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1. Señales y Sistemas ICorrelación y espectro de señales deterministas Asunción Moreno Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) con la

colaboración de Antonio Bonafonte Junio 2009 v. 1.6

2. ÍNDICETEMA 4 Correlación y espectro de señales deterministas _________________ 3 4.1 Energía y

Potencia__________________________________________________3 4.1.1 Tipos de señales

______________________________________________________ 4 4.2 Señales de Energía finita.

____________________________________________9 4.2.1 Teorema de Parseval.

__________________________________________________ 9 4.2.2 Densidad Espectral de Energía

___________________________________________ 9 4.3 Señales de Potencia media

finita._____________________________________10 4.3.1 Señales periódicas. Teorema de Parseval __________________________________ 11 4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potencia

__________________________ 11 4.3.3 Señales no periódicas

_________________________________________________ 14 4.4 Correlación y densidad espectral de Energía

___________________________16 4.4.1 Distancia entre dos señales de energía

finita________________________________ 16 4.4.2 Función de correlación mutua o cruzada

__________________________________ 17 4.4.3 Función de autocorrelación.

____________________________________________ 19 4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a

través de sistemas lineales ________ 22 4.5 Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F.

________23 4.5.1 Correlación de señales de potencia media finita _____________________________ 23 4.5.2 Densidad espectral de potencia__________________________________________ 24 4.5.3 Relaciones de

Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e invariantes.

_________________________________________________________________ 25 4.5.4 Señales

periódicas____________________________________________________ 27 4.6 Problemas

_______________________________________________________34

3. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 3TEMA 4 Correlación y espectro de señales

deterministasUna herramienta útil en análisis de señales y sistemas es la correlación. La correlación

obtieneinformación sobre las señales en base a promediados temporales y su transformada de Fourier

permiteobtener funciones de Densidad Espectral de Energía o Potencia, dependiendo de las características delas señales y sistemas bajo estudio. Esta propiedad es particularmente interesante puesto que lainformación puede

obtenerse incluso si la señal carece de Transformada de Fourier. Las herramientasbasadas en correlación de

señales y su transformada de Fourier, son básicas en el análisis de procesos.En este capítulo se estudian aplicadas

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a señales deterministas. El objetivo es facilitar su comprensión ypara ello se desarrolla el significado de la

correlación como medida de parecido entre señales, seestablecen las propiedades de la correlación cuando las

señales bajo estudio están relacionadas porsistemas lineales e invariantes. En la colección de problemas se

muestra una serie de aplicacionesdonde la utilización de la autocorrelación es básica: medida de tiempo de retardo

con aplicación asistemas de radar, medida de sistemas lineales e invariantes a partir de señales contaminadas con

ruidoo interferencias, y utilización del filtro adaptado en sistemas de comunicaciones digitales.4.1 Energía y

PotenciaEn ocasiones, las herramientas a utilizar en la representación de señales vienen condicionadas poralguna

característica de las mismas. En particular, la Energía o Potencia de una señal permiteclasificar el conjunto de señales en señales de Energía finita y señales de Potencia media finita y lastécnicas desarrolladas en este capítulo

se aplicarán en función de esta característica.La energía o potencia de una señal cualquiera, se define de forma

similar a la definición en términoseléctricos. Supongamos una resistencia R con una tensión aplicada v(t), por la que

pasa una corrientei(t)=v(t)/R. La potencia instantánea disipada es | v (t ) | 2 P (t ) = (4.1) Ro equivalentemente P (t )

=| i (t ) | 2 R (4.2)La energía total y la potencia media se definen como las integrales ∞ E = ∫ P(t )dt (4.3) −∞ 1 T /2 P

= lim T →∞ T ∫−T / 2 P(t )dt (4.4)

4. respectivamente. De una forma equivalente haciendo R=1 se define para cualquier señal x(t):Energía de una

señal ∞ ∫ | x(t ) | dt 2 Ex = (4.5) −∞Potencia media T /2 Energía en T 1 ∫ | x(t ) | dt 2 Px = lim = lim (4.6) T →∞ T T

→∞ T −T / 24.1.1 Tipos de señalesAtendiendo a la energía o potencia de una señal, éstas se clasifican en:• Señales de energía finita (E.F.): 0 < Ex < ∞• Señales de potencia media finita (P.M.F.): 0< Px < ∞• Señales que no satisfacen

ninguna de las propiedades anteriores y no son ni de E.F. ni de P.M.F.Una señal de E.F. tiene potencia media nula

y una señal de P.M.F. tiene energía infinita. Las señalesde E.F. cumplen los criterios de convergencia de la

transformada de Fourier. Dentro de este grupoestán todas las señales de duración finita de interés en procesado de

señal (variación acotada), yalgunas de duración infinita. Dentro del grupo de señales de P.M.F. se encuentran las

señalesperiódicas (variación acotada) señales de duración infinita cuya transformada de Fourier se haobtenido por

medio de funciones de distribución (escalón, rampa, …) y las correspondientes aprocesos aleatorios.

