuaciones de respuesta en el tiempo de la aceleración, velocidad y
desplazamiento de acuerdo a las siguientes ecuaciones para un instante de tiempo
i+1:
𝑖+1 =1
𝛽∆𝑡(𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖 − 𝑞𝑖∆𝑡) − (
1
2𝛽− 1)𝑖 (5.15)
𝑖+1 =𝛾
𝛽∆𝑡(𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖) + (1 −
𝛾
𝛽) 𝑖 + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡𝑖 (5.16)
qi+1 = Δ qi+1 + qi (5.17)
Para la aplicación de este método en la solución de la obtención de la respuesta en
el tiempo, se introducen los conceptos de la matriz de rigidez efectiva 𝐾 que es
constante, y el vector de cargas efectiva Fi+1 variable en cada instante de tiempo, de
acuerdo a las siguientes expresiones:
𝐾 = 𝐾 +1
𝛽∆𝑡2𝑀+
𝛾
𝛽∆𝑡𝐶 (5.18)
𝐹𝑖+1 = −𝑀𝐽𝑎𝑖+1 +𝑀 [1
𝛽∆𝑡𝑞 + (
1
2𝛽− 1) 𝑞] − 𝐶 [(1 −
𝛾
𝛽) 𝑞 + (1 −
𝛾
2𝛽)∆𝑡𝑞]
(5.19)
La fórmula que combina esta matriz de rigidez efectiva y el vector de cargas
efectiva para un instante de tempo i+1 es:
𝐾∆𝑞𝑖+1 = 𝐹𝑖+1 (5.20)
Para el cálculo en el caso de análisis lineal, los valores de los factores son: β = 1/6
y γ = 1/2. El procedimiento a seguir es:
- Calcular la matriz de rigidez efectiva 𝐾.
97
- Calcular el vector de cargas efectivo Fi+1 para un instante de tiempo i+1.
- Determinar el incremento de desplazamiento para el instante de tiempo i+1,
utilizando la ecuación 5.20.
- Calcular la aceleración, velocidad y desplazamiento para el instante de tiempo
i+1 a través de las ecuaciones 5.15, 5.16 y 5.17.
- Se consideran los valores de la aceleración, velocidad y desplazamientos
obtenidos en el paso anterior como iniciales, y se vuelve a repetir el
procedimiento desde el cálculo del vector de cargas efectivo.
Este proceso iterativo se repite hasta que se obtenga un valor de la aceleración al
final del intervalo, que sea igual, con un error aceptable, a la estimada al inicio del
proceso. En ese momento se incrementa el tiempo en un intervalo Δt y se repite el
proceso para este nuevo intervalo de tiempo. De esta manera se determinan el
desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la masa durante todo el tiempo que
se desea investigar.
A medida que el intervalo de tiempo Δt que se utilice en el proceso numérico sea
menor, mayor será la precisión de la respuesta.
5.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE ESTRUCTURAS DE 6 PISOS CON
ACELEROGRAMAS ESCALADOS
A fin de comparar resultados, se analizan las mismas estructuras del capítulo
anterior. De acuerdo al procedimiento indicado para el escalamiento de sismos, se
utilizó el programa ESCALAMIENTOCOM de la librería de CEINCI-LAB,
ingresando como parámetros los límites inferior y superior del rango en el que se
necesita se escalen los sismos (0.2Tn a 1.5Tn), tomando el valor de Tn igual a 1,17s
para la estructura de seis pisos del método de superposición modal. Se consideró el
análisis con los parámetros del ERN-12.
98
Se obtuvo los valores para los factores SF1, SF2 y SF de acuerdo a la Tabla 5.1.
Los acelerogramas escalados para esta estructura y su promedio, se muestra en la
figura 5.2, verificándose de acuerdo a lo mencionado anteriormente, para periodos
altos el valor del factor SF2 no es representativo.
Tabla 5.1 Valores de SF1, SF2 y SF (6 pisos)
SISMO SF1 SF2 SF
ux corralitos 0,1709 1,0969 0,1875
uy corralitos 0,1991 1,0969 0,2184
ux Newhall 0,1000 1,0969 0,1097
uy Newhall 0,1264 1,0969 0,1386
ux Sylmar 0,1000 1,0969 0,1097
uy Sylmar 0,1442 1,0969 0,1582
ux jma 0,1000 1,0969 0,1097
uy jma 0,1180 1,0969 0,1294
Figura 5.2 Espectros de respuesta escalados (6 pisos)
99
Sentido de análisis X:
A fin de determinar la matriz de amortiguamiento C, se utilizó el programa
amortiguamiento de la librería de CEINCI-LAB, basado en el modelo Beta de
Newmark. Se requirió la matriz de masas y la de modo de vibración, además del
vector que contiene las frecuencias de vibración. El factor de amortiguamiento ξ se
consideró con un valor de 0,05.
Para encontrar la respuesta lineal en el tiempo, se utilizó el programa
Newmarklineal de la librería de CEINCI-LAB, a través de los registros del
acelerograma, la matriz de masas M, la matriz de rigidez K, y la matriz de
amortiguamiento C.
A fin de obtener resultados confiables, se utilizó un valor del incremento de
tiempo de Δt de 0,02s. El valor de la constante de 1/6 para el análisis lineal.
Se obtuvo la respuesta en el tiempo para cada uno de los ocho registros sísmicos
considerados, multiplicando el valor de la aceleración ad del registro sísmico por el
factor SF correspondiente, por ejemplo para el registro ux corralitos, los valores de la
aceleración se multiplicaron por el valor de SF de 0,1875. Se muestran los
desplazamientos obtenidos en el primer y último piso para cada uno de los registros
sísmicos en la figura 5.3.
Sentido de análisis Y:
Al igual que el sentido de análisis en x-x, se obtuvo la respuesta en el tiempo para
cada uno de los ocho registros sísmicos considerados, multiplicando el valor de la
aceleración ad del registro sísmico por el factor SF correspondiente. Se muestran los
desplazamientos obtenidos en el primer y último piso para cada uno de los registros
sísmicos en la Figura 5.4.
100
Figura 5.3 Respuesta en el tiempo en sentido X (6 pisos)
ux corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
101
uy corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
102
ux Newhall
0 10 20 30 40 50 60-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
103
uy Newhall
0 10 20 30 40 50 60-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
104
ux Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-8
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
105
uy Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
106
ux jma
0 50 100 150-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
107
uy jma
0 50 100 150-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
108
Figura 5.4 Respuesta en el tiempo en sentido Y (6 pisos)
ux corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
109
uy corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
110
ux Newhall
0 10 20 30 40 50 60-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
111
uy Newhall
0 10 20 30 40 50 60-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
112
ux Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-8
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
113
uy Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
114
ux jma
0 50 100 150-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
115
uy jma
0 50 100 150-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
116
5.4 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE ESTRUCTURAS DE 8 PISOS CON
ACELEROGRAMAS ESCALADOS
Se analiza la estructura de ocho pisos del capítulo anterior, considerando como
como valor de Tn 1,47s obtenido en el método de Superposición Modal, por lo que se
realiza el escalamiento de sismos en el rango 0.2Tn a 1.5Tn.
En la tabla 5.2 se muestran los valores de los factores SF1, SF2 y SF encontrados
en el escalamiento de sismos, verificándose lo mencionado en capítulos anteriores
con respecto a estructuras de periodos altos. Los acelerogramas escalados para esta
estructura y su promedio, se muestra en la figura 5.5.
