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Congruencia de Triángulos
Sobre la noción de congruencia de triángulos
Igualdad y congruencia
El concepto de congruencia está emparentado con el de igualdad y se espera que el
aprendiz conozca ésta, ya sea por su significado intuitivo a partir del lenguaje
natural, o bien a través de su uso en la aritmética. Es costumbre que en geometría
se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo dos segmentos son
congruentes si y sólo si tienen la misma medida –y lo mismo es cierto para ángulos.
Pero en el caso de dos triángulos la definición es más complicada pues no hay una
medida (número) que defina a un triángulo.
El triángulo como configuración de puntos y rectas
Como se sabe, hay diversas clasificaciones de triángulos que dan cuenta de su
diversidad de forma: de acuerdo a la medida de sus ángulos pueden ser
obtusángulos, rectángulos, acutángulos; de acuerdo a la relación de las medidas de
sus lados pueden ser equiláteros, isósceles, escalenos. Es por eso que una noción
previa a la definición de congruencia de triángulos es la de correspondencia. Y esto
porque un triángulo (y cualquier polígono) es una configuración que consiste de
puntos y segmentos de recta (lados) que unen pares de puntos.
Congruencia de triángulos como noción intuitiva y su formalización
Después de haber descubierto el hecho de que dos triángulos son congruentes
(iguales) es conveniente poner sus vértices en correspondencia. Decir que el
triángulo ABC está en correspondencia con el IJK significa que la correspondencia
entre sus vértices es A-I, B-J y C-K. Y en esta correspondencia queda implícita la
correspondencia entre sus lados: AB-IJ, BC-JK y CA-KI. Pero también queda implícita
la correspondencia entre sus ángulos: el ángulo en A es congruente con el ángulo
en I, etc. (Nota: no todos los textos siguen esta convención, es decir, aun cuando
afirmen “ABC está en correspondencia con IJK” no respetan las reglas anteriores de
las correspondencias implícitas –una lástima… pero qué se le va a hacer.)
Y cuando digo “descubierto” quiero decir que el cognizador descubre la congruencia
por métodos intuitivos e informales, o quizá sea mejor decir, “la ve”. Pero una vez
que “ve” la congruencia es conveniente formalizarla. Es conveniente porque una
vez establecida la correspondencia y la congruencia, en la forma en que se explica
arriba, ya no es necesario ver la figura para plantear ecuaciones o razones, pues las
correspondencias entre vértices y lados quedan implícitas en la correspondencia
entre los triángulos como ya se explicó.
Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, algo (una frase, un
dato,…) en el enunciado del problema debe sugerir que se puede usar congruencia
para su solución. Y para encontrarla, una vez que se está buscando, es conveniente
usar la definición intuitiva: dos triángulos son congruentes si pueden hacerse
coincidir uno sobre el otro mediante giros, traslaciones y/o reflexiones. (La
definición formal es: dos triángulos son congruentes si, en la correspondencia entre
sus vértices, resultan iguales los lados correspondientes y los ángulos
correspondientes.) En una congruencia de triángulos entonces se tienen seis
igualdades, tres lados y tres ángulos. Es por eso muy útil tener criterios que nos
digan si dos triángulos son congruentes sin tener que verificar las seis igualdades.
Criterios de congruencia como postulados
El criterio (principio) de congruencia más básico es posiblemente el denominado
criterio LAL (lado-ángulo-lado) que nos dice que si, en una correspondencia de
triángulos, dos lados de uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus
correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son
congruentes. Algunos textos de geometría –los más formales, en el sentido lógico—
toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL.
Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Es
recomendable entonces que el aprendiz los tome los tres como postulados pues, si
de cualquier manera se va a tomar uno como postulado…
En la figura, los triángulos ABC y AB’C’ están en correspondencia. El segundo es el
resultado de haber girado 90 grados el primero. Si el segmento BC faltara, de
cualquier manera la distancia entre A y B se mantendría después del giro.
Instancia de uso (clásica) del criterio LAL
Teorema del triángulo isósceles:
Si un triángulo es isósceles entonces sus ángulos en la base son iguales. (Nota: se
acostumbra entender por base, el tercer lado –los dos primeros son los que
sabemos iguales.)
Demostración:
Advertencia: Esta instancia de uso es algo desconcertante cuando se ve por
primera vez, así que se pide la cooperación cognitiva del lector. (El desconcierto se
debe quizá a que el triángulo se pone en correspondencia consigo mismo, lo cual no
está prohibido pero como que uno piensa que esa prohibición quedaba implícita en
la definición de congruencia.)
El isósceles que se muestra puede llamarse triángulo ABC. Pero, recorriendo sus
vértices en el sentido opuesto puede llamarse triángulo BAC. Es pues válida la
correspondencia ABC-BAC.
