Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométricafebrero 4, 2014 Cálculo/AnálisisProporcionamos ejercicios sobre criterios son útiles para el cálculo de algunos límites.
TEOREMA (Criterio de Stolz). Sea una sucesión de números reales positivos estrictamente cre-
ciente, es decir con Entonces, para toda sucesión y para todo se verifica:
TEOREMA (Criterio de la media aritmética). Sea sucesión de números reales y
Se verifica:
TEOREMA (Criterio de la media geométrica). Sea una sucesión de números reales positivos y Se verifica:
1 Calcular
La sucesión es estrictamente creciente y tiene límite Sea Entonces,
TEORÍA
{ }yn
0 < < < ⋯ ,y1 y2 { } → +∞.yn { }xn
L ∈ R ∪ {−∞, +∞}
= L ⇒ = L.limn→+∞
−xn+1 xn
−yn+1 yn
limn→+∞
xn
yn
{ }an
L ∈ R ∪ {−∞, +∞}.
= L ⇒ = L.limn→+∞
an limn→+∞
+ + ⋯ +a1 a2 an
n
{ }an
L ∈ R ∪ {−∞, +∞}.
= L ⇒ = L.limn→+∞
an limn→+∞
⋯a1a2 an− −−−−−−−√n
L = .limn→+∞
+ + + ⋯ +12 22 32 n2
n3
SOLUCIÓN
=yn n3 +∞.= + + + ⋯ + .xn 12 22 32 n2
= = = .limn→+∞
−xn+1 xn
−yn+1 ynlim
n→+∞
(n + 1)2
(n + 1 −)3 n3lim
n→+∞
+ 2n + 1n2
3 + 3n + 1n2
13
Por el criterio de Stolz,
2 Calcular
Podemos escribir:
Ahora bien, como deducimos del criterio de la media aritmética que
3 Calcular
Se verifica por tanto como consecuencia del criterio de la media geométri-
ca.
4 A partir del criterio de Stolz, demostrar el criterio de la media aritmética.
Sea una sucesión con límite y consideremos las sucesiones
Es claro que se satisfacen para estas sucesiones las hipótesis del criterio de Stolz. Tenemos:
lo cual implica que
L = .13
L = ( + + + ⋯ + ) .limn→+∞
2n
32n
43n
n + 1n2
SOLUCIÓN
+ + + ⋯ + = .2n
32n
43n
n + 1n2
1 + + + ⋯ +23
43
n + 1n
n
= 1limn→+∞
n + 1n
L = 1.
L = .limn→+∞
2 ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅54
109
+ 1n2
n2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−√n
SOLUCIÓN
= 1,limn→+∞
+ 1n2
n2L = 1
SOLUCIÓN
{ }an L ∈ R ∪ {−∞, +∞},
= , = n.xn ∑k=1
n
ak yn
= = = L,limn→+∞
−xn+1 xn
−yn+1 ynlim
n→+∞
an+1
1lim
n→+∞an
L = = .limn→+∞
xn
yn
limn→+∞
+ + ⋯ +a1 a2 an
n
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