Tabla 5.2 Valores de SF1, SF2 y SF (8 pisos)
SISMO SF1 SF2 SF
ux corralitos 0,2102 1,1875 0,2496
uy corralitos 0,2177 1,1875 0,2585
ux Newhall 0,1000 1,1875 0,1188
uy Newhall 0,1387 1,1875 0,1647
ux Sylmar 0,1000 1,1875 0,1188
uy Sylmar 0,1307 1,1875 0,1552
ux jma 0,1000 1,1875 0,1188
uy jma 0,1312 1,1875 0,1558
Para el análisis, se consideró los parámetros establecidos en ERN-12, a fin de
comparar los resultados. Se realizó el análisis tanto en el sentido x como en y,
utilizando el algoritmo propuesto por Wilson y Penzien. El factor de amortiguamiento
ξ se consideró con un valor de 0,05. Se utilizó un valor del incremento de tiempo de
Δt de 0,02s. El valor de la constante de 1/6 para el análisis lineal.
117
Se obtuvo la respuesta en el tiempo para cada uno de los ocho registros sísmicos
considerados, multiplicando el valor de la aceleración ad del registro sísmico por el
factor SF correspondiente.
Se muestran los desplazamientos obtenidos en el primer y último piso para cada
uno de los registros sísmicos en los sentidos de análisis x e y en las figuras 5.6 y 5.7,
a fin de realizar la comparación de los desplazamientos elásticos obtenidos con el
Método Beta de Newmark para el análisis lineal, y los obtenidos en el anterior
capítulo mediante el Método Modal Espectral.
Figura 5.5 Espectros de respuesta escalados (8 pisos)
118
0 5 10 15 20 25 30 35 40-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
Figura 5.6 Respuesta en el tiempo en sentido X (8 pisos)
ux corralitos
uy corralitos
119
0 10 20 30 40 50 60-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
ux Newhall
uy Newhall
120
0 10 20 30 40 50 60-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
ux Sylmar
uy Sylmar
121
0 50 100 150-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 50 100 150-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
ux jma
uy jma
122
0 5 10 15 20 25 30 35 40-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
Figura 5.7 Respuesta en el tiempo en sentido Y (8 pisos)
ux corralitos
uy corralitos
123
0 10 20 30 40 50 60-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
ux Newhall
uy Newhall
124
0 10 20 30 40 50 60-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
ux Sylmar
uy Sylmar
125
0 50 100 150-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo0 50 100 150
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
0 50 100 150-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Desp
laza
mie
nto
pri
me
r p
iso
Tiempo
0 50 100 150-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Desp
laza
mie
nto
últim
o p
iso
Tiempo
ux jma
uy jma
126
5.5 COMPARACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS OBTENIDOS CON EL
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL Y ANÁLISIS LINEAL
Se realiza la comparación de los desplazamientos elásticos obtenidos en el
capítulo anterior con el método de Superposición Modal, y los encontrados con el
análisis lineal Beta de Newmark para las estructuras de seis y ocho pisos.
En las tablas 5.3 y 5.4 se encuentran los valores de los desplazamientos máximos
para cada piso de la estructura de seis pisos, con la aplicación de cada uno de los
registros sísmicos escalados, es decir multiplicados por el respectivo factor SF. Se
realiza en análisis tanto para el sentido X como para el Y.
Tabla 5.3 Desplazamientos máximos en X (6 pisos)
PISO Desplazamientos elásticos
ERN-12 ux corralitos uy corralitos ux Newhall uy Newhall
1 0,0052 0,0043 0,0041 0,0070 0,0064
2 0,0137 0,0119 0,0098 0,0192 0,0169
3 0,0215 0,0197 0,0134 0,0314 0,0268
4 0,0278 0,0268 0,0188 0,0415 0,0348
5 0,0326 0,0324 0,0244 0,0487 0,0406
6 0,0360 0,0360 0,0282 0,0530 0,0439
PISO Desplazamientos elásticos
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0050 0,0039 0,0061 0,0059 0,0053
2 0,0131 0,0103 0,0167 0,0159 0,0142
3 0,0208 0,0166 0,0278 0,0254 0,0227
4 0,0282 0,0220 0,0375 0,0331 0,0303
5 0,0350 0,0260 0,0447 0,0383 0,0363
6 0,0395 0,0287 0,0489 0,0412 0,0399
127
Figura 5.8 Desplazamientos máximos en X (6 pisos)
Figura 5.9 Desplazamientos máximos en Y (6 pisos)
128
Tabla 5.4 Desplazamientos máximos en Y (6 pisos)
PISO Desplazamientos elásticos
ERN-12 ux corralitos uy corralitos ux Newhall uy Newhall
1 0,0049 0,0037 0,0037 0,0061 0,0046
2 0,0124 0,0096 0,0102 0,0158 0,0110
3 0,0193 0,0151 0,0170 0,0256 0,0161
4 0,0248 0,0210 0,0228 0,0347 0,0196
5 0,0290 0,0259 0,0269 0,0418 0,0215
6 0,0319 0,0289 0,0292 0,0463 0,0240
PISO Desplazamientos elásticos
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0046 0,0034 0,007 0,0067 0,0050
2 0,0116 0,0089 0,0188 0,0174 0,0129
3 0,0175 0,0143 0,031 0,0276 0,0205
4 0,0218 0,019 0,0416 0,0363 0,0271
5 0,0259 0,0226 0,0496 0,0427 0,0321
6 0,0289 0,0249 0,0543 0,0465 0,0354
Tabla 5.5 Desplazamientos máximos en X (8 pisos)
PISO
Desplazamientos elásticos
ERN-12 ux
corralitos
uy
corralitos ux Newhall uy Newhall
1 0,0045 0,0044 0,0038 0,0049 0,0057
2 0,0125 0,0125 0,0105 0,0149 0,0162
3 0,0205 0,0221 0,0171 0,0266 0,0276
4 0,0276 0,0316 0,0227 0,0386 0,0381
5 0,0335 0,0402 0,0279 0,0498 0,0467
6 0,0381 0,0472 0,0329 0,0590 0,0534
7 0,0420 0,0522 0,0372 0,0656 0,0585
8 0,0448 0,0555 0,0403 0,0696 0,0619
PISO Desplazamientos elásticos
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0061 0,0050 0,0057 0,0037 0,0049
2 0,0171 0,0140 0,0162 0,0101 0,0139
3 0,0282 0,0236 0,0271 0,0164 0,0236
4 0,0385 0,0323 0,0374 0,0217 0,0326
5 0,0492 0,0392 0,0469 0,0258 0,0407
6 0,0589 0,0443 0,0553 0,0295 0,0476
7 0,0662 0,0477 0,0619 0,0333 0,0528
8 0,0707 0,0498 0,0659 0,0357 0,0562
129
En las figuras 5.8 y 5.9, se encuentran los valores de los desplazamientos
máximos para cada uno de los ocho registros sísmicos, su valor promedio y el
obtenido mediante el método de superposición modal.
En las tablas 5.5 y 5.6 se encuentran los desplazamientos máximos para la
estructura de 8 pisos, y en las figuras 5.10 y 5.11 los desplazamientos en cada piso y
los obtenidos con el método modal espectral.
