Control por realimentación de estado

7/31/2019 Control por realimentacin de estado

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9.1 ESTADO Y REALIMENTACIN DE LA SALIDAPara el estado de retroalimentacin implica el uso del vector de estado para calcular la

accin de control para la dinmica de un sistema especfico

El la figura mostrada vemos un sistema lineal (A, B, C) con constante de realimentacin

del estado de la matriz de ganancia K, utilizando las reglas de la multiplicacin dematrices ya antes vistas comprendemos que la matriz K es m*n de manera para un

sistema de una sola entrada K es una fila vectorial.

Para las ecuaciones del sistema lineal y la ley de control de realimentacin son:

Las dos ecuaciones se pueden combinar para producir la ecuacin de circuito cerrado

Se define como lazo cerrado a la matriz de estado

Y al rescribir del circuito cerrado en el sistema de espacio cerrado la ecuacin seria:

La dinmica del sistema de lazo cerrado depender de los valores y vectores propios

(eigenvalores) de la matriz Acl. As los sistemas dinmicos se eligen con eleccinapropiada de la matriz de ganancia K.


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Para muchos sistemas fsicos es costoso o imposible medir todas las variables de

estado. Las mediciones de salida deben entonces ser utilizadas para obtener el control

de U como muestra la figura

El control de retroalimentacin para la salida retroalimentada es

Sustituyendo el estado de la ecuacin del sistema de circuito cerrado

La matriz de estado correspondiente es:

Intuitivamente no se puede lograr, utilizando la salida de retroalimentacin del estado

realimentado. Porque, menos informacin utilizada en la construccin de la ley de

control. Adems la multiplicacin por C en la matriz, limita la eleccin de lazo cerradodinmico.

Sin embargo la salida de la retroalimentacin es un problema de diseo ms general,

porque el estado de retroalimentacin es un caso especial donde C es la identidad de

la matriz


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9.2 UBICACIN DE POLOSUsando la realimentacin de estado y de salida, los polos o valores propios del sistema

pueden ser asignados sujetos a las limitaciones del sistema. Esto es conocido comoubicacin de polos. Hemos de plantear el problema de la siguiente manera.

Definicin: Ubicacin de polos. Seleccione la matriz de ganancia Ko Kypara asignarel sistema de valores propios a un conjunto arbitrario {i, i = 1,. . ., n}.

El siguiente teorema da las condiciones que garantizan una solucin al problema de

ubicacin de polos con la realimentacin de estado.

Teorema: Retroalimentacin de Estado. Si el par(A, B) es controlable, entonces existe

una matriz de retroalimentacin de ganancia Kque asigna arbitrariamente los polos del

sistema a cualquier conjunto {i, i = 1,. . ., n}. Adems, si el par(A, B) es estabilizable,

entonces los modos controlables pueden ser asignados arbitrariamente.

PROCEDIMIENTO 1: UBICACIN DE POLOS POR IGUALACIN DECOEFICIENTES.

1. Evaluar el polinomio caracterstico deseado con los valores de los valores

propios especificados utilizando la expresin:

2. Evaluar el polinomio caracterstico en lazo cerrado usando la expresin:

3. Igualar los coeficientes de los dos polinomios para obtener las necuaciones que

sern resueltas para las entradas de la matriz K.

Ejemplo:Ubicacin de polos.

Asignar los valores propios (0,3 j0.2) al par


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Solucin

Para los valores propios dados el polinomio caracterstico deseado es:

La matriz del sistema en lazo cerrado es:

El polinomio caracterstico en lazo cerrado es:

Igualando los coeficientes obtenemos las dos ecuaciones:

Esto es

UBICACIN DE POLOS POR TRANSFORMACIN EN FORMA CONTROLABLE

Cualquier sistema controlable con una entrada-una salida (SISO) puede ser

transformado en forma controlable usando la transformacin:


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Donde es la matriz de controlabilidad, el subndice c denota la forma controlabley

los trminos de la tjn, j = 2,. . . , n, estn dados por

La realimentacin de estado para un sistema en forma controlable es

Ahora tenemos el siguiente procedimiento de ubicacin de polos.

Procedimiento 21. Obtener el polinomio caracterstico de la pareja (A, B), utilizando el algoritmo de

Leverrier.

2. Obtener la matriz de transformacin utilizando los coeficientes del polinomio

del paso 1.

