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Controlabilidad y Observabilidad
Anbal Zanini
[email protected]
23 de mayo de 2000
ndice General
1 Controlabilidad 1
1.1 Significado del Gramiano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Controlabilidad y
Realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 61.3 ndices de Controlabilidad . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4
Controlabilidad en Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Controlabilidad al Orgen y
Alcanzabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 71.6 Controlabilidad de Sistemas Muestreados . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Observabilidad 82.1 ndices de Observabilidad . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Descomposicin Cannica 10
4 Controlabilidad y Observabilidad en la Forma de Jordan 13
5 Sistemas Variantes en el Tiempo 145.1 Observabilidad . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 16
1 Controlabilidad
Se dice que un sistema es controlable cuando se puede llevar,
mediante sus acciones de control a cualquierpunto del espacio de
estados.
Dado el sistema
(1)
se puede demostrar el siguiente teorema:
Teorema 1.1 (Controlabilidad).Se puede decir que las siguientes
aseveraciones son equivalentes:
(i) El sistema con n estados caracterizado por el par A, B es
controlable
(ii) La matriz
(2)
es no singular
Universidad Nacional de Quilmes
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(iii) La matriz de dimensin
(3)
es de rango n.
(iv) La matriz de dimensin
,
(4)
tiene rango completo en cada autovalor, , de
(v) Si adems, todos los autovalor, , de tienen parte real
negativa, la nica solucin de
(5)
es definida positiva. La solucin se llama Gramiano de
Controlabilidad y se puede expresar como:
(6)
Demostracin. Se ver la equivalencia entre las dos formas de (2)
definiendo
resultando,
(7)
Dada la forma de la integral, es siempre semidefinida positiva.
Pa que sea no singular debe ser definidapositiva.
Se ver ahora por qu, si
es no singular el sistema es controlable. La respuesta de (1) en
untiempo
es
(8)
Si se utiliza una entrada de la forma
(9)
y se reemplaza en (8)
(10)
esto muestra que con esta entrada se puede llevar el sistema de
a
por lo tanto que es controlable.De aqu la necesidad de que
seadefinida positiva.Lo opuesto se puede demostrar por
contradiccin: Sea
no definida positivaen
pero s el sistemacontrolable. Por lo tanto existe un vector no
nulo tal que
(11)
lo que implica que
(12)
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(13)
Pero, si el sistema es controlable, puede pasar de un estado
a otro
por lotanto (8) resulta
(14)
lo que contradice la ecuacin anteriorPrueba de (iii)Si
es no singular no existe ningn vector no nulo tal que
(15)
Si
no es de rango completo existe un vector no nulo tal que
(16)
y tambin se cumplir,
(17)
Ya que
puede ser expresado como una combinacin lineal de
se cumplir
que
que contradice la no singularidad de
. O sea (ii) implica (iii).Se ver la implicancia opuesta.Se
supone que
es de rango completo pero
es singular.
Entonces existe un vector
no nulo tal que satisface (15) y haciendo
se obtiene que
.Si se deriva (15) y, tomando
se obtiene que
.Continuando se puede llegar hasta
y concluir que
(18)
que contradice la asumpcin de
. Por lo tanto (iii) implica (ii).(iii) implica (iv).
Si
tiene rango completo tambien la matriz tendr rango completo en
cada autovalor de . Si no es as, existir un y un vector no nulo que
hagan
(19)
esto quiere decir que y que
. Lo primero significa que es un autovector por izquierda de
Multiplicando por
(20)
que vale para cualquier potencia, es decir, se cumple
(21)
es decir que
no puede ser de rango completo.(ii) implica (v):
Si
es estable, la nica solucin de (5) se puede expresar como (29)
(solucin de la ecuacin de Lyapu-nov)Lo contrario tambin vale ya
que
es definida positiva
3
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Ejemplo 1.1. Pndulo Invertido
(22)
la matriz de controlabilidad
es
(23)
Esta matriz tiene rango 4 por lo que el sistema es
controlable
En MatLab existe ctrby gram
Ejemplo 1.2. Plataforma con ResortesSuspensin de automviles
k2
k1
2u
x2
x1
Figura 1: Ejemplo Dos Resortes
La masa es cero
Los resortes son:
(24)
(25)
(26)
las ecuaciones de fuerzas
(27)
condiciones iniciales:
(28)
4
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ecuaciones de estado:
(29)
Pregunta:
Es posible llevar el sistema a [0,0] en un tiempo de 2
segundos?La respuesta no parece trivial porque la fuerza se aplica
a los dos resortes.