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.1La exponencial causal es una señal de duración infinita y E.F. x(t) t 0 5. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 5 x(t ) = e −αt u (t ) α >0 ∞ 1 (4.7) ∫ E x = e − 2αt dt

= 0 2α ___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.2El escalón es una señal de P.M.F. x(t) 1 t −T/2 0 T/2 x(t ) = u (t ) T /2 T /2 1 1 1T Px = lim T →∞ T ∫ −T / 2 u 2 (t

)dt = lim T →∞ T ∫ dt = lim T 2 = 0 T →∞ (4.8) 1 = 2

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.3Es posible construir señales que no son ni de E.F. ni de P.M.F. Un ejemplo es la señal: x(t ) = t −α / 2 u (t − 1) 0


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4.4Sea la señal periódica x(t) sinusoidal: x(t ) = A cos(2πf 0 t + θ ) (4.15)Sustituyendo x(t) en (4.14) , se obtiene la

potencia media

7. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 7 A2 T0 / 2 Px = T0 ∫ −T0 / 2 cos 2 (2πf 0 t + θ )dt

= A2 T0 / 2 A2 T0 / 2 = 2T0 ∫−T0 / 2 dt + 2T0 ∫ −T0 / 2 cos(4πf 0t + 2θ )dt = (4.16) A2 = 2

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.5Sea la señal periódica x(t) compuesta por un tren de pulsos rectangulares x(t) 1 t −T 0 −τ/2 0 τ/2 T 0 ∞ t − nT0

x(t ) = ∑ Π n = −∞ τ T0 > τ (4.17)Dado que T0 > τ, la señal Π(t/τ) coincide con un periodo de la señal x(t) y por lo tanto su potenciamedia es: 1 T0 / 2 t τ Px = T0 ∫ Π dτ = −T0 / 2 τ T0 (4.18)

___________________________________________________________________________________Las señales

formadas por funciones de distribución no están incluidas en ninguno de los tiposdefinidos en este apartado, ya que

su cuadrado no está definido, Consideraremos no obstante que unaseñal de la forma ∞ x(t ) = ∑ α δ (t − t n = −∞ n

n) (4.19)admite la clasificación anterior dependiendo del valor que tomen los coeficientes αn. Será tratadacomo una

señal de E.F. si

8. ∞ ∑|α n = −∞ n |2 < ∞ (4.20)y será tratada como una señal de P.M.F. si se verifica 1 0 < lim T →∞ T ∑|α n n |2 <

∞ (4.21) n :| t n |< T / 2Donde la suma se extiende a aquellos n tales que se corresponden a tn en el intervalo (-T/2,

T/2). ___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.6La señal x(t) formada por impulsos ∞ x(t ) = ∑e n = −∞ − a|n|T δ (t − nT ), α >0 (4.22)Será tratada como una

señal de E.F. ya que verifica la propiedad (4.20). En efecto, por ser unasecuencia par en n, la suma se puede

descomponer ∞ ∞ ∑e n = −∞ − 2α |n|T = 1+ 2 ∑e n =1 − 2αnT (4.23)y la suma de la progresión geométrica está

acotada ∞ e −2αT ∑1 e − 2αnT = 1 − e − 2αT (4.24)Sustituyendo (4.24) en (4.23) se obtiene el resultado ∞ 1 + e

−2αT ∑e n = −∞ − 2α | n |T = 1 − e − 2αT

(4.25)___________________________________________________________________________________

9. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 94.2 Señales de Energía finita.4.2.1 Teorema de

Parseval.Sean las señales de E.F. x(t) e y(t) con transformada de Fourier X(f) e Y(f) respectivamente. El teoremade Parseval para señales de E.F. establece: ∞ ∞ Ex = ∫ −∞ | x(t ) |2 dt = ∫−∞ | X ( f ) |2 df (4.26)Demostración: ∞ Ex = ∫

−∞ x(t )x * (t )dt = ∞ ∞ =∫ ∫ x * (t ) X ( f )e j 2πft df dt = −∞ −∞ ∞ ∞ =∫ X ( f )∫ x * (t )e j 2πft dtdf = (4.27) −∞ −∞ * ∞ ∞

= ∫−∞ X ( f ) ∫−∞ x(t )e − j 2πft dt df = ∞ = ∫−∞ | X ( f ) |2 dfPor tanto la energía de una señal puede

calcularse conociendo el módulo de su transformada deFourier.4.2.2 Densidad Espectral de EnergíaSe define la

Densidad Espectral de Energía según: G xx ( f ) =| X ( f ) |2 (4.28)E indica cómo está distribuida la energía a lo largo

del eje frecuencial. La densidad espectral deenergía tiene las siguientes propiedades:• Es una señal real por

provenir directamente del módulo de una señal.• Es no negativa como se deduce de su propia definición.• Si x(t) es

real, Gxx(f) es par, ya que X(f) es hermítica

___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.7

10. En este ejemplo se comprobará el carácter de densidad espectral de energía de la función Gxx(f).Supongamos

una señal de E.F. x(t) con Densidad Espectral de Energía Gxx(f) que se aplica a un filtropaso banda muy estrecho

centrado a la frecuencia fc . Δf 1 f − f c < H( f ) = 2 (4.29) 0 resto La señal de salida tiene una densidad

espectral de energía G yy ( f ) =| Y ( f ) |2 =| X ( f ) H ( f ) |2 = = Gxx ( f ) | H ( f ) |2y la energía total de la señal de

salida f c + Δf / 2 − f c + Δf / 2 Ey = ∫ f c − Δf / 2 G xx ( f )df + ∫ − f c − Δf / 2 G xx ( f )df (4.30) G (f) xx Gxx(fc) Δ f −fc

0 fcsi Δf es muy pequeño, Gxx(f)≈ Gxx(fc) en el intervalo de integración y si y(t) es real, Gxx(fc)= Gxx(-fc) laenergía

se puede aproximar por Ey≈ 2Gxx(fc) ΔfDe manera que las dimensiones de la densidad espectral de energía son

efectivamente joule/Hz___________________________________________________________________________________4.3

Señales de Potencia media finita.El tratamiento de las señales de potencia media finita va a hacerse de forma

diferenciada según setrate de señales periódicas o no. La motivación está justificada ya que las propiedades de las

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señalesperiódicas permiten establecer una forma específica para el teorema de Parseval y la densidadespectral de

potencia, por medio del D.S.F. de la señal. Por otra parte las señales de Potencia media

11. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 11finita no tienen, en contraposición a las señales

de E.F., una densidad espectral de potenciarelacionada explícitamente con la transformada de Fourier de la señal

original , incluso si la señaladmite transformada.4.3.1 Señales periódicas. Teorema de ParsevalLa expresión (4.26)

no aplica para señales periódicas puesto que la primera integral no converge y elcuadrado de δ(t) no está definido.