3. Obtener los coeficientes deseados del polinomio caracterstico de los valores

propios obtenidos con la ecuacin

4. Calcular la matriz de realimentacin de estado utilizando la ecuacin


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Ejemplo

Disee un controlador por realimentacin para el par:

Para obtener los valores propios.

Solucin

El polinomio caracterstico de la matriz es:

La matriz de transformacin es

El polinomio caracterstico deseado es:

De ah obtenemos el vector de ganancia por realimentacin


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UBICACIN DE POLOS USANDO UNA MATRIZ POLINOMIAL

El vector de ganancia para la ubicacin de polos puede ser expresado en trminos del

polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado. La expresin, conocida como la

frmula de Ackermann es:

Donde es la primera fila de la matriz de Tc-1 y es el polinomio caracterstico

deseado en lazo cerrado. Sabemos que la retroalimentacin de estado puede colocar

arbitrariamente los valores propios del sistema en lazo cerrado para cualquier par

controlable (A, B). Adems, cualquier par controlable puede ser transformado en la

forma controlable (Ac, Bc). Por el teorema de Cayley-Hamilton, la matriz del sistema

satisface su propio polinomio caracterstico (), pero que no corresponde a la

ubicaciones de los polos deseado. Esto es,

Restando y usando la identidad obtenemos:

La matriz en forma controlable posee una propiedad interesante, la cual utilizaremos en

esta prueba. Si la matriz esta elevada a la potencia i, con i = 1, 2,. . . , n-1, es

multiplicado por el primer vector elemental

El resultado es el (i+1) vector elemental, esto es:

Multiplicando por el vector elemental e1, obtenemos:


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Usando la ecuacin:

Obtenemos

Multiplicando por Tc-1 y observando que la primera fila de la inversa es

obtenemos la frmula de Ackermann. Haciendo algunas modificaciones menores al

procedimiento 2, podemos realizar la ubicacin de polos usando la formula de

Ackermann. El siguiente ejemplo se muestra la ubicacin de polos con la frmula de

Ackermann.

Ejemplo

Obtener la solucin del ejemplo anterior usando la formula de Ackermann.

Solucin

El polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado es:

La primera fila de la inversa de la matriz transformada es:

Usando la formula de Ackermann para hallar el vector de ganancia


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ELECCION DE LOS VALORES PROPIOS EN LAZO CERRADO

Los procedimientos 1 y 2 producen la matriz de ganancia de realimentacin una vez

que los valores propios en lazo cerrado se han seleccionado arbitrariamente. Las

ubicaciones de los valores propios deseados son relacionadas directamente a la

respuesta transitoria deseada del sistema.

Si todos los valores propios deseados en lazo cerrado se seleccionan en el origen del

plano complejo, la estrategia de control de punto muerto es implementada, y el

polinomio caracterstico en lazo cerrado es elegido como:

Sustituyendo en la formula de Ackermann la ganancia de la matriz de realimentacin.

La ley de control resultante ser llevar los estados a cero la mayora n de intervalos de

muestras a partir de cualquier condicin inicial. Sin embargo, las limitaciones del control

punto muerto se aplican, es decir, la variable de control puede asumir valores

inaceptablemente altos, y pueden ocurrir oscilaciones indeseables.

Ejemplo

Determine el vector de ganancia k, mediante la para la discretizacion del modelo en

espacio de estados del control de armadura de un motor DC para los siguientes valores

propios seleccionados.

1. 2. 3.

Simular el sistema en cada caso para obtener la respuesta de entrada cero a partir de

la condicin inicial X(0) = [1,1,1], y discutir los resultados.

Solucin

El polinomio caracterstico de la matriz del sistema es

Esto es,

La matriz de control del sistema es


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Obtenemos la matriz transformada

1. El polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado es

Esto es,

Usando la frmula de Ackermann, obtenemos el vector de ganancia

La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control

correspondiente de la variable use muestra en la Figura a continuacin:


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Esto es,

El vector de ganancia es




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El vector de ganancia es



Podemos observar que cuando seleccionamos polos asociados a modos rpidos

modos, se requieren ganancias altas para la realimentacin de estado y las

variables de estado tienen oscilaciones largas en la respuesta transitoria.


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Especficamente, para el control en el punto muerto (caso 3), los valores de

ganancia son un orden mayor de magnitud que las de los casos 1 y 2, y la

magnitud de las oscilaciones su respuesta transitoria es mucho ms grande.

