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Teoría de poliedros y Construcción de un omnipoliedro
TEORÍA DE POLIEDROS
Y CONSTRUCCIÓN DE
Vicente Viana Martínez
© Vicente Viana Martínez Pág 1
Teoría de poliedros y Construcción de un omnipoliedro
© Vicente Viana Martínez Pág 2
CONSTRUCCIÓN DE UN OMNIPOLIEDRO
Introducción. Definiciones
Un poliedro es un cuerpo geométrico totalmente limitado por polígonos planos. La pa-
labra “poliedro” significa; "varias caras"
o "varias superficies".
En un poliedro vamos a conside-
rar los siguientes elementos.
a) Caras: son los polígonos pla-
nos que lo limitan.
b) Aristas: son los lados de esos
polígonos.
c) Vértices: son los puntos de concurrencia de las aristas.
d) Ángulos diedros: son los formados por dos caras del poliedro, con una arista común.
e) Ángulos poliedros: son los ángulos formados por tres o más caras que tienen un vér-
tice común.
Un poliedro se dice que es convexo cuando todos sus ángulos diedros son positivos, o
bien cuando al prolongar una cara cualquiera, el plano resultante deja de un mismo lado a todo el
poliedro.
Un poliedro se dice que es cóncavo cuando posee ángulos diedros negativos o bien,
cuando al prolongar una cara, el plano resultante, corta al poliedro.
Un poliedro es regular si está formado por polígonos regulares iguales y sus ángulos
diedros y poliedros son iguales.
Los poliedros regulares son todos convexos.
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Propiedades de los poliedros
En cada vértice de un poliedro concurren m polígonos regulares de n lados. La suma de
los ángulos de los polígonos, concurrentes, debe ser menor de 360º. Pues, de lo contrario se for-
maría una figura plana, no sería un sólido.
Además, en un polígono regular, cada ángulo mide.
n
)2n(·º180
Por tanto, para formarse un poliedro debe cumplirse que.
m· n
)2n(·º180 < 360
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POLIEDROS ESTRELLADOS Johann Kepler (1571-1630) estudió los poliedros estrellados,
obtenidos a partir del pentagrama de los pitagó-
ricos. La diferencia principal de estos poliedros
estrellados con el resto es que son cóncavos.
Hay cuatro, dos de puntas estrelladas
con pirámides pentagonales y otros dos de
puntas estrelladas con pirámides triangulares.
Kepler los llamó gran y pequeño dodecaedro estrellado (de 12 puntas) y gran y pequeño
icosaedro estrellado (de 20 puntas).
El resto son trece sólidos diferentes:
El TETRAEDRO TRUNCADO: 4 hexágonos regulares y 3 triángulos equiláteros
El CUBO TRUNCADO: 6 octógonos regulares y 8 triángulos equiláteros
El CUBOCTAEDRO: 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros
El ROMBICUBOCTAEDRO MENOR: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros
El OCTAEDRO TRUNCADO: 8 hexágonos regulares y 6 cuadrados
El CUBO REDONDEADO: 6 cuadrado y 32 triángulos equiláteros
El ROMBICUBOCTAEDRO MAYOR: 4 octógonos regulares, 10 hexágonos regulares y
12 cuadrados
El ICOSIDODECAEDRO: 12 pentágonos regulares y 20 triángulos equiláteros
El DODECAEDRO TRUNCADO: 12 decágonos regulares y 20 triángulos equiláteros
El ICOSAEDRO TRUNCADO: 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares
El ROMBICOSIDODECAEDRO MENOR: 12 pentágonos regulares, 30 cuadrado y 20
triángulos equiláteros
El DODECAEDRO REDONDEADO: 12 pentágonos regulares y 80 triángulos
El ROMBICOSIDODECAEDRO MAYOR: 12 decágonos regulares, 20 hexágonos regula-
res y 30 cuadrados
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Teorema de Euler
En todo poliedro convexo, el número de caras más el de vértices, es igual al de aristas
más dos.