Sea una señal periódica de periodo T0 de la forma ∞ x(t ) = ∑ c ( m)e m = −∞ j 2πmt / T0 (4.31)donde c(m) son los

coeficientes de su desarrollo en serie. El teorema de Parseval establece ∞ 1 Px = T0 ∫ | x(t ) | 2 dt = ∑ | c ( m) | m = −∞ 2 (4.32)Demostración: 1 Px = T0 ∫ T0 | x(t ) |2 dt = ∞ 1 = T0 ∫ T0 x * (t ) ∑ c ( m)e m = −∞ j 2πmt / T0 dt = ∞

1 = ∑ c ( m) T ∫ m = −∞ 0 T0 x * (t )e j 2πmt / T0 dt = (4.33) ∞ = ∑ c ( m)c * ( m) = m = −∞ ∞ = ∑ | c ( m) | m = −∞ 2La

potencia de una señal periódica es igual a la suma de las amplitudes al cuadrado de lascomponentes armónicas de

la señal. Sólo se requiere información del módulo.4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potenciaLa

densidad espectral de potencia de una señal periódica x(t) definida en (4.31), está formada porimpulsos

12. ∞ S xx ( f ) = ∑ | c ( m) | m = −∞ 2 δ ( f − mf 0 ) (4.34)Donde f0=1/T0. Al integrar esta función sobre el eje

frecuencial, se obtiene la potencia de la señalcomo se puede comprobar mediante el teorema de Parseval

enunciado en (4.32). Nótese que ladensidad espectral de potencia no es |X(f)|2.

___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.8Hallar la potencia de la señal periódica x(t ) = A cos(2πf 0 t + θ ) + B cos(2πf1t + ϕ ) (4.35)Donde, para asegurar

que x(t) es periódica, el cociente f0/f1 es entero (4.36) x(t) t −3 0 3Aplicando la fórmula de Euler, se obtiene

directamente la expresión del D.S.F. A jθ j 2πf 0t A − jθ − j 2πf 0t B jϕ j 2πf1t B − jϕ − j 2πf1t x(t ) = e e + e e + e e +

e e (4.37) 2 2 2 2y la densidad espectral de potencia es, aplicando (4.34) A2 A2 B2 B2S xx ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f +

f0 ) + δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 ) (4.38) 4 4 4 4Y la potencia media total se obtiene integrando A2 B 2 Px = + (4.39) 2 2En

la sección 4.5 se demostrará que no es necesaria la condición (4.36) para que la potencia de x(t)sea (4.39).

13. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 13 S (f) xx f −8 −6 −4 −2 2 4 6 8Aplicando la señal

x(t) a un filtro paso banda ideal muy estrecho alrededor de la frecuencia f0, seobtiene a la salida una señal y(t) = A

cos(2πf0t + ϕ). La potencia de la señal de salida es A2/2 watt ycoincide con la que se obtendría integrando Sxx(f) alrededor de esta frecuencia, confirmándose así elcarácter de Densidad Espectral de Potencia (watt/Hz) que tiene

esta función.

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.9Hallar la función Densidad Espectral de Potencia y la potencia de la señal definida en el EJEMPLO4.5.Los

coeficientes de D.S.F. de la señal x(t) son: 1 t τ c ( m) = F Π = sinc(mτ / T0 ) (4.40) T0 τ f =

m / T0 T0y por tanto la Densidad Espectral de Potencia es: 2 ∞ τ S xx ( f ) = T 0 ∑ sinc m = −∞ 2

(mτ / T0 )δ ( f − m / T0 ) (4.41)La potencia media se obtiene integrando Sxx(f) ∞ 2 ∞ τ Px = ∫ T 0 ∑

sinc m = −∞ 2 (mτ / T0 )δ ( f − m / T0 )df = −∞ (4.42) 2 ∞ τ = T 0 ∑ sinc m = −∞ 2 (mτ / T0 )Aplicando la fórmula de Poisson al par de transformadas

14. t Δ ↔ τ sinc 2 ( f τ ) (4.43) τ Se obtiene fácilmente ∞ ∞ 1 mT0 T0 ∑ m = −∞ τ sinc 2 (mτ / T0 ) = ∑

Δ m = −∞ τ =1 (4.44)ya que al ser τ < T0 todas las muestras que intervienen en el último sumatorio son

nulas excepto lacorrespondiente a m = 0. Sustituyendo en la expresión (4.42) este resultado se obtiene la

potenciamedia τ Px = (4.45)

T0___________________________________________________________________________________4.3.3

Señales no periódicasPara hallar la potencia de una señal por medio de información en el dominio transformado,

esconveniente definir una función auxiliar compuesta por un tramo de duración T de la señal x(t) t xT (t ) = x(t