Adems, para el control el punto muerto el estado cero se alcanza en n=3

intervalos de muestreo como lo dice la teora. Sin embargo, las oscilaciones

transitorias realmente se producen en x2, la velocidad del motor. Esto se muestra

en la Figura a continuacin, donde se grafican la velocidad anloga y la

velocidad muestreada del motor.


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COMANDOS EN MATLAB PARA LA UBICACIN DE POLOS

El comando para la ubicacin de polos es place. El siguiente ejemplo muestra el usodel comando.

ndigits es una medida de precisin para la ubicacin de los polos. Tambin es posiblecalcular la realimentacin del estado matriz de ganancia utilizando comandos bsicos

de MATLAB de la siguiente manera:

1. Generar el polinomio caracterstico de una matriz

2. Obtener los coeficientes del polinomio caracterstico de un conjunto de valores

propios deseado dados como entradas de un vector de polos.

El vectordesired contiene los coeficientes deseados en orden descendente.

3. Generar la matriz polinomial para una matriz A, correspondiente al polinomio


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9.3SERVO PROBLEMASEn las figura de bloques antes mostradas, son los reguladores que dirigen el sistema

estado cero a partir de cualquier condicin inicial, capaz de rechazar perturbaciones, enla prctica es frecuente realizar un seguimiento a la constante de referencia r con cero

error de estado estacionario para este propsito un posible mtodo es utilizar el dos

grados de libertad

Llamado as por que ahora tenemos dos matrices para seleccionar, conseguir la de

realimentacin de la matriz K y conseguir la referencia de la matriz F

La entrada de referencia en el segundo esquema muestra que la entrada se convierte

en v(k)=Fr(k) es la ley de control elegido como

Con r(k) es la entrada de referencia para ser rastreado. Para el correspondientesistema de circuito/cerrado las ecuaciones son

Donde la matriz de estado cerrado es

La trasformada z correspondiente a la salida est dado por

El estado estacionario para localizar el error en una entrada de escaln unitario esta

dado por


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Para cero en el estado estacionario el error se requiere la condicin

Si el sistema es cuadrado (m=I) y Acl es estable (no hay valores propios de unidad) se

resuelve para una ganancia de referencia

Ejemplo 9.5

Disee un estado de espacio para un controlador discretizado, un modulo de velocidad

en espacio de estado para un motor DC. Un sistema de motor discreto con T=0,02

para obtener (1) cero error de estado estacionario debido a una unidad etapa (2) una

relacin de amortiguamiento de 0,7 y (3) un tiempo de asentamiento alrededor de 1s

Solucin

La funcin de trasferencia discretizada de un sistema con conversor digital/anlogo yanlogo/digital es

El correspondiente modelo de espacio de estado, clculo con MATLAB es

Los propios valores deseados del sistema de circuito cerrado son seleccionados como

(0,9 j0.09) esto produce el vector de ganancia de realimentacin


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Y el estado de la matriz de circuito cerrado

El anticipo de ganancia es

La respuesta del sistema a un paso de referencia de entrada R se muestra en la

siguiente figura

El sistema tiene un tiempo de asentamiento de alrededor de 0,84s y el porcentaje de

rebasamiento de alrededor del 4% con un tiempo mximo de 1s todas las

especificaciones de diseo se cumple.

La ley de control (u(k)=-Kx(k)+Fr(k) ) es equivalente a la accin de prealimentacindeterminada por F y dar como resultado cero error en estado estacionario para una

entrada de referencia constante r, porque al propiciar acciones no incluye ninguna

forma de retroalimentacin, este enfoque no es robusto a las incertidumbre del modelo,


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los errores que aparecen en la prctica resultan en cero error de estado estacionario.

Para eliminar estos errores se introduce el control integral como se muestra en la figura

Con un nuevo estado agradado para cada error en un control integrado

Lo que resulta en espacio de estado son las ecuaciones

Donde es l*1. Las ecuaciones de estado se pueden combinar y rescribir en trminos

de un vector de estado como

Esto es

Donde


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Los valores propios del sistema de circuito cerrado del estado de la matriz

pueden ser asignados aleatoriamente mediante el clculo de la ganancia

de la matriz K utilizando cualquier de los procedimientos para regular el problema como

se describe anteriormente.

