Confiabilidad

César Angulo Bustíos

DEFINICIÓN

• “Confiabilidad es la probabilidad de que una unidad realice su función hasta un tiempo especificado bajo las condiciones de uso encontradas”. Meeker y Escobar, (1998)

• Es importante que esta probabilidad sea evaluada bajo las condiciones ambientales o de uso encontradas por el producto, en lugar de las condiciones de trabajo para las que el producto fue diseñado.

• Condra, (2001) afirma: “Un producto confiable es aquel que hace lo que el usuario quiere que haga cuando el usuario quiere que lo haga”.

• Entonces, la confiabilidad es calidad a través del tiempo; por lo tanto un producto confiable debe permanecer dentro de sus límites de especificación durante su vida tecnológica; buena calidad es necesaria pero no suficiente para garantizar buena confiabilidad.

• Esto plantea otra dificultad: la confiabilidad de un producto se puede evaluar directamente sólo después de que ha estado en servicio por algún tiempo.

SISTEMAS REPARABLES Y NO REPARABLES

• Existen dos áreas grandes e importantes en confiabilidad:

– Sistemas reparables.

– Componentes o unidades reemplazables (no reparables).

• En general, el análisis y la modelación de datos de estas dos áreas requieren de diferentes supuestos acerca de los datos y de diferentes esquemas de muestreo para obtenerlos.

• Datos de componentes o unidades reemplazables describen tiempos de falla o degradación de unidades que no son reparadas.

• Entre otras razones, una unidad no es reparada porque es más práctico o económico reemplazarla, o es muy difícil repararla.

• La mayoría de los productos modernos están diseñados para operar sin falla por períodos largos de tiempo.

• Entonces, solo un número reducido de unidades fallará o se degradará apreciablemente en un ensayo de duración práctica, en condiciones normales de operación o uso.

DEFINICIONES

• Si un componente o sistema se pone en funcionamiento en t = 0, el tiempo para que ocurra una falla, T, puede considerarse como la variable aleatoria continua con una función densidad de probabilidad, f (t).

DEFINICIONES• La confiabilidad de un componente o sistema,

R(T), es la probabilidad de que dicho componente no falle durante el intervalo [0, t].

• Es decir, la probabilidad de que falle en un tiempo mayor que t.

• R(t) = P(T > t).T es la duración del componente.

• 1 – R(t) = Q(t), es la probabilidad de que en el instante t el componente o sistema ya haya fallado.

MODELO DE FALLAS

• Supóngase que se pone a prueba una pieza de un equipo hasta que falla y se registra el instante en el que falla.

• Se repara el equipo, se pone nuevamente a prueba hasta que se produce la siguiente falla, se registra ese instante, y así sucesivamente durante mucho tiempo. (Ver datos en Excel).

MODELO DE FALLAS• Luego se calcula, para intervalos de tiempo

iguales, el número de fallas que han ocurrido. A esto se le denomina índice de fallas.

• En el caso de la pieza mencionada, se ha calculado, para cada 10 horas, el número de fallas por hora, es decir, el índice de fallas.

• Este gráfico suele seguir un patrón de falla conocido como curva de la bañera (ver curva punteada).

Curva de la bañera

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Horas

Nº

de

fa

lla

s/h

ora

Periodo de

falla temprana Periodo de operación normal Periodo de desgaste

PERIODO DE FALLA TEMPRANA O DE MORTALIDAD INFANTIL

• Se caracteriza por altos índices de fallas que se presentan al poco tiempo de uso, que se deben a desaciertos en el diseño o en la manufactura, al mal uso, o a aplicaciones equivocadas.

• Se corrigen y ya no vuelven a ocurrir.

• Un ejemplo típico es el agujero para aceite que no se perforó.

• Generalmente se eliminan este tipo de fallas tempranas mediante pruebas de uso simulado o sobreestimulado. Así, las fallas se producen durante las pruebas.

PERIODO DE OPERACIÓN NORMAL

• Se caracteriza por tener índices de fallas muy bajos y casi del mismo nivel.

• Aquí las fallas se deben a limitaciones inherentes al diseño, cambios en el ambiente y accidentes provocados por el uso.

