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Algunos ejercicios sobre coordenadas polares
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Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias
Departamento de MatematicasCalculo Integral 1000005 - 7 y 1000005 - 9
Coordenadas polares1
Nota: ademas de los ejercicios descritos a continuacion, es apropiado trabajar algunos delos siguientes puntos del libro Single Variable Calculus, Stewart, J. 7 ed (2012). Estos son:seccion 10.3, ejercicios 21 - 46, 55-72; seccion 10.4, ejercicios 1 - 42, 45 - 56.
Hallar el area de la figura limitada por las curvas dadas.
1. r2 = a2 cos 2θ (lemniscata). Respuesta: a2
2. r = a(1 + cos θ) (cardioide). Respuesta: 3πa2
2
3. r = a sin 3θ (rosa de tres petalos). Respuesta: πa2
4
4. r = ρ1−cos θ (parabola), θ = π
4 , π2 . Respuesta: ρ2
6 (3 + 4√
2)
5. r = ρ1+ε·cosθ (0 < ε < 1) (elipse). Respuesta: πρ2
(1−ε2)3/2
6. r = 3 + 2 cos θ. Respuesta: 11π.
7. r = 1θ , r = 1
sin θ , 0 ≤ θ ≤ π2 . Respuesta: 1
π .
8. r = a cos θ, r = a(cos θ + sin θ). Respuesta: (π − 1)a2
4 .
9. Hallar el area del sector limitado por la curva θ = r arctan r, y por los dos rayos θ = 0 yθ = π√
3. Respuesta: 1
2(1− ln 2 + π√3).
10. Hallar el area de la figura limitada por la curva r2 + θ2 = 1. Respuesta: 23 .
11. Hallar el area de la figura limitada por un petalo de la curva θ = sin(πr), 0 ≤ r ≤ 1.Respuesta: 1
π .
12. Hallar el area de la figura limitada por las lıneas θ = 4r − r3, θ = 0. Respuesta: 6415 .
13. Hallar el area de la figura limitada por las lıneas θ = r−sin r, θ = π. Respuesta: π(1+π2
6 ).
14. Hallar el area de la figura limitada por la curva cerrada r = 2at1+t2
, θ = πt1+t . Respuesta:
πa2(1− π4 ).
1Todos los parametros en cada uno de los ejercicios se consideran positivos.
1
Utilizar las coordenadas polares para encontrar el area de las figuras limitadas por las cur-vas dadas.
15. x3 + y3 = 3axy (folium de Descartes). Respuesta: 32a
2.
16. x4 + y4 = a2(x2 + y2). Respuesta: πa2√
2.
17. (x2 + y2)2 = 2a2xy (lemniscata). Respuesta: a2.
Encontrar la longitud de arco de las siguientes curvas.
18. r = aθ (espiral de Arquımedes) para 0 ≤ θ ≤ 2π. Respuesta: πa√
1 + 4π2 + a2 ln(2π +√
1 + 4π2).
19. r = aemθ, m > 0, 0 < r < a. Respuesta:√1+m2
m a.
20. r = a(1 + cos θ). Respuesta: 8a.
21. r = ρ1+cos θ , |θ| ≤ π
2 . Respuesta: ρ[√
2 + ln(1 +√
2)].
22. r = a sin3( θ3). Respuesta: 3πa2 .
23. r = a tanh( θ2), 0 ≤ θ ≤ 2π. Respuesta: a(2π − tanhπ).
24. θ = 12(r + 1
r ), 1 ≤ r ≤ 3. Respuesta: 2 + 12 ln 3.
25. θ =√r, 0 ≤ r ≤ 5. Respuesta: 19
3 .
2