C + V = A + 2
No existen más que cinco poliedros convexos regulares.
Propiedades de los 5 poliedros regulares.
NOMBRE CARAS Nº DE CARAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARISTAS
Tetraedro Triángulos
equiláteros 4 4 6
Hexaedro o
Cubo Cuadrados 6 8 12
Octaedro Triángulos
equiláteros 8 6 12
Dodecaedro Pentágonos 12 20 30
Icosaedro Triángulos
equiláteros 20 12 30
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Áreas y volúmenes de los 5 poliedros regulares
Áreas
El área total de un poliedro se determina calculando el área de una cara y multiplicando
por el número de caras.
Volúmenes
Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro.
Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en
tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será sufi-
ciente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del
poliedro.
El volumen de una pirámide es, siendo B el área de la base y "a" la distancia del centro
del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema.
El volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto del área de su cara
por la apotema, multiplicado por el número de caras.
Nombre Área de una cara Área total Apotema Volumen
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Hexaedro
Dodecaedro
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Un poco de historia
Los pitagóricos, que veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad
religiosa, consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regula-
res posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman
"sólidos pitagóricos" a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta
afirmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado
imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas.
Esferas de piedra de unos 8 cm de diámetro talladas en forma de poliedros, recogidas en un ya-cimiento neolítico (2.000 a.C.) en Escocia
Se cree que fue Empédocles quien primero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el
octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cua-
tro "elementos" de los griegos antiguos. Luego Platón asoció el dodecaedro con el Universo pen-
sando que, dado que era tan distinto de los restantes, por sus caras pentagonales, debía tener rela-
ción con la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas. Por entonces se creía
que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto del que estaban hechas las
cosas que rodean al hombre en la Tierra. De aquí que a los poliedros regulares se los conozca
también como sólidos platónicos.
Platón afirmaba que una superficie perfectamente plana se
compone de triángulos. Todos los triángulos tienen su origen en dos
tipos de triángulos
Existen infinitos triángulos rectángulos escalenos (todos los
triángulos rectángulos isósceles son semejantes), por esto Platón elige
el mas bello: "aquel en el cual el cuadrado del cateto mayor es triple del cuadrado del menor".
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Este triángulo rectángulo es aquel que se obtiene al dividir un triángulo equilátero por su altura
(la hipotenusa es doble que el cateto menor).
Los triángulos isósceles y escalenos son los principios geométricos de los cuatro cuer-
pos elementales (el fuego, la tierra, el agua y el aire); pero por encima de estos principios geo-
métricos están los principios numéricos, los números, conocidos solamente por Dios y por un
número reducido de hombres a quien ama.
Uniendo estos dos tipos de triángulos, Platón, forma los diferentes polígonos regulares
(caras) y uniendo éstos forma los sólidos regulares (poliedros regulares). Finalmente asocia los
poliedros regulares con los diferentes elementos:
El cubo
La tierra
El tetraedro
El fuego
El octaedro
El aire
El icosaedro
El agua
El dodecaedro
El mundo
Desmenuzando estos cuerpos en los triángulos que lo constituyen y reajustándolos de
nuevo, podemos efectuar transformaciones entre los elementos. Las partículas que poseen puntas
agudas, penetran en los otros cuerpos. El agua se compone de partículas mucho mas suaves, de
ahí el deslizamiento de los fluidos.
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En este esquema no queda lugar para el dodecaedro. De los cinco poliedros regulares es
el único que no tiene caras triangulares ni cuadradas, sino pentagonales (el pentágono era el sím-
bolo místico de los pitagóricos).
Platón le asigna al dodecaedro la representación del mundo (es el poliedro que tiene un
aspecto más redondeado).
Por otra parte, en excavaciones realizadas cerca de
Pádova (Italia), se halló un dodecaedro etrusco (500 a.C.) que
probablemente era usado como juguete o bien como base
para flores o velas.
encontrado también en unas excavaciones romanas.
