Cuaderno de Apoyo

OPERACIONES COMBINADAS

Colegio Internacional Pinosierra

Departamento de Matemticas

Cuaderno de apoyo y taller de matemticas

3 E.S.O.

TALLER 3 E.S.O.1 Operaciones combinadas con fraccionesPg.:32 Problemas con fracciones:Pg.:43 Fraccin generatrizPg.:5

4 Nmeros reales, notacin cientficaPg.:55 PotenciasPg.:6 y 76 RadicalesPg.:7 ,8,9, y 107 Sucesiones y progresionesPg.:11 y 128 PolinomiosPg.:13 y 14Identidades notablesPg.:15FactorizacinPg.:16 y 17Regla de RuffiniPg.:189 Fracciones algebraicasPg.:19 y 2010 Ecuaciones de 1er gradoPg.:2111 Problemas de ecuaciones de 1er gradoPg.:2212 Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitasPg.:2313 Problemas de sistemas de dos ecuaciones Pg.:2414 Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitasPg.:2515 Ecuaciones de segundo gradoPg.:26 y 27

16 Problemas de ecuaciones de segundo gradoPg.:2817 Ecuaciones bicuadradas y de orden superiorPg.:2918 Funciones lineales Pg.:3019 Funciones cuadrticasPg.:3120 Estudio de una funcin a partir de su grfica...Pg.:31 y 32 21 Geometra. Figuras planasPg.:33 y 34 22 Figuras en el espacioPg.:35 y 361 OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONESRealizar las siguientes operaciones respetando la jerarqua de operaciones y parntesis:

2 PROBLEMAS CON FRACCIONES

1 De un trozo de cuerda. El primer da cortan 1/3 , el segundo da 2/5 del resto y el tercer da quedan 12m. Calcular la longitud de la cuerda.

2 Dos amigos van de excursin. El primer da recorren 2/5 del trayecto, el segundo da 1/3 del trayecto y el tercer da el resto que son 24 Km. Calcular el trayecto de la excursin.

3 De una bolsa de caramelos. Luis se come 2/9 , Sonia 2/9 y Laura 3/9 .El resto de los nios se comieron 16 en total. Calcular el nmero de caramelos que se comieron Luis Sonia y Laura

4 El equipo de baloncesto de un colegio juega la final de un campeonato. Luis hizo 1/8 de los puntos Sonia 2/8 y Laura 3/8 . Los jugadores restantes hicieron 16 puntos. Calcular el nmero de puntos hechos por Luis Sonia y Laura

5 Una motorista recorre 90 kms en tres cuartos de hora y otro recorre 60 kms en media hora. Cul es ms rpido?

6 Una lata de limonada contiene 1/3 de litro. Carolina, para celebrar su cumpleaos, ha comprado 30 latas.

Cuntos litros ha comprado?

7 Un viticultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan 120 hectolitros, cunto cosech?

8 En la merienda Ana se ha comido la mitad de la tarta, Mara la cuarta parte, Elena la sexta parte y el plato se ha quedado vaco. Es cierto? Justifica la respuesta.

9 El padre de Carlos gasta 2/5 de su sueldo en el alquiler de su casa y los 5/6 del resto en comida. Si despus de pagar el alquiler y la comida le quedan 300 , cuntos euros gast en comida? (Expresa el resto con una operacin combinada)

10 En una planta de recogida de basuras, la tercera parte corresponde a envases, una cuarta parte son papeles y cartones y el resto son residuos orgnicos. Si en este momento hay almacenados 10000 kilogramos de residuos orgnicos, calcula cuntos kilogramos de basuras hay en la planta.

11 En un congreso participan una tercera parte de espaoles y 3/5 de los asistentes son asiticos. Si hay 50 asistentes de otras procedencias.Cuntos congresistas hay?

12 Un caminante realiza las 2/3 partes de un viaje en bicicleta, 1 / 4 en autobs y los 10 kms restantes andando Cuntos kilmetros ha recorrido?