)Π (4.46) T Cuya transformada de Fourier es XT(f). La potencia media puede expresarse en función de xT(t) 1 T /2 1 T /2 1 ∞ Px = lim T →∞ T ∫ −T / 2 | x(t ) |2 dt = lim T →∞ T ∫−T / 2 | xT (t ) |2 dt = lim T →∞ T ∫ −∞ | xT (t ) |2

dt (4.47)Al ser xT(t) una señal de duración finita, podemos afirmar que es de E.F. y por lo tanto aplica elteorema de

Parseval para señales de E.F. ∞ ∞ ∫ −∞ | xT (t ) | 2 dt = ∫ −∞ | X T ( f ) | 2 df (4.48)Sustituyendo (4.48) en (4.47) e



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intercambiando el límite y la integral se obtiene una expresión para elcálculo de la potencia a partir de información

en el dominio transformado ∞ | X T ( f ) |2 Px = ∫ lim − ∞ T →∞ T df (4.49)La ecuación (4.49) muestra cómo obtener

la potencia total a partir de la integral de una función en eldominio de la frecuencia.

15. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 15La densidad espectral de potencia se define

como | X T ( f ) |2 S xx ( f ) = lim (4.50) T →∞ TEs una función real y positiva y si x(t) es real, es una función par.

Debe observarse que la densidadespectral de potencia no es |X(f)|2 aunque x(t) admita transformada de Fourier

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.10La señal escalón es una señal de P.M.F. no periódica. Para hallar su densidad espectral de potenciaformamos la señal auxiliar enventanada xT(t) t t −T / 4 xT (t ) = u (t )Π = Π (4.51) T T /2 que tiene

como transformada de Fourier: T XT ( f ) = sinc ( fT / 2)e − j 2πfT / 4 (4.52) 2Sustituyendo XT(f) en (4.50) la

densidad espectral de potencia T sin 2 (πfT / 2) S xx ( f ) = lim sinc 2 ( fT / 2) = lim (4.53) T →∞ 4 T →∞ π 2 f 2T 2 |X

(f)| /T T T/4 f −2/T 0 2/TAl tender T a infinito, si f ≠ 0 el denominador crece indefinidamente y el numerador está

acotado, portanto tiende a cero. Si f=0 el resultado tiende a infinito, por lo tanto la densidad espectral de potenciadel

escalón es una delta en el origen de área K. Para calcular K, podemos utilizar el teorema deParseval para señales

de E.F. puesto que la señal enventanada es de E.F.

16. 2 ∞ sin 2 (πfT / 2) 1 ∞ t −T / 4 K= ∫ −∞ π 2 f 2T df = T ∫ −∞ Π T /2 dt = (4.54) 1 T /2 1 = T ∫ 0 dt =

2Finalmente, la expresión de la densidad espectral de potencia del escalón 1 S xx ( f ) = δ(f ) (4.55) 2y la potencia media: ∞ 1 Px = ∫ −∞ S xx ( f )df = 2 (4.56)Nótese que S xx ( f ) ≠| F [u (t )] |2 .

___________________________________________________________________________________4.4

Correlación y densidad espectral de Energía4.4.1 Distancia entre dos señales de energía finitaEn un espacio

vectorial dotado de un producto escalar, se define la norma de un vector || x ||= ( x, x) (4.57)y distancia entre

vectores d ( x, y ) =|| x − y || (4.58)En el conjunto de señales se define el producto escalar entre las señales de

energía finita x(t) e y(t)como ∞ ( x, y ) = ∫−∞ x(t ) y * (t )dt (4.59)y la distancia entre señales: ∞ d 2 ( x, y ) = ∫−∞ | x(t )

− y (t ) | 2 dt (4.60)En general, estamos interesados en buscar la distancia entre dos señales cuando una de ellas

sedesplaza τ, es decir, buscamos su parecido para todos sus valores relativos.

17. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 17 ∞ ∫d 2 ( x(t + τ ), y (t )) = −∞ | x(t + τ ) − y (t ) | 2 dt = (4.61) ∞ ∞ ∞ ∞ =∫ | x(t ) | 2 dt + ∫ | y (t ) | 2 dt − ∫ x(t + τ ) y * (t )dt − ∫ x * (t + τ ) y (t )dt −∞ −∞ −∞ −∞Definiendo: ∞

R xy (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) y * (t )dt (4.62)La distancia resultante se puede expresar según d 2 (( x(t + τ ), y (t )) = E x +

E y − R xy (τ ) − R xy (τ ) = * (4.63) = E x + E y − 2 Re R xy (τ ) [ ]Si las señales x(t), y(t) son reales d 2 (( x(t + τ ), y

(t )) = E x + E y − 2 R xy (τ ) (4.64)La función Rxy(τ) es un indicador de la medida de parecido entre señales. Dado

que en la medida dedistancia los valores de Energía son independientes del desplazamiento τ, la distancia entre las

señalesserá menor para aquellos valores de desplazamiento relativo entre ellas τ, en que Rxy(τ) sea mayor4.4.2

Función de correlación mutua o cruzadaSe define la función de correlación mutua o cruzada entre dos señales de

E.F. ∞ ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) y * (t )dt = ∫−∞ x(t ) y * (t − τ )dt (4.65)Puede demostrarse fácilmente que la

correlación cruzada entre dos señales de E.F. se puede expresarmediante la ecuación de convolución: R xy (τ ) = x(τ ) y * (−τ ) (4.66)Propiedades:• Es una función acotada por el producto de las energías de las señales 2 Rxy (τ )

