Ejercicios sobre lımites de funciones(tomados del libro “Problemas y ejercicios de analisis matematico”, de B.Demidovich)

Al buscar el lımite de la razon de dos polinomios enteros respecto a x, cuando x → ∞, es convenientedividir previamente los dos terminos de la razon por xn, donde n es la mayor potencia de estos polinomios.En muchos casos puede emplearse un procedimiento analogo, cuando se trata de fracciones que contienenexpresiones irracionales.

EJEMPLO 1.

limx→∞

(2x− 3)(3x+ 5)(4x− 6)

3x3 + x− 1= limx→∞

(2− 3x )(3 + 5

x )(4− 6x )

3 + 1x2 − 1

x3

=2 · 3 · 4

3= 8

EJEMPLO 2.

limx→∞

x3√x3 + 10

= limx→∞

1

3

√1 + 10

x3

= 1

1.Halle los siguientes lımites:

a limx→∞

(x+ 1)2

x2 + 1

b limx→∞

1000x

x2 − 1

c limx→∞

x2 − 5x+ 1

3x+ 7

d limx→∞

2x2 − x+ 3

x3 − 8x+ 5

e limx→∞

(2x+ 3)3(3x− 2)2

x5 + 5

f limx→∞

2x2 − 3x− 4√x4 + 1

g limx→∞

2x+ 3

x+ 3√x

h limx→∞

x2

10 + x√x

i limx→∞

3√x2 + 1

x+ 1

1

j limx→∞

√x√

x+√x+√x

Si P (x) y Q(x) son polinomios enteros y P (a) 6= 0 o Q(a) 6= 0, el lımite de la fraccion racional

limx→∞

P (x)

Q(x)

se halla directamente.

Si P (a) = Q(a) = 0, se recominda simplificar la fraccion P (x)Q(x) ,por el binomio x− a, una o varias veces.

EJEMPLO 3.

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x+ 2= limx→2

(x− 2)(x+ 2)

(x− 2)(x− 1)= limx→2

x+ 2

x− 1= 4

2.Halle los siguientes lımites:

a limx→−1

x3 + 1

x2 + 1

b limx→5

x2 − 5x+ 10

x2 − 25

c limx→−1

x2 − 1

x2 + 3x+ 2

d limx→2

x2 − 2x

x2 − 4x+ 4

e limx→1

x3 − 3x+ 2

x4 − 4x+ 3

f limx→a

x2 − (a+ 1)x+ a

x3 − a3

g limh→0

(x+ h)3 − x3

h

h limx→1

(1

1− x− 3

1− x3

)Las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos, a una forma racional introduciendo una nuevavariable.

EJEMPLO 4. Hallar

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1.

SOLUCION.Suponiendo

1 + x = y6

tenemos:

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1= limy→1

y3 − 1

y2 − 1= limy→1

y2 + y + 1

y + 1=

3

2.

3.Halle los siguientes lımites:

2

a limx→1

√x− 1

x− 1.

b limx→64

√x− 8

3√x− 4

.

c limx→1

3√x− 1

4√x− 1

.

d limx→1

3√x2 − 2 3

√x+ 1

(x− 1)2.

Otro procedimiento para hallar el lımite de una expresion irracional es el de trasladar la parte irracionaldel numerador al denominador o, al contrario, del denominador al numerador.

EJEMPLO 5.

limx→a

√x−√a

x− a= limx→a

x− a(x− a)(

√x+√a)

= limx→a

1√x+√a

=1

2√a

(a > 0).

4.Halle los siguientes lımites:

a limx→7

2−√x− 3

x2 − 49.

b limx→8

x− 83√x− 2

.

c limx→1

√x− 1

3√x− 1

.

d limx→4

3−√

5 + x

1−√

5− x.

e limx→0

√1 + x−

√1− x

x.

f limh→0

√x+ h−

√x

h.

g limh→0

3√x+ h− 3

√x

h.

h limx→3

√x2 − 2x+ 6−

√x2 + 2x− 6

x2 − 4x+ 3.

i limx→+∞

(√x+ a−

√x).

j limx→+∞

[√x(x+ a)− x].

k limx→+∞

(√x2 − 5x+ 6− x).

l limx→+∞

x(√x2 + 1− x).

m limx→∞

(x+3√

1− x3).

3

Al hacer el calculo de los lımites, en muchos casos se emple la formula

limx→0

sinx

x= 1

y se supone que se sabe que limx→a

sinx = sin a y limx→a

cosx = cos a.

EJEMPLO 6.

limx→0

sin 5x

x= limx→0

(sin 5x

5x· 5)

= 1 · 5 = 5.

5.Halle los siguientes lımites:

a limx→2

sinx

x.

b limx→∞

sinx

x.

c limx→0

sin 3x

x.

d limx→0

sin 5x

sin 2x.

e limx→1

sinπx

sin 3πx.

f limn→∞

(n sin

π

n

).

g limx→0

1− cosx

x2.

h limx→a

sinx− sin a

x− a.

i limx→a

cosx− cos a

x− a.

j limx→−2

tanπx

x+ 2.

k limh→0

sin(x+ h)− sinx

h.

l limx→π

4

sinx− cosx

1− tanx.

m limx→0

x sin1

x.

n limx→∞

x sin1

x.

n limx→1

(1− x) tanπx

2.

o limx→0

cot 2x cot(π

2− x)

.

p limx→π

1− sin x2

π − x.