13 Una empresa ha comprado una parcela rectangular. El edificio de la empresa ocupa 2/5 del largo y del ancho y tiene 300 m2 de planta. Cuntos metros tiene la parcela?

14 El aire es una mezcla de gases. En la capa ms prxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones:

3 / 4 de nitrgeno, 1 / 5 de oxgeno, 3 / 10000 de anhdrido carbnico y el resto de gases nobles. Halla cuntos litros de cada uno de estos gases se encuentra en un m3.

15 La sangre humana se compone 9 / 20 de corpsculos (glbulos rojos, glbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que de una persona constituye 1 / 14 de su masa cunto pesan los corpsculos sanguneos de una persona de 77 kg?.

16 Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabelln A hay 320 personas ms que en el B. Sabiendo que en B se encuentran los 7 / 22 del total cuntas personas hay en la colonia?

17 En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte, claveles y el resto tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m2 y en casa m2 se producen 200 flores cuntas rosas blancas se recogieron?

18 En un congreso internacional 3 / 8 de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son ni europeos ni americanos. Cuntos congresistas hay? .

19 La diferencia entre los 4 /5 y los 2 /3 de un nmero es igual a 8 Cul es el nmero?

20 Si se unen dos cables elctricos, se obtiene un cable de 440m. Si sabemos que uno mide los 4/7 del otro cul es la longitud de cada cable?21 Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan una cuarta parte, los puerros, los dos quintos, y las zanahorias el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m2 a la de zanahorias. cul es la extensin del huerto?

22 Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 y nos hemos comprometido a pagar 250 al mes. Despus de 24 meses, hemos pagado los 5 / 8 del precio total. Calcular el precio del apartamento.

23 Isabel da la cuarta parte de su caja de bombones a Elena y de los que le quedan, le da la mitad a Carmen. Carmen da un tercio de su parte a Carlos, al que le tocan 8 bombones. Calcula cuantos bombones tena la caja y cuantos se llevo cada uno.

3 FRACCIN GENERATIZ1 Transforma en fraccin los siguientes decimales exactos.

a) 0,35

b) 1,54

c) 31,2

d)

4,27

e) 12,125

f) 2,33

g) 123,1

h) 0,1234

i) 135,3

j) 3,2

k) 2,22

l) 4,123

m) 22,36

n) 23,023

2 Escribe en forma de fraccin :

a) 0, 4

b) 31,4

c) 25,1

d) 32, 25

e) 12,034

f) 23,123

g) 12,01

h) 1,21

i) 21,02

j) 12,23

k) 12,0001

l) 12,1232

m) 1,0123

n) 2,012

) 0,1234

o) 1, 43

p) 1002,1

q) 67,2013

r) 12,121

s) 3, 4

t) 3, 14

u) 92,12

v) 25, 25

w) 87,034

x) 35,923

y) 12,01

z) 1,21

1) 34,43

2) 23,0023

3) 75,1001

4) 7,1023

5)2,034

6)2,9876

7) 123,1

8)123,27

3 Escribe en forma de fraccin los siguientes nmeros peridicos mixtos:

a) 12,0 1

b) 12,12 3

c) 123,00 2

d) 12,123 1

e) 12,1223 3

f) 2,2 12

g) 34,01 1

h) 0,12 12

i) 12,1 234

j) 23,52 123

k) 12,123 987 l) 2,1 36

m) 0,123 1

n) 12,1 21

) 98,81 12

o) 23,35 234

p) 127, 45 45 q) 23,23 231

r) 21,0 5 s) 32,23 42 t) 321,00 3

u) 14,125 2

v) 67,001 3

w) 3,9 21

x) 34,01 121

y) 0,35 12

z) 12,1 234

1) 43,5 974

2) 12,199 786 3) 23,1 58

4) 0,345 1

5) 56,1 81

6) 10,31 18

7) 87,89 254

8) 12 ,03 45

4 NMEROS REALES. NOTACIN CIENTFICA

1 Se aproxima el nmero 0,666666........ mediante a) 0,666 b) 0,67

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximacin por defecto o exceso

2 Se aproxima el nmero 10/3 mediante a) 3,333 b) 3,34


3 Redondear el nmero 0, 55555. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso

4 Aproximar el siguiente nmero 12,232323 con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo Es por exceso o defecto?