La figura inferior corresponde a un icosaedro
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Luca Pacioli (1445-1514)
Es el primer matemático del que tenemos un
retrato auténtico. Luca Pacioli, fraile franciscano,
aparece señalando con la mano izquierda un ejemplar
de la Summa de Arithmetica (1494), mientras con la
derecha indica en una pizarra una figura geométrica y
una suma de números representada según la "nueva"
notación. Por la posición de los ojos de los personajes,
Pacioli parece estar observando el cuerpo suspendido
enfrente, que es un rombicuboctaedro de cristal con
agua, y comprobando alguna propiedad del mismo en el dibujo de la pizarra, a la vez que con-
sulta la Summa. En la mesa, sobre el libro, aparece un dodecaedro. Su acompañante observa di-
rectamente al espectador.
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Fue la quintaesencia del hombre del Renacimiento: artista, matemático, científico e in-
geniero. Gran amante de la geometría, dedicó mucho tiempo al estudio de los sólidos. Su más
famosa muestra de los poliedros son las ilustraciones para el libro de Luca Pacioli (1509) La Di-
vina Proporción. Estas son algunas de ellas.
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Johannes Kepler
Kepler estaba convencido de que Dios había hecho el mundo siguiendo proporciones
matemáticas perfectas. Esto lo expresó en su primera obra Mysterium cosmograficum (1596).
Kepler fue un brillante pensador y un lúcido escritor, pero un desastre como profesor.
Se perdía en digresiones. A veces era totalmente incomprensible. Su primer año como profesor
en Graz (Austria) atrajo a un puñado escaso de alumnos; al año siguiente no había ninguno. Le
distraía de aquel trabajo un incesante clamor interior de asociaciones y de especulaciones que
rivalizaban por captar su atención.
En la época de Kepler sólo se conocían seis pla-
netas: Mercurio, Venus, La Tierra, Marte, Júpiter y Sa-
turno . Kepler se preguntaba por qué eran sólo seis . ¿Por
qué no eran más? ¿Por qué sus órbitas presentaban el es-
paciamiento que Copérnico había deducido?. Nunca hasta
entonces se había preguntado nadie cuestiones de este tipo.
Se conocía la existencia de cinco sólidos regula-
res o "platónicos" , cuyos lados eran polígonos regulares
os matemáticos griegos
po ó que los números esta-
ba ubiera sólo seis planetas
era p egulares y que esos sóli-
dos o de tro, de erminarían
las Llamó a su idea El Mis-
teri Misterio Cósmico sólo
pod ómetra .
tal como los conocían los antig
teriores a Pitágoras. Kepler pen
relacionados. La razón de que
orque había sólo cinco sólidos
, inscritos o anidados uno dent
distancias del Sol a los planetas.
o Cósmico . La explicación de
ía estar en la Mano de Dios, el G
u
s s
n h
r
r o t
l
e
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Presentó una propuesta para que el duque de Württemberg le diera una ayuda a la in-
vestigación, ofreciéndose para supervisar la construcción de sus sólidos anidados en un modelo
tridimensional que permitiera vislumbrar la gran-
deza de la sagrada geometría.
Añadió que podía fabricarse de plata y
piedras preciosas y que serviría también de cáliz
ducal. La propuesta fue rechazada con el amable
consejo de que antes construyera un modelo menos
caro, de papel, a lo cual se puso manos a la obra.
Pero a pesar de todos sus esfuerzos, los sólidos y
las órbitas planetarias no encajaban bien.
Figuras tom terium Cosmograph
En el cuadro siguiente aparecen
reproducciones de otros grabados de la misma obra
de Kepler en donde se observa cómo sobrevivía en esta época tan tardía la asociación entre ele-
mentos y poliedros establecida por Empédocles y Platón.
adas del tratado Mys icum de Johannes Kepler
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Los poliedros regulares y M. C. Escher
Los sólidos platónicos, por su historia, perfección, y
belleza, continúan siendo hoy inspiradores de matemáticos y
artistas. El holandés Maurits Cornelis Escher es uno de los
artistas clásicos de nuestro tiempo que han experimentado la
fascinación por estas figuras. A continuación se reproduce su
grabado Estrellas (1948) y una fotografía que lo muestra obser-
vando una de sus obras: un conjunto de sólidos platónicos su-
perpuestos.
