Corrección Final Cálculo III, 10 de diciembre de 2014

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Examen Final de Calculo III 1, 2, 3, 4 11 de diciembre de 2014

Tabla de Respuestas

1.- (35 puntos) Determinar el valor de x(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial x = x+ 2y − 2y = 2x+ y − 4.x(0) = −1, y(0) = 5.

Respuesta:Transformamos el sistema diferencial en una ecuacion diferencial con una sola funcion incognita, paratal efecto elegimos x. Derivamos la primera ecuacion y reemplazamos la segunda ecuacion en la ecuacionderivada.

x = x+ 2y = x+ 4x+ 2y − 8

Despejamos y de la primera ecuacon 2y = x− x+ 2 y reemplazamos en la ultima ecuacion

x = x+ 4x+ x− x+ 2− 8⇒ x− 2x− 3x = −6.

Salta a la vista que x = 2 es una solucion particular de la ecuacion diferencial obtenida. La ecuacion(LH) obtenida es (LHC), hallamos la solucion general via el polinomio caracterıstico.

p(λ) = λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3)(λ+ 1)⇒ SF = {e3t, e−t}

y la solucion general de la ecuacion es

x = c1e3t + c2e

−t + 2.

Transformamos los valores iniciales x(0) = −1 (dato), x(0) = −1 + 10− 2 = 7. Hallamos los valores delas constantes reemplazando las condiciones iniciales

x(0) = c1 + c2 + 2 = −1,x(0) = 3c1 − c2 = 7

⇒ c1 = 1, c2 = −4

La solucion del problema a valor inicial es x = e−3t−4e−t+2 y en consecuencia x(ln 2) = 8− 2 + 2 = 8.

2.- (35 puntos) Hallar el valor de y(ln 2), sabiendo que y es la solucion del problema a valor inicial: y′′ − 2y′ − 6y = 12,y(0) = −1,y′(0) = 7.

Respuesta:Resolvemos primero la ecuacion lineal del problema diferencial

y′′ − 2y′ − 6y = 12,

Salta a la vista que y = −2 es una solucion particular y que la ecuacion (LH) asociada es (LHC), laresolvemos utilizando el polinomio caracterıstico:

p(λ) = λ2 − 2λ− 6.

La raıces son λ1 = 1 +√

7, λ2 = 1 −√

7, de donde el SF = {eλ1x, eλ2x} y la solucion general de laecuacion diferencial es

y = c1eλ1x + c2e

λ2x − 2.

Determinamos las constantes c1 y c2 reemplazando las condiciones iniciales en la solucion general:{y(0) = c1 + c2 − 2 = −1y′(0) = λ1c1 + λ2c2 = 7

⇒{y(0) = c1 + c2 = 1y′(0) = λ1c1 + λ2c2 = 7

⇒ c1 =1

2− 3√

7

7, c2 =

1

2+

3√

7

7

La solucion del problema es

y = (1

2− 3√

7

7)e(1+

√7)x + (

1

2+

3√

7

7)e(1−

√7)x

y en consecuencia

y(ln 2)(1

2− 3√

7

7)e(1+

√7) ln 2 + (

1

2+

3√

7

7)e(1−

√7) ln 2 = (

1

2− 3√

7

7)2(1+

√7) + (

1

2+

3√

7

7)2(1−

√7).

3.- (30 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial

y′′ = 1 + (y′)2

Respuesta:La ecuacion diferencial es de segundo orden, donde la funcion incognita y no aparece de maneraexplıcita. Planteando z = y′, se obtiene la ecuacion de primer orden

z′ = 1 + z2,

ecuacion de tipo separable,

z′

1 + z2= 1⇒ arctan z = x+ c⇒ z = tan(x+ c).

Por lo tanto

y′ =sin(x+ c)

cos(x+ c)⇒ y = − ln(cos(x+ c)) + d.

La respuesta es y = − ln(cos(x+ c)) + d.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Examen Final de Calculo III 1 11 de diciembre de 2014

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.- f

2.- g

3.- a


Respuesta:

a) x(ln 2) = 7, b) x(ln 2) = 3, c) x(ln 2) = −5,d) x(ln 2) = 6, e) x(ln 2) = 1, f) x(ln 2) = 8,g) Ninguna de las anteriores.


Respuesta:

a) y(ln 2) = 8, b) y(ln 2) = −7, c) y(ln 2) = 11,d) y(ln 2) = 0, e) y(ln 2) = 5, f) y(ln 2) = 2,g) Ninguna de las anteriores.


y′′ = 1 + (y′)2

Respuesta:

a) y = ln(cex + e−x) + d, b) y = cex + e−x + d, c) xd ln y = c,d) d+ xy3 = cxy, e) y = ln(sinx+ c) + d, f) y = − ln(cos(x+ c)) + d,g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.- e

2.- g

3.- e


Respuesta:

a) x(ln 2) = 7, b) x(ln 2) = 6, c) x(ln 2) = 3,d) x(ln 2) = −5, e) x(ln 2) = 8, f) x(ln 2) = 1,g) Ninguna de las anteriores.


Respuesta:

a) y(ln 2) = 2, b) y(ln 2) = 8, c) y(ln 2) = −7,d) y(ln 2) = 11, e) y(ln 2) = 0, f) y(ln 2) = 5,g) Ninguna de las anteriores.


y′′ = 1 + (y′)2

Respuesta:

a) y = ln(sinx+ c) + d, b) y = ln(cex + e−x) + d, c) y = cex + e−x + d,d) xd ln y = c, e) y = − ln(cos(x+ c)) + d, f) d+ xy3 = cxy,g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.- d

2.- g

3.- d


Respuesta:

a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 7, c) x(ln 2) = 3,d) x(ln 2) = 8, e) x(ln 2) = −5, f) x(ln 2) = 6,g) Ninguna de las anteriores.


Respuesta:

a) y(ln 2) = 5, b) y(ln 2) = 2, c) y(ln 2) = 8,d) y(ln 2) = −7, e) y(ln 2) = 11, f) y(ln 2) = 0,g) Ninguna de las anteriores.


y′′ = 1 + (y′)2

Respuesta:

a) y = cex + e−x + d, b) y = ln(sinx+ c) + d, c) y = ln(cex + e−x) + d,d) y = − ln(cos(x+ c)) + d, e) xd ln y = c, f) d+ xy3 = cxy,g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.- c

2.- g

3.- c


Respuesta:

a) x(ln 2) = 6, b) x(ln 2) = 1, c) x(ln 2) = 8,d) x(ln 2) = 7, e) x(ln 2) = 3, f) x(ln 2) = −5,g) Ninguna de las anteriores.


Respuesta:

a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 5, c) y(ln 2) = 11,d) y(ln 2) = 8, e) y(ln 2) = −7, f) y(ln 2) = 2,g) Ninguna de las anteriores.


y′′ = 1 + (y′)2

Respuesta:

a) d+ xy3 = cxy, b) y = ln(sinx+ c) + d, c) y = − ln(cos(x+ c)) + d,d) y = ln(cex + e−x) + d, e) y = cex + e−x + d, f) xd ln y = c,g) Ninguna de las anteriores.

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