CONTROL ROBUSTO QFT DE UN HELICÓPTERO DE 3 GDL

I.Egaña, M.Iribas, J. Mota, J. Castillejo, P.Vital, J.Villanueva, M. Barreras, M. García-SanzDepartamento de Automática y Computación, Campus de Arrosadía, 31006 - Pamplona.

E-mail: igor.egana@unavarra.es

Resumen

Se propone el diseño de un controlador robustomediante la técnica QFT aplicado a un prototipo dehelicóptero de laboratorio de 3 grados de libertad.El diseño está compuesto por dos lazos en cascadapara el control del avance del helicóptero y otroindependiente para la elevación. Se muestran losresultados experimentales de la implementación realdel controlador.

Palabras Clave: Control Robusto, QFT, Sistemas deRealimentación.

1 INTRODUCCIÓN

Desde los años 50 y durante toda la década de los 60,el Profesor I. Horowitz [6-8] profundizó en losfundamentos de la realimentación y ahondó en lascapacidades que de ella se derivan, dando lugar a lallamada Teoría de la Realimentación Cuantitativa(QFT, Quantitative Feedback Theory).

Esta es una técnica que, basada en el uso de larealimentación, busca el cumplimiento de unastolerancias deseadas de funcionamiento del sistema, apesar de la incertidumbre de la planta y lasperturbaciones del sistema.

A partir de los brillantes comienzos de Horowitz, seha desarrollado toda una teoría que trata desde elcontrol de sistemas monovariables [6, 8] hasta losmultivariables más complejos [9, 10, 13, 14, 1, 4],pasando por los no lineales [15] y por procesos congrandes retardos variables [5], entre otros. Noobstante, QFT no ha quedado solamente en el ámbitoacadémico. Tal y como se relata en el librorecientemente publicado por Houpis y Rasmussen[11], las aplicaciones industriales son numerosas.

En este trabajo se expone la resolución de un casopráctico real [12] por medio de una maqueta delaboratorio de un helicóptero de 3 grados de libertad:la 3D Helicopter Experiment, fabricado por QuanserConsulting. El prototipo se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Maqueta del Helicóptero 3D HelicopterExperiment, de Quanser Consulting.

2 MODELO DEL HELICÓPTERO

Tal y como se ha comentado, el proceso a controlares el helicóptero de la Figura 1. Consta de 3 gradosde libertad medidos mediante otros tantos encodersabsolutos: la elevación (altura que alcanza el cuerpodel helicóptero y que viene a resultar el giro en tornoa un eje horizontal), el pitch (cabeceo en torno al ejelongitudinal del aparato) y el avance (giro en torno aun eje perpendicular al suelo).

Por otra parte, los actuadores se reducen a dosmotores eléctricos de tensión continua acoplados acada lado del eje longitudinal que junto con sendashélices producen una fuerza proporcional a la tensiónde entrada, y forman parte del cuerpo del sistema. Eneste artículo se considera el control de la elevaciónpor una parte, y el del ángulo de pitch para lograr elavance deseado, tal y como se detalla posteriormente.Para presentar el control de estos ejes, en esteapartado se presenta el modelo matemático delhelicóptero.

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES

A continuación se exponen detalladamente los gradosde libertad considerados, las ecuaciones diferencialesque describen las dinámicas, así como los parámetrosque se incluyen.

2.1.1 Ángulo de Elevación

Tal y como se muestra en la Figura 2, el prototipobascula respecto al eje perpendicular al plano de lafigura según el ángulo e.

l1

l2

d

h

l3

mM

F1 +F2

e

r2

r1

Figura 2: Geometría del ángulo de la elevación

La actuación sobre el sistema es la suma de lasfuerzas provocadas por las hélices accionadas por losdos motores eléctricos, y la salida es el yamencionado ángulo de elevación, e.

