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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO
a
Una funcin se dice que es continua en un punto a si se
cumple:
1. Existe f a , es decir, a Dom f .
2. Existe limx a
f x
y es finito.
3. Existe limx a
f x
y es finito.
4. lim limx a x a
f x f x f a
En caso de que no se cumpla alguna de las cuatro condiciones,
diremos que la
funcin es discontinua en el punto a.
CONSECUENCIAS
- Si f x es continua en a, entonces limx a
f x f a
.
- Una funcin se dice que es continua en un intervalo si es
continua en todos los puntos del intervalo.
- Una funcin se dice que es continua en todo su dominio si lo es
en todos los puntos que lo componen.
x
y
a
f(a)
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CLASES DE DISCONTINUIDAD
1. DISCONTINUIDAD EVITABLE
Si existe limx a
f x
y es finito, pero es un valor distinto a f a f a no existe:
limx a
f x L f a
x
y
a
L
f(a)
discontinuidad evitable
x
y
a
L
discontinuidad evitable
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2. DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO
Si los lmites laterales existen y son finitos, pero son valores
distintos:
1 2lim limx a x a
L f x f x L
En este caso puede pasar:
a) Si limx a
f x f a
, se dice que es continua por la izquierda:
x
y
a
L1
L2
discontinua de salto finito
x
y
f(a)=
a
L1
L2
discontinua de salto finito
continua por la izquierda
-
b) Si limx a
f x f a
, se dice que es continua por la derecha:
3. DISCONTINUIDAD INEVITABLE
En todos los dems casos.
NOTA
Cuando los dos lmites laterales son infinitos, tambin se dice
que la discontinuidad
es de salto infinito:
x
a
discontinuidad inevitable
o
de salto infinito
x
y
f(a)=
a
L1
L2
discontinua de salto finito
continua por la derecha
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x
y
a
discontinuidad inevitable
o
de salto infinito
x
y
a
discontinuidad inevitable
o
de salto infinito
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ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA
FUNCIN
Estudiar la continuidad de una funcin es hallar los puntos donde
es discontinua y
clasificarlos.
Para ello, tendremos en cuenta que para que sea continua en un
punto a tiene que ser
un valor del dominio de f x y que los lmites laterales tienen
que ser iguales a ese valor.
a) Si el estudio es grficamente, los puntos de discontinuidad se
buscan en las interrupciones de la grfica, estudiando en el punto a
del eje x donde se produzca dicha interrupcin, qu tipo de
discontinuidad tiene.
Ejemplo:
Las interrupciones de la grfica se observan en los puntos 4x ,
3x , 1x y 5x . b) Si el estudio es analticamente, buscaremos los
posibles puntos de
discontinuidad en los puntos que no son del dominio y los puntos
donde los
lmites laterales se realizan con distinta frmula y que, por
tanto, al calcularlos
puede salir valor diferente.
Ejemplos:
2
2 10
1
1 0 2
2 32
1
xx
x
f x x x
xx
x
2
3 1
2 41
4
x x
f x xx
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
