coordenadas_polares

Departamento de Ciencias Geometría Analítica: Ciclo 2009-2

1

COORDENADAS POLARES

Un sistema coordenado representa a un punto en el plano mediante un par ordenado de

números llamados coordenadas. Por lo general se usan coordenadas cartesianas, que son las

distancias dirigidas desde dos ejes perpendiculares. Aquí se describe un sistema de

coordenadas introducido por Newton, llamado sistema coordenado polar, que es más

conveniente para muchos propósitos.

Se elige un punto en el plano que se llama polo (u origen) y se identifica con O. Luego se

dibuja un rayo (semirrecta) que empieza en O llamado eje polar. Este eje se traza por lo

común horizontalmente a la derecha, y

corresponde al eje x positivo en

coordenadas cartesianas.

Si P es cualquier otro punto en el plano,

sea r la distancia de O a P y sea el

ángulo (medido grados o en radianes) entre el eje polar y la recta OP como en

la figura, por lo tanto el punto P se

representa mediante otro par ordenado

,r y r, se llaman coordenadas

polares de P.

Se usa la convención de que un ángulo es positivo si se mide en el sentido contrario a las

manecillas del reloj desde el eje polar y negativo si se mide en el sentido de las manecillas

del reloj.

Si P= O, en tal caso y se está de acuerdo en que r =0, 0, representa el polo para cualquier

valor de .


2

Ejemplo: Ubique en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son: 2, 85º

Solución:

Dibújese primero un ángulo cuya medida sea -85º. Entonces

sobre el lado final de , mídanse dos unidades de distancia a

partir del polo O, y llámese P al punto así localizado.

Se considera que la distancia r es una distancia no dirigida, es decir que es un número no

negativo. Sin embargo, en algunos casos es conveniente pensar que r es una distancia dirigida,

que puedes ser a veces un número negativo. Se aceptará esta posibilidad de aquí en adelante.

Interpretaremos a la distancia positiva r como la

distancia medida sobre el lado final del ángulo de

dirección , a partir de O.

Interpretaremos una distancia negativa r como la

distancia r medida a lo largo del segmento cuyo

punto inicial es O pero que tiene el sentido opuesto al

del lado final de .

Ejemplo: Ubique en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son:

a) 5

1,4

b) 2,3

c)2

2,3

d)

33,

4


3

En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación, pero en el

sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones. Por ejemplo, el

punto 5

1,4

del ejemplo anterior se podría escribir como 1, 3 / 4 o 1, 13 / 4 , o

1, / 4

De hecho, puesto que una rotación completa en sentido contrario a las manecillas del reloj está

dada por un ángulo 2 , el punto representado por coordenadas polares ,r se representa

también por:

, 2r n y , 2 1r n

Donde n es cualquier entero.

Recordar 180º

Ejemplo: Ubique en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son 1,30º , y escriba

tres pares más de coordenadas de P.

Solución:

Los tres pares de coordenadas de P requeridas son:

Para n=1, 1r , 30º , entonces 1,30 360º = 1,390º

Para n= -1 1,30 360º ( 1, 330º )

Para n= 0 en , 2 1r n tenemos 1 , 30º 180º 1, 210º


4

RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES

Supongamos que la parte positiva del eje x coincida con el eje polar, y el polo cono el origen.

Entonces un punto dado P tendrá coordenadas rectangulares ,x y y coordenadas polares

,r .

Trazando por P la perpendicular AP, en el

triángulo rectángulo OAP, se tiene:

cosx r

y rsen 2 2 2r x y

De donde se obtiene 2 2r x y

2 2 2 0r x y

2 2cos

x

x y

,

2 2

ysen

x y

tany

x , entonces: arctan

y

x

Sistema rectangular ,x y a Sistema polar ,r

,P x y 2 2r x y

arctany

x

Sistema polar ,r a Sistema rectangular ,x y

,P r cosx r

y rsen

Ejemplo: Determinar las coordenadas polares correspondientes al punto P 1, 3

Solución: Como 1x e 3y , el punto P está en el cuarto cuadrante, entonces

tan 3y

x ,

Entonces 360º 60º 300º

O 5

3

Además 2

21 3 2r

Luego las coordenadas polares de P son P5

2,3


5

Ejemplo: Determinar la coordenada cartesiana correspondiente al punto P 12,6

Solución: Con 12r y 30º6

,

tenemos:

cos 12cos 30º

3 12cos 30º 12 6 3

2

x r

12s 30º

1 12 30º 12 6

2

y rsen x en

sen

Por lo tanto, las coordenadas rectangulares

son 6, 6P

Ejemplo: Hallar la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es 3y x

Solución:

