Teoria cuantica

Al descubrir la cuantificación de la radiación energética se operó, en los comienzos del siglo XX, un cambio radical en el enfoque de la Física.

Varios son los principales hechos que aportaron claridad a la nueva formulación cuántica, hechos cuyo estudio va asociado a los nombres de Planck, Einstein y Compton.

Radiación del cuerpo negro

Es sabido que cualquier sustancia emite radiación electromagnética, incluso los cuerpos ‘fríos”; aunque en este caso, al ser mayor la energía que absorben del medio que la energía que emiten, se calientan y aumenta su temperatura.

Las características de dicha radiación dependen de la naturaleza de la sustancia y de su temperatura (las sustancias emiten más cuando están calientes que cuando están frías).

A su vez, la capacidad de “emitir” que posee un cuerpo está directamente ligada a su capacidad de absorber; por lo que un cuerpo es buen emisor si es buen absorbente, y viceversa.

El cuerpo negro es el mejor emisor de radiación. Y se entiende por “cuerpo negro” cualquier superficie que absorbe toda radiación que incide sobre ella.

Si disponemos de un objeto hueco y hacemos un agujero en cualquiera de sus paredes, podemos afirmar que se aproxima bastante al concepto ideal de “superficie de cuerpo negro” o “cuerpo negro”. Dicha cavidad absorbería, casi por completo, cualquier radiación incidente en el orificio.

Sólo una pequeña fracción de dicha radiación será capaz de “escapar” por el orificio de entrada. Esa radiación emergente es la que nos servirá para estudiar la radiación del cuerpo negro.

En el gráfico de abajo, se indica la intensidad de radiación de un “cuerpo negro” en función de la longitud de onda, y para tres temperaturas distintas.

El físico alemán Wilhelm Wien (1893) estudió estas curvas de emisión de energía y estableció la ley experimental denominada “ley de desplazamiento de Wien”,

max. T= Cte = 0,29 cm °K

que expresa de modo cuantitativo el hecho, comprobado experimentalmente, de que el “pico “del espectro del cuerpo negro se desplaza, al aumentarla temperatura, hacia las longitudes de onda más cortas “.

Así, el hierro al irse calentando pasa del rojo oscuro al blanco.

Mediante la ley experimental de Wien se pueden calcular, aproximadamente, las temperaturas superficiales de las estrellas estudiando sus radiaciones.

Con el avance que supuso esta ley que comentamos, deducida a partir de la teoría clásica de Maxwell, se creyó que sería fácil explicar la forma de las curvas características de emisión.

Los intentos resultaron fallidos. Rayleigh-Jeans hicieron un cálculo experimental de la densidad de

energía radiante de longitud de onda , emitida por un cuerpo a determinada temperatura

deduciendo la ecuación: 48),( KTTf

Los valores calculados a partir de esta expresión concordaban con los resultados experimentales para las radiaciones de longitudes de ondas largas; es decir, tendían a cero. Pero para las longitudes de ondas cortas tendía a infinito,cosa ilógica, denominándose esta contradicción la “catástrofe del ultravioleta”

El 19 de octubre de 1900, Max Planck anunció que había encontrado una expresión matemática para representar las curvas experimentales de las que venimos hablando:

1

8 4

KT

h

e

hE

siendo:

E (Energía radiada en función de la longitud de onda)

K = 1,380. 10-23 J/ºK(constante de Boltzmann)

h = 6,625.10-34 J.seg. (constante de Planck)

(frecuencia)

Para llegar a este resultado, tuvo que dejar de lado algo básico en electromagnetismo clásico, como era la idea de que una partícula, al ser acelerada, emitía una radiación continua.

En contraposición, emitió su hipótesis:

“El contenido energético de un oscilador (carga en movimiento periódico) de frecuencia , es decir

su energía cinética y potencial en cualquier momento, sólo puede ser múltiplo de la magnitud h.

(“h” es la constante de Planck.”). Así pues, la energía total de un oscilador está cuantificada y vale E

= nh (siendo n un nº entero)

Efecto fotoeléctrico

Consiste en la emisión de electrones que se produce en los metales bajo la acción de la luz. Se comenzó el estudio de este fenómeno a partir de una curiosa observación de Hertz sobre cómo saltaba más fácilmente la chispa eléctrica entre dos esferillas metálicas, conectadas a un circuito, cuando estaban pulimentadas. Y se observó que la radiación ultravioleta (radiación de frecuencia elevada) era capaz de arrancar cargas negativas de las superficies metálicas al incidir sobre ellas (en el caso de los metales alcalinos, basta la radiación visible).