El determinante de la matriz de controlabilidad es
(30)
El sistema es controlable, por lo tanto existe una entrada que
puede llevar al sistema a cualquier parte
(31)
la fuerza debe ser
(32)
0 0.5 1 1.5 2 2.540
20
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.5 1 1.5 2 2.520
10
0
10
20
30
40
Figura 2: Actuacin y Variacin de los Estados
Nota 1: la elegida segn la ecuacin (32) se llama control de
mnima energaya que se puede demostrarque cualquier otra actuacin,
que cumpla con el mismo objetivo, es superior a esta.
Nota 2: En las grficas anteriores se observa que alcanzar un
punto del espacio de estados no necesa-riamente significa
permanecer en l.
Ejemplo 1.3. Sistema de figura 1 Se toma ahora los coeficientes
de vizcosidad iguales e iguales a
.
(33)
El determinante de la matriz de controlabilidad es
(34)
no es controlable
5
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Recordar caso dos motores en paralelo
1.1 Significado del Gramiano
Eligiendo la actuacin de la forma de la ecuacin (9) y calculando
la energa consumida en el control desde
a
se tiene,
(35)
Eligiendo
y
resulta
(36)
(37)
Es decir que la inversa del gramiano es proporcional a la energa
consumida en el control. Si el gramianoes singular, significa que
se necesita una energa infinita para llevar el sistema a un punto
dado. Cuanto mscerca de la singularidad se est, ms energa se
necesitar.
1.2 Controlabilidad y Realimentacin
Se investigar qu sucede con la controlabilidad de un sistema
controlablecuando es realimentado su esta-do.
La ley de control es
(38)
El sistema es controlable por lo tanto se cumple que es de rango
. Si el sistema realimentadofueseno controlableexistira un vector
no nulo tal que se cumpla (19) o sea que
y que
.Esto sinifica:
(39)
que no es posible ya que el sistema en lazo abierto es
controlable.
Por lo tanto un sistema controlable mantiene su controlabilidad
si se lo realimenta desde los estados.
1.3 ndices de Controlabilidad
Nota: se supone que todas las columnas de la matriz son
linealmente independientes.Si dos columnas son iguales, la
influencia de una entrada es idntica a la otra por lo que una de
las
entradas es redundante.nmero de estados: nmero de entradas: La
matriz
tiene columnasSi el sistema es controlable, existen columnas
de
linealmente independientesLa matriz de controlabilidad es
...
... ...
(40)
6
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Cmo encontrar columnas?Dada la forma de
se puede buscar de izquierda a derecha columnas relacionadas con
que sean
linealmente independientes.
(41)
Todo vector
es linealmente dependiente con los anterioresSe hace lo mismo
para cada columna de y se obtienen distintos . Si el sistema es
controlable se
cumplir
(42)
El conjunto
se llama conjunto dendices de controlabilidady
(43)
es el ndice de controlabilidad del sistema
1.4 Controlabilidad en Sistemas DiscretosAhora el sistema tiene
la forma
(44)
Vale el mismo teorema anterior pero ahora la solucin del sistema
es:y la matriz
,
(45)
la solucin del sistema es:
(46)
o su equivalente
...
(47)
1.5 Controlabilidad al Orgen y Alcanzabilidad
- controlabilidad en general: capacidad de llevar el sistema de
un estado genrico a otro.- controlabilidad al orgen: capacidad de
llevar el sistema de un estado genrico a cero.- alcanzabilidad:
capacidad de llevar el sistema desde el orgen a cualquier estado.La
condicin 1 implica 2 y 3. No a la inversaEn los sistemas
continuos
es no singular, por lo tanto para llevar un sitema a cero hay
que aplicarleuna determinada accin de control (por si solo no
llega).
En los sistemas discretos, dada la ecuacin de solucin del
estado, si es no singular, es igual que encontinuos. Si es singular
no coinciden 2 y 3
Ejemplo:
(48)
no es controlable pero
para todo
por lo tanto
. Por lo tanto, es controlable alorgen.
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1.6 Controlabilidad de Sistemas Muestreados
Un sistema continuo controlable, mantiene su controlabilidad
luego del muestreo? Sea el sistema continuo
(49)
su versin discreta es
(50)
donde
(51)
Si el sistema es no controlable, el discreto tampoco es
controlable.Si el sistema continuo es controlable y con polos
reales, el sistema discreto es controlable.Si el sistema continuo
tiene dos polos complejos con igual parte real, el sistema discreto
ser controlable
siempre que la diferencia de la parte imaginaria de ambos polos
no sea proporcional a la frecuencia demuestreo.
2 Observabilidad
Se dice que un sistema es observable cuando, a partir de su
salida se puede conocer totalmente su estado.EjemploDado el
sistema
(52)
La respuesta a una entrada cualquiera ser:
(53)
Se supone conocido , pero no el estado inicial
(54)
Si es cero
puede calcularse de la siguiente ecuacin:
(55)
Generalmente la cantidad de salidas es menor que la cantidad de
estados por lo cual, la ecuacin anteriorno tiene solucin nica. Se
debe usar informacin de un tiempo no nulo.
