Teorema de Raabe: Sea an una sucesion tal que an > 0 para todo n (o a partir un lugar)

Si existen r > 1 y N tales que

n

(1 − an+1

an

)> r para todo n ≥ N

entonces∑

an converge

Si existe N tal que

n

(1 − an+1

an

)≤ 1 para todo n ≥ N

entonces∑

an no converge

Demostracion:

Supongamos que existen r > 1 y N tales que

n

(1 − an+1

an

)> r para todo n ≥ N

Entonces n(an − an+1) ≥ ran para todo n ≥ N y de ahı:

n∑k=N

k(ak − ak+1) ≥ rn∑

k=N

ak

n∑k=N

kak −n∑

k=N

kak+1 ≥ rn∑

k=N

ak

n∑k=N

kak −n+1∑

k=N+1

(k − 1)ak ≥ rn∑

k=N

ak

NaN +n∑

k=N+1

kak −n∑

k=N+1

(k − 1)ak − nan+1 ≥ rn∑

k=N

ak

NaN +n∑

k=N+1

(kak − (k − 1)ak) − nan+1 ≥ rn∑

k=N

ak

NaN +n∑

k=N+1

ak − nan+1 ≥ r

n∑k=N

ak

NaN +n∑

k=N+1

ak ≥ rn∑

k=N

ak

NaN ≥ r

n∑k=N

ak −n∑

k=N+1

ak

NaN ≥ raN + (r − 1)n∑

k=N+1

ak

NaN ≥ (r − 1)n∑

k=N+1

ak

NaNr − 1

≥n∑

k=N+1

ak

1

Por lo tanto, la sucesionn∑

k=N+1

ak esta acotada y en consecuencia la serie es convergente.

Si existe N tal que

n

(1 − an+1

an

)≤ 1 para todo n ≥ N

Entonces n(an − an+1) ≤ an para todo n ≥ N y de ahı:

n∑k=N

k(ak − ak+1) ≤n∑

k=N

ak

NaN +n∑

k=N+1

ak − nan+1 ≤n∑

k=N

ak

NaN + aN − nan+1 ≤ 0

(N + 1)aNn

≤ an+1

Por lo tanto, dado que la serie∑

1n

es divergente, la serie∑

an tambien es divergente.

De la demostracion del primer apartado del teorema anterior deducimos que si

n

(1 − an+1

an

)> r > 1, para todo n ≥ N

entoncesn∑

k=N+1

ak ≤NaNr − 1

. Esto demuestra el siguiente corolario.

Corolario Sea an una sucesion de terminos no negativos, r > 1 y N tales que

n

(1 − an+1

an

)> r > 1, para todo n ≥ N

Sea S =∞∑

n=n0

an y SN =N∑

n=n0

an. Entonces S − SN ≤ NaNr − 1

.

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