• Los accidentes pueden limitarse mediante un buen control de los procesos de operación y mantenimiento.

PERIODO DE DESGASTE

• Los índices de fallas comienzan a crecer debido a la edad de los componentes o del producto.

• Por ejemplo, cuando un metal se vuelve quebradizo o cuando un aislante se seca.

• En estos casos sólo se puede reducir el índice de fallas mediante el reemplazo de los componentes viejos.

LA DISTRIBUCIÓN DEL TIEMPO ENTRE FALLAS

• Además del índice de fallas durante el periodo de falla temprana, a los usuarios les preocupa el periodo de tiempo en que un producto funcionará sin fallas.

• Para productos reparables, el tiempo entre fallas (TBF) es una característica crítica, y su variación puede estudiarse estadísticamente.

• Para productos reemplazables (no reparables), la característica crítica es el tiempo antes de la falla.

• Cuando el índice de fallas es constante, lo cual ocurre durante el denominado periodo de operación normal, la distribución del tiempo entre fallas sigue una distribución exponencial.

• Recuérdese el ejemplo de la pieza del equipo que se puso a prueba hasta que falló, y se reparó hasta que volvió a fallar, y así sucesivamente.

• Midiendo los tiempos entre fallas sucesivas durante el periodo de operación normal, se construye una tabla de distribución de frecuencias y el histograma que se muestra con Excel.

f

0,1 1,0 23

1,1 2,0 8

2,1 3,0 3

3,1 4,0 3

4,1 5,0 2

5,1 6,0 2

TBF

HISTOGRAMA DEL TBF

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6

TBF (horas)

Fre

cuen

cia

LA FÓRMULA EXPONENCIAL DE CONFIABILIDAD

• La distribución del tiempo entre fallas (TBF) permite determinar las posibilidades de obtener una operación libre de fallas para un periodo específico.

• Asumiendo entonces que el tiempo entre fallas tiene una distribución exponencial, y que el índice de fallas (número de fallas por unidad de tiempo) es constante, igual a , se puede deducir que la función densidad de probabilidad del tiempo entre fallas es:

f(t) = e-t

LA FÓRMULA EXPONENCIAL DE CONFIABILIDAD

• De esta función se deduce que la probabilidad de tener una operación libre de fallas en un periodo igual a t es:

R(t) = P(t) = e-t = e-t/

• Se denomina al tiempo promedio entre fallas (MTBF): = 1/ .

La fórmula exponencial de confiabilidad

• Para productos no reparables se usa la expresión tiempo hasta la falla (TTF). A la media del tiempo hasta la falla se le denomina MTTF.

• La probabilidad de que un producto esté libre de fallas durante su MTBF es:

R() = e- / = e-1 = 0,3678 = 36,78%

• Este resultado es contrario a la sensación intuitiva de que existe una probabilidad del 50% de exceder el MTBF.

Ejemplo

• Si el tiempo medio entre fallas de una lavadora es de 500 horas, y se asume un índice constante de fallas, la probabilidad de que la lavadora esté libre de fallas durante 100 horas consecutivas es:

R(100) = e-100/500 = e-0,2 = 0,82

Ejemplo

• Si la lavadora requiere de una hora para limpiar una carga de ropa, la probabilidad de que complete un ciclo sin fallas es:

R(1) = e-1/500 = e-0,002 = 0,998

• O sea que, de cada mil cargas de ropa, se espera que sólo en dos de ellas la lavadora falle durante el ciclo.

Ejemplo

• Un incremento en la MTBF no da como resultado un incremento proporcional en la confiabilidad. En la siguiente tabla se muestran cálculos de la confiabilidad de la lavadora del ejemplo anterior, después de 100 horas de operación, para distintas MTBF:

MTBF R(100)

500 0,82

1 000 0,90

2 000 0,95

10 000 0,99

¿ES CONSTANTE EL ÍNDICE DE FALLAS?

• En la práctica, generalmente no hay datos suficientes para evaluar la presunción de un índice de fallas constante; sin embargo, la experiencia sugiere que es verdadera, especialmente cuando:

– Se han eliminado las fallas tempranas antes de entregar el producto al usuario.