≤ Ex Ey (4.67) La demostración de esta propiedad se realiza aplicando la desigualdad de Schwarz:

18. 2 2 ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) y (t )dt ≤ ∞ ∞ ∫ ∫ 2 2 ≤ x(t + τ ) dt y (t ) dt = (4.68) −∞ −∞ = Ex E y El valor máximo

se alcanza cuando las señales son proporcionales: x(t + τ ) = k y (t ) (4.69)• R xy (τ ) = R * (−τ ) yx (4.70) Esta

propiedad puede demostrarse a partir de la igualdad * ∞ ∞ ∫−∞ x(t + τ ) y * (t )dt = ∫ −∞ x * (t + τ ) y (t )dt

Si x(t) e y(t) son reales, Rxy(τ) = Ryx(− ) τ• Transformada de Fourier de la correlación cruzada [ ] F R xy ( τ ) = X ( f

)Y ( f ) = G xy ( f ) (4.71) A la función Gxy(f) se le denomina Densidad espectral de energía mutua o cruzada. No

tiene sentido físico excepto si x(t) ≡ y(t).

___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.11Sean las señales x1 (t ) = 2 cos πtΠ (t ), x 2 (t ) = Π (t − 2), x 3 (t ) = 3 / 2 Δ (t ) (4.72)Es inmediato comprobar

que todas estas señales tienen la misma energía Exi=1. La correlación cruzadaentre cualquiera de ellas y la señal

y(t) = Π(t), también de energía unitaria, está acotada al valor 1,como puede comprobarse a partir de la propiedad 1.



8/13

relacion-de-senales


Por la misma propiedad, el valor máximo sealcanza en la correlación cruzada entre x2(t) y Π(t) y además toma este

valor en τ = 2. x (t) Rx y(τ) 1 1 1.5 1 t τ −2 2 −2 2

19. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 19 x (t) 2 Rx y(τ) 2 1.5 1 t τ −2 2 −2 2 x (t) 3 Rx

y(τ) 3 1.5 1 t τ −2 2 −2 2

___________________________________________________________________________________4.4.3

Función de autocorrelación.Se define la función de autocorrelación Rxx(τ) de una señal x(t) de E.F. con

transformada de FourierX(f) ∞ Rxx (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) x* (t )dt (4.73)Que puede expresarse alternativamente R xx (τ )

= x(τ ) x * (−τ ) (4.74)Densidad espectral de energíaLa transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es la densidad espectral deenergía y sí tiene sentido físico F [Rxx (τ )] = G xx ( f ) (4.75)Esta propiedad

se verifica tomando tomando transformada de Fourier en ambos miembros de laecuación (4.74) F [R xx (τ )] = X ( f )

X * ( f ) = 2 (4.76) = X( f )Que es la definición de la densidad espectral de energía (4.28)

20. Propiedades:• La energía de una señal es el valor de su autocorrelación en el origen R xx (0) = E x (4.77) Se

demuestra evaluando (4.73) en τ = 0.• El máximo de la autocorrelación está en el origen. R xx (τ ) ≤ R xx (0) (4.78)

Se demuestra sustituyendo y(t )= x(t) en (4.67) y aplicando (4.77)• La autocorrelación es una función Hermítica. R

xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.79) Se demuestra sustituyendo y(t) = x(t) en (4.70).• Si x(t) es real, su autocorrelación es real y

par R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.80)• La transformada de Fourier de la autocorrelación es no negativa. F [R xx (τ )] ≥ 0 f

(4.81) Como se comprueba en (4.76)• Energía de la suma de dos señales Sea la señal z(t) formada por la suma de otras dos señales: z (t ) = x(t ) + y (t ) (4.82) La función de autocorrelación de z(t) viene dada por: R zz(τ)=R xx(τ)+R

yy(τ)+R xy(τ)+R yx(τ) (4.83) La energía de z(t) es el valor de su autocorrelación en el origen: Ez=Ex+Ey+ R xy(0)+ R

yx(0) (4.84) Para que la energía de z(t) sea la suma de las energías de x(t) e y(t), se debe cumplir: R xy(0)+ R

yx(0)=2 R e[R xy(0)]=0 (4.85) Las señales que cumplen esta propiedad se denominan incoherentes.

21. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 21 Si además se verifica que la correlación en el

origen vale cero, las señales se denominan ortogonales. R xy(0) = R yx(0) = 0 (4.86) Finalmente si la correlación

cruzada es nula, las señales se llaman incorreladas R xy(τ) = R yx(τ) = 0 (4.87)La Figura 1 muestra a la izquierda

varias señales y a la derecha su correspondiente función deautocorrelación. Las señales son pulsos de duración 2.5

seg: rectangular, sinc y chirp (seno defrecuencia creciente) y todas de energía unitaria. Las funciones de autocorrelación muestran simetríapar, el valor en el origen es Rxx(0) = Ex = 1 y su duración es el doble que la

duración de la señal. 1 0.1 0.5 0 0 -0.1 -0.5 -5 0 5 -5 0 5 1 0.1 0.5 0 0 -0.1 -0.5 -5 0 5 -5 0 5 1 0.1 0.5 0 0 -0.1 -0.5 -5

0 5 -5 0 5 a) b)Figura 1. a) Señales de duración finita: pulso rectangular, pulso sinc y pulso chirp. Las señales tienen

la misma duración y energía. b) autocorrelación de las mismas.

