Caracas: 14 de Mayo 2015.

Consultas del Primer Parcial de Matemticas III, Seccin 3

1. (Irina Marcano) Estudie la Convergencia o la Divergencia de siguiente serie:

2

2)

11(

k kLn

Solucin:

Aplicando las propiedades de Logaritmo, simplificamos el trmino k-simo de la serie:

,2)1()1(2)]1)(1[(

)()1()1

()1

1( 222

2

2

LnkkLnkLnLnkkkLn

kLnkLnk

kLn

kLnan

Entonces la serie inicial se transforma en:

22

22)1()1()

11(

kk

LnkkLnkLnk

Ln =

Si desarrollamos la serie, hasta el ensimo trmino, se obtiene:

))1()(())()1((

...)65()54()54()43(

)43()32()32(21

))1(())1((

2)1()1()1

1(

2

222

nLnnLnnLnnLn

LnLnLnLnLnLnLnLn

LnLnLnLnLnLnLnLn

kLnLnkLnkkLn

LnkkLnkLnk

LnS

n

k

n

k

n

k

n

Es decir:

,212)1

(2limlim)1

(2 LnLnLnn

nLnLnS

n

nLnLnS

nn

nn

Entonces, la serie converge y:

2)1

1(2

2Ln

kLn

k

:

2. (Saraid Figueroa) Estudie la Convergencia o la Divergencia de siguiente serie:

2

1

knn ee

Solucin:

Esta es una serie positiva, simplificando el trmino ensimo de la serie:

11

1

1

1122

n

n

n

n

n

nnnn e

e

e

e

ee

eea

Calculando el lmite del trmino ensimo, se obtiene:

,02

1lim

2lim

:',1

lim

2

2

xxx

x

x

x

x

x

ee

e

HpitalLAplicandoe

e

No se puede concluir sobre la convergencia de la serie.

Luego, aplicando el Criterio de Comparacin del lmite:

,,012

2lim

:',1

lim1

1limlim

2

2

2

22

x

x

x

x

x

x

n

n

n

nn

n

n

e

e

HpitalLAplicandoe

e

e

e

e

b

a

Como la serie que est en el denominador, es una serie geomtrica cuya razn es:

,,)1

(,1,11

1

eConvergentSerieee

n

n

Entonces la serie dada en 2. Es Convergente.