Sustituyendo cosx r , y rsen en la ecuación:

3

cos 3

y x

rsen r

cos 3rsen r

cos 3r sen

3

cosr

sen

Ejemplo: Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya polar es 2

1 cosr

Solución: Excluyendo los valores de para los cuales 1 cos 0 , se puede escribir

1 cos 2r

cos 2r r

Teniendo en cuenta que cosx r y 2 2r x y

Sustituyendo esto en la ecuación:

cos 2r r

2 2 2x y x

2 2 2x y x

Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:

2

22 2 2x y x

2 2 24 4x y x x 2 4 4y x


6

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES

Sean 1 1 1,P r , 2 2 2,P r dos puntos dados cualesquiera. Se t rata de hallar la distancia d entre

1P y 2P , en donde 1 2d PP

2 2

1 2 1 2 1 22 cos( )d r r r r

Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos ( 6 ; 15º) y (8; 75º). 2 26 8 2(6)(8)cos(75º 15º )d

36 64 96cos(60º )d

136 64 96 2 13

2d

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Sean los vértices del triángulo (0,0) , 1 1,r y 2 2,r

1

1( )

2Area OP h

Pero 2 2 1h OP sen

2 2 1 r sen

Entonces 1 2 2 1

1

2Area r r sen


7

ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES.

Sea L una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a

L, que intercepta en N. Sea el ángulo que hace el eje polar con la normal ON y p la medida

del segmento ON. Finalmente sea ( , )P r un punto cualquiera de L.

En el triángulo ONP se tiene:

cosp

r

Por lo tanto cosr p

Es la ecuación polar de la recta L.

Casos particulares:

a) Recta es perpendicular al eje polar, a la derecha del polo:

Haciendo 0 , entonces: cosr p

b) Recta es perpendicular al eje polar, a la izquierda del polo:

Haciendo 0 , entonces: cosr p

c) Recta es paralela al eje polar, arriba del polo:

Haciendo 90º2

, entonces: cos 90ºr p

r sen p

d) Recta es paralela al eje polar, debajo del polo:

Haciendo 3

270º2

, entonces: cos 270ºr p

r sen p

Si la recta L pasa por el polo, su ecuación es de la forma k

Siendo k una constante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180º


8

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2;30ºP y es perpendicular al

eje polar OX .

Solución:

La ecuación de la recta es de la forma: cosr p

Pero como L está a la derecha entonces la ecuación es de la forma: cosr p .

Si 2;30ºP L , entonces: 2cos 30º p

3

22

p

3 p

Luego la ecuación de la recta es: cos 3r

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES.

Sea 1( , )C r el centro de una circunferencia cualquiera de radio R. Sea ( , )P r un punto

cualquiera de la circunferencia.

Teorema: la ecuación polar de una circunferencia de

centro en el punto 1( , )C r , y radio igual R es:

2 2 2

1 12 cos( )r rr r R

Casos particulares:

a) Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la derecha del polo, y la circunferencia

pasa por él, se tiene : 1r R y 0º , entonces:

2 cos( )r R

- Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la izquierda del polo, y la

circunferencia pasa por él, se tiene: r R y , entonces:

2 cos( )r R

b) Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY, arriba del polo, y la circunferencia

pasa por él, entonces: 1r R , 2

, entonces:

2 sr R en


9

- Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY, debajo del polo, y la circunferencia

pasa por él, entonces: 1r R ,

3

2

, entonces:

2 sr R en

c) Si el centro de la circunferencia está en el polo, 1 0r y la circunferencia se reduce a:

r R

Ejemplo: Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro (4,30º )C y radio igual a 5.

Solución:

1 4r , 5R , 30º 2 2 22(4) cos( 30) 4 5r r 2 8 cos( 30) 16 25r r 2 8 cos( 30) 9 0r r

Ejemplo: Hallar el centro y el radio de la circunferencia 02034cos42 rsenrr .