22. 4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a través de sistemas linealesSea y(t) la señal de salida de un

sistema lineal e invariante con respuesta impulsional h(t), cuando a suentrada se aplica x(t). ∞ y (t ) = x(t ) * h(t ) = ∫

−∞ x (t − t )h(t )dt (4.88)Se verifican las siguientes relaciones: Rxy (τ ) = Rxx (τ ) h (−τ ) (4.89) R yx (τ ) = Rxx (τ )

h(τ ) (4.90) R yy (τ ) = Rxx (τ ) h(τ ) h (−τ ) (4.91)La demostración de la propiedad (4.89) puede realizarse

expresando y*(t) por medio de la ecuación deconvolución en (4.65) ∞ ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ x (t + τ ) ∫ −∞ x * (t − t )h * (t )dt dt (4.92)Intercambiando el orden de integración ∞ ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ h * (t ) ∫ −∞ x(t + τ )x *

(t − t )dt dt = ∞ = ∫ −∞ R xx (τ + t )h * (t )dt = (4.93) = R xx (τ ) h * (−τ )Las demás propiedades se demuestran

fácilmente de forma similar. Tomando transformada de Fourierse verifican las siguientes propiedades para las

densidades espectrales Gxy ( f ) = Gxx ( f ) H ( f ) (4.94) G yx ( f ) = G xx ( f ) H ( f ) (4.95) 2 G yy ( f ) = Gxx ( f ) H

( f ) (4.96)

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.12La correlación cruzada entre la señal y(t) = x(t-td) y la señal x(t)

23. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 23 R yx (τ ) = Rxx (τ ) δ (τ − t d ) = Rxx (τ − t d

)ya que podemos suponer que y(t) es la salida de un retardador cuando a la entrada se aplica x(t). Porlas propiedades de la autocorrelación, se deduce que la correlación cruzada entre la entrada y la salidade un retardador

tiene un máximo de valor Ex en τ = td.

___________________________________________________________________________________4.5

http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-19-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-20-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-21-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-22-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-23-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-23-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-22-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-21-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-20-728.jpg?cb=1340824838http://image.slidesharecdn.com/56972128-correlacion-de-senales-120627191936-phpapp01/95/correlaciondesenales-19-728.jpg?cb=1340824838


9/13

relacion-de-senales


Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F.4.5.1 Correlación de señales de potencia media

finitaLa correlación cruzada de señales de Potencia media finita se define mediante la expresión: 1 T /2 Rxy (τ ) =

lim T →∞ T ∫−T / 2 x(t + τ ) y * (t )dt (4.97)y la función de autocorrelación: 1 T /2 Rxx (τ ) = lim T →∞ T ∫−T / 2 x(t + τ )

x * (t )dt (4.98)Propiedades:Es inmediato comprobar, de forma similar a la del apartado 4.4.2 que las propiedades

de la correlacióncruzada de dos señales de P.M.F. son análogas a las de señales de E.F. R xy (τ ) ≤ Px Py (4.99) R

xy (τ ) = R * (−τ ) yx (4.100)Con la salvedad de que la ecuación (4.66) no se verifica para señales de P.M.F. La

función deautocorrelación de una señal de P.M.F. verifica:• El máximo de la autocorrelación está en el origen. Rxx (τ

) ≤ Rxx (0) (4.101)• La autocorrelación es una función Hermítica. R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.102) 24. • Si x(t) es real, su autocorrelación es real y par R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.103)• La potencia de una señal es el

valor de su autocorrelación en el origen R xx (0) = Px (4.104)4.5.2 Densidad espectral de potenciaEn el apartado

4.3.3 se definió la densidad espectral de potencia de una señal x(t) como: 1 S xx ( f ) = lim G xT xT ( f ) (4.105) T

→∞ Tsiendo xT(t) =x(t)Π(t/T). El teorema de Wiener Kintchine establece que la transformada de Fourier dela

autocorrelación es la Densidad espectral de potencia: F [Rxx (τ )] = S xx ( f ) (4.106)Para comprobarlo, basta

calcular la correlación de la señal enventanada xT(t) y comprobar que 1 R xx (τ ) = lim R x x (τ ) (4.107) T →∞ T T

Ty tomando transformada de Fourier en ambos miembros de la ecuación y aplicando que xT(t) es unaseñal de E.F.

1 F [R xx (τ )] = F lim R xT xT (τ ) T →∞ T 1 = lim G xT xT ( f ) (4.108) T →∞ T = S xx ( f )

___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.13Una señal de P.M.F. es el escalón. Su función de autocorrelación

25. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 25 1 T /2 Ruu (τ ) = lim ∫ T → ∞ T −T / 2 u (t + τ )u

(t )dt = 1 T /2 = lim T →∞ T 0 ∫ u (t + τ )dt = 1 T /2 lim = T →∞ T −τ / 2 ∫ dt τ < 0 (4.109) 1 T lim T →∞ T 0 ∫

dt τ > 0 1 T Tlim T ( 2 + τ ) τ < 0 = →∞ 1T lim τ >0 T →∞ T 2y tomando el límite para los dos casos, se

obtiene que la función de autocorrelación es una constantede valor ½ Ruu(τ) =½ (4.110)La densidad espectral de

potencia es su transformada de Fourier: Suu(f) = ½ δ(f) (4.111)Como se obtuvo en el EJEMPLO 4.10

___________________________________________________________________________________4.5.3

Relaciones de Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e invariantes.Sea un sistema L.I.