Tal y como se puede deducir a partir de lasecuaciones de Lagrange, el modelo matemático es elsiguiente,

( ) ( )[ ]( )( )

''e'eesenesenecoscos

ecosesen

3

32

1121

⋅=⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅+⋅⋅−⋅+

ee JbhlgM

llgMldhgmlFF

θ (1)

siendo h, d, l1, l2 y l3, longitudes del sistema; m, lasuma de la masa de los dos motores y M la masa delcontrapeso; be, el rozamiento dinámico de laelevación; g, la aceleración de la gravedad.

Tal y como se observa, se trata de una ecuacióndiferencial que es necesario linealizar en torno alángulo de elevación e = 0.

( )[ ])sen()(e

)2('e''e

3

121

θ⋅−⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅+

lhgMdhgmbJlFF ee

2.1.2 Ángulo de Pitch

Como se muestra en la Figura 3, el prototipo cabeceaen torno al eje longitudinal perpendicular al plano dela figura.

La actuación sobre el sistema está constituida por lasfuerzas F1 y F2 provocadas por las acciones de lashélices impulsadas por los dos motores eléctricos, yla salida es el ángulo de pitch, p.

Tal y como se puede deducir a partir de lasecuaciones de Lagrange, el modelo matemático es elsiguiente,

( )[ ] ( )( ) p

)3(psenp

12

22

′⋅−⋅−==−⋅⋅⋅−−+⋅′′⋅

pblFFdcgmcdlm

siendo l y c, longitudes del sistema; bp, el rozamientodinámico del pitch; el resto de parámetros son losdefinidos anteriormente.

l

l

dc

a

F2

F1

r2Fr1F

r1m

r2m

p

Figura 3: Geometría del ángulo de pitch

La linealización de esta ecuación diferencial en tornoa p = 0, da como resultado,

( )[ ] ( )( ) p

)4(pp

12

22

′⋅−⋅−==−⋅⋅⋅−−+⋅′′⋅

pblFFdcgmcdlm

2.1.3 Ángulo de Avance

Según se muestra en la Figura 4, el prototipo girarespecto al eje perpendicular al plano de la figura.

d1

d2

M

m’

m’t

Figura 4: Geometría del ángulo de avance, según lavista zenital

La actuación sobre el sistema es la proyección sobreel plano horizontal de las fuerzas F1 y F2 aplicadas enlas masas m', provocadas por las hélices impulsadaspor los dos motores eléctricos. La salida es el ángulode avance, t.

Tal y como se puede deducir a partir de lasecuaciones de Lagrange, el modelo matemático es elsiguiente,

( ) ttpsen 121 ′′⋅=′⋅−⋅⋅+ gt JblFF (5)

Al igual que con los casos anteriores, se linealiza entorno al ángulo p=0,

( ) ttp 121 ′′⋅=′⋅−⋅⋅+ gt JblFF (6)

siendo bt, el rozamiento dinámico del avance; Je, lainercia del conjunto respecto al eje de avance; elresto de parámetros son los definidos anteriormente.

2.2 MODELO FRECUENCIALPARAMÉTRICO

A partir de las ecuaciones diferenciales lineales (2),(4) y (6), los modelos considerados son los de lasFiguras 5a y 5b, según las funciones de transferenciade las ecuaciones (7), (8) y (9), siendo Fsuma y Fdif lasuma y la diferencia de las fuerzas F1 y F2respectivamente.

Figura 5: Funciones de transferencia de los sistemaslineales considerados

[ ]ee

e

suma

JlhgMdhgm

sJb

s

Jl

sFsE

)sen()()()(

32

1

θ⋅−⋅⋅++⋅⋅+⋅+=

( )[ ]( )[ ]

( )( )[ ]2222

2

22

)()(

cdldcg

scdlm

bs

cdlml

sFsP

dif

−+−⋅+⋅

−+⋅+

−+⋅=

sJbs

JsF

sPsT

g

g

suma

⋅+=

2

)(

)()(

La única objeción que cabe formular respecto alanterior modelo afecta a la ecuación (9), dado que lafunción de transferencia depende de la variable Fsuma.No obstante, es necesario señalar que dado que elsistema va a evolucionar en torno a una elevación-ángulo e respecto a la horizontal- nula, la variableFsuma tiene en general un valor constante de equilibriopara mantener el helicóptero en dicha posición.