Solución:

Aplicando la ecuación de la circunferencia 2 2 2

1 12 cos( )r rr r R y desarrollando se

obtiene:

2 2 2

1 12 cos cos 0r rr sen sen r R

2 2 2

1 1 12 cos cos 0r r r r sen sen r R

o bien 2 2 2

1 1 12 cos cos 2 r r r r sen rsen r R

Comparando la ecuación dada 02034cos42 rsenrr con esta última, tenemos:

(1) 12 cos 4r

(2) 12 4 3r sen y

(3) 2 2

1 20r R

Dividiendo la ecuación (2) por (1) 3, 120tg entonces

Sustituyendo en (1), 4221

1 r , de donde, 41 r .

De (3), 216 20R , 6R .

Luego el centro de la circunferencia es el punto 1( , )C r = 4; 120º y su radio vale 6.


10

ECUACIÓN DE LAS OTRAS CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES.

Supongamos una cónica cuyo foco coincide con el polo, el eje focal con el eje polar. Sea l la

directriz correspondiente del foco O; ésta recta es perpendicular al eje polar, y sea D el punto

de intersección. Designemos la distancia OD , entre el foco y la directriz, por la cantidad

positiva.

Si ( , )P r es cualquier punto cualquiera de la cónica, entonces, por definición de

excentricidad:

POe

PC ,

Vemos que PC DB DO OB

cosp r

Luego reemplazando

cos

PO re

PC p r

Despejando r:

1 cos

epr

e

0e , excentricidad.

p es la distancia entre el foco(ubicado en el polo) y la directriz correspondiente.

Directriz vertical

- Si el foco está en el polo y la directriz se encuentra a p unidades a la derecha del polo, la

ecuación:

1 cos

epr

e

- Si el foco está en el polo y la directriz se encuentra a p unidades a la izquierda del polo, la

ecuación:

1 cos

epr

e

Directriz horizontal

- Si el eje focal coincide con el eje a 90º, la ecuación de la cónica es de la forma:

1

epr

e sen

En donde el signo depende si la directriz está arriba ó abajo del eje polar.

Veamos los cuatro tipos de ecuaciones polares para una parábola.


11

Ejemplo: Hallar la naturaleza de la cónica definida por la ecuación 12

4 3cosr

.

Solución:

Dividiendo numerador y denominador por 4 se obtiene la ecuación

1234

4 3cos 31 cos

4 4

r

Luego 3

4e <1, entonces la curva es una elipse.

Como 3

4ep , entonces 4p , con lo cual la directriz es perpendicular al eje polar y está a 4

unidades a la derecha del polo.

Como se trata de una elipse que tiene uno de sus focos coincidentes con el polo y directriz

correspondiente: 4x p .

Y la ecuación polar de la directriz es: cos 4r


12

a) Para 0º entonces 12

4 3cos0º

r

12 12

4 3 7

b) Para entonces 12 12

124 3cos 4 3

r

Luego las coordenadas de los vértices

son: 1

12,0

7V

, 2 12,V


1 cosr

.

Solución:

1e , por lo tanto es una parábola

Como 2ep entonces 2p , con lo cual la directriz es perpendicular al eje polar y está a 2

unidades a la izquierda del polo.

Cuya ecuación correspondiente a la directriz es: 2x p .

Y su ecuación polar cos 2r

Para entonces

2 2 21

1 cos 1 ( 1) 2r

Por lo tanto el vértice está en 1,V

y directriz correspondiente: x p

2 Y la ecuación polar de la directriz

es: cos 2r


13


2 4cosr

.

Solución:

Dividiendo numerador y denominador por 2 se obtiene la ecuación

3 3

2 22 4cos 1 2cos

2

r

Comparando con la ecuación 1 cos

epr

e

tenemos:

2 1e por lo que se trata de una hipérbola.

3

2ep →

32

2p

3

4p

Por lo tanto se tiene una hipérbola que tiene uno de sus focos en el polo y por directriz más

próxima al polo. 3

4x p .