5 Se aproxima el nmero 0,3535353535.mediante a) 0,35 b) 0,353


6 Se aproxima el nmero 1,88888888 mediante a) 1,888 b) 1,89


7 Redondear el nmero 0, 777777. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso

8 Aproximar el siguiente nmero 4.373737 con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo Es por exceso o defecto?

9 Hallar el error absoluto cometido al aproximar 2 / 3 por a) 0,66 b) 0,7 Decir si son aproximaciones por exceso o por defecto

10 Hallar tres nmeros comprendidos entre 2,69999 y 2,7

11 Calcula 8 con un error menor que una centsima

13 Si se toman solamente las tres primeras cifras de 8,65432 cual es el error absoluto y el relativo?

Es una aproximacin por exceso o defecto?

5 POTENCIAS

Propiedades de las potencias

1) an . am = an+m2) an : am = an-m3) (an)m = an.m4)

1.-

2.- 3.- (x2)3 . x-4 . x5 4.-

5.- 6.- (x4: x2)2 . (x4:x2)3 7.-

8.-

9.- 10.-

11.-

12.- 13.- 14.- 15.- 16.-

17.- 81 . ((3)2)-1 .27 18.- 19.- 20.-

21.- 22.- 23.-

EMBED Equation.3 24.-

25.- 26.-

27.-

28.-

29.-

30.- (x4: x2)2 (x4:x2)-3. (x6: x4)2 . (x5:x2)2 . (x7:x4)-2

31.- 32.-

EMBED Equation.3 33.- 34.

41.- 42.- 43.- 44.-

45.- 46.- 47.- 48.- 49.- 50.- 51.- 52.-

53.- 54.- 55.

56.- 57.- 58.- 59-. 60 .- 61.- 62.- 63.- 64.- 65.- 66.- 67.-

6 RADICALESPropiedades de los radicales

1)

2)

3)

4)

5) El producto (divisin) de dos radicales de distinto ndice es otro radical de ndice el m.c.m de los ndices y en su interior los la multiplicacin (divisin) de los radicandos elevados al resultado de dividir el m.c.m entre su ndiceEjemplos :

6) Para extraer de un radical se divide el exponente del radicando entre el ndice de la raz , el cociente son los que salen y el resto los que se quedan:Ejemplo:

EMBED Equation.3

7) Para introducir un factor en un radical multiplicamos el exponente por el ndice del radicalEjemplo:

8) Para sumar radicales deben ser iguales :

Ejemplo:

1) Escribir los siguientes radicales en forma de potencia de exponente fraccionario

1.- 2.-

3.-

4. -

5. - 6.- 7.-

8. -

9.-

10.- 11.- 12.-

13.-

14.- 15.- 16.-

17.-

18.-

19.- . 20.- 21.-

22.-

23.- 24.- 25.- 26.- 27.-

28.- 29.-

30.- 31.- 32.- 2) Factorizar, escribir en forma de potencia con exponente fraccionario y simplificar.

1.- 2

2.- 3. -

4.-

5. - 1024

6.- 25 7.- .125

8.- 16

9.-

10.-

11.- 12.- 13.- 128

14.- 16 15.- 9

16.- 343

17.- 8 18.- 125 19.-

EMBED Equation.3

20.-

21.- 7 22.- 8 23.- 25

24.-

25. - 1024

EMBED Equation.3 .

26.-

27.- 125

28.-

30.- 3) Extraer fuera del radical

1.-

2.-

3-.