Estas cargas negativas “arrancadas”, son atraídas por el ánodo con lo que aparece la llamada “corriente fotoeléctrica”. En 1897, Thomson identificó estas cargas como electrones.

A continuación resumimos los hechos conocidos experimentalmente hasta el momento en que Einstein emitió su teoría.

• Al incidir sobre el cátodo un haz de luz monocromático, el número de electrones emitidos, por unidad de tiempo y área, es proporcional a la intensidad de la luz

• La energía cinética de cada uno de los electrones extraídos del cátodo vale 2

evm2

1

Con un valor de V (ver figura) suficientemente elevado se logra que todos los electrones emitidos por el metal lleguen al ánodo, con lo que la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo (puede medirse con el amperímetro A).

A partir de ese momento, aunque siga aumentando el voltaje V, la intensidad no varía.

Cambiando la polaridad se logra que la placa sobre la que incide la luz sea positiva.

Ahora, al tener polaridad negativa la placa enfrentada a la superficie metálica sobre la que incide la luz, los electrones extraídos del metal son repelidos.

No obstante, el amperímetro detectará paso de corriente, pues alguno de los electrones arrancados son capaces de “viajar” hasta la placa negativa; lo harán aquellos cuya energía cinética Ec sea igual o

mayor que Vf (potencial de frenado) Ec e .Vf (e es la carga del electrón)

Si vamos aumentando poco a poco el voltaje Vf (unos pocos voltios), se apreciará que para un voltaje V0 (potencial de detención) el amperímetro no apreciará paso de corriente.

Entonces: 0

2

máx eVmv2

1

De aquí se confirmó experimentalmente un resultado sorprendente: dada una determinada luz que incide sobre el metal, la energía cinética máxima de los electrones no es función de la intensidad de dicha luz.

Leyes de la emisión fotoeléctrica

1. Para un metal y una frecuencia de radiación incidente dados, la cantidad de fotoelectrones emitidos es directamente proporcional a la intensidad de luz incidente

2. Para cada metal dado, existe una cierta frecuencia mínima de radiación incidente debajo de la cual ningún fotoelectrón puede ser emitido. Esta frecuencia se llama frecuencia de corte, también conocida como "Frecuencia Umbral".

3. Por encima de la frecuencia de corte, la energía cinética máxima del fotoelectrón emitido es independiente de la intensidad de la luz incidente, pero depende de la frecuencia de la luz incidente.

4. La emisión del fotoelectrón se realiza instantáneamente, independientemente de la intensidad de la luz incidente. Este hecho se contrapone a la teoría Clásica: la Física Clásica esperaría que existiese un cierto retraso entre la absorción de energía y la emisión del electrón, inferior a un nanosegundo

Interpretación del fenómeno fotoeléctrico con la hipótesis de Einstein

En 1905, Einstein sugirió la explicación de estos fenómenos teniendo en cuenta la teoría que Planck propuso cinco años antes.

Planck afirmó que la emisión de energía producida por un cuerpo caliente se hacía de modo

discontinuo, en «cuantos» h; pero mantuvo el que la propagación se hacía de forma clásica con ondas electromagnéticas cuyos frentes de onda llevaban distribuida de forma continua y uniforme la energía.

Einstein avanzó más al afirmar que la luz no sólo se emitía, sino también se propagaba en forma de “cuantos’

El frente de onda porta la energía en “paquetes”; es decir, la energía está localizada en determinadas regiones del frente de onda.

(Claro está que a nivel macroscópico parecerá un todo continuo, tanto para observaciones como para medidas.)

Por eso para muchos problemas de óptica (macroscópicos) sigue siendo válida la teoría clásica de la luz; pero no lo es para los problemas de interacción luz-partículas materiales.

