MODELOSMATEMTICOS DE

SISTEMAS DINMICOS

14/04/2011

INTRODUCCIN En el desarrollo de casi todas las estrategias de control,

es indispensable la obtencin del modelo matemtico de

la planta a controlarse, aplicndose las leyes fsicas del

proceso y obteniendo una ecuacin diferencial (lineal o

no lineal).

Si no es lineal, existen mtodos de linealizacin que

permiten obtener el modelo lineal del proceso o planta,

haciendo posible el uso de controladores lineales.

El uso de controladores lineales presupone la obtencin

de un modelo del controlador lineal, para luego continuar

con la obtencin del modelo del sistema completo, es

decir del sistema de control (planta + controlador).

FORMALIZACIN DE LOS MODELOS

MATEMTICOS

El modelo matemtico dinmico de un

sistema es:

Un conjunto de relaciones matemticas

entre las variables del sistema, tales que

las soluciones para este conjunto de

ecuaciones, ante los mismos estmulos

que se aplican al sistema real, tengan

valores numricos similares a los que

podramos medir en dicho sistema real.

El modelo matemtico dinmico de un

sistema constar de:

Ecuaciones algebraicas (estticas)

Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones en diferencias (discretas)

OBTENCIN DE MODELOS MATEMTICOS

Se caracterizan por generar conjuntos de

ecuaciones diferenciales y algebraicas

normalmente no lineales, que se obtienen a

partir de un estudio analtico del sistema

basado en:

Una serie de hiptesis sobre dicho sistema.

El uso de leyes de comportamiento fsico-

qumicas (leyes de conservacin, equilibrio

entre fases, dependencias entre

variables,...), o bien expresiones obtenidas a

partir de datos experimentales.

METODOLOGA DE MODELADO

Conceptualizacin

Conocer de forma general el proceso que se quiere

modelar

Definir de los objetivos del modelo

Realizar un modelo conceptual basado en hiptesis sobre el sistema bajo estudio que debe

ser tan simple como sea posible.

Conocer las leyes que rigen los fenmenos del

sistema y su causalidad fsica (leyes de

conservacin de la masa, energa y momento )

Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

Formalizacin

Formular el modelo en forma de ecuaciones

diferenciales y/o algebraicas y una serie de

condiciones lgicas

Parametrizacin

Determinacin de los parmetros del modelo y

condiciones iniciales.

Resolucin del modelos en un ordenador

Validar el modelo serie de condiciones

lgicas).

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS

FSICOS

Los elementos fsicos de parmetros

concentrados como la resistencia, la

capacitancia, la inductancia, pueden ser

representados por ecuaciones diferenciales

lineales en funcin de la diferencia del valor

entre los terminales, y una variable que pasa a

travs del elemento o componente.

En la tabla 2.2 se presenta las ecuaciones

diferenciales correspondientes a un conjunto

de elementos elctricos y mecnicos pasivos

TEORA DE CONTROL MODERNO

La tendencia moderna en los sistemas de

ingeniera es hacia una mayor complejidad,

debido sobre todo a que requieren tares

mas complejas y buena precisin. Los

sistemas complejos pueden tener mltiples

entradas y mltiples salidas.

Para el estudio de estos sistemas se hace

uso del concepto de estado

MODELOS DE ESTADO

Un modelo de estado puede describir

sistemas lineales y no lineales,

proporcionando un fundamento matemtico

potente para la aplicacin de diversas

tcnicas analticas.

En esta seccin se presenta el desarrollo

de modelos de estado lineales.

DEFINICIONES.

Estado.- El estado de un sistema dinmico

es el conjunto de variables ms pequeo

(llamada variable de estado) de forma que

el conocimiento de estas variables en

junto con el conocimiento de la entrada

para , determina completamente el

comportamiento del sistema en cualquier

Variables de estado.- Es el menor conjunto

de variables que determinan el estado del

sistema dinmico.

Es conveniente seleccionar para las

variables de estado cantidades fsicamente

medibles.

REPRESENTACIN DE SISTEMAS DINMICOS EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Primer caso: La funcin excitadora no incluye

trminos derivativos. Sea el siguiente sistema de

orden n:

Esta ecuacin puede ser convertida en n

ecuaciones diferenciales de primer orden, para

ello se tiene que elegir n variables, con la

siguiente asignacin:

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (n

ecuaciones diferenciales de primer orden)

El conjunto de ecuaciones de estado, se

representa matricialmente mediante matrices:

y su forma compacta es la siguiente:

Si consideramos que la salida del sistema es la

variable de estado x1, entonces dicha salida se

puede escribir de la siguiente manera:

o en su forma compacta

donde

El diagrama de bloques de la ecuacin de

estado y de la ecuacin de salida se muestra en

la figura 2.1.

Figura 2.1 Diagrama de bloques

Ejemplo 2.1 Obtener el modelo matemtico del

motor DC controlado por armadura mostrado en

la figura 2.2, usando el mtodo del espacio de

estado

Figura 2.2 Circuito del motor DC

Solucin

Ecuaciones:

Circuito elctrico: Aplicando la ley de Kirchhoff

a la entrada del circuito del motor, se obtiene:

Conversin de energa elctrica en mecnica: El

torque T desarrollado por el motor es

proporcional al producto de ia y al flujo en el

entrehierro, el que a su vez es proporcional a la

corriente de campo, donde

donde Kf y K1 son constantes. Luego K = Kf ifK1. Por consiguiente, el torque desarrollado por

el motor puede expresarse por:

Circuito mecnico:

Aplicando la ley de Newton se obtiene:

Tensin contra-electromotriz:

Del circuito elctrico, la fuerza contra-

electromotriz viene expresada por:

Ahora, se debe escoger convenientemente las

variables de estado, veamos:

La ecuacin del circuito elctrico es una

ecuacin diferencial de primer orden, entonces

elegimos una variable de estado:

En la ecuacin de la conversin de la energa

elctrica a energa mecnica el torque depende

linealmente de Ia (esta variable de estado ya fue

definida en la ecuacin anterior).

La ecuacin del circuito mecnico es una

ecuacin diferencial lineal de 2do. orden, por

consiguiente necesitamos definir 2 variables de

estado, las cuales son:

En la ecuacin de la tensin contra electromotriz

la variable de estado ya fue definida.

Ahora debemos obtener las ecuaciones de

estado. Reemplazando las ecuaciones en la

ecuacin del circuito elctrico y usando las

variables de estado elegidas, se obtiene:

Ahora, derivando la ecuacin

se obtiene la ecuacin de estado siguiente:

y, finalmente reemplazando las variables de

estado en la ecuacin del torque:

Las ecuaciones de estado se pueden

representar matricialmente:

o en su forma compacta

con u = ea.

Si escogemos como salida a la posicin angular = x2,

entonces:

y su forma compacta es como sigue:

con