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

25.-

26.-

27.-

28.-

29.-

30.-

31.-

32.-

4) Introducir dentro del radical y simplificar

1.- 2 a b2

2.-

3.-

4.- a2b3c4

5.-

6.-

7.- a4b3c4 d3

8.-

9.- a2 b-3

10.- a4 b3

12.- a3 b-2

13.- x4 y-2

14.-a4 b2 c3

5) Escribir como un nico radical

1.- 2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

6) Realizar las siguientes multiplicaciones y extraer fuera del radical. (Factoriza los nmeros)

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3


22.-

23.-

24.-

25.-


EMBED Equation.3 3

7) Realizar las siguientes divisiones y extraer fuera del radical. (Factoriza los nmeros)

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

25.-

26.-

27.-

28.-

29.-

30.-

8) Simplifica las siguientes expresiones:

1.-+7-11+

2.- -3+4-

3.- 3+7-3+8

4.- 4 -

EMBED Equation.3 +3

5.-

EMBED Equation.3 +

6.- 4-

EMBED Equation.3 +


8.- + - -9.- -+210.- +2 +4-3

12.- 2


14.-

15.- 3-4+5 +6

16.- +4-3-7

17.-

18.- -3+5

19.-

20.-

21.-

22.-+4

RACIONALIZAR

Consiste en eliminar races del denominador. Existen varios procedimientos

1er Tipo: Denominador con raz cuadrada

Se multiplica numerador y denominador por la raz :

2 Tipo : Denominador con raz de ndice superior

Se multiplica y divide por una raz con el mismo ndice y el radicando elevado a la diferencia entre el ndice y el exponte del radicando

3er Tipo: Denominador con races sumadas o restadas

Se multiplica y divide por las races conjugadas y se aplica la identidad notable (a+b)(a-b) =a2-b2

9) Racionaliza las siguientes expresiones:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

25.-

26.-

27.-

28.-

29.-

30.-

31.-

32.-

33.-

34.-

35.-

36.-

37.-

38.-

39.-

40.-

7 SUCESIONES Y PROGRESIONESProgresiones aritmticas:Progresiones geomtricas

an= a1+(n-1)d Trmino general

an= a1 r n-1 Trmino general

Sn= Suma de los n primeros trminos

Sn= Suma de los n primeros trminos

1. Escribe los trminos generales de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 0,1,2,3,4,..

b) 17, 21,25,29,33,

c) 5 , 5/2, 5/3, 5/4 , 1 , 5/6,

d) 5,10,15,20,25,..

e) 1,4,9,16,25,

f) 0,3,8,15,24,..

g) 2,6,12,20,30,

h) 0,2,6,12,20,3.---

i) 2,4,8,16,.

j) 3,9,27,81,

k)1/2 ,1/4, 1/8, 1/16,

l) 1,10,100,1000,

m) 1, 1/10, 1/100 , 1/1000,..

n) 1/2, 2/3, 3 /4 , 4/5, 5/6,

) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,

o) 3/1, 6 /2, 9/ 3 , 12 /4,

p) 3/1 ,6 /4, 9/ 9 , 12 / 16,

q) 1, 2/10, 3/100 , 4/1000

r) 1/2,10 /4, 100/8, 1000/16,

s) 1/2 , 3/4, 9/8, 27/16,

t) 3, 9/10, 27/100 , 81/1000,..

2. Calcula los cinco primeros trminos cada una de las siguientes sucesiones:1. an= 5n+2

2. an=6n-2

3. an= n24. an= n2+2

5. an= n2-2n+2

6. an= n2+n+17. an=2n

8. an= 2n-1

9. an= 3n-110.

11.-

12.

13.

14.

15.

16.-

17.-

3. Calcula el trmino tercero, cuarto , quinto y dcimo de cada una de las siguientes sucesiones:1.

2.

3.

4.

5. a n=3. 2n -1

6. a n=2n+37. a n=

8. a n=

9. a n=

10. a n=

11.

12.