Tabla 5.6 Desplazamientos máximos en Y (8 pisos)
PISO Desplazamiento Respuesta en el Tiempo
ERN-12 ux corralitos uy corralitos ux Newhall uy Newhall
1 0,0046 0,0044 0,0033 0,0047 0,0055
2 0,0128 0,0129 0,0095 0,0142 0,0154
3 0,0212 0,0223 0,0158 0,0256 0,0259
4 0,0285 0,0314 0,0216 0,0375 0,0357
5 0,0347 0,0393 0,0273 0,0490 0,0442
6 0,0395 0,0456 0,0325 0,0590 0,0508
7 0,0437 0,0503 0,0369 0,0663 0,0557
8 0,0467 0,0533 0,0400 0,0709 0,0590
PISO Desplazamiento Respuesta en el Tiempo
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0064 0,0047 0,0057 0,0035 0,0048
2 0,0182 0,0135 0,0164 0,0099 0,0138
3 0,0303 0,0227 0,0276 0,0160 0,0233
4 0,0416 0,0311 0,0400 0,0208 0,0325
5 0,0528 0,0382 0,0510 0,0242 0,0408
6 0,0628 0,0440 0,0601 0,0271 0,0477
7 0,0706 0,0481 0,0671 0,0307 0,0532
8 0,0758 0,0508 0,0717 0,0329 0,0568
130
Figura 5.10 Desplazamientos máximos en X (8 pisos)
Figura 5.11 Desplazamientos máximos en Y (8pisos)
131
Para el último piso, en la estructura de seis pisos se obtiene una variación en
porcentaje de 11% tanto en el sentido X como en Y, de los desplazamientos en el
análisis sísmico lineal con respecto a los obtenidos en el Método de Superposición
Modal; mientras que para la estructura de ocho pisos esta variación se encuentra para
el último piso entre el 25% y 22% para los sentidos X e Y respectivamente. Estos
porcentajes son los máximos, en vista que pasa pisos inferiores los valores son
similares en los dos métodos.
De lo anterior expuesto, arrojan buenos resultados para el cálculo de los
desplazamientos inelásticos el multiplicar el factor de reducción de respuesta sísmica
R por los desplazamientos elásticos.
132
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS SÍSMICO NO LINEAL
6.1 DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS NO LINEAL
Los modelos constitutivos que consideran la no linealidad del material,
consideran de manera general tres aspectos importantes, el deterioro de la rigidez en
la descarga inelástica, el cambio de rigidez por cierre de grietas y el deterioro en la
resistencia. Es importante, antes de mencionar varios modelos, definir los diagramas
de Momento – Curvatura (M - ).
6.1.1 Diagrama Momento – Curvatura (M - )
El diagrama Momento – Curvatura de una sección de hormigón armado se realiza
en función de la geometría, refuerzo longitudinal y transversal, y propiedades de los
materiales de la sección, teniendo como objetivo conocer la capacidad de ductilidad
de curvatura y la máxima capacidad a flexión de un elemento estructural, para
comparar estos valores y las demandas obtenidas en el diseño sismo – resistentes de
una estructura.
Se conoce como curvatura de una sección de hormigón armado a la relación entre
la deformación específica del hormigón y la distancia desde la fibra más comprimida
del hormigón al eje neutro. La deformación del hormigón c varía desde un valor de
cero hasta un valor de deformación máxima u.
Para cada una de las deformaciones del hormigón, se determina un punto del
diagrama en forma iterativa teniendo una profundidad del eje neutro de tal manera
que el eje neutro final debe satisfacer dos condiciones del equilibrio de fuerzas y
momentos de la sección de hormigón.
133
En el diagrama Momento – Curvatura MC, se pueden apreciar tres puntos
importantes:
A: el hormigón llega a su máximo esfuerzo de tracción (punto de
agrietamiento)
Y: el acero llega a su punto de fluencia (punto de cedencia)
U: el hormigón llega a la deformación máxima, o el acero sobrepasa su límite
elástico (punto último)
Se calculan cada uno de estos puntos tanto para las vigas armadas como para las
columnas, obteniendo los diagramas MC respectivos.
En la figura 6.1 se muestra un diagrama MC que consta de dos partes, en vista
que una sección puede tener una curvatura cóncava o convexa, sin embargo
normalmente se utiliza el diagrama del primer cuadrante con sus ecuaciones
respectivas. En una viga los dos diagramas serán iguales solamente cuando la
armadura a tracción As sea igual a la armadura a compresión A’s (Aguiar 2010).
Figura 6.1 Diagrama Momento - Curvatura
134
Se expondrán de manera general, varios de los modelos constitutivos del
comportamiento no lineal del material en estructuras de hormigón armado.
6.1.2 Modelos de comportamiento no lineal
Modelo bilineal: Utilizan la teoría clásica de la plasticidad, con módulo plástico
constante y endurecimiento por deformación. Las rigideces de las ramas de descarga
y de recarga son paralelas a la rama elástica de la carga inicial. Dentro de los modelos
bilineales, el más simple es el elasto-pástico perfecto, el cual tiene limitaciones por no
considerar el endurecimiento del material, la pérdida de rigidez del elemento y la
máxima deformación límite que pudiera sufrir el material, por lo que se observa que
la curva post – cedencia no tiene pendiente, siendo una línea recta. Además, no se
toma en cuenta la disipación de energía histerética durante deformaciones de
amplitud pequeña.
El modelo bilineal más general, si considera el efecto de endurecimiento por
deformación del acero, razón por la cual se acerca más a la realidad del
comportamiento del material. Este modelo se explica detalladamente más adelante,
por ser el utilizado en este trabajo.
Modelo de Clough y Johnston (1966): Este modelo es una variante de los modelos
bilineales, introduciendo el efecto de degradación de rigidez durante las cargas
reversibles. Cuando el elemento ha cedido, la descarga está asociada con la rigidez
inicial agrietada. La rigidez se reduce cuando el elemento es cargado en sentido
opuesto, por lo que la rigidez en este tramo se determina con la unión de una línea
que conecta el punto de descarga al punto de cedencia. Si el elemento ha cedido en
una nueva dirección de carga, el punto del tramo post-cedente corresponde a la
máxima deformación experimentada. La disipación de energía es tomada en cuenta
una vez que el elemento ha pasado el punto cedente en alguna dirección.
Este modelo no incluye los efectos de degradación, además considera la rigidez
de descarga constante. Wang y Shah (1987) incluyeron este efecto de degradación de
135
resistencia y rigidez de daño acumulativo, en función de un índice de daño propuesto
por estos autores.
Modelo de Takeda et al. (1970): Es uno de los más sofisticados desarrollado en base a
observaciones de ensayos experimentales. Satisface el comportamiento estático y
dinámico de las juntas de hormigón armado, operando en una curva primaria trilineal
que representa los diferentes estados del elemento: estado no agrietado, agrietado y
fluencia. La degradación de la rigidez de descarga se controla por una función
exponencial de la deformación máxima. El comportamiento no lineal empieza cuando
el elemento se agrieta. El efecto de pérdida de rigidez es después de superar el punto
de cedencia del elemento, en las ramas de descarga. Al comenzar a cargar el elemento
en la otra dirección, la rigidez disminuye aún más que la inicial y que en las ramas de
descargas. Al comenzar a cargar el elemento en la otra dirección, la rigidez disminuye
aún más que la inicial y que en las ramas de descargas tomando en consideración el
efecto del deterioro de la rigidez.