– El usuario reemplaza el producto o sus componentes específicos antes de que se inicie la fase de desgaste.

LA FÓRMULA DE WEIBULL DE CONFIABILIDAD

• Se puede deducir que cuando el índice de fallas no es constante, es decir, durante los periodos de falla temprana y desgaste, la distribución del tiempo entre fallas sigue una distribución de Weibull, cuya función densidad de probabilidad es:

– donde: = parámetro de escala

= parámetro de forma

)/(1

)( tet

tf

LA FÓRMULA DE WEIBULL DE CONFIABILIDAD

• La curva de la función densidad de probabilidad varía grandemente dependiendo de los valores numéricos de los parámetros.

• Nótese que para = 1, la función de Weibull se reduce a la función exponencial.

• En la práctica, varía entre 1/3 y 5, aproximadamente.

LA FÓRMULA DE WEIBULL DE CONFIABILIDAD

• Cuando el índice de fallas es decreciente, lo cual ocurre en el periodo de falla temprana o mortalidad infantil, < 1.

• Cuando el índice de fallas es constante, lo cual ocurre en el periodo de operación normal, = 1.

• Cuando el índice de fallas es creciente, lo cual ocurre en el periodo de desgaste, > 1

LA FÓRMULA DE WEIBULL DE CONFIABILIDAD

• Se deduce, a partir de la función densidad de probabilidad, que la probabilidad de tener una operación libre de fallas en un periodo igual a t es:

)/()( tetR

Cálculo de los parámetros y

• Generalmente, cuando se desea calcular alguna probabilidad de estar libre de fallas, con la ayuda de Excel es posible calcular los parámetros y :

ttR )(ln

ttR ln)(lnln

lnln)(lnln ttREcuación de una recta

CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS Y

• La recta de Weibull se puede trazar a partir de datos de fallas acumulativas.

• Luego, es posible determinar la pendiente, , y la intersección con el eje de ordenadas, – ln. De esta forma se determinan los dos parámetros y .

• La confiabilidad R(t) se puede estimar a partir de dichos datos de fallas.

• Por ejemplo, si en un instante se cuenta con Ncomponentes y fallan Nf , entonces:

N

NNtR

f)(

CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS Y • Supónganse los siguientes datos de fallas obtenidos al probar 100

componentes.

R(t) 0,96 0,83 0,65 0,46 0,27 0,15

ln R(t) -0,040822 -0,18633 -0,430783 -0,776529 -1,309333 -1,89712

ln t 1,7917595 2,4849066 2,8903718 3,1780538 3,4011974 3,5835189

ln(-ln R(t)) -3,198534 -1,680238 -0,842151 -0,252922 0,2695181 0,6403369

t (horas) 6 12 18 24 30 36

Fallas acumuladas 4 17 35 54 73 85

Ver en Excel

RECTA DE WEIBULL

y = 2,1378x - 7,0186

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

• La pendiente y la intersección de la recta con el eje de ordenadas se calculan fácilmente con Excel, y a partir de estos valores de determina:

– Pendiente = 2,1378 = 2,1378

– Intersección = - ln = -7,0186 = 26,658

• Ya conocidos los parámetros, se puede determinar la confiabilidad para cualquier instante:

)/()( tetR

• Por ejemplo, la probabilidad de que después de 20 horas no haya fallado ningún componente, es decir, el porcentaje de componentes que se espera que no hayan fallado es:

R(20) = 0,5821 = 58,21%

• Inclusive se podría extrapolar, y calcular, por ejemplo, qué porcentaje de componentes se espera que no hayan fallado después de 40 horas:

R(40) = 0,0925 = 9,25%

CONFIABILIDAD DE LOS SISTEMAS

• Se presentan a continuación las dos maneras más sencillas de combinar unidades individuales en un sistema y el tratamiento de sus respectivas confiabilidades.

COMPONENTES EN SERIE

• Para que un sistema de n componentes independientes acoplados en serie funcione, todos los componentes deben funcionar. Si uno falla, el sistema no funciona.