Ejemplo 9.6

Resolver el problema de diseo anterior utilizando el control integral

Solucin

Las matrices de espacio de estado del sistema son

Adicionando una integral de control se obtiene

Los valores fueron anteriormente seleccionados como (0,9 j0.09) el uso del controlintegral aumenta el orden del sistema por una parte y el valor adicional debe ser

seleccionado. Los valores deseados propios se seleccionan como (0,9 j0.09,0.2) y

el adiciona del valor propio


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A 0,2 es elegido por efecto insignificante sobre la dinmica general, esto produce

retroalimentacin obteniendo vectores

El sistema de circuito cerrado para la matriz es

La respuesta del sistema a una referencia r de una seal esta mostrada en la figura

anterior, la figura muestra que las especificaciones de control estas satisfechas.

El tiempo de estabilidad es de 0,87 muy inferos al valor especifico de1 s y el

porcentaje del sobre impulso es de aproximadamente 4,2% lo que es menos al valor

correspondiente a =0.7 para el par dominante


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9.4 INVARIANZA DE LOS CEROS DEL SISTEMAUna severa limitacin en el esquema de control de realimentacin de estado, es que no

se puede cambiar la ubicacin de los ceros del sistema, lo cual afectasignificativamente la respuesta transitoria. Para demostrar esto, consideremos la

transformada z del sistema:

Si z = zo es un cero del sistema, entonces Y(zo) es cero con V(zo) y X(zo) distinto decero. As, para z = z0, la ecuacin de estado-espacio (9.40) puede rescribirse como:

[]

Rescribiendo la matriz (9,41) en trminos de la matriz de espacio de estado del sistema

en lazo abierto quedara:

[]

[

]

Se observa que con la realimentacin de estado el espacio de

estado cudruple (A, B, C, D) se convierte en

As, los ceros del sistema en lazo cerrado son los mismos que los de la planta y son

invariantes bajo la realimentacin de estado.

Ejemplo

Considere el siguiente sistema en tiempo continuo

Obtener un modelo discreto para el sistema con control digital y un periodo de

muestreo T=0,02, luego disear un controlador de espacio de estado con control

integral y con los valores propios en lazo cerrado


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Solucin

El sistema anlogo con DAC y ADC tiene la siguiente funcin de transferencia

Con cero en 0.9802 en lazo abierto. El modelo correspondiente de espacio de estado

(calculado en MATLAB) es

Los valores propios deseados del sistema en lazo cerrado son seleccionadoscomo y esto produce el vector de ganancia de realimentacin

La matriz del sistema en lazo cerrado del sistema es

La respuesta del sistema a un escaln unitario con una seal de referencia r, semuestra en la figura a continuacin, tiene un gran sobrepaso debido al cero en lazo

cerrado de 0,9802. El control de lazo cerrado no puede cambiar la ubicacin del cero.


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9.5 ESTIMACION DE ESTADOEl la mayora de las aplicaciones es imposible o extremadamente caro. Para

implementar el control de realimentacin del estado, se puede utilizar una estimulacinx(k) en el vector de estado, esto se puede llevar acabo con una estimulacin a partir de

la entrada y mediciones de la produccin de un observador (estimulador de estado)

OBSERVADOR DE PORDEN COMPLETO

Para estimular todos los estados del sistema en teora se podra utilizar un sistema de

ecuaciones del mismo estado de la planta que s observa, en pocas palabras se puede

utilizar el sistema de bucle abierto.

Sin embargo este estimulador de bucle abierto asume el conocimiento perfecto del

sistema y carece de retroalimentacin que es necesaria por que siempre aparecern

errores, la limitacin de este observador se define como obtenemos que

la dinmica del error le resta dinmica observador en el lazo abierto

la dinmica del error se determina pro la matriz de estado del sistema y no se puede

elegir arbitrariamente. Para un sistema inestable el observador ser inestable y no sepuede realizar el seguimiento del estado del sistema. Una alternativa prctica es

retroalimentar la diferencia entre la medida y la salida estimada del sistema


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Esto nos proporciona el siguiente observador

Restando la ecuacin del observador de estado del sistema dinmico se obtiene la

estimacin del error de la dinmica

La dinmica del error se rigen los valores propios de la matriz del observador Ao=A-LC.