Modelo de Park et al. y variantes: También llamado modelo de las dovelas o las
fibras, es uno de los modelos más completos en vista de incluir no sólo la
degradación de la rigidez y el efecto de estrechamiento, sino además la pérdida de
resistencia con los ciclos de carga.
Utilizando el programa el programa de la librería CEINCILAB para el análisis no
lineal – fibras de Aguiar (2013), a manera de ejemplo se describe el procedimiento a
seguir para la realización del diagrama momento – curvatura de la viga indicada en la
figura 6.2.
Para comenzar el análisis, primeramente se identifica a la sección en cuanto a su
geometría, acero de refuerzo longitudinal y transversal, recubrimientos y propiedades
de los materiales. En la figura 6.2 se encuentra esta información, además se consideró
que el hormigón tiene una resistencia a la compresión de 280 Kg/cm².
136
Figura 6.2 Sección de viga (método de fibras)
Asumiendo un valor de deformación inicial de la fibra externa a compresión del
hormigón de 0,002 y la profundidad del eje neutro de 9 cm, se calculó las fuerzas a
partir de los esfuerzos a lo largo de la sección, utilizando las curvas de esfuerzo –
deformación no lineal del hormigón y lineales del acero de refuerzo.
Se calcula la curvatura y momento final en esta fibra, y considerando que la
sección a compresión se dividió en 10 fibras, se repite este procedimiento para una
nueva deformación de la fibra externa a compresión del hormigón. En la figura 6.3 se
encuentra el diagrama momento – curvatura de la viga analizada
6.1.3 Modelo bilineal
En este trabajo se utilizó el modelo bilineal por el método de la rigidez tangente.
La pendiente de las diferentes ramas del diagrama MC corresponde a la rigidez a
flexión (EI). El método de la rigidez tangente considera que la rigidez para cada
incremento de tiempo es el valor inicial de la tangente de la curva de las fuerzas
resistentes. Para su aplicación, se utilizó el Método de Newmark explicado en el
Capítulo 4, utilizando los factores β = 1/6 y γ = 1/2.
137
El modelo elastoplástico considera que la carga como la descarga se realizan con
una misma pendiente denominada rigidez elástica inicial. La fluencia ocurre para una
fuerza que se mantiene constante al aumentar las deformaciones inelásticas.
Figura 6.3 Diagrama Momento - Curvatura de una viga (método de las fibras)
En la curva existe un tramo donde la estructura tiene un comportamiento elástico
lineal, y cuando se sobrepasa este tramo, cualquier acción adicional produce la
deformación plástica. Cuando la acción se disminuye, la estructura regresa a su
comportamiento elástico, hasta que una fuerza produzca el cedimiento plástico, de
esta manera se puede someter a la estructura a cargas y descargas cíclicas. Durante
cada ciclo se disipa una cantidad de energía que es proporcional al área comprendida
dentro de la curva, lo que se conoce como ciclo de histéresis. El modelo
elastoplástico simplifica el comportamiento con la suposición de un punto definitivo
de cedimiento, después del cual ocurren desplazamientos adicionales a un valor
constante de la fuerza de recuperación que se mantiene sin aumento alguno.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.256
8
10
12
14
16
18
20
curvatura (1/m)
MO
ME
NT
OS
T-m
MOMENTOS VS. curvatura
138
El modelo bilineal es similar al modelo elastoplástico, con la excepción de que la
rigidez después post fluencia es mayor a cero. En la figura 6.4 se presenta las ramas
del modelo bilineal que corresponden a los diferentes estados en los cuales trabaja la
estructura, así como los puntos de ajuste.
Figura 6.4 Descripción de las ramas del modelo bilineal O y puntos de ajuste
Se considera que las condiciones iniciales son cero (q0 = 0, F0=0) cuando la
estructura no se encuentra ante ninguna aplicación de acción. El primer tramo lineal
corresponde a un comportamiento elástico material, por lo que de producirse la
descarga, la estructura no sufrirá deformaciones residuales donde el valor de la
pendiente es igual a la rigidez elástica Ke. El segundo tramo, cuando se alcanza la
fuerza de fluencia Fy se observa que la estructura sufre deformaciones las cuales son
la sumatoria de las deformaciones elásticas y plásticas y la pendiente de
endurecimiento Kp es un porcentaje de la rigidez elástica. (Freire y Ortiz 2013).
Cuando la velocidad del sistema es cero, la estructura pasa a la rama 3,
sucediendo lo mismo para pasar a la rama 4 y posteriormente a la rama 5. Las ramas
3 y 5 corresponden a las descargas del sistema en los dos sentidos. Como no se
139
considera deterioro de rigidez en la descarga en estas ramas, la rigidez del sistema es
la pendiente de la elástica inicial. Si se considera que a la estructura que se encuentra
en un tramo plástico, se le realiza una descarga, el punto representativo sigue la
trayectoria de la rama 3, por lo que la estructura quedará con una deformación
remanente qi y si la estructura vuelve a cargarse, el diagrama esfuerzo deformación
seguirá obedeciendo al modelo bilineal (Aguiar 2002).
El punto de ajuste 1 es el primer punto de control de la curva, cuando el cortante
F es igual al cortante de fluencia Fy, se debe determinar un nuevo incremento de
tiempo ∆𝑡∗ que es menor a ∆t con el cual se espera llegar a Fy, como se muestra en
la figura 6.5. El incremento de tiempo ∆𝑡∗ será:
∆𝑡∗ =𝐹𝑦−𝐹𝑖
𝐹𝑖+1−𝐹𝑖∆𝑡 (6.1)
Para este nuevo intervalo de tiempo el incremento de carga será:
∆𝑝∗ = 𝑝𝑖 =∆𝑡∗
∆𝑡(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖) (6.2)
Figura 6.5 Punto de ajuste 1
140
Después que se ha alcanzado este punto de ajuste, se cambia la rigidez a la rigidez
de post fluencia y se continúa los cálculos en la rama 2. Para el ajuste del punto de
control 2, se realiza lo mismo que para el punto 1, pero trabajando con velocidades:
∆𝑡∗ =𝑖
𝑖−𝑖+1∆𝑡 (6.3)
Para el punto de ajuste 3 se debe encontrar la fuerza F3:
𝐹3 = 𝐹2 ± 2 × 𝐹𝑦 (6.4)
El signo del término 2Fy se determina a partir del valor de F2, si F2 es el límite
superior se utiliza el signo negativo, y si es el límite inferior, se utiliza el signo
positivo para hallar F3 como se indica en la figura 6.6.
Después de encontrado el punto de ajuste 3, nuevamente se determina el
incremento de tiempo t* y el nuevo incremento de carga p*:
∆𝑡∗ =𝐹3−𝐹𝑖
𝐹𝑖+1−𝐹𝑖∆𝑡 (6.5)
∆𝑝∗ = 𝑝𝑖 =∆𝑡∗
∆𝑡(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖) (6.6)
Cuando se alcanza el punto de ajuste, nuevamente se cambia la rigidez y se
realizan los cálculos en la rama 4. Para encontrar el punto de ajuste 4 se sigue el
mismo procedimiento realizado para el punto de ajuste 2, y para el punto de ajuste 5
el mismo procedimiento del punto de ajuste 3.