En resumen, cuando una onda electromagnética (clásica) choca con una partícula, ésta sólo puede captar la energía correspondiente a la zona del frente de onda que sufrió la interacción; y la energía cinética del electrón depende de la intensidad de la luz. Pero con la hipótesis de Einstein, el electrón emitido ha recibido su energía de un solo “cuanto de luz” (el cual desaparece en el choque), de modo que aunque aumentemos la intensidad de la luz (número de fotones incidentes en la unidad de tiempo) permanecerá invariable la energía que absorbe cada electrón.

Si un “cuanto” o fotón con suficiente energía h, choca con un electrón, éste puede ser arrancado del metal y además de forma instantánea.

Aumentar la intensidad de la luz incidente implica aumentar el nº de electrones “arrancados” del metal pero sin que estos aumenten su energía cinética

Si es el trabajo de extracción o función trabajo (Energía con la que los electrones de los

metales están ligados al núcleo) , la luz incidente deberá tener mayor energía que para

sacar al electrón del pozo de potencial en el que se encuentra dentro del metal = h.0 (0 es la denominada frecuencia umbral o frecuencia mínima de la radiación luminosa que incide sobre el metal,por debajo de la cual no se produce efecto fotoeléctrico, es decir no existe emisión de electrones . Depende de la naturaleza del metal )

Cuanto más ligados al núcleo estén los electrones, tanto mayor será la frecuencia umbral y

por tanto también será mayor .

La energía de la luz incidente que exceda la energía de extracción será la que proporcione al electrón su energía cinética, tenemos por tanto la ecuación fotoeléctrica de Einstein:

0

2

máxe hνvm2

1hν

( Energía de la luz incidente=Ec. Máx del e- + trabajo de extracción)

Determinación experimental de h

Podemos obtener el valor del potencial de detección e

hνν

e

hV 0

0

y a partir de su gráfica

experimental deducir el valor de h

Bastaría con calcular la pendiente de la recta que se obtiene con los datos experimentales.

La ecuación fotoeléctrica puede expresarse de la forma:

0λ

chEc

ch

Dualidad onda-corpúsculo.

El efecto fotoeléctrico fue uno de los primeros efectos físicos que puso de manifiesto la dualidad onda-corpúsculo característica de la mecánica cuántica. La luz se comporta como ondas pudiendo producir interferencias y difracción como en el experimento de la doble rendija de Thomas Young, pero intercambia energía de forma discreta en paquetes de energía, fotones, cuya energía depende de la frecuencia de la radiación electromagnética. Las ideas clásicas sobre la absorción de radiación electromagnética por un electrón sugerían que la energía es absorbida de manera continua. Este tipo de explicaciones se encontraban en libros clásicos como el libro de Millikan sobre los Electrones o el escrito por Compton y Allison sobre la teoría y experimentación con rayos X. Estas ideas fueron rápidamente reemplazadas tras la explicación cuántica de Albert Einstein.

La dualidad onda-corpúsculo, también llamada dualidad onda-partícula, postula que todas las partículas presentan propiedades de onda y partícula. Más específicamente, como partículas pueden presentar interacciones muy localizadas y como ondas exhiben el fenómeno de la interferencia.

De acuerdo con la física clásica existen diferencias entre onda y partícula. Una partícula ocupa un lugar en el espacio y tiene masa mientras que una onda se extiende en el espacio caracterizándose por tener una velocidad definida y masa nula.

Actualmente se considera que la dualidad onda-partícula es un “concepto de la mecánica cuántica según el cual no hay diferencias fundamentales entre partículas y ondas: las partículas pueden comportarse como ondas y viceversa”. (Stephen Hawking, 2001)

Éste es un hecho comprobado experimentalmente en múltiples ocasiones. Fue introducido por Louis de Broglie, físico francés de principios del siglo XX. En 1924 en su tesis doctoral propuso la existencia de ondas de materia, es decir que toda materia tenía una onda asociada a ella. Esta idea revolucionaria, fundada en la analogía con que la radiación tenía una partícula asociada, propiedad ya demostrada entonces, no despertó gran interés, pese a lo acertado de sus planteamientos, ya que no tenía evidencias de producirse. Sin embargo, Einstein reconoció su importancia y cinco años después, en 1929, De Broglie recibió el Nobel en Física por su trabajo.

Su trabajo decía que la longitud de onda de la onda asociada a la materia era

donde es la constante de Planck y es el momento lineal de la partícula de materia.