Tenemos la transposicin de la matriz para

Teniendo los mismos valores propios como la matriz del observador, se identifica a la

ecuacin de diseo del controlador con el par (A,B) sustituidos por el par (AT, CT) por

lo tanto tenemos el teorema 9.2

TEOREMA 9.2

ESTIMACION DE ESTADO

Si el par (A, C) es observable, entonces existe una ganancia de realimentacin L matriz

que asigna arbitrariamente los polos del observador a cualquierconjunto( i=1,, n)

adems si el par (A, C) es detectable, los modos de los observables todos pueden serasignados arbitrariamente

Prueba: basado en el teorema 8,12 el sistema (A, C) es observable(detectables) y si

solo si (AT, CT) es controlable (estabilizable). Por lo tanto el teorema 9,2 deduce

teorema 9,1


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Basado en el teorema 9,1 la matriz L de ganancia se puede determinar a partir de los

polos deseados del observador, por lo tanto puede seleccionar arbitrariamente los

polos deseados del observador o el polinomio caracterstico asociado

Ejemplo

Determine la ganancia del observador con matriz L por el modelo discreto de estado

de espacio de la armadura controlada, motor de corriente continua con los valores

propios de observacin seleccionados como (0,1 , 0,2 +-j 0,2)

Solucin:

Recuerde que las matriz del sistema son

el

comando de Matlab da la ganancia del observador

La expresin

Representa una prediccin de observador, debido a que la estimacin del vector de

estado (y a cualquier accin de control asociado) en un momento dado de muestreo, no

depende del valor de medicin actual de la salida del sistema

Alternativamente, un observador filtrado calcula el vector de estado basado en la

corriente de salida(suponiendo que el tiempo de calculo es insignificante), utilizando la

expresin


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Claramente la corriente de salida y(k+1) se compara con su estimacin basada en las

variables en el instante del muestreo anterior. La dinmica del error esta representada

ahora por

Es la misma expresin

Con la diferencia que sustituimos la matriz C por la matriz del observador del sistema

(A, CA)

Donde es la matriz de observabilidad del par (A, C), si A tiene valores propios de

cero, el par (A, CA) es detectable por que lo s valores propios de cero estn asociados

con los modos estables , y el diseo del observador puede ser completado mediante la

seleccin de una matriz L que asigna valores adecuados para los restantes

Ejemplo

Determine la ganancia del observador filtrado ocn la matriz L para el sistema descrito

en el ejemplo anterior

Solucin

Usando el comando de Matlab

Se obtiene la ganancia del observador


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OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO

Porque las estimar las variables n del estado cuando ya tenemos las mediciones del y

son funciones lineales de la misma variable, ser posible estimar n variables y solo lasutilizamos con la medida para estimar el estado entero, esto es lo que precisamente

hace el diseo de un observador de orden reducido, es mas eficiente que un

observador de orden completo, pero no es muy recomendable usar un observador

reducido cuando se trabaja en presencia de ruido, adems el diseo es mas complejo

Las variables que se determinan

Donde M es un rango completo de n-l x n matriz con filas que son linealmente

independientes de los de C y z es el estado parcial desconocido

Las matrices de estado de espacio para las variables de estado son trasformadas


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Por la tanto las ecuaciones de estado para el estado parcial de lo desconocido es

Se define una variable de salida para formar un modelo de espacio con

Esta salida representa la parte de la conocida y parcial del estado (k +1) que se calcula

utilizando el estado parcial desconocido, la dinmica del observador incluyendo el error

en la computacin Yz se supone que el tiempo lineal invariante de la forma

Donde z denota la estimacin parcial del vector de estado z, mover el termino al primer

miembro revela que su uso puede ser evitada mediante la estimacin de al variable

Podemos obtener un observador combinando las dos ecuaciones anteriores

cuando


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El al figura mostrada

Se rige por la matriz Ao. Los valores propios de Ao deben ser seleccionados dentro delcirculo unitario y debe ser suficientemente rpida para seguir el observando el estado

del sistema reduce diseo del observador de solucin para ganancias observada L una

vez se obtiene la matriz L las otra matrices se pueden calcular y el vector X el estado

puede ser obtenido mediante la siguiente ecuacin

Donde la matriz de trasformacin Qo se define


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Recordar que los polos de la matriz de puede ser asignada arbitrariamente

siempre que el par es controlable, desde el concepto de dualidad, esto es

equivalente a la observabilidad de los pares el siguiente teorema da una

condicin necesaria y suficiente para la observabilidad del par

Teorema 9.3 el par es observable si y solo si el sistema (A, C) es observable

Ejemplo

Disee un observador de orden reducido par el estado de espacio discreto para un

modelo de armadura modelada

Motor de corriente continua con valores propios de observacin (0.2 +- 0.2j)