A partir de los parámetros físicos tales comolongitudes, masas y rozamientos estimados, se puedededucir el modelo con incertidumbre representadopor las funciones de transferencia (10), (11) y (12), y

la Tabla 1. Las variables de entrada de las funcionesde transferencia que se incluyen a continuación sonla suma de las tensiones aplicadas a los motores y ladiferencia de las mismas, con la notación Vsuma y Vdif,teniendo en cuenta que la relación entre la tensión yla fuerza generada por el conjunto del motor esproporcional a través de un valor de km = 0.46 N/V.

22

2

2)()(

nenee

nee

suma ssk

sVsE

ωωξω

+⋅⋅⋅+⋅= (10)

22

2

2)()(

npnpp

nep

dif ss

k

sVsP

ωωξω

+⋅⋅⋅+⋅

= (11)

( )1)()(

+⋅⋅=

sTsk

sPsT t (12)

Parámetro Mínimo Máximoke 0.01 0.099ξ e 0.1 0.16

ω ne 0.55 0.58kp 0.09 0.27ξp 0.039 0.097

ω np 1.90 2.28kt 0.75 2.03T 6 16

Tabla 1: Intervalos paramétricos del modelo

3 DISEÑO DEL CONTROLADOR

En la presente sección, se incluye primeramente unabreve descripción del proceso de diseño delcontrolador según la metodología QFT seguida por laToolbox de Matlab , y desarrollada por Borghesaniet al. [2], para incluir posteriormente lasespecificaciones del diseño y el proceso de diseño decada uno de los lazos de control.

3.1 METODOLOGÍA DE DISEÑO SEGÚNQFT

La Teoría QFT está basada en el análisis frecuencialdel efecto de la realimentación, para reducir lainfluencia en el sistema tanto de las perturbacionesexternas como de la incertidumbre del modelo, yestabilizar el sistema en caso necesario. Sacaprovecho de la utilización de un prefiltro en lazoabierto delante del lazo de realimentación paraajustar el comportamiento dentro de las toleranciasde seguimiento de referencia en su caso, diseñándoseasí un sistema de 2 Grados de Libertad.

El diseño parte de un modelo del sistema que incluyela posible incertidumbre, ya sea paramétrica, no

Pp(s) Pt(s)Fdif(s) P(s) T(s)

Pe(s)E(s)Fsuma(s)a)

b)

(7)

(8)

(9)

paramétrica o mixta. A partir de este punto se calculala respuesta para un conjunto significativo de plantasdentro de todas las posibles del espacio deincertidumbre, y a unas frecuencias igualmenterepresentativas de la dinámica del proceso. Cada unode los conjuntos de respuestas a una frecuencia dadaes lo que se conoce como template.

A continuación, las especificaciones frecuencialesexigidas, se convierten en una serie de zonaspermitidas y prohibidas para cada frecuencia en eldiagrama de Nichols. Las líneas que delimitan estaszonas son los llamados bounds. Para garantizar larobustez del diseño, estos cálculos se realizantomando en consideración la incertidumbre delsistema.

En la etapa de diseño, denominada loop-shaping seaprovechan las propiedades del diagrama de Nicholsy se traza el producto de la planta por el controlador-inicialmente igual a la unidad- para el caso de unade las plantas (planta nominal). El Ingeniero deControl, basándose en su experiencia añadeelementos al controlador: en el momento en que cadauno de los puntos de dicha representación frecuencialyazca sobre la zona permitida por el bound a sucorrespondiente frecuencia, el diseño se considerasatisfactorio.

El diseño se completa con la sintonización de unprefiltro. Para ello se ajusta la respuesta del lazo derealimentación a las tolerancias definidas por lasespecificaciones de seguimiento.