En este trabajo se utilizó el análisis no lineal con el modelo bilineal por el método
de la rigidez tangente en pórticos de 1, 2 y 3 pisos con acelerogramas escalados para
determinar los desplazamientos. A fin de tener resultados de comparación, se utilizó
el método de superposición modal descrito anteriormente para obtener los valores de
los periodos y los desplazamientos elásticos e inelásticos.
141
Figura 6.6 Punto de ajuste 3
6.2 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL EN ESTRUCTURAS DE 1, 2 Y
3 PISOS
Se analizaron tres estructuras de uno, dos y tres pisos de hormigón armado
conformado por pórticos sismo – resistentes con vigas descolgadas, ubicadas en el
sector Tenis Club. Por esta razón se utilizaron los parámetros de R, Fa, Fd y Fs
utilizados en capítulos anteriores.
A fin de comparar los resultados, se utilizaron los siguientes criterios de
combinación modal:
- Combinación propuesta por la Norma Técnica del Perú (2003)
- Combinación del máximo valor probable (SRSS)
- Combinación de la suma de absolutos (ABSSUM)
- Combinación propuesta de Alejandro Gómez (2002)
142
- Combinación propuesta por las Normas estructurales de diseño y construcción
de Guatemala (1996)
Se describe la configuración de cada pórtico en las figuras 6.7, 6.8 y 6.9 con las
dimensiones de los elementos estructurales y los periodos correspondientes. En las
tablas 6.1, 6.2 y 6.3 se encuentran los valores de desplazamientos inelásticos para los
criterios de combinación modal mencionados de cada pórtico.
6.2.1 Estructura de 1 piso
Figura 6.7 Configuración y secciones del pórtico de un piso
T = 0,282
Tabla 6.1 Desplazamientos inelásticos del pórtico de 1 piso
Criterio de combinación modal Desplazamiento
inelástico
Norma Técnica del Perú 0,0226
Máximo valor probable (SRSS) 0,0226
Suma de absolutos (ABSSUM) 0,0226
Alejandro Gómez 0,0319
Normas de Guatemala 0,0226
143
6.2.2 Estructura de 2 pisos
Figura 6.8 Configuración y secciones del pórtico de dos pisos
T = 0,4952
0,1581
Tabla 6.2 Desplazamientos inelásticos del pórtico de 2 pisos
Criterio de combinación modal Desplazamiento inelástico
Piso 1 Piso 2
Norma Técnica del Perú 0,0428 0,0923
Máximo valor probable (SRSS) 0,0421 0,0917
Suma de absolutos (ABSSUM) 0,0447 0,094
Alejandro Gómez 0,0614 0,1313
Normas de Guatemala 0,0434 0,0928
Los desplazamientos inelásticos obtenidos con los criterios de combinación
modal de la Norma Técnica del Perú, Máximo valor probable (SRSS), Suma de
absolutos (ABSSUM) y con las Normas de Guatemala son similares tanto para el
pórtico de 1, 2 y 3 pisos, no así con el criterio de Alejandro Gómez, donde se tienen
valores mayores.
144
6.2.3 Estructura de 3 pisos
Figura 6.9 Configuración y secciones del pórtico de tres pisos
0,5447
T = 0,1733
0,1054
Tabla 6.3 Desplazamientos inelásticos del pórtico de 3 pisos
Criterio de combinación modal Desplazamiento inelástico
Piso 1 Piso 2 Piso 3
Norma Técnica del Perú 0,0352 0,0772 0,1015
Máximo valor probable (SRSS) 0,0343 0,0767 0,1004
Suma de absolutos (ABSSUM) 0,0379 0,0787 0,1047
Alejandro Gómez 0,0511 0,1099 0,1451
Normas de Guatemala 0,0361 0,0777 0,1026
6.3 ANÁLISIS NO LINEAL EN ESTRUCTURAS DE 1, 2 Y 3 PISOS
Se analiza los pórticos anteriores, utilizando el modelo bilineal por el método de
la rigidez tangente. Se utiliza la información de las dimensiones de las secciones de
145
los elementos estructurales indicadas anteriormente en el método de superposición
modal, sección del acero de refuerzo longitudinal y transversal, y propiedades de los
materiales.
Como propiedades de los materiales se considera un valor de la resistencia a la
compresión del hormigón de f’c = 210 Kg/cm², y del acero de refuerzo un límite de
fluencia de fy = 4.200 Kg/cm². Los valores de carga axial que actúan en las columnas
se obtienen repartiendo el peso total en cada cabeza de columna.
A partir de los periodos fundamentales obtenidos en el método de superposición
modal, se determinan los acelerogramas escalados.
Mediante el uso del programa NoLineal_MomentoCurvatura que contiene los
subprogramas Momento Curvatura, MCviga y MCcolumna dentro de la librería
CEINCILAB, se obtienen los diagramas Momento – Curvatura de los elementos que
conforman los pórticos analizados, y los desplazamientos máximos en cada piso para
cada uno de los ocho registros sísmicos.
6.3.1 Análisis no lineal en estructura de 1 piso
En las figuras 6.10 y 6.11 se indica las dimensiones y armado de los elementos
vigas y columnas del pórtico, y en la tabla 6.4 los valores de las cargas utilizadas. En
la tabla 6.5 se encuentra los factores SF1, SF2 y SF a partir del periodo fundamental
calculado anteriormente, y en la figura 6.12 los diagramas de los acelerogramas
escalados.
A manera de ejemplo, en la figura 6.13 se muestra los diagramas de momento –
curvatura de los pies de columnas del pórtico para el registro sísmico ux corralitos.
En la figura 6.14 los diagramas tiempo – desplazamiento para cada uno de los
registros sísmicos escalados.
En la tabla 6.6 están los valores de los desplazamientos máximos calculados con
cada uno de los acelerogramas escalados SF.
146
Figura 6.10 Detalle de viga del pórtico de un piso
Figura 6.11 Detalle de columna del pórtico de un piso
Tabla 6.4 Cargas utilizadas en el pórtico de un piso
Piso
CARGA
MUERTA (D)
(T/m²)
CARGA VIVA (L) (T/m²) TOTAL POR
PISO (t/m²) Para carga
vertical
Para análisis
sísmico
1 0,389 0,250 0,063 0,451
147
Tabla 6.5 Factores SF1, SF2 y SF para el pórtico de 1 piso
REGISTRO SF1 SF2 SF
ux corralitos 0,2271 1,5370 0,3491
uy corralitos 0,1441 1,5370 0,2215
ux Newhall 0,1413 1,5370 0,2172
uy Newhall 0,1408 1,5370 0,2164
ux Sylmar 0,1055 1,5370 0,1622
uy Sylmar 0,1990 1,5370 0,3059
ux jma 0,1260 1,5370 0,1937
uy jma 0,1712 1,5370 0,2631
Figura 6.12 Espectros de respuesta escalados del pórtico de un piso
Tabla 6.6 Desplazamientos máximos (pórtico de 1 piso)
PISO
DESP.