Las matrices del sistemas son

La matriz de salida C esta en al forma requerida no hay necesidad de trasformacin la

matriz de estado es

La transformacin de similitud puede ser seleccionada como una matriz de identidad,

es decir,


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Teniendo At=A Bt=B y Ct=C t5enemso que resolver la ecuacin lineal

Para tener la ganancia del observador

Las matrices observadas son

La estimacin del estado puede ser calculada utilizando


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9.6 REALIMENTACION MEDIANTE OBSERVADOR DE ESTADOSi el vector de estado no est disponible para el control de realimentacin, un

estimador de estado puede ser utilizado para generar la accin de control como semuestra en la figura.

El vector de control correspondiente es

Sustituyendo en la ecuacin de estado obtenemos

Sumando y restando el termino , podemos rescribir la ecuacin anterior entrminos del error estimado como

Si se utiliza un observador de orden completo (predictor), combinando de la ecuacin

anterior con obtenemos


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La matriz del sistema anterior es un bloque triangular, y su polinomio caracterstico es

Por lo tanto, los valores propios del sistema en lazo cerrado se pueden seleccionar por

separado de las del observador. Este importante resultado es conocido como el

teorema de separacin o la incertidumbre del principio de equivalencia.

Anlogamente, si se emplea un observador de orden reducido, el error estimado

puede ser expresado en trminos de los errores en la estimacin de Y y Z como

Si partimos la matriz en una matriz de y una matriz de

para poder hacer la separacin de los dos trminos de error, y volver a escribir la

estimacin del error como

Despreciando el error de medicin , el error estimado se reduce a

Sustituyendo la ecuacin anterior en la ecuacin de lazo cerrado obtenemos

Evaluando y sustituyendo poryz obtenemos

Combinando las dos ecuaciones anteriores


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La matriz del sistema anterior es un bloque triangular, y su polinomio caracterstico es

As, para el observador de orden completo, los valores propios en lazo cerrado del

observador en retroalimentacin de estado de orden reducido puede ser seleccionado

por separado de los observador de orden reducido. El teorema de separacin se aplica

tanto para los observadores de orden reducido como para los observadores de orden

completo. Adems, combinando la ecuaciones de estado de la planta con el estimador

y utilizando la ecuacin de salida, tenemos

Expresamos el estimador de realimentacin de estado como

Donde Toy y Tox son partes de To de orden n x 1 y n x n-1 respectivamente,

sustituyendo obtenemos

Esta ecuacin puede ser utilizada para simular el estimador completo de

realimentacin de estado del sistema.


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ELECCIN DE LOS VALORES PROPIOS DEL OBSERVADOR

La respuesta del sistema en lazo cerrado debe ser determinada por los polos del

controlador que cumple con las especificaciones de rendimiento. Por lo tanto los polos

del observador se deben seleccionar de 3 a 10 veces ms rpido que los polos del

controlador.

La eleccin de los polos del observador tambin se rige por las mismas

consideraciones relacionadas con la robustez del control del sistema por realimentacin

de estado As, la sensibilidad de los valores propios a las perturbaciones en las

matrices del sistema se deben considerar en la seleccin de los polos del observador.

La seleccin de los polos del observador no influye en el rendimiento del sistema de

control general si las condiciones iniciales se estiman perfectamente. Para demostrar

este hecho, consideramos que la ecuacin de estado con la ecuacin de salida:

La respuesta del sistema cero entrada-salida puede ser determinada

iterando

La matriz del observadorL influye en la respuesta transitoria si y slo si .

Este hecho se confirm mediante la determinacin de la funcin de transferencia z, que

supone implcitamente condiciones iniciales cero.

Donde la matriz del observador L no aparece


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Ejemplo

Solucione el ejemplo anterior usando un observador de orden reducido

Solucin

En este caso, tenemos l = 1 y, debido a que el valor de la salida corresponde al primer

elemento del vector de estado no es necesaria para la transformacin de similitud, es

decir, .Obtenemos


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Seleccionamos los valores propios del observador de orden reducido como {0,1 j0.1} y

obtenemos vector de ganancia del observador

Las matrices asociadas son

Particionando , obtenemos

La ecuacin de espacio de estados es

Considerando que la ecuacin de estado-espacio es


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La respuesta del sistema de espacio de estado, con la condicin inicial [1, 1, 1, 1, 1] es

representada en la figura arriba. Se observa que el error estimado xi, i = 4, y 5, decae

a cero mas rpido que el sistema de estados xi, i = 1, 2 y 3, y que el sistematiene un

tiempo total de asentamiento menor que 0,2 s.