caracterizado por h(t). La salida y(t) cuando a su entrada se aplica x(t) puedeexpresarse por la ecuación de convolución. ∞ ∫ y (t ) = x (t ) * h(t ) = x(t − t )h(t )dt −∞ (4.112)Las relaciones entre las correlaciones de la entrada y

la salida son idénticas a las establecidas paraseñales de E.F. Rxy (τ ) = Rxx (τ ) h (−τ ) (4.113) R yx (τ ) = Rxx (τ

) h(τ ) (4.114) R yy (τ ) = Rxx (τ ) h(τ ) h (−τ ) (4.115)

26. Tomando transformada de Fourier se verifican las siguientes propiedades: S xy ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.116)

S yx ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.117) 2 S yy ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.118)A continuación se demuestra la segunda de

las relaciones indicadas. El resto de demostraciones esanálogo. Expresando y(t+τ) por medio de la ecuación de

convolución (4.112) se obtiene T /2 ∞ R yx (τ ) = lim T →∞ ∫ −T / 2 ∫ −∞ x (t + τ − t )h(t )dt x * (t )dt

(4.119)Intercambiando el orden de integración ∞ T /2 R yx (τ ) = ∫ −∞ h(t ) lim T →∞ ∫ −T / 2 x(t + τ − t )x * (t

)dt dt = ∞ = ∫ −∞ R xx (τ − t )h(t )dt = = R xx (τ ) h(τ ) (4.120) ___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.14Medida de tiempo de retardo en señales contaminadas con ruidoLa correlación cruzada se utiliza en

aplicaciones de detección de pulsos habitualmente contaminadoscon ruido. Suponga un sistema de radar que

transmite la señal x(t). Esta choca contra un blanco y serefleja, de forma que en el receptor, localizado en la misma

posición que el emisor, se recibe la señal y(t) = x(t-td) + n(t)donde td es el tiempo que tarda la señal en ir al blanco y

volver y n(t) es ruido que se ha sumado a laseñal. El receptor del radar realiza la correlación cruzada entre y(t) y

una copia idéntica de la señaloriginal. Se tiene 1 T /2 R yx (τ ) = lim ∫ y (t + τ ) x * (t )dt = T →∞ T −T / 2 1 T /2 = lim T

→∞ T −T / 2 ∫[ x(t − t d + τ ) + n(t + τ )]x * (t )dt = = Rxx (τ − t d ) + Rnx (τ )

27. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 27Si la señal y el ruido están incorrelados, (su parecido es nulo), lo cual es habitual ya que estángenerados de forma totalmente independiente, Rnx(τ) ≈ 0 , por lo

que la correlación cruzada Ryx(τ)presentará un máximo en τ=td . La detección de la posición del máximo de Ryx(τ)

permite hallar td,que es lo que tarda la señal radar en ir y volver del blanco y dado que la señal de radar se propaga



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relacion-de-senales


a lavelocidad de la luz, la distancia al blanco será: d= td/2cLa figura 2 ilustra este comportamiento. Se ha elegido

como señal a transmitir x(t) una señal chirpcomo la mostrada en la Figura 1. La Figura 2 a) presenta y(t), la señal

recibida contaminada con ruido.La figura 2 b) presenta la correlación cruzada entre y(t) y la señal transmitida x(t). La

posición delpico determina el retardo td buscado. 0.2 10 5 0 0 -0.2 -5 0 5 10 0 5 10 a) b) Figura 2. a) Pulso Chirp

contaminado con ruido, b) Correlación cruzada entre el pulso chirp contaminado con ruido y el pulso limpio.

___________________________________________________________________________________4.5.4

Señales periódicasCorrelación de dos fasoresEs interesante estudiar la correlación cruzada de dos fasores porque

será básico en el estudio deseñales periódicas. Sean las señales x(t) e y(t) definidas a continuación: x(t ) = a1e j 2πf1t y (t ) = a 2 e j 2πf 2t (4.121)Demostraremos que la correlación cruzada tiene la expresión 0 f1 ≠ f 2 R xy (τ )

= * j 2πf1t (4.122) a1 a 2 e f1 = f 2La correlación cruzada entre estos dos fasores se calcula aplicando la

definición:

28. 1 T /2 ∫ a1e j 2πf1 (t +τ ) a2 e − j 2πf 2t dt = * R xy (τ ) = lim T →∞ T −T / 2 1 T /2 ∫ a1a2 e j 2πf1τ e − j 2π ( f1 − f

2 )t dt = * = lim (4.123) T →∞ T −T / 2 1 T /2 = a1a 2 e j 2πf1τ lim ∫ e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt * T →∞ T −T /

2Resolviendo el límite de la ecuación 1 T /2 1 sin(π ( f1 − f 2 )T ) lim T →∞ T ∫−T / 2 e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt = lim T

→∞ T π ( f1 − f 2 ) = = lim sinc(( f1 − f 2 )T ) = (4.124) T →∞ 0 f1 ≠ f 2 = 1 f1 = f 2Donde para hallar el límite se

ha aplicado el hecho de que si las frecuencias son distintas, elnumerador permanece acotado mientras el

denominador crece indefinidamente y por tanto el resultadoes cero. Si las frecuencias son iguales, la exponencial en la integral toma el valor 1, la integral toma elvalor T y por tanto el resultado al tomar el límite es 1.Finalmente,

sustituyendo (4.124) en (4.123) se obtiene (4.122). Este resultado indica que lacorrelación cruzada (o medida de

parecido) entre dos fasores de distinta frecuencia es nula.Autocorrelación de una señal periódicaUna señal x(t)

periódica de periodo T0 verifica la igualdad: x(t+T0) = x(t)Aplicando esta propiedad en la definición de la

autocorrelación de una señal se obtienen dosresultados:La autocorrelación de una señal periódica también es

periódica y del mismo periodo de la señal: 1 T /2 R xx (τ ) = lim T →∞ T −T / 2 ∫ x(t + τ ) x (t )dt = 1 T /2 = lim T