En resumen: la onda electromagnética interacciona con la materia intercambiando energía y cantidad de movimiento (Compton) como si fuera una partícula de masa nula (fotón). Las partículas materiales tienen el comportamiento ondulatorio propio de una onda que se propaga con velocidad de grupo igual a la de la partícula, y con longitud de onda dada por la expresión anterior.

El comportamiento ondulatorio de los electrones (partícula material) lo confirmaron los experimentos de Stern-Gerlach. De una manera sucinta, cuando un electrón llega una rendija cuyas dimensiones sean del orden de la longitud de onda del electrón, el electrón se difracta. La figura de difracción indica una distribución muy determinada de intensidad de onda difractada; pero el electrón no se divide en trozos al pasar por la rendija, sino que pasa entero. Pongamos un ejemplo para entender el fenómeno de difracción del electrón. En la figura tenemos una rendija a través de la cual pasa un electrón. Después de pasar por la rendija, el electrón de detecta en una pantalla. Para un solo electrón no podemos predecir a qué punto de la pantalla va a llegar. Pero si enviamos un haz de electrones, aun cuando no sepamos donde incidirá sobre la pantalla cada electrón, podemos determinar la distribución de electrones sobre la pantalla, que corresponde a una distribución de intensidad de onda difractada sobre la pantalla. Es decir conocemos la probabilidad de que un electrón caiga en un punto determinado de la pantalla. Principio de Incertidumbre: (enunciado por Werner Heisenberg en 1927)

Es imposible conocer, simultáneamente, la posición y la cantidad de movimiento de una partícula con una precisión sin límites.

En física sólo se pueden medir aquellas cantidades que tienen un significado real. Si pudiéramos enfocar un "supermicroscopio" sobre un electrón en un átomo y verlo moviéndose en una órbita, podríamos aceptar que existen tales órbitas. Ahora bien, vamos a demostrar que es fundamentalmente imposible hacer tal observación (aun con el "más" ideal de los instrumentos cuya construcción pudiera concebirse). Por consiguiente afirmamos que tales órbitas no tienen significado físico. Observamos a la Luna moviéndose en torno a la Tierra mediante la luz solar que refleja hacia nosotros. Ahora bien, la luz comunica cantidad de movimiento lineal a un objeto del cual se refleja. En principio, esta luz reflejada debiera alterar el curso de la Luna en su órbita, aunque con poco que se reflexione al respecto salta a la vista que este efecto perturbador es insignificante. Para los electrones, la situación es totalmente diferente. En este caso también sólo podemos esperar "ver" al electrón si le dirigimos luz, u otra partícula, para que nos la refleje. En este caso, el retroceso que experimenta el electrón cuando la luz (el fotón) rebota en él altera por completo el movimiento del electrón de una manera tal que no puede evitarse y ni siquiera puede tomarse en cuenta para reconstruir el movimiento del electrón. Si existieran órbitas como las imaginadas por Bohr, se dislocarían por completo al tratar de verificar su existencia. Bajo estas circunstancias, preferirnos decir que es la función de probabilidad, y no las órbitas, lo que representa la realidad física. Nuestra imposibilidad inherente de describir los movimientos de los electrones a la manera clásica se expresa mediante el principio de incertidumbre. Es decir que mientras mejor conozcamos la posición de una partícula menos sabremos de su cantidad de movimiento (velocidad).

Matemáticamente se expresa: h

x. p4

donde x y p son las incertidumbres en las

medidas de la posición y el momento lineal de la partícula.

Problemas de Física.- Efecto fotoeléctrico. Dualidad onda-corpúsculo

1.- a) ¿El efecto fotoeléctrico contradice la teoría ondulatoria de la luz? Razone la respuesta (1,5 Puntos).

b) ¿Qué es un fotón? (0,5 puntos).

2.- Describir el efecto fotoeléctrico y señalas aplicaciones del mismo.

3.- Indica si es verdadero o falso que, si fo es la frecuencia umbral de un metal puro, el efecto

fotoeléctrico sólo se presenta si: a) < 0 b) f < f0; c) f = f0.

4.- Si se duplica la frecuencia de la radiación incidente sobre un metal, ¿se duplicará la velocidad de los electrones foto emitidos?

5.- Cite los principales hechos experimentales relacionados con el efecto fotoeléctrico y diga cómo los explica la teoría cuántica.