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9.7ASIGNACIN DE POLOS USANDO FUNCIONES DE TRANSFERENCIAEl problema de asignacin polo puede ser resuelto usando funciones de transferencia.

Consideremos las ecuaciones de estado del controlador de dos grados de libertad semostrado a continuacin con el vector de estado estimado utilizando un observador de

orden completo.

Para una planta SISO con observador de realimentacin de estado, tenemos

O su equivalente

La correspondiente funcin de transferencia en zde [r, y]para ues

As, el observador de orden completo de realimentacin estado es equivalente a la

funcin de transferencia representada en la figura a continuacin. En la figura, la planta

G (z) = P (z) / Q (z) se supone que estrictamente realizable; esto significa que el grado

de P (z) es menor que el grado de Q (z).


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A partir del diagrama de bloques mostrado en la figura, haciendo algunas

manipulaciones sencillas al diagrama de bloques obtenemos la funcin de

transferencia en lazo cerrado.

La ecuacin polinomial es

La ecuacin caracterstica en lazo cerrado es

El problema de ubicacin del polo, se reduce a encontrar los polinomios D (z) y S (z)

que satisfacen la ecuacin anterior dado P (z), Q (z), y para un determinado polinomio

caracterstico deseado , la ecuacin anterior se llama una ecuacin diofntica, y

se puede solucionar expandiendo sus trminos RHS como

El polinomio caracterstico en lazo cerrado es de grado n + my tiene la forma

Rescribiendo obtenemos

Esta ecuacin es lineal en las 2mincgnitas,di y si, i = 0, 1, 2,. . ., m - 1, y su LHS es

un polinomio conocido con n + m -1 coeficientes. La solucin de la ecuacin diofntica

es nica si n + m - 1 = 2 m, es decir, si m = n - 1. La ecuacin se puede escribir en

forma de matriz


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Se puede ver que la matriz en el LHS es no singular si y slo si el polinomios P(z) y

Q(z) son primos entre s.

Ahora discutiremos la eleccin del polinomio caracterstico deseado. Desde el diseo

de la funcin de transferencia equivalente de para el diseo de espacio de estado, el

principio de separacin implica que puede escribirse como el producto

Donde es el polinomio caracterstico del controlador y es el polinomio

caracterstico del observador, seleccionamos el polinomio N(z) como

De manera que el polinomio del observador se cancele en la funcin de

transferencia de referencia de entrada a la salida del sistema. La constante se

selecciona de modo que la salida de estado estacionario sea igual a la entrada de

referencia constante

La condicin cero error de estado estacionario es


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Ejemplo

Solucione el ejemplo del controlador de armadura del motor DC, utilizando la

aproximacin de la funcin de transferencia.

Solucin

La funcin de transferencia de la planta es

Obtenemos los polinomios

Esto es

La planta es de tercer orden, es decir, n = 3, y la condicin de la solucin de laecuacin diofntica es m = n - 1 = 2. El orden del polinomio caracterstica deseado enlazo cerrado es m + n = 5. Se puede seleccionar los polos del controlador {0.6, 0.4

j0.33} y los polos del observador serian {0.1, 0.2} con los polinomios correspondientes

En otras palabras yUtilizando la ecuacin de la matriz descrita anteriormente se obtiene


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Con el comando de MATLAB linsolve obtenemos la solucin

Y los polinomios

Obtenemos y el polinomio del numerador

La respuesta al escaln del sistema de control de la figura tiene un tiempo de

asentamiento de 0,1 s y un porcentaje de sobrepaso inferior al 7%. La respuesta

cumple todas las especificaciones de diseo.


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CONCLUSIONES

Aprendimos mediante el mtodo vectorial en un sistema cerrado estabilizar el lazo.

Realizamos el diseo de realimentacin atreves de la ubicacin de los polos.

Entendimos el comportamiento de los ceros multivariables bajo la realimentacin de

estado

Aprendimos como sacar los estimadores de estado (observadores) para los modelos

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