4

q limx→π

3

1− 2 cosx

π − 3x.

r limx→0

cosmx− cosnx

x2.

s limx→0

tanx− sinx

x3.

t limx→0

arcsinx

x.

u limx→0

arctan 2x

sin 3x.

v limx→1

1− x2

sinπx.

w limx→0

x− sin 2x

x+ sin 3x.

x limx→1

cos πx21−√x

.

y limx→0

1−√

cosx

x2.

z limx→0

√1 + sinx−

√1− sinx

x.

Al hallar los lımites de la forma

limx→a

[ϕ(x)]ψ(x) = C, (3)

debe tenerse en cuenta que:

1) si existen los lımites finitos

limx→a

ϕ(x) = A y limx→a

ψ(x) = B,

se tiene que C = AB ;

2) si limx→a

ϕ(x) = A 6= 1 y limx→a

ψ(x) = ±∞, el problema de hallar el lımite (3) se resuelve directamente;

3) si limx→a

ϕ(x) = 1 y limx→a

ψ(x) = ∞, se supone que ϕ(x) = 1 + α(x), donde α(x) → 0,cuando x → a y,

por consiguiente,

C = limx→a

[[1 + α(x)]1

α(x) ]α(x)ϕ(x) = elimx→a

α(x)ψ(x)= e

limx→a

[ϕ(x)− 1]ψ(x),

siendo e = 2, 718... el numero de Neper.

EJEMPLO 7. Hallar

limx→0

(sin 2x

x

)1+x

.

SOLUCION. Aquı

limx→0

(sin 2x

x

)= 2 y lim

x→0(1 + x) = 1;

por consiguiente,

5

limx→0

(sin 2x

x

)1+x

= 21 = 2.

EJEMPLO 8. Hallar

limx→∞

(x+ 1

2x+ 1

)x2

.

SOLUCION. Tenemos:

limx→∞

x+ 1

2x+ 1= limx→∞

1 + 1x

2 + 1x

=1

2y limx→∞

x2 = +∞.

Por lo cual,

limx→∞

(x+ 1

2x+ 1

)x2

= 0.

EJEMPLO 9.Hallar

limx→∞

(x− 1

x+ 1

)x.

SOLUCION. Tenemos:

limx→∞

x− 1

x+ 1= limx→∞

1− 1x

1 + 1x

= 1.

Haciendo las transformaciones que se indicaron mas arriba, obtendremos

limx→∞

(x− 1

x+ 1

)x= limx→∞

[1 +

(x− 1

x+ 1− 1

)]x= limx→∞

[[1 +

(−2

x+ 1

)] x+1−2

]− 2xx+1

= elimx→∞−2xx+1 = e−2.

En este caso concreto, puede hallarse el lımite con mas facilidad, sin recurrir al procedimiento general:

limx→∞

(x− 1

x+ 1

)x= limx→∞

(1− 1

x

)x(1 + 1

x

)x =

limx→∞

[(1− 1

x

)−x]−1limx→∞

(1 +

1

x

)x =e−1

e= e−2.

En este caso, es conveniente recordar que:

limx→∞

(1 +

k

x

)x= ek.

6.Halle los siguientes lımites:

a limx→0

(2 + x

3− x

)x.

b limx→1

(x− 1

x2 − 1

)x+1

.

c limx→∞

(1

x2

) 2xx+1

.

d limx→0

(x2 − 2x+ 3

x2 − 3x+ 2

) sin xx

.

e limx→∞

(x2 + 2

2x2 + 1

)x2

.

6

f limn→∞

(1− 1

n

)n.

g limx→∞

(1 +

2

x

)x.

h limx→∞

(x

x+ 1

)x.

i limx→∞

(x− 1

x+ 3

)x+2

.

j limn→∞

(1 +

x

n

)n.

k limx→0

(1 + sinx)1x .

l limx→0

(cosx)1x .

m limx→0

(cosx)1x2 .

Al calcular los lımites que se dan a continuacion, es conveniente saber que, si existe y es positivo ellimx→a

f(x), se tiene que:

limx→a

[ln f(x)] = ln[ limx→a

f(x)].

EJEMPLO 10.Demostrar que

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.(*)

SOLUCION. Tenemos:

limx→0

ln(1 + x)

x= limx→0

[ln(1 + x)1x ] = ln e = 1.

La formula (*) se emplea, frecuentemente, en la resolucion de problemas.

7.Halle los siguientes lımites:

a limx→∞

[ln(2x+ 1)− ln(x+ 2)].

b limx→0

lg(1 + 10x)

x.

c limx→0

(1

xln

√1 + x

1− x

).

d limx→+∞

x[ln(x+ 1)− lnx].

e limx→0

ln(cosx)

x2.

f limx→0

ex − 1

x.

g limx→0

ax − 1

x(a > 0).

7

h limn→∞

n( n√a− 1) (a > 0).

i limx→0

eax − ebx

x.

j limx→0

1− e−x

sinx.

k limx→0

sinhx

x.

l limx→0

coshx− 1

x2.

8.Halle los siguientes lımites laterales:

a limx→−∞

x√x2 + 1

.

b limx→+∞

x√x2 + 1

.

c limx→−∞

tanh(x), donde tanh(x) = ex−e−xex+e−x .

d limx→+∞

tanh(x), donde tanh(x) = ex−e−xex+e−x .

e limx→−0

1

1 + e1x

.

f limx→+0

1

1 + e1x

.

g limx→−∞

ln(1 + ex)

x.

h limx→+∞

ln(1 + ex)

x.

i limx→−0

| sinx|x

.

j limx→+0

| sinx|x

.

k limx→−0

x− 1

|x− 1|.

l limx→+0

x− 1

|x− 1|.

m limx→−2

x

x− 2.

n limx→+2

x

x− 2.

8