Puesto que el triángulo es isósceles, CA=CB y BC=AC. También, como se trata del
mismo triángulo, el ángulo formado en C es idéntico a sí mismo. Se tiene pues una
correspondencia LAL y los dos triángulos son congruentes. Pero entonces los demás
elementos puestos en correspondencia son también iguales. En particular el ángulo
en A es igual al ángulo en B.
Segunda instancia de uso (también clásica) del criterio LAL
En un triángulo isósceles, la bisectriz del vértice opuesto a la base divide al
triángulo en dos congruentes.
Demostración:
En la figura de arriba trácese la bisectriz del ángulo C y suponga que corta al lado
AB en M. Por hipótesis los ángulos ACM y MCB son iguales. Esto sugiere la
correspondencia C-C. Por otro lado, también por hipótesis, AC=CB. Esto sugiere la
correspondencia A-B, y el otro punto común a los triángulos formados por la
bisectriz es M, lo cual sugiere la correspondencia M-M.
Así pues, probemos la correspondencia ACM-BCM. Tenemos, AC=BC y CM=CM, falta
ver si el ángulo formado por AC y CM es igual al formado por BC y CM. Pero eso es
cierto por ser CM bisectriz. Así que podemos usar el criterio LAL para establecer que
los triángulos puestos en correspondencia son congruentes.
De esta congruencia así establecida se siguen varios
Corolarios (para isósceles):
a) La bisectriz es también mediatriz (pues los ángulos AMC y BMC son iguales y su
suma es un llano, pero también los lados correspondientes AM y BM son iguales, así
que MC es la perpendicular por el punto medio del la base)
b) La bisectriz es también mediana (pues AM=BM)
c) La bisectriz es también altura (pues los ángulos AMC y BMC son rectos)
Comentarios finales
Se puede deducir el criterio LLL a partir del LAL aplicando las propiedades del
triángulo isósceles: los triángulos en correspondencia LAL se colocan como se
muestra en la figura y…
Puesto que AB=IJ y AB=IK, tenemos los isósceles ABI y ACI. Pero entonces sus
ángulos en la base son iguales. Sumando, se obtiene que los ángulos en A y en I
son iguales y estamos ya en posibilidad de aplicar el criterio LAL para asegurar que
los triángulos ABC e IJK son congruentes.
Digamos, para finalizar, que la noción de congruencia de triángulos está muy cerca
de los fundamentos de la geometría euclidiana. Pero el aprendiz no necesita
justificar todo, sobre todo los teoremas cercanos a los fundamentos. Es mejor,
desde el punto de vista de solución de problemas, que tome los criterios de
congruencia como axiomas y los use sin ningún remordimiento en la solución de
problemas. Esto le permitirá avanzar en su apropiación de herramientas teóricas sin
perder tiempo en formalismos. También como dado se debe tomar la igualdad de
ángulos formados por dos paralelas y una transversal. Desde luego que es
conveniente que alguna vez vea las demostraciones de los teoremas básicos, pero
eso puede esperar… Mientras tanto, que resuelva problemas…
Concepto concepto concepto
Se dice que dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser convertida en la otra por medio de movimientos, tales como: rotacitraslacisimetr�con respecto a una recta. (Enciclopedia de las Matemᴩcas, Tomo 2 pp. 360, 1998)
Ejemplo 1
La figura que se muestra a continuacin S es congruente con S??, realizando los movimientos de simetr�con respecto a una recta y una traslacie tal forma que 鳴as coincidan.
Ejemplo 2
La caricatura (teniendo en cuenta que se trata de figuras planas) que se muestra a continuacin F es congruente con la de F??? realizando los movimientos de rotacisimetr�con respecto a una recta y traslacide tal forma que las figuras coincidan.
Intuitivamente hablando, dos figuras geom鴲 icas son congruentes si ellas tienen (...) el mismo tama forma. Por ejemplo, en la figura que se encuentra a continuacilos tres triᮧ�ulos son congruentes. (Moise & Downs, pp. 114, 1971)
De acuerdo a lo anterior se tiene que los triᮧ�ulos ABC, DEF y GHI son congruentes.
Una manera de describir la situacis decir que cualquiera de esos triᮧ�ulos se puede hacer coincidir con cualquier otro. Por ejemplo, para que DABC coincida con DDEF, debemos hacer corresponder A con E, B con F y C con D.
Para describir la congruencia del primer triᮧ�ulo y el tercero, debemos hacer corresponder los v鲴 ices de la siguiente forma:
Por lo tanto,
Nota: El s�olo se utiliza para indicar congruencia entre figuras geom鴲 icas. a. Segmentos congruentes
Son segmentos congruentes aquellos que tienen igual medida . Si los son congruentes, entonces se escribe .
b. ?gulos congruentes
?gulos congruentes son aquellos que tienen igual medida . Si y son congruentes, entonces se escribe .
c. Triᮧ�ulos congruentes
Se dice que un DABC es congruente con otro DDEF si sus lados respectivos son congruentes y sus ᮧ�ulos respectivos tambi鮠 los son.