INELÁSTICO DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS
ERN12
ux
corralitos
uy
corralitos
ux
Newhall
uy
Newhall
1 0,0228 0,0128 0,0170 0,0117 0,0124
PISO DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0196 0,0165 0,0204 0,0232 0,0167
148
Figura 6.13 Diagramas de momento – curvatura en pie de columna 1 piso
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-3
-2
-1
0
1
2
3
Curvatura(Rad)
Mom
en
to (
T/m
2)
MOMENTO vs CURVATURA pie columna 1
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-3
-2
-1
0
1
2
3
Curvatura(Rad)
Mom
en
to (
T/m
2)
MOMENTO vs CURVATURA pie de columna 2
149
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-3
-2
-1
0
1
2
3
Curvatura(Rad)
Mom
en
to (
T/m
2)
MOMENTO vs CURVATURA pie columna 3
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Curvatura(Rad)
Mom
en
to (
T/m
2)
MOMENTO vs CURVATURA pie columna 4
150
En la figura 6.14 se muestra el diagrama tiempo – desplazamiento del pórtico de 1
piso para cada uno de los registros sísmicos escalados.
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-3
-2
-1
0
1
2
3
Curvatura(Rad)
Mom
en
to (
T/m
2)
MOMENTO vs CURVATURA pie columna 5
151
Figura 6.14 Diagramas tiempo – desplazamiento (1 piso)
ux corralitos
uy corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
152
ux Newhall
uy Newhall
0 10 20 30 40 50 60-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
0 10 20 30 40 50 60-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
153
ux Sylmar
uy Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
154
ux jma
uy jma
0 50 100 150-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
0 50 100 150-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO
155
6.3.2 Análisis no lineal en estructuras de 2 y 3 pisos
En las figuras 6.15 y 6.16 se encuentra la información de las vigas y columnas del
pórtico de dos pisos, y en las figuras 6.17 y 6.18 del pórtico de tres pisos.
Figura 6.15 Detalle de viga del pórtico de dos pisos
Figura 6.16 Detalle de columna del pórtico de dos pisos
156
Figura 6.17 Detalle de viga del pórtico de tres pisos
Figura 6.18 Detalle de columna del pórtico de tres pisos
En las tablas 6.7 y 6.8 están los valores de cargas utilizados para cada pórtico. Se
consideró un valor de la resistencia a la compresión del hormigón de f’c = 210
Kg/cm² y un acero de refuerzo con un límite de fluencia de fy = 4.200 Kg/cm² para
los dos pórticos.
157
Tabla 6.7 Cargas utilizadas en el pórtico de dos pisos
Piso CARGA MUERTA (D)
(T/m²)
CARGA VIVA (L) (T/m²) TOTAL POR
PISO (t/m²) Para carga
vertical
Para análisis
sísmico
1 0,709 0,250 0,063 0,771
2 0,389 0,250 0,063 0,451
Tabla 6.8 Cargas utilizadas en el pórtico de tres pisos
Piso CARGA MUERTA (D)
(T/m²)
CARGA VIVA (L) (T/m²) TOTAL POR
PISO (t/m²) Para carga
vertical
Para análisis
sísmico
1 0,709 0,250 0,063 0,771
2 0,709 0,250 0,063 0,771
3 0,389 0,250 0,063 0,451
Tabla 6.9 Factores SF1, SF2 y SF para el pórtico de dos pisos
REGISTRO SF1 SF2 SF
ux corralitos 0,1738 1,7562 0,3052
uy corralitos 0,1409 1,7562 0,2474
ux Newhall 0,1120 1,7562 0,1967
uy Newhall 0,1421 1,7562 0,2496
ux Sylmar 0,1056 1,7562 0,1855
uy Sylmar 0,1722 1,7562 0,3024
ux jma 0,1053 1,7562 0,1849
uy jma 0,1353 1,7562 0,2376
Tabla 6.10 Factores SF1, SF2 y SF para el pórtico de tres pisos
REGISTRO FS FS FS
ux corralitos 0,1573 1,5699 0,2469
uy corralitos 0,1387 1,5699 0,2177
ux Newhall 0,1019 1,5699 0,1600
uy Newhall 0,1355 1,5699 0,2127
ux Sylmar 0,1022 1,5699 0,1604
uy Sylmar 0,1582 1,5699 0,2484
ux jma 0,1000 1,5699 0,1570
uy jma 0,1192 1,5699 0,1871
158
Figura 6.19 Espectros de respuesta escalados del pórtico de dos pisos
Figura 6.20 Espectros de respuesta escalados del pórtico de tres pisos
159
Los valores de los factores SF1, SF2 y SF se muestran en las tablas 6.9 y 6.10 para
cada pórtico. Los acelerogramas escalados y su promedio se muestran en las figuras
6.19 y 6.20 de cada pórtico.
En las figura 6.21 y 6.22 se indican los diagramas tiempo – desplazamiento para
cada uno de los registros sísmicos afectados con los factores SF de los pórticos de dos
y tres pisos. En las tablas 6.11 y 6.12 están los valores de los desplazamientos
máximos calculados con cada uno de los acelerogramas escalados con los factores SF
para los pórticos de dos y tres pisos.
Tabla 6.11 Desplazamientos máximos (pórtico de 2 pisos)
PISO
DESP.
INELÁSTICO DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS
ERN12
ux
corralitos
uy
corralitos
ux
Newhall
uy
Newhall
1 0,0428 0,0312 0,0210 0,0355 0,0164
2 0,0923 0,0657 0,0465 0,0718 0,0364
PISO DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0178 0,0196 0,0282 0,0437 0,0267
2 0,0416 0,0438 0,0617 0,0832 0,0563
Tabla 6.12 Desplazamientos máximos (pórtico de 3 pisos)
PISO
DESP.
INELÁSTICO DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS
ERN12
ux
corralitos
uy
corralitos
ux
Newhall
uy
Newhall
1 0,0352 0,0236 0,0114 0,0174 0,0139
2 0,0772 0,0559 0,0233 0,0401 0,0304
3 0,1015 0,0746 0,0293 0,0537 0,0402
PISO DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS
ux Sylmar uy Sylmar ux jma uy jma Promedio
1 0,0120 0,0226 0,0225 0,0289 0,0190
2 0,0294 0,0514 0,0523 0,0663 0,0436
3 0,0416 0,0676 0,0696 0,0875 0,0580
160
Figura 6.21 Diagramas tiempo – desplazamiento (2 pisos)
ux corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
161
uy corralitos
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
162
ux Newhall
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
163
uy Newhall
0 10 20 30 40 50 60-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
164
ux Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
165
uy Sylmar
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
166
ux jma
0 50 100 150-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 50 100 150-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
167
uy jma
0 50 100 150-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 50 100 150-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
168
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
Figura 6.22 Diagramas tiempo – desplazamiento (3 pisos)
ux corralitos
169
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
uy corralitos
170
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
ux Newhall
171
0 10 20 30 40 50 60-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
uy Newhall
172
0 10 20 30 40 50 60-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
ux Sylmar
173
0 10 20 30 40 50 60-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 10 20 30 40 50 60-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
uy Sylmar
174
0 50 100 150-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 50 100 150-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 50 100 150-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
ux jma
175
0 50 100 150-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 1
0 50 100 150-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 2
0 50 100 150-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo (s)
Desp
laza
mie
nto
(m
)
TIEMPO vs DESPLAZAMIENTO PISO 3
uy jma
176
6.4 COMPARACIÓN DE RESULTADOS
En los gráficos 6.23, 6.24 y 6.25 se muestran los valores de los desplazamientos
máximos obtenidos para cada registro sísmico escalado y los encontrados con el
método de superposición modal de los pórticos analizados. El valor de los
desplazamientos inelásticos obtenidos en el método de superposición modal se
encuentran afectados por el valor de factor R de reducción de respuesta sísmica. Se
observa que este valor del desplazamiento inelástico es mayor a los encontrados por
el análisis no lineal.