Y la ecuación polar de la directriz es: 3

cos4

r

a) Para 0º entonces 3 3 1

2 4cos0º 2 4 2r

b) Para entonces 3 3 3

2 4cos 2 4 2r

Luego las coordenadas de los vértices son: 1

1,0

2V

, 2

3,

2V


14

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Trace la gráfica del punto cuyas coordenadas polares se dan, y escriba tres pares más de

coordenadas polares de ese punto.

a) 3,75º

b) 1,40º

c) 2,225º

d) 2,120º

e) 3

5,2

f) 3,100º

g) 11

4,6

h) 2,2

i) 7

2,4

2. Hallar las coordenadas cartesianas de cada uno de los siguientes puntos dados en

coordenadas polares.

a) 3,

b) 2

4,3

c) 10,3

d) 1,60º

e) 2,2

3. Transforme la ecuación rectangular dada en una ecuación polar

a) 2 4 0x y

b) 3y

c) 3

3y x

d) 2 2 2 0x y ay

e) 2 2 16x y

f) 2 2 2 0x y x

g) 2 23 4 25x y

h) 22322 4 yxyx

i) 2

2 2 2 24x y x y

j) 3 2

2 2 2 2x y x y

k) 03 yx

l) 2 4( 1)y x

m) 22222322 16 yxyxyx

4. Transforme la ecuación polar dada en una ecuación rectangular.

a) 6

b) 45º

c) 2cos 3r sen

d) 4cosr

e) 3r

f) 4

1 cosr

g) 3

2r

sen

5. Hallar la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de centro 1 1,r y radio a.

6. Demostrar que los puntos 1, / 3 , 3, / 6 , (1,0)A B C son los vértices de un triángulo

equilátero.

7. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (0,19º) 1, , 2,3 4

y (3, 0º)

8. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

a) A (0,0) , B(6; 20º) y C(9; 50º)


15

b) 2,2 / 3 , 3, / 3 , (1, / 6)A B C

c) 1, / 3 , 2, / 6 , (3, / 6)A B C

d) 0,0 , 5, / 4 , (4, /12)A B C

9. Hallar la distancia entre los puntos :

a) 5,4

A

y 8,12

B

.

b) (4,35º ), ( 8, 25º )A B

c) (2 3,112º ), (4, 98º )A B

d) (3, / 3), (5,7 / 4)A B

10. Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta paralela al eje polar OX y situado

por debajo de él a una distancia de 4 unidades.

11. Deducir la ecuación de la recta si se dan el segmento a que intercepta la recta en el eje polar

partiendo del polo, y el ángulo polar de la normal a esta recta. (Aplicación

22

3a ,

)

12. Deducir la ecuación polar de la recta si se dan el ángulo de inclinación de la recta

respecto al eje polar y el segmento a, que intercepta la recta en el eje polar. (Aplicación:

6 , a=6

)

13. Deducir la ecuación polar de la recta que pasa por el punto 1 1 1,P r con una inclinación

respecto al eje polar de un ángulo . (Aplicación: 1

22, ,

6 3P

)

14. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por los puntos 1 1 1,P r , 2 2 2,P r .

(Aplicación: 1 2

24, , 2 2,

3 4P P

)

15. Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta que pasa por 2

4,3

P

y es

perpendicular al eje polar.

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3 2, 3 / 4P y es paralela al eje

polar.

17. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto 30;4 y forme el ángulo de 150 con

el eje polar.

18. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto 30;3 y es paralela a OX.

19. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto 120;2 y por el polo.

20. Hallar la ecuación polar de recta que pasa por el punto 4;2 3 .

21. Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro en 3;7 / 6 y que pasa por el

punto 2,4 / 3


16

22. Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro en 8; / 3 y que pasa por el punto

4,2 / 3

23. Hallar la ecuación polar de la circunferencia cuyo centro y radio son:

a) 3;45º , 8C R b) 2;240º , 7C R c) 5;180º , 5C R

24. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación polar:

a) 2 cos 3 3 0r r r sen

b) 2 3 3 cos 3 5 0r r r sen

c) 2cos 2 3 r sen

d) 2 2 2 cos 2 2 5 0r r r sen

e) 2 4 3 cos 4 15 0r r rsen

25. Hallar en la elipse 12

3 2 cosr

los puntos cuyos radios polares son iguales a 4.