3.2 DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL

A continuación se detalla el proceso completoseguido hasta alcanzar el controlador del helicóptero.

3.2.1 Diseño del lazo de elevación

Las especificaciones para el lazo de elevación son lassiguientes:

• estabilidad robusta: mínimos márgenes deganancia y fase (no simultáneamente) igual a1.714 (4.68 dB) y 42º, calculados según [3],equivalente a imponer,

4.11 ee

ee ≤⋅+

⋅GP

GP (13)

• especificación de reducción de la sensibilidad:

5.1412

11

2

2

ee +⋅++⋅+≤

⋅+ ssss

GP (14)

• limitación del esfuerzo de control: la máximatensión aplicable a cada motor es de 5 V para elancho de banda de la planta en el caso demáximo error de elevación considerado, de 25º(0.625 rd), ,

8625.05

1 ee

e =≤⋅+ GP

G (15)

• especificaciones de seguimiento: se impone unabanda de tolerancia en todo el ancho de banda dela planta definida por,

bjta ≥≥ )(Y/R ω (16)

siendo tY/R la función de transferencia entre lareferencia y la salida, y a(ω ) y b(ω ) las cotassuperior e inferior que definen la toleranciamediante las siguientes funciones,

25325

)(2 +⋅+

=ss

sa (17)

5.05.0

)(+

=s

sb (18)

A partir del modelo definido por la ecuación (10) ylos parámetros de la Tabla 1, se pueden calcular lostemplates de la Figura 6.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

ω = 0.001

ω = 0.021544

ω = 0.059948

ω = 0.16681

ω = 0.46416

ω =1.2915

ω =3.5938

ω =10

Fase (º)

Mag

nitu

d (d

B)

Figura 6: Templates de la planta de elevación

A partir de las especificaciones comentadas, la etapade diseño concluye según la Figura 7, en la que semuestran los bounds y el producto de la planta por elcontrolador resultante. En dicha figura, la respuesta auna frecuencia dada debe permanecer por encima delos bounds continuos y por debajo de losdiscontinuos, y en el exterior de los bounds cerrados(continuos y discontinuos).

El controlador diseñado es el siguiente,

ss

ssG⋅+

+⋅+⋅=4.4646

9.2791119.72748992.1802

2

e (19)

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-20

0

20

40

60

80

100

Fase (º)

Mag

nitu

d (d

B)

ω =0.001

ω =0.0027

ω =0.0077 ω =0.059ω =0.17

ω =0.46

ω =1.3

Figura 7: Loop-shaping del controlador de elevación

A partir de este punto el diseño del prefiltro es trivialy da como resultado la siguiente función detransferencia,

0.0021 s0.0380 s0.6363s

0.0021 s0.0346s0.576723

2

e +⋅+⋅++⋅+⋅=Pf (20)

3.2.2 Diseño del lazo de pitch

Las especificaciones para el lazo de pitch son lassiguientes:

• estabilidad robusta: análogamente al lazoanterior,

4.11 ee

ee ≤⋅+

⋅GP

GP (21)

• especificación de reducción de la sensibilidad:

36.02.109.06.0

11

2

2

ee +⋅++⋅+≤

⋅+ ssss

GP (22)

• limitación del esfuerzo de control: se consideraconveniente una máxima tensión aplicable acada motor de 2.5 V para el ancho de banda de laplanta en el caso de máximo error de elevaciónconsiderado, de 60º (1.05 rd),

38.205.15.2

1 ee

e =≤⋅+ GP

G (23)

• especificaciones de seguimiento: siguiendo laformulación de la ecuación (16), se impone unabanda de tolerancia delimitada por,-

9028.1390

)(2 +⋅+

=ss

sa (24)

321632

)(2 +⋅+

=ss

sb (25)

A partir del modelo definido por la ecuación (11) ylos parámetros de la Tabla 1, se pueden calcular lostemplates de la Figura 8.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-40