6.- Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: la emisión de fotoelectrones en una célula fotoeléctrica depende:

a) De la intensidad de la luz incidente.

b) De la frecuencia de la luz incidente.

c) De la distancia entre los electrodos.

d) De la naturaleza de la célula.

7.- Explica cómo la medida de la tensión negativa Vmín a la cual dejan de llegar los electrones al electrodo negativo, para cada frecuencia, permite conocer la energía máxima de los fotoelectrones emitidos. ¿Cuánto vale dicha energía?

8.- Calcula la energía de un fotón:

a) De luz infrarroja de longitud de onda 2.10-6m

b) De luz ultravioleta de Longitud de onda 2.10-7 m.

9.- Si la frecuencia umbral para la plata es 1,13.1015 Hz, calcular la longitud de onda que debe tener una radiación incidente sobre dicho metal para que los fotoelectrones emitidos tengan una velocidad de 108 cm/s.

10.- ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos por el Mg cuando sobre este incide una radiación de longitud de onda de 200 Å (la función de trabajo del Mg es 3,7 eV )

11.- Al llegar a una superficie una radiación arranca electrones con una velocidad de 105 m/s. Si dicha radiación tiene una longitud de onda de 1,5.10-6 m, calcular el trabajo mínimo de extracción y la frecuencia umbral del metal.

12.- Al ser iluminado con luz de frecuencia 0,9.l015 Hz un metal emite electrones que pueden detenerse con un potencial de frenado de 0,6 V y. Si se utiliza luz de long. de onda de 2,38.l0-7 m, dicho potencial, pasa a ser 2,1 V. Calcular la funci6n de trabajo del metal y el valor de la constante de Plank.

13.- Se ilumina un metal cuyo trabajo de extracción es de 3,0.10-19 J, con luz visible de longitud de onda 5,0.10-7 m. ¿A qué potencial negativo Vmín dejan de llegar electrones al electrodo negativo? ¿Cuál es la frecuencia umbral?

14.- Se ilumina un metal con radiación de cierta longitud de onda. Si el trabajo de extracción es de 3 eV y la diferencia de potencial que hay que aplicar para que no lleguen los electrones al cátodo es de 2 V calcula:

a) La velocidad máxima de los electrones emitidos.

b) La longitud de onda de la radiación incidente.

c) La frecuencia umbral para extraer electrones de este metal.

d) ¿Qué potencial será necesario para detener los electrones si la frecuencia de la radiación se duplica?

15.- Si la energía de extracción de un metal debida al efecto fotoeléctrico es de 3,7 eV, determine:

a) La velocidad máxima con que son emitidos los electrones de la superficie del metal cuando incide sobre ella una radiación UV (ultravioleta) de una longitud de onda de 300 nm.( 1,5 puntos)

b) La máxima longitud de onda que tiene que tener dicha radiación, para que sean emitidos los electrones del metal. (1,5 puntos)

16.-El umbral fotoeléctrico para cierto metal es de 2,9 eV. Determine

a) La frecuencia a partir de la cual un haz de luz podrá arrancar electrones de ese material. (1,5 puntos)

b) La energía cinética máxima, expresada en julios, que podrán tener los electrones arrancados por otro haz cuya longitud de onda sea 2. 10-7 m. (1,5 puntos)

17.- ¿En qué consiste la dualidad onda-corpúsculo. Escriba y comente la ecuación que la describe. (2 puntos)

18.- Razone las siguientes afirmaciones: a) Los electrones y otras partículas tienen propiedades de ondas.

b) Es imposible hacer determinaciones exactas de la coordenada de una partícula y de la correspondiente componente de la cantidad de movimiento al mismo tiempo. (2 puntos)

19.- Si el trabajo de extracción de la superficie de un determinado material es de E = 2,07 eV:

a) ¿En qué rango de longitudes de onda del espectro visible puede utilizarse este material en células fotoeléctricas ? Las longitudes de onda de la luz visible están comprendidas entre 380 nm y 775 nm (2 puntos).

b) Calcule la velocidad de extracción de los electrones emitidos para una longitud de onda de 400 nm (1 punto).

20.- ¿En qué consiste el efecto fotoeléctrico? Explique su origen y sus principales características. Represente la variación de la energía cinética de los fotoelectrones emitidos en función de la frecuencia de la señal luminosa incidente (2 puntos).