26. Hallar la naturaleza de las cónicas siguientes que tiene un foco en el polo. Hallar la

excentricidad y situar la directriz en función de sus direcciones con respecto al eje polar y

su distancia al polo. Hallar vértices

a) 4

2 3cosr

b) 6

3 7r

sen

c) 2

1 cosr

d) 5

1 2cosr

e) 12

1 4r

sen

f) 6

2 3r

sen

g) 8

2 sr

en

h) 12

3 2 cosr

i) 10

2 cosr


17

ANEXO

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Sen =

cateto opuesto

hipotenusa =

a

c

Cos =

cateto adyacente

hipotenusa =

b

c

Tan =

cateto opuesto

cateto adyacente=

a

b

Cot =

cateto adyacente

cateto opuesto=

b

a

Sec =

hipotenusa

cateto adyacente=

c

b

Csc =

hipotenusa

cateto opuesto=

c

a

Sen =

ordenada

r =

y

r

Cos =

abcisa

r =

x

r

Tan =

ordenada

abcisa =

y

x

Cot =

aabcisa

ordenad =

x

y

Sec =

r

abcisa =

r

x

Csc =

r

ordenada =

r

y

sen = y

Cos = x

Tan = y/x

Cot = x/y

Sec = 1/x

Csc = 1/y

2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1. Identidades de cociente

sen xtan x =

cos x

cos xcot x =

sen x

2 Identidades recíprocas

1csc x

senx

1sec

cosx

x

1cot

tanx

x

3 Identidades de Pitágoras

sen2x + cos

2x = 1; 1+ tan

2x = sec

2x;

3. IDENTIDADES DE SUMAS Y DIFERENCIAS

Sen(x y) = sen x. cos y sen y. Cos x

Cos(x + y) = Cos x. Cos y – Sen x. Sen y

a

x

r y

(1,0)

(x,y)

c

b


18

Cos(x – y) = Cos x. Cos y + Sen x. Sen y

tan tantan( )

1 tan tan

tan tantan( )

1 tan tan

cot .cot 1cot( )

cot cot

cot .cot 1cot( )

cot cot

4. FORMULAS DE REDUCCI0N

Sen(-x)= -senx Cos(-x)= Cos x

Sen( - x)= sen x Cos( - x)= -Cosx

5. IDENTIDADES PARA LAS COFUNCIONES

cos(90 )sen cos (90 )sen

tan cot(90 )

cot tan(90 ) sec csc(90 )

csc sec(90 )

6. FORMULAS DEL ANGULO DUPLO

Sen(2A)=2senA.cosA cos(2A)= cos2A-sen

2A

Sen2A =

2

1(1-cos2A) 1-cosB = 2sen

2

2

B

cos2A =

2

1(1+cos2A) 1+cosB = 2cos

2

2

B

2

2 tantan 2

1 tan

xx

x

2

2

cot 1t 2

2cot

xco x

x

7. FORMULAS DE TRANSFORMACIONES DE SUMA Y DIFERENCIA EN

PRODUCTO

SenA + SenB = 2sen

2

BA.cos

2

BA

SenA - SenB = 2cos

2

BA.sen

2

BA

cosA + cosB = 2cos

2

BA.cos

2

BA

cosA - cosB = -2sen

2

BA.sen

2

BA


19

8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

Ө Sen Ө Cos Ө Tan Ө Cot Ө Sec Ө Csc Ө

0º 0 1 0 ± ∞ 1 ± ∞

30º 1/2 3 2 3 3 3 2 3 3 2

37º 3/5 4/5 3/4 4/3 5/4 5/3

45º 2 2 2 2 1 1 2 2

53º 4/5 3/5 4/3 3/4 5/3 5/4

60º 3 2 1/2 3 3 3

2 2 3 3 90º 1 0 ± ∞ 0 ± ∞ 1

180º 0 -1 0 ± ∞ -1 ± ∞

270º -1 0 ± ∞ 0 ± ∞ -1

360º 0 1 0 ± ∞ 1 ± ∞

9. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN LOS CUATRO

CUADRANTES

10. REDUCCIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AL PRIMER

CUADRANTE

r: Ángulo de referencia

. CUANDO 90º 360º

Si 90º 180º , entonces 180ºr

Si 180º 270º entonces 180ºr

Si 270º 360º entonces 360ºr

. CUANDO 360º , se divide el ángulo dado entre 360º, y se halla las funciones

trigonométricas del residuo,

Positivos:

Seno,Cosecante

cosecante I

II

Todos son positivos

Positivos:

Tangente, cotangente

III

Positivos:

coseno, secante

IV

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