-30

-20

-10

0

10

20

ω = 0.001

ω = 0.0027826

ω = 0.0077426

ω = 0.021544

ω = 0.059948

ω = 0.16681

ω = 0.46416

ω = 1.2915

ω = 3.5938

Fase (º)

Mag

nitu

d (d

B)

ω = 10

Figura 8: Templates de la planta de elevación

El loop-shaping correspondiente al controlador derealimentación del pitch se puede apreciar en laFigura 9.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-50

0

50

100

ω =0.001

ω =0.0077ω =0.021

ω =0.059

ω =0.46

ω =1.3

ω =10

Fase (º)

Mag

nitu

d (d

B)

Figura 9: Loop-shaping del controlador de pitch

El controlador así diseñado es el siguiente,

ssssG⋅+

+⋅+⋅=31.2917

9825.237135.868625.1632

2

p (26)

Dado que este lazo es esclavo respecto al de avance,no precisa el ajuste de un prefiltro para elseguimiento. Cualquier dinámica de este tipoquedaría absorbida por el controlador derealimentación de avance.

3.2.3 Diseño del lazo de avance

Las especificaciones para el lazo de avance son lassiguientes:

• estabilidad robusta: análogamente a los lazosanteriores,

4.11 ee

ee ≤⋅+

⋅GP

GP (27)

• especificación de reducción de la sensibilidad:

0036.012.00009.006.0

11

2

2

ee +⋅++⋅+≤

⋅+ ssss

GP (28)

• especificaciones de seguimiento: siguiendo laformulación de la ecuación (16), se impone unabanda de tolerancia delimitada por,

9028.1390

)(2 +⋅+

=ss

sa (29)

321632

)(2 +⋅+

=ss

sb (30)

A partir del modelo definido por la ecuación (12) ylos parámetros de la Tabla 1, multiplicado por el lazocerrado del control del pitch, se pueden calcular lostemplates de la Figura 10.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

ω = 0.001

ω = 0.0039811

ω = 0.015849

ω = 0.063096

ω = 0.25119

ω = 1

Fase (º)

Mag

nitu

d (d

B)

Figura 10: Templates de la planta de avance definidaa partir del lazo cerrado de pitch por la relación entre

este y el avance

La Figura 11 muestra el aspecto final del loop-shaping, que da como resultado un controlador Gtcomo el siguiente,

5173.21701.14.3562

t ++⋅=

ss

G (31)

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-20

0

20

40

60

80

ω =0.001 ω =0.0022

ω =0.0046

ω =0.01

ω =0. 022

ω =0.046

ω =0.1

ω =0.46

ω =1

Fase (º)

Mag

nitu

d (d

B)Figura 11: Loop-shaping del controlador de avance

Para finalizar el diseño, se ajusta un prefiltro para elseguimiento oportuno de la referencia de avance,

0.00002s0.00068s,0.0168s0.1464s0.00002s0.00061 s0.0154 s0.118s

234

234

t +⋅+⋅⋅++⋅+⋅+⋅+=Pf (32)

4 PRUEBAS EXPERIMENTALES

Para finalizar, se incluyen resultados experimentalescomo consecuencia de la implementación delcontrolador.

La estructura de control de todo el sistema es lamostrada en la Figura 12. Es importante resaltar quelas órdenes de control Vsuma y Vdif son aplicadas alsistema real a través de las dos variables reales V1 yV2, que se generan como la semisuma y lasemidiferencia de las primeras.

Figura 12: Estructura de control final con el lazo dela elevación (a) y el lazo en cascada del avance (b)

Tal y como se puede observar en la Figura 13, elseguimiento del ángulo de pitch es rápido y muypreciso, y está encaminado a forzar el ángulo deavance de referencia. Por otra parte la elevación se

a) km⋅Pe(s)Vsuma e

Ge(s)Pfe(s)ref e

-

b)

km⋅Pp(s) Pt(s)Vdif p

Gp(s)Gt(s)Pft(s)ref t

--

t

alcanza sin ningún tipo de oscilación y con un erroren el estacionario nulo.