Dado que estos triᮧ�ulos tienen lados respectivamente congruentes, que son:
; y que tambi鮠 tienen ᮧ�ulos respectivamente congruentes, a saber: . Entonces es posible afirmar:
Si dos o trim ᮧ�ulos son congruentes, sus lados y ᮧ�ulos lo ser ᮠ respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus v鲴 ices para nombrarlos, salvo que gr ᦩ camente se indique otra correspondencia.
La congruencia de pol�nos puede estudiarse mediante la congruencia de triᮧ�ulos.
Para que dos triᮧ�ulos sean congruentes, es suficiente que s algunos lados y/o ᮧ�ulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes.
Criterio LAL (lado-ᮧ�ulo-lado)
Dos triᮧ�ulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ᮧ�ulo comprendido por ellos tambi鮠 congruente.
porque,
Criterio ALA (ᮧ�ulo-lado-ᮧ�ulo)
Dos triᮧ�ulos son congruentes si tienen dos ᮧ�ulos congruentes y el lado com?ellos, tambi鮠 congruente.
porque,
Criterio LLL (lado-lado-lado)
Dos triᮧ�ulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.
porque,
Criterio LLA (lado-lado-ᮧ�ulo)
Dos triᮧ�ulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ᮧ�ulo opuesto al lado de mayor medida, tambi鮠 congruente.
porque,
Observaci/b> Cuando el ᮧ�ulo congruente es el opuesto al lado de menor medida entre los que son congruentes, LLA no siempre determinan una congruencia. (Rodrigo de las Heras y otros, pp. 151-152, 1993)
Criterios de congruencia
1. Figuras geométricas congruentesDos o más figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Se demuestra que son congruentes si sus ángulos homólogos (correspondientes) tienen la misma medida y sus lados homólogos son congruentes entre sí, es decir, tienen la misma medida de longitud. Por ejemplo:
Las figuras A, B y C son congruentes, pues tienen la misma forma y el mismo tamaño. La figura D, en cambio, no es congruente a las anteriores porque su tamaño es mayor.
1.2 Congruencia de triángulosDos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, y sus lados homólogos miden lo mismo. Sin embargo, para construir un triángulo congruente, es necesario conocer tres de sus medidas, y uno de esos datos debe ser la medida de un lado. Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son dependientes, la información mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a los llamados criterios de congruencia:
Criterios de congruencia de triángulos1. Criterio (L, L, L)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes:
2. Criterio (L, A, L)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.
3. Criterio (A, L, A)Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.
4. Criterio (L, L, A>)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo opuesto mayor de estos lados congruentes.
Ejemplos:
1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?
a) Los triángulos AEC y BFC son congruentes puesto que:
AE FB por hipótesis, ya que la base AB se dividió en partes iguales
CAB CBA, por hipótesis, ya que ABC es un triángulo isósceles
AC BC, por hipótesis, ya que ABC es un triángulo isósceles
Por lo tanto, por criterio LAL, se deduce que AEC BFC
b) Los triángulos EDC y FDC son congruentes puesto que:
CD CD, pues es trazo común en ambos triángulos.
CDE CDF, porque CD es altura del triángulo isósceles, por lo tanto corta a la base en ángulo recto.
ED DF, por hipótesis , pues AB se ha dividido en partes iguales.
Por lo tanto, por criterio LAL, se deduce que EDC FDC
2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones.
Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones.¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?
3) En la figura, se ha superpuesto un cuadrado sobre otro congruente, formando un octógono regular.
Demuestra que los triángulos que se forman son congruentes.
- Los trazos que forman el octógono son congruentes por ser una figura regular.- Los ángulos agudos de cada triángulo son suplementarios con cada ángulo interior del octógono, los que son congruentes entre si. Por tanto, los triángulos deben ser isósceles rectángulos, ya que todos tienen un ángulo que es parte de los cuadrados.- Por lo tanto, los ángulos de los triángulos son 90º, 45º y 45º, y además sus hipotenusas son congruentes entre si.
Podemos deducir que por criterio ALA los triángulos son congruentes
Los criterios de congruencia de triángulo nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
Primer criterio de congruencia: LLLDos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.a ≡ a’b ≡ b’c ≡ c’→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Segundo criterio de congruencia: LALDos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.b ≡ b’c ≡ c’α ≡ α’→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Tercer criterio de congruencia: ALADos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.b ≡ b’α ≡ α’β ≡ β’→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
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