13.-

14.- a n=2n+1

4. Escribe los trminos generales de cada una de las siguientes sucesiones

a) 1-,2,3,-4,..

b) -1,2,3,-4,.

c) 2,-4,6,-8,10,..

d) -2,4,-6,8,-10,

e) 2,-4,8,-16,.f) 5,-10,15,-20,25

g) 1,-6, 12,-18, 24,

h) -1/3 ,1/9, -1/27, 1/81,i) 5, -10/10, 15/100 , -20/1000j) -1/3, 1/9, -1/27, 1/81,k) -1/2, 2/3,- 3 /4 , 4/5, -5/6,l) 3,-9, 27, -81

m) -5, 25,-125, 625

n) 4,- 16, 64, -256,..

o) -1, 5, -10, 15,

5. Escribir los trminos que faltan en las siguientes progresiones aritmticas:

a) 1,3, ? , 7, ? ,

b) 1 ,4, ? , 11, ? ,..

c) ? , ? , 10, 20,..

d) ?, 4 , ? , 0, ? , -4 ,..

e) 3, 6, ? ,12, ? ,..

f) 4 ,2, ? , -2, ? ,

g) 25, ? , 15 , ? , ? ,

h) 2, ? , ? , 14, 18,

i) -5, ? , -1 , ?, 3 , ?

j) 3, 7, ? , 15, ? , 23,

k) ?, -4, -6, ?, -10,..

l) 1, ? , 11, ?, 21,

6. Escribe el trmino general de las siguientes progresiones aritmticas:

a) 1,3,5,7,9,.

b) 5,9,13,17,

c) 9,7,5,3,

d) 4,8,12,16,..

e) 5,8,11,14,

f) -7,-4,-1,2,

g) 2,814,20,

h) 6,3,0,-3,

i) a1=2 d=3

j) a1=1 d=-2

k) a1=5 d=4

l) a1=-2 d=2

m) a1=2/3 d=1

n) a1=2 a2=3

o) a1=5 a2=3

p) a1=1 a2=4

q) a4=2 a5=4

r) a6=5 a7=3

s) a4=8 d=3

t) a5=8 d=2

u) a1=8 a2=5

v) a3=5 d=-2

w) a5=8 d=2

x) a5=8 d=2

7.- Calcular :

a) S10 Si a1=2 y d=3

b) S8 Si a1=-3 y d=2

c) S30 Si a1=2 y a2=4

d) S100 Si a1=1 y d=5

e) a12 Si a1=4 y a2=7

f) S20 Si a1=16 y a10=43

g) S10 Si a10=58 y d=6

h) an Si a1=7 y S12=150

i) a1 y an Si d=6 y n=13 y S13=572

j) S50 Si a7=32 y a2=40

k) n Si a1=7 an=53 Sn=300

l) d Si a1=1 y S10=100

m) a7 y a n Si S7= 119 y a1=2

n) S7 Si a1=5 y a9=29

o) a1 y d Si a3=24 y a10= 66

8.- Escribir los trminos que faltan en las siguientes progresiones geomtricas:

a) 1,3, ? , 27, ? ,

b) 1,2, ? , 8, ? ,..

c) ? , ? , 10, 100,..

d) ?, 4 , ? , 1, ? , 1 / 4,..

e) 3,6, ? ,24, ? ,..

f) 4,2, ? , 1/2, ? ,

g) 125, ? , 5 , ? , ? ,

h) 100, ? , ? , 10-1, 10-2,

i) 32, ? , 8 , ?, 4 , ?

j) 3, ?, 27, ?, ?,

k) 32, ? , 8, 4, ?,..

l) 8, 4, ?, 1, ?,

9.- Calcular el trmino general de las siguientes progresiones geomtricas:

a) 1,3,9,27,..

b) 1,2,4,8,16,

c) 5,25,125,625,..

d) 8,4,2,1,..

e) 2,1,1/2,1/4,..

f) 27,9,3,1,.

g) 125,25,5,1,.