0 20 40 60 80 100

0

10

20

0 20 40 60 80 100-5

0

5

Vsu

m, [

V]

Elev

ació

n, e

Tiempo [s]

0 20 40 60 80 100

0

50

100

0 20 40 60 80 100-20

0

20

0 20 40 60 80 100-5

0

5

Vdi

f ,[

V]

Ava

nce,

tPi

tch,

p

Figura 13: Pruebas experimentales del sistemacompleto de control

5 CONCLUSIONES

Se ha mostrado una aplicación práctica de la técnicade Control Robusto QFT. En este caso, se hadiseñado el controlador completo de una maqueta delaboratorio, incluyendo un controlador de elevaciónpor una parte, y un doble lazo en cascada paragobernar el avance a través del ángulo de pitch.

Los resultados prácticos que se han incluidomuestran un comportamiento robusto que cumpleperfectamente las especificaciones defuncionamiento deseadas.

Agradecimientos

Los autores agradecen el apoyo dado por la ComisiónInterministerial de Ciencia y Tecnología (CICYT)por el proyecto DPI'2000-0785.

Referencias

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[2] Borghesani, C., Y. Chait, y O. Yaniv (1995).Quantitative Feedback Theory Toolbox – Foruse with Matlab. 1st Edition. The MathworksInc.

[3] Chait, Y. y O. Yaniv (1993). Multi-input/single-output computer aided control design using theQuantitative Feedback Theory, InternationalJournal of Robust and Nonlinear Control, 3, pp.47-54.

[4] García-Sanz, M. y I. Egaña (2002).Quantitative Non-Diagonal Controller DesignFor Multivariable Systems With Uncertainty.Aceptado para su publicación en la Parte 2 delIsaac Horowitz Special Issue, en InternationalJournal of Robust and Nonlinear Control.

[5] García-Sanz, M. y J. C. Guillén (1999). LectureNotes, en Control and Information Sciences,Ed. Springer Verlag 1999. Vol 243. Progress inSystem and Robot Analysis and ControlDesign, capítulo 20, pp. 243-250.

[6] Horowitz, I., (1959). "Fundamental theory oflinear feedback control systems". Transactionson Automatic Control, 4, pp. 5-19.

[7] Horowitz,I., (1962). Plant adaptive systems vsordinary feedbak systems. Ibid., 7, pp. 48-56.

[8] Horowitz, I., (1963). Synthesis of FeedbackSystems, Academic Press, New York (EEUU).

[9] Horowitz, I. (1982). Improved design techniquefor uncertain multiple-input multiple-outputfeedback systems. International Journal ofControl, 36 (6), pp. 977-988.

[10] Horowitz, I. y C. Loechter (1979). Design of a33× multivariable feedback system with large

plant uncertainty. International Journal ofControl, 33 (4), pp. 677-699.

[11] Houpis, C. H. y S. J. Rasmussen, (2000).Quantitative Feedback Theory, Marcel Dekker,New York (EEUU).

[12] Iribas, M. (2001). Controlador de vuelo de lamaqueta de un helicóptero, mediante técnicas decontrol robusto QFT, Proyecto de Fin deCarrera presentado en la Universidad Pública deNavarra, Pamplona (España).

[13] Yaniv, O. (1988). Quantitative design methodfor MIMO uncertain plants to achieveprescribed diagonal dominant closed-loopminimum phase tolerances. InternationalJournal of Control, 27 (2), pp. 519-528.

[14] Yaniv, O. (1995). MIMO QFT using non-diagonal controllers. International Journal ofControl, 61 (1), pp. 245-253.

[15] Yaniv, O. (1999). Quantitative FeedbackDesign of Linear and Nonlinear ControlSystems, Kluwer Academic, Massachusetts(EEUU).