Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométricafebrero 4, 2014 Cálculo/AnálisisProporcionamos ejercicios sobre criterios son útiles para el cálculo de algunos límites.

TEOREMA (Criterio de Stolz).  Sea una sucesión de números reales positivos estrictamente cre-

ciente, es decir con Entonces, para toda sucesión y para todo se verifica:

TEOREMA (Criterio de la media aritmética).  Sea sucesión de números reales y

Se verifica:

TEOREMA (Criterio de la media geométrica).  Sea una sucesión de números reales positivos y Se verifica:

1 Calcular

La sucesión es estrictamente creciente y tiene límite Sea Entonces,

TEORÍA

{ }yn

0 < < < ⋯ ,y1 y2 { } → +∞.yn { }xn

L ∈ R ∪ {−∞, +∞}

= L ⇒ = L.limn→+∞

−xn+1 xn

−yn+1 yn

limn→+∞

xn

yn

{ }an

L ∈ R ∪ {−∞, +∞}.

= L ⇒ = L.limn→+∞

an limn→+∞

+ + ⋯ +a1 a2 an

n

{ }an

L ∈ R ∪ {−∞, +∞}.

= L ⇒ = L.limn→+∞

an limn→+∞

⋯a1a2 an− −−−−−−−√n

L = .limn→+∞

+ + + ⋯ +12 22 32 n2

n3

SOLUCIÓN

=yn n3 +∞.= + + + ⋯ + .xn 12 22 32 n2

= = = .limn→+∞

−xn+1 xn

−yn+1 ynlim

n→+∞

(n + 1)2

(n + 1 −)3 n3lim

n→+∞

+ 2n + 1n2

3 + 3n + 1n2

13

Por el criterio de Stolz,

2 Calcular

Podemos escribir:

Ahora bien, como deducimos del criterio de la media aritmética que

3 Calcular

Se verifica por tanto como consecuencia del criterio de la media geométri-

ca.

4   A partir del criterio de Stolz, demostrar el criterio de la media aritmética.

Sea una sucesión con límite y consideremos las sucesiones

Es claro que se satisfacen para estas sucesiones las hipótesis del criterio de Stolz. Tenemos:

lo cual implica que

L = .13

L = ( + + + ⋯ + ) .limn→+∞

2n

32n

43n

n + 1n2

SOLUCIÓN

+ + + ⋯ + = .2n

32n

43n

n + 1n2

1 + + + ⋯ +23

43

n + 1n

n

= 1limn→+∞

n + 1n

L = 1.

L = .limn→+∞

2 ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅54

109

+ 1n2

n2

− −−−−−−−−−−−−−−−−−√n

SOLUCIÓN

= 1,limn→+∞

+ 1n2

n2L = 1

SOLUCIÓN

{ }an L ∈ R ∪ {−∞, +∞},

= , = n.xn ∑k=1

n

ak yn

= = = L,limn→+∞

−xn+1 xn

−yn+1 ynlim

n→+∞

an+1

1lim

n→+∞an

L = = .limn→+∞

xn

yn

limn→+∞

+ + ⋯ +a1 a2 an

n