En la NEC, para el cálculo de la deriva máxima inelástica ΔM de cada piso en una
estructura, se utiliza la expresión 6.15 siendo ΔE la deriva elástica obtenida en
aplicación de las fuerzas laterales de diseño reducidas.
ΔM = 0,75 R ΔE (6.15)
Figura 6.23 Diagrama desplazamientos máximos (1 piso)
177
Figura 6.24 Diagrama desplazamientos máximos (2 pisos)
Figura 6.25 Diagrama desplazamientos (3 pisos)
178
Esta ecuación es similar a la utilizada en otros países, como se puede observar en
la tabla 6.13, actualizada de Aguiar (2008), donde se muestran además los valores del
factor R de varios países latinoamericanos para el caso específico de pórticos
resistentes a momentos, conformado por columnas de hormigón armado y vigas
descolgadas de hormigón armado. Se considera que si el tipo de espectro es último,
no requiere la mayoración de la acción sísmica en las combinaciones de carga.
Tabla 6.13 Derivas máximas inelásticas. Actualizado Aguiar (2008)
País Norma Factor
R
Tipo de
espectro
Deriva de
piso
máxima
Tipo de
análisis
Deriva
máxima
inelástica
Ecuador NEC-11 6 Servicio 0,020 Inelástico 0,75RΔe
Perú E.030 8 Servicio 0,007 Inelástico 0,75RΔe
Colombia NSR-10 5 Último 0,010 Inelástico RΔe
Venezuela
COVENIN
1756-98 6 Último 0,018 Inelástico 0,8RΔe
Chile NCh 433-96 11 Servicio 0,001 Elástico
El cálculo de la deriva máxima inelástica, así como el valor del factor de
reducción de respuesta sísmica R, han cambiado en la promulgación de nuevas
normas en los últimos años. En la tabla 6.14 se puede observar este cambio para la
norma colombiana y la ecuatoriana.
Tabla 6.14 Factor R para diferentes normas de un mismo país
País Norma Factor
R
Tipo de
espectro
Deriva
de piso
máxima
Tipo de
análisis
Desplazamient
o inelástico
Ecuador CEC-2000 10 Servicio 0,02 Inelástico RΔe
NEC-11 6 Servicio 0,02 Inelástico 0,75RΔe
Colombia NSR-98 7 Último 0,01 Inelástico RΔe
NSR-10 5 Último 0,01 Inelástico RΔe
179
Figura 6.26 Diagrama desplazamientos máximos con factor 0.75 (1 piso)
Figura 6.27 Diagrama desplazamientos máximos con factor 0.75 (2 pisos)
180
Figura 6.28 Diagrama desplazamientos máximos con factor 0.75 (3 pisos)
Si se utiliza este factor de 0.75 establecido en la NEC para el cálculo del
desplazamiento inelástico, estos valores se acercan más a los valores de
desplazamientos máximos del análisis no lineal, teniendo el desplazamiento del
último piso una variación en porcentaje del 2%, 19% y 24% para los pórticos de uno,
dos y tres pisos respectivamente, de acuerdo a las figuras 6.26, 6.27 y 6.28.
181
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Se ha presentado el trabajo del estudio y la comparación de varios métodos de análisis
con estudios de microzonificación sísmica, utilizando acelerogramas escalados. Se expone
las principales consideraciones en la realización del mismo.
Los factores de sitio encontrados por el estudio ERN-12 de microzonificación símica de
la ciudad de Quito, son específicos para cada sector de la ciudad, obteniéndose espectros de
aceleraciones mayores o menores al encontrado utilizando los parámetros de la NEC-11,
por lo que sus desplazamientos máximos también son diferentes.
Los sismos producidos en la ciudad de Quito, son superficiales, siendo el registrado el
12 de agosto de 2014 y sus réplicas asociados a las fallas ciegas de la zona del segmento
Bellavista – Catequilla.
Utilizando el procedimiento para escalamiento de sismos propuesto por el ASCE 2010,
para estructuras de periodos bajos se obtienen factores SF2 altos, por lo que el espectro
promedio resulta mayor al espectro objetivo; si únicamente se utiliza el factor FS1 se
obtiene un espectro de aceleraciones promedio más cercano al espectro objetivo, sin
embargo se pueden presentar valores de ordenadas de aceleraciones menores al espectro
objetivo. Para estructuras con periodos altos, el escalamiento arroja buenos resultados,
siendo los valores de aceleraciones cercanas a las del espectro objetivo. Si se considera el
análisis de una estructura en tres dimensiones, se obtienen los espectros SRSS escalando
cada par de registros sísmicos, siendo similares a los encontrados escalando cada registro
sísmico por separado.
Los valores promedio de desplazamientos elásticos obtenidos en el análisis sísmico
lineal con el método Beta de Newmark de las estructuras de 6 y 8 pisos, son similares a los
encontrados con el método de superposición modal utilizando los parámetros del ERN-12,
tanto en el sentido x e y de las estructuras de seis y ocho pisos, teniendo unos porcentajes
máximos de variación en el último piso de 11% y 25% respectivamente.
182
Los valores de los desplazamientos máximos obtenidos en los pórticos de 1, 2 y 3 pisos
mediante el análisis no lineal con el modelo bilineal utilizando el factor de escalamiento SF
en los acelerogramas, son mayores a los obtenidos mediante el método de superposición
modal, en vista de ser el acelerograma escalado mayor al espectro objetivo. Si se considera
el factor de 0.75 que recomienda la NEC en el cálculo de la deriva máxima inelástica, los
valores de desplazamientos máximos se acercan a los obtenidos con el método de
superposición modal, teniendo una variación en porcentaje de los desplazamientos en el
último piso de 2%, 19% y 24% para los pórticos de uno, dos y tres pisos respectivamente.
7.1 CONCLUSIONES
Quito es una de las ciudades de alto peligro sísmico del mundo. Los sismos
impulsivos con una profundidad focal pequeña, es decir superficiales, asociados a
las fallas ciegas de Quito, tienen un alto poder destructivo.
Utilizando el procedimiento de escalamiento de sismos propuesto por el ASCE
2010 para estructuras de periodos bajos, se obtienen factores SF2 altos, por lo que el
espectro promedio resulta mayor al espectro objetivo. Para estructuras con periodos
altos, el escalamiento de sismos arroja buenos resultados.
Los resultados de desplazamientos obtenidos por el método de superposición modal
para una misma estructura, utilizando la NEC y el ERN-12, difieren en vista de
tener espectros de aceleraciones diferentes en función de los factores de sitios
propios para un sector específico de la ciudad de Quito.
Al comparar los valores obtenidos en estructuras de seis y ocho pisos de
desplazamientos con el método de superposición modal y el análisis lineal de Beta
de Newmark, se obtienen buenos resultados para el cálculo del desplazamiento
inelástico al multiplicar los desplazamientos elásticos por el factor de reducción de
resistencia sísmica R.
183
Para el cálculo del desplazamiento inelástico, comparando los valores obtenidos en
pórticos de uno, dos y tres pisos con el método de análisis no lineal con el de
superposición modal, arrojan resultados aceptables al multiplicar los
desplazamientos elásticos por el factor de reducción de resistencia sísmica R y el
factor de 0.75 indicado en la NEC.