Se puede redefinir la Observabilidad diciendo queUn sistema es
observable si y solo si su estado inicialse puede calcular en forma
nica a partir de la respuesta del sistema para entrada nula sobre
un perodo
finito de tiempo.Se puede demostrar el siguiente teorema:
Teorema 2.1 (Observabilidad). Un sistema como el de la
ecuacin(98)es observable si y solo si la matriz
(56)
es no singular
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Demostracin. partiendo de (98)se puede hacer,
(57)
si
es no singular
tine solucin nica
(58)
Verificacin contraria.Si
es singular o semidefinida positiva, el sistema esno
observable.Si esto se cumple, existe vector de dimensin tal
que,
(59)
lo que implica que
(60)
Para todo tiempo entre
y
.Pero si
, se puede tener dos estados iniciales que resuelven la ecuacin
(98) pues se puede tomar
o
. Ambos hacen que la salida sea cero. Esto implica que el
sistema esno observable.
La observabilidad solo de pende de
y de . est asociada con la entrada, pero el sistema tiene queser
simpre observable, incluso con entrada nula.
Si
es no singular para algn
, es no singular para todo
.
Teorema 2.2. Teorema de la Dualidad. El par
es controlable si el par
es observableDemostracin. El par
escontrolablesi y solo si
(61)
es no singular.La ecuacin (101) es igual a la (56) en donde es
y
es por lo que el teorema queda demostrado.
Teorema 2.3. Las siguientes aseveraciones son equivalentes
(i) El par
es observable
(ii) La matriz
(62)
es no singular
(iii) La matriz de Observabilidad
...
(63)
tiene rango
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(iv) la matriz
(64)
tiene rango completo en columnas para todo autovalor de
(v) si adems, los autovalores de tienen parte real negativa, la
ecuacin siguiente tiene nica solucin
(65)
es definida positiva, se llama Gramiano de Observabilidad y
tiene la forma
(66)
Por Dualidad. Se puede probar rpidamente basndose en el teorema
de dualidad
2.1 ndices de Observabilidad
(67)
...
(68)
Nota: la observabilidad es independiente de
transformaciones.
3 Descomposicin Cannica
(69)
Sea
(70)
(71)
el sistema
(72)
es equivalente al de partida
10
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Teorema 3.1. El sistema de partida tiene una matriz de
controlabilidad
(73)
Si se forma la matriz
(74)
donde las primeras
columnas son
columnas linealmente independientes de
y el resto cuales-quiera vectores que hagan que sea no
singular.
Entonces el sistema se puede transformar en:
(75)
donde
es
x
y
y el subsistema
(76)
es controlable y tiene las mismas funciones de transferencias
que el de partida
viendo la forma de A. ssssss
Ejemplo 3.1. Sistema de tercer orden
(77)
rango de es
(78)
el rango de
no puede ser superior a
El sistema es no controlable
elegimos
con las dos primeras columnas de
(79)
...
...
...
(80)
11
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(81)
...
(82)
el subsistema controlable resulta
(83)
El sistema de partida tiene una matriz de funcin de
transferencia
(84)
en cambio el sistema reducido es
(85)
Teorema 3.2. Si un sistema tiene una matriz de observabilidad
tal que su rango sea
...
(86)
formando la matriz
...
(87)
se puede dividir el sistema de la forma
(88)
donde el subsitema,
(89)
es observable y tiene la misma matriz de funcin de
transferencia.
Teorema 3.3. Todo sistema se puede descomponer de la siguiente
manera
(90)
12
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esto se llamaDescomposicin de Kalmany se puede representar
graficamente como:
C-noO
u
C-O
noC-O
noC-noO
y
Figura 3: Descomposicin de Kalman
Ejemplo 3.2. el sistema de partida es
(91)
quedando reducida su parte controlable a
(92)
4 Controlabilidad y Observabilidad en la Forma de Jordan
(93)
(94)
Ejemplo 4.1.
(95)
13
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Figura 4: Diagrama de Bloques
prueba:
(97)
se calcula en
(98)
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se resta tercera columna por
(99)
(100)
Un sistema es observable si las primeras columnas de C asociada
a cada bloque de Jordan para unautovalor son li.
5 Sistemas Variantes en el Tiempo
(101)
(102)
se define tal que
(103)
(104)
(105)
(106)
en general
(107)
Teorema 5.1. El sistema es controlable sii
(108)
15
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Ejemplo 5.1.
(109)
(110)
(111)
(112)
(113)
con un determinate
Ejemplo 5.2. sistema controlable
(114)
(verlo por Jordan)
(115)
es controlable? Pareciera que si....
(116)
(117)
tiene determinante nulo
5.1 Observabilidad
(118)
...
(119)
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Referencias
[1] Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design. Oxford
University Press, New York. 1999.
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