Se dice que cierta vez, cuando tuvo que mudarse de
oficina, Escher dejó muchas de sus pertenencias, excepto ésta.
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Proceso de construcción del omnipoliedro
Vamos a intentar construir el armazón
de los 5 poliedros regulares de forma que queden
perfectamente inscritos unos dentro de otros.
NOMBRE CARA Nº DE
CARAS
Nº DE
VÉRTI-
CES
Nº DE
ARISTAS
Tetraedro Triángulos equiláteros
4 4 6
Hexaedro o cubo
Cuadrados 6 8 12
Octaedro Triángulos equiláteros
8 6 12
Dodecaedro Pentágonos 12 20 30
Icosaedro Triángulos equiláteros
20 12 30
Vamos a utilizar para su construcción; cañitas de refrescos, tacos de plástico tipo Fichet,
cáncamos y alambre.
Como el número de aristas total es.
6 + 12 + 12 + 30 + 30 = 90
Necesitaremos, 90 cañitas, 180 tacos y 180 cáncamos.
Para calcular la longitud de las aristas de cada figura, partiremos de la arista del cubo
como arista unidad y el resto las obtendremos a partir de ella.
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NOMBRE CARA Nº DE
ARISTAS LONGITUD
ARISTAS
Tetraedro Triángulo 6 2·a
Cubo - Hexaedro Cuadrado 12 a
Octaedro Triángulo 12 2
2·a
Dodecaedro Pentágono 30 a·2
51
Icosaedro Triángulo 30 a
Comenzamos construyendo el tetraedro.
La arista del tetraedro es justamente la diagonal menor del cubo. Por tanto, si la arista
del cubo vale a.
Aplicando Pitágoras.
2·aa cubotetraedro
A continuación, construimos el octaedro, dentro del tetraedro. De forma que los vértices
del octaedro descansen sobre la mitad de la arista del tetraedro.
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Fácilmente, se comprueba que.
2
aa tetraedro
octaedro
2
2·aa cubooctaedro
El paso siguiente es la construcción del cubo. Como la arista del tetraedro es la diagonal
del cubo, resulta sencillo proceder a su construcción (véase figura inicial).
Ahora pasamos al dodecaedro. El proceso se lleva a cabo teniendo en cuenta que la
arista del cubo es justamente, la diagonal del pentágono.
Tomando como base, los
vértices del cubo, situamos en cada
uno de ellos 3 aristas del pentágono
y luego las unimos tal y como se
indica en la figura.
Tal como vimos en el tema
del “Número de oro”, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es justamente la razón
áurea .
pentágono
pentágono
lado
Diagonal
Por consiguiente.
cubo
dodecaedro
aristaarista
2
51·aristaarista cubododecaedro
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La estructura así formada no es rígida. Necesitamos situar
ahora el icosaedro para rigidizarla.
Los triángulos equiláteros de las caras del icosaedro forman
una pirámide pentagonal por encima de cada cara del dodecaedro,
cuyo vértice está justo sobre el centro geométrico de cada pentágono,
aunque en un plano superior.
AP = aristadodecaedro =
cuboarista
MP = 2
AP
RQ = aristaicosaedro
El triángulo ORQ es equilátero. Por tanto.
2
RQMN
Por otra parte, el ángulo MNP = 108º, por ser ángulo
interno de un pentágono regular y ángulo NMP = 36º.
Ahora nos construimos el triángulo NSM (triángulo
aúreo), de ángulos 72º, 72º y 36º.
Prolongamos MP, hasta determinar el punto L.
Los triángulos NML y NMS son semejantes. Luego.
LN
MN
MN
MS
LN = MP
MN = MP ·
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aristaicosaedro = RQ = 2 · MN = 2 · MP · =
··2
arista·2 cubo
En definitiva.
aristaicosaedro = aristacubo
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