De lo anterior expuesto, utilizando estudios de microzonificación sísmica y
acelerogramas escalados, se obtienen respuestas máximas cercanas al real comportamiento
de una estructura, validando la hipótesis planteada.
7.2 RECOMENDACIONES
Socializar el uso del estudio de microzonificación sísmica de la ciudad de Quito
ERN-12 en la determinación de los espectros de diseño, a fin de tener resultados
más reales, que consideren las características físicas y mecánicas propias de los
suelos en un determinado sector.
En los métodos de análisis en el tiempo, utilizar registros sísmicos con
características de magnitud, mecanismos de falla y efectos en el suelo similares al
comportamiento del suelo donde se encuentra la estructura a analizar, a fin de
conseguir acelerogramas escalados al espectro objetivo consistentes al sismo de
diseño.
184
BIBLIOGRAFÍA
1. ACEVEDO, Ana. Acelerogramas Reales de la Red Nacional de acelerógrafos
de Colombia para su uso en análisis dinámicos. EN: EIA, 17: 57-70, julio 2012.
2. AGUIAR, Roberto. Microzonificación Sísmica de Quito. Editorial Centro de
Investigaciones Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Quito, 2013. 212
p.
3. AGUIAR, et all. Comentarios al escalamiento de sismo del ASCE 2010. EN:
Ciencia, 16(1): 59-72, marzo 2014.
4. AGUIAR, Roberto, Castillo D., Mosquera D. Los sismos impulsivos y la
necesidad de considerar factores “near falut” en el espectro para diseño de
estructuras en Quito. Tercera Jornada de Investigación Científica desde las
aulas. Universidad de Fuerzas Armadas ESPE, 2013.
5. AGUIAR Roberto. Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Editorial
Centro de Investigaciones Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Quito,
2012. 416 p.
6. AGUIAR, Roberto. Análisis Sísmico por Desempeño. Editorial Centro de
Investigaciones Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Quito, 2003. 342
p.
7. AGUIAR, Roberto. Sistema de computación CEINCI3 para evaluar daño
sísmico en los Países Bolivarianos. Editorial Centro de Investigaciones
Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Quito, 2002. 302 p.
8. ALVARADO, Alexandra. La deformación continental en el Ecuador y su
implicación en el Peligro Sísmico. Tercer Encuentro de Ingeniería Civil.
Escuela Politécnica Nacional- Quito, 2013
9. CASTILLO, David. Espectros de diseño para Quito, considerando factores de
cercanía asociadas a fallas ciegas. Escuela Politécnica del Ejército. Carrera de
Ingeniería Civil. Sangolquí. EC, 2014. 150 p.
185
10. CAIZA, Pablo, Navia P. Diagrama Momento Curvatura en una viga, aplicando
el método de las fibras. Tercera Jornada de Investigación Científica desde las
aulas. Universidad de Fuerzas Armadas ESPE, 2013
11. ERN-2012, Microzonificación sísmica del Distrito Metropolitano de Quito:
Estudio de la amenaza sísmica a nivel local. Programa para la reducción de
riesgos urbanos, Quito, 2012.
12. NEC-11, Norma Ecuatoriana de la Construcción, Ministerio de Desarrollo
Urbano y Vivienda, Quito, 2014.
13. OYARZO, Claudio. Métodos de selección y escalamiento de registros sísmicos
para análisis de la respuesta en el tiempo. EN: Obras y Proyectos 5: 18-25,
mayo 2009.
14. PANELLA, et all. Identificación de Registros sísmicos impulsivos para uso en
ingeniería estructural. EN: Mecánica Computacional 32: 851-863, noviembre
2013.
15. PEÑAFIEL, Lilia. Geología y análisis del recurso hídrico subterráneo de la
subcuenca del sur de Quito. Trabajo de Grado. Ingeniero Geólogo. Escuela
Politécnica Nacional. Quito, 2009. 169 p.
16. PICÓN, Ricardo. Modelo simplificado para el comportamiento dinámico de
pórticos con vigas plana – columna de concreto armado considerando el
deslizamiento entre el refuerzo y el concreto en las juntas. Trabajo de Grado.
Doctor en Ciencias Aplicadas. Universidad de los Andes. Doctorado en
Ciencias Aplicadas. Mérida, Venezuela, 20013. 189 p.
17. QUISHPE, Daissy y QUISHPE Magaly. Espectros para el Distrito
Metropolitano de Quito asociados a las fallas de: Quito y Nanegalito. Escuela
Politécnica del Ejército. Carrera de Ingeniería Civil. Sangolquí. EC, 2011. 171
p.
18. SANGURIMA, Katyuska. Programa MIZOSI-Q y la Microzonificación sísmica
de Quito. Trabajo de Grado. Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.
Carrera de Ingeniería Civil. Sangolquí. EC, 2013. 172 p.
186
19. VALVERDE, et all. Microzonificación sísmica de los suelos del Distrito
Metropolitano de la ciudad de Quito. Escuela Politécnica Nacional, Municipio
del Distrito Metropolitano de Quito, Quito, 2002. 146 p.
20. VILLÁGOMEZ, Diego. Evolución Geológica Plio – cuaternaria del Valle
Interandino Central en Ecuador (zona de Quito – Gyallabamba – San Antonio
de Pichincha). Trabajo de Grado. Ingeniero Geólogo. Escuela Politécnica
Nacional. Quito, 2003. 130 p.
187
BIOGRAFÍA DEL AUTOR
PAOLA XIMENA VILLALBA NIETO, nacida en Quito, Provincia de
Pichincha, Ecuador el 19 de marzo de 1981, hija de Edwin Tomás Villalba García y
Rosa Jimena Nieto Checa. Realiza sus estudios primarios en la escuela de práctica
“Reina Silvia de Suecia” de la ciudad de Quito, los estudios secundarios en el
Colegio “Cinco de Junio” obteniendo el título de Bachiller en Ciencia Físico
Matemático en el año 1996. Sus estudios superiores los realizó en la “Universidad
Central del Ecuador Facultad de Ingeniería Ciencias Física y Matemática” alcanzando
el título de Ingeniero Civil, especialidad Estructuras en el año 2006, cursando los
estudios en la misma universidad en la Maestría en Estructuras y Ciencias de los
Materiales. Ha realizado un sinnúmero de cursos referentes a la Ingeniería Civil, en
los campos de Estructuras y Contratación Pública. Su experiencia profesional la ha
desarrollado en empresas públicas y privadas, siendo sus principales funciones en
empresas públicas: en el Cuerpo de Ingenieros del Ejército como Jefe de Sección
Técnica, Coordinadora Operativa de varios Grupos de Trabajo entre el que se destaca
el de Bahía, dentro de la construcción del puente sobre el estuario del río Chone; en el
Ministerio del Interior como Supervisora Técnica desempeñando funciones de
fiscalizadora y administradora de contratos de obra y consultoría a nivel nacional; en
el Consejo de la Judicatura como Experta de Proyectos en el área estructural,
teniendo como responsabilidad la aprobación de los proyectos estructurales de las
Unidades y Complejos Judiciales en todo el país. Dentro del campo privado, ha
realizado varios proyectos, tanto de diseño estructural como de evaluación de
estructuras. Actualmente se desempeña como docente de la Carrera de Ingeniería
Civil de la Universidad Central del Ecuador, asó como Asesora Técnica de la
Compañía Consultores y Constructores Pladiestru Sociedad Anónima la cual
desarrolla actividades de Ingeniería Civil.