→∞ T −T / 2 ∫ x(t + τ + T0 ) x (t )dt = (4.125) = R xx (τ + T0 )La autocorrelación de una señal periódica puede

calcularse mediante la expresión:

29. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 29 1 R xx (τ ) = T0 ∫ x(t + τ ) x (t )dt (4.126)En efecto, al ser el integrando periódico de periodo T0, se verifica que: t0 +T0 T0 ∫t0 x(t + τ ) x (t )dt = ∫0 x(t

+ τ ) x (t )dt = (4.127) = ∫ x(t + τ ) x (t )dtsiendo t0 una constante arbitrariaSi elegimos el intervalo T

múltiplo de T0, T=MT0 y aplicamos la anterior propiedad, el valor de laintegral en cada intervalo de T0 seg. es el

mismo y por tanto se obtiene: 1 T /2 R xx (τ ) = lim T →∞ T ∫ −T / 2 x(t + τ ) x (t )dt = 1 MT0 / 2 = lim M →∞ MT0 ∫

− MT0 / 2 x(t + τ ) x (t )dt = (4.128) M T0 / 2 ∫ = lim x(t + τ ) x (t )dt = M →∞ MT0 −T0 / 2 1 = T0 ∫ x(t + τ ) x

(t )dt

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.15Hallar la función de autocorrelación de la señal mostrada en la Figura 4.14 a) ∞ x(t ) = ∑ (t − nT )Π(t − nT ) n =

−∞ 0 0 T0 = 1 seg.Dado que la autocorrelación de x(t) es periódica, calcularemos la autocorrelación en un periodo.Elegimos en primer lugar el intervalo –1/2 < τ < 0. La señal x(t+τ) se muestra en la Figura 4.14 b)para un

desplazamiento τ = -0.25. Aplicando (4.128) se obtiene la autocorrelación τ − 0.5 0.5 Rxx (τ ) = ∫ − 0.5 t (t + τ + 1)dt

+ ∫ −τ − 0.5 t (t + τ )dt = -0.5


11/13

relacion-de-senales


la expresión (4.128), obtenemos el D.S.F. de la autocorrelación: ∞ ∞ 1 Rxx (τ ) = T0 ∫ < T0 > ∑ m = −∞ c(m)e j 2πm

(t +τ ) / T0 ∑ c ( n )e n = −∞ * − j 2πnt / T0 = ∞ ∞ 1 = ∑ m = −∞ c * (m)e j 2πmτ / T0 ∑ c ( n) T ∫ e n = −∞ 0 j 2π ( m −

n )t / T0 < T0 > = (4.129) ∞ = ∑ c ( m)c ( m )e m = −∞ * j 2πmτ / T0 = ∞ ∑ c ( m) 2 = e j 2πmτ / T0 m = −∞Ya que la

correlación de los fasores a las frecuencias m/T0 y n/T0 es cero salvo cuando n = m.La expresión (4.129) confirma

que la autocorrelación de una señal periódica es también periódica delmismo periodo, y que los coeficientes de su

D.S.F. pierden la información de fase.Tomando transformada de Fourier, se obtiene la Densidad Espectral de

Potencia: ∞ ∑ c (m) 2 S xx ( f ) = δ ( f − m / T0 ) (4.34) m = −∞

___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.16Hallar la autocorrelación de una sinusoide. x(t ) = cos(2πf 0t + θ ) (4.130)Aplicando la fórmula de Euler, se

obtiene de forma inmediata el D.S.F. 1 jθ j 2πf 0 t 1 − jθ − j 2πf 0 t x(t ) = e e + e e (4.131) 2 2Identificando los

coeficientes del D.S.F. se obtiene:

32. 1 jθ 1 1 − jθ 1 c(1) =| e |= c(−1) =| e |= (4.132) 2 2 2 2y la función de autocorrelación es: 1 j 2πf 0t 1 − j 2πf 0t R

xx (τ ) = e + e = 4 4 (4.133) 1 = cos(2πf 0 t ) 2Tomando transformada de Fourier, se obtiene la densidad espectral

de Potencia 1 1 S xx ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f + f0 ) (4.134) 4 4

___________________________________________________________________________________EJEMPLO

4.16Se desea hallar el D.S.F. de la autocorrelación y la densidad espectral de potencia de la señal x(t)definida en el

EJEMPLO 4.14. Para resolver este ejercicio, podemos buscar el D.S.F. de la señal x(t) yaplicar (4.126), o bien hallar directamente el D.S.F. de la autocorrelación cuyo periodo está definidoen el EJEMPLO 4.14. Optaremos por el

primero de estos dos métodos. Para hallar el D.S.F. de laseñal x(t), elegimos como función básica xb (t ) = tΠ (t )Del

par de transformadas 1 d πfcos(πf ) − sin(πf ) tΠ (t ) ↔ sin c( f ) = − j 2π df − jπ 2 f 2Obtenemos los coeficientes

c(m) del D.S.F. 0 m=0 X b (m / T0 ) (−1) m c ( m) = = m≠0 T0 − j 2πm Por lo tanto el D.S.F. de la

autocorrelación es: 2 1 j 2πmτ R xx (τ ) = ∑ m≠0 e 2πm = ∞ 1 = ∑ 2π m =1 2 m2 cos(2πmτ )

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