• En consecuencia, la confiabilidad del sistema es menor que la confiabilidad de cualquiera de sus componentes:

• La tasa o índice de falla del sistema será la suma de los índices de falla de los componentes.

n

i

is RR1

EJEMPLO• Un sistema de lavado automático de autos consta de una

bomba, que recoge el agua con lodo, y la lleva a un filtro, con el propósito de recircular el agua para el lavado.

• Como los dos componentes están en serie, la falla de cualquiera de ellos detiene el proceso de lavado.

EJEMPLO

• Supóngase que ambos componentes están en el periodo de funcionamiento normal.

• Se sabe que el tiempo medio entre fallas de la bomba es de 6 666,67 horas, y que el tiempo medio entre fallas del filtro es de 33 333,33 horas.

• Por lo tanto:

– 1 = 1/66666,67 = 1,5 10-4 fallas por hora.

– 2 = 1/33333,33 = 3 10-5 fallas por hora.

EJEMPLO

• La confiabilidad del sistema en un año (8760 horas) es:

Rs = R1 R2 = e-0,000158760 e-0,000038760

= e-0,000188760 = 0,2066

• El tiempo promedio entre fallas de sistema es.

MTBF = 1/0,00018 = 5 555,55 horas.

COMPONENTES EN PARALELO: SISTEMAS REDUNDANTES

• Son aquellos en los que se repiten aquellos componentes de carácter crítico que queramos asegurar ante los posibles fallos que puedan surgir por el uso continuado.

• Se presentan como una solución a los problemas de protección y confiabilidad.

• Se realiza el mismo proceso en más de una estación, ya que si por algún motivo alguna dejara de funcionar, otro tendría que ocupar su lugar y realizar las tareas del anterior.

COMPONENTES EN PARALELO:SISTEMAS REDUNDANTES

• Las técnicas de redundancia han sido usadas por la industria militar y aerospacial por muchos años para alcanzar una alta confiabilidad.

• En la redundancia paralela, dos o más componentes operan al mismo tiempo para ejecutar una tarea, y cualquier elemento, por sí solo, es capaz de realizar la misma tarea en caso de falla de los demás.

Redundancia total

• Si n componentes están conectados en paralelo, el sistema deja de funcionar sólo si todos los componentes dejan de funcionar (suponiendo que los componentes funcionan independientemente).

• La confiabilidad de este sistema será mayor que cualquiera de los componentes:

)1...()1()1(1 21 ns RRRR

REDUNDANCIA PARCIAL

• Es el caso en que n componentes están conectados en paralelo, y el sistema funciona correctamente si al menos r de ellos funcionan correctamente. La confiabilidad del sistema será:

inin

ri

s RRi

nR

)1(

EJEMPLO• Se han instalado tres generadores eléctricos en

paralelo, cada uno con una capacidad de 30 KVA, con el propósito de proporcionar al menos 60 KVA de energía eléctrica a un sistema. Evidentemente, para que el sistema funcione correctamente, deben funcionar al menos 2 de los 3 generadores.

• Los tres generadores están en el periodo de operación normal, y tienen, cada uno, una tasa de fallo de 9 10-6 / h.

EJEMPLO

• La confiabilidad a un año de funcionamiento de cada generador es:

R(8760) = e-0,0000098760 = 0,92419

• La confiabilidad del sistema es:

98363,0)92419,01(92419,03

33

2

ii

i

si

R

REDUNDANCIA CON UNIDAD DE RESERVA

• Es un sistema en el cual, en un instante determinado, funciona un solo elemento o subsistema, mientras los restantes elementos permanecen en reserva, en estado de espera (reserva fría). En consecuencia la conexión funcional varía en el tiempo en relación a la falla.

• La variación de la conexión está a cargo de un órgano llamado conmutador, que cambia la conexión de un componente al otro, por ejemplo, por intervención de un operador.

A

B

Conmutador

CONFIABILIDAD EN FUNCIÓN DE LA VARIABILIDAD

• Cuando se diseña un producto cuya medida principal debe cumplir un requisito mínimo, la probabilidad de que lo cumpla depende del valor promedio de dicha medida.

• Por ejemplo, la probabilidad de que los bloques de concreto fabricados, con resistencia media de 350 Kg/cm2, superen los 300 Kg/cm2 depende de la variabilidad de dicha resistencia.