h) 25,5,1, 1/5,

i) 1, 1/2, 1/4, 1/8,

j) 9 , 3, 1, 1/ 3,

k) 625, 125,25,5,1,,,

l) a1=16 r= 1/2

m) a1=2 r=3

n) a1=3 a2=6

o) a1=54 r=- 1/3

p) a1=5 a7=320

10.- Calcular :

a) r , a1, S8 ? Si a8=243 y a4=3

b) a6 y S6 ? Si a1=2 y r=3

c) a1 Si r=3 ? Si S4=80

d) a8 y S8 ? Si a1=2 y r=2

e) r y S10 ? Si a1=5 y a7= 320

f) an y S10? Si a1=7 y a4=875

g) a1 y r ? Si a4=5832 a9=24

h) S10 ? Si a1=1 a4=125

i) d y an ? Si a10=1024 a1=2

j) an y S10? Si a1=3 y a4= 96

k) S12 ? Si a1=2 a4=54

l) a4 y S4 ? Si a1=2 y r=3

m) S10? Si a3=12 r=2

n) r , a1? Si a4=81 y a5=243

o) r , a1? Si a3=12 y a4=24

8 POLINOMIOSOPERACIONES CON POLINOMIOS

Definiciones:Ejemplos

Valor numrico de una expresin algebraica: Es el nmero que se obtiene al sustituir las letras por los nmeros dados.Ejemplo: x3 6x + 5 en x=1

(1)3-6(1)+6 =1

Suma y diferencia de polinomios. Es el polinomio que se obtiene al reducir ( sumar o restar ) los trminos semejantes ( de igual grado)Ejemplo:

(4x3 12x + 10) (3x4 + 6x3 12x2 14) = -3x4 2x3 + 12x2 12x + 24

Multiplicacin de un polinomio por un nmero: Se multiplican todos los trminos del polinomio por dicho nmeroEjemplo:

2(2x3 6x + 5)= 4x3 12x + 10

Producto de un polinomio por un monomio: Es igual a otro polinomio cuyos trminos se obtienen multiplicando el monomio por cada trmino del polinomio:Ejemplo:

2x2(2x3 6x + 5)= 4x3 12x3 + 10x2

Producto de polinomios: Es otro polinomios cuyos trminos se obtienen multiplicando cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio y sumando luego los trminos semejantes. Si tienen muchos trminos se colocan los monomios del mismo grado uno debajo de otro luego se multiplican y se suman

Ejemplos

(2x2 6x)(3x 5) =

=6x3 10x2 18x2 + 30x =

= 6x3 28x2 + 30x(-7x3+3x2+2) ( 2x2+3x-1)

-7x3+3x2 + 2

2x2 +3x -1

-7x3 -3x2 - 2

-21x4 +9x3 +6x

-14x5 +6x4 +4x2

-14x5 -15x4 +2x3 +x2 +6x -2

La divisin de polinomios es similar a la divisin de nmeros. El dividendo y el divisor deben de estar ordenados en orden decreciente. Vamos dividiendo los monomios de mayor grado del dividendo y los dividendos parciales entre el divisor. Multiplicamos el monomio resultado de esta divisin por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo parcial La divisin acaba cuando el grado del dividendo parcial es menor que el grado del divisor.

Ejemplo : Calcular Q(x) : P(x), siendo: Q(x) = x4 + 2x3 6x2 7 y P(x) = x2 5x

x4 + 2x3 6x2 7x2 5x

-x4 + 5x3x2 + 7x + 29

7x3 6x2Dividendo = Q(x) = x4 + 2x3 6x2 7

-7x3 + 35x2Divisor = P(x) = x2 5x

29x2Cociente = x2 + 7x + 29

- 29x2 + 145xResto = 145x - 7

145x - 7

1.- Calcular el valor numrico de los siguientes polinomios en los puntos dados:

a) x3 6x + 5 en x=1

b) x2 3x-2 en x=3

c) x3 + 6x2- 4x 5 en x=1

d) x3 + 6x2- 4x 5 en x=-1

e) x2 3xy-2y2 en x=1 e y=2

f) 3y2 + 2x-3xy en x=2 e y=-1

g) ax2 +3xa -3 en x=-1 y a=2

h) 2xyz+3x2-2y+4z en x=1 ; y=2; z=3

i) 2x2-3xy2+5x +y en x=2 e y=-2

j) 2x2 z+x2-2y+4z en x=-1 ; y=2; z=3

2.- Realizar las siguientes multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva y simplifica:

a) (2x-3)(4x-2)

b) (6x-5)(x2+2)

c) (x2+2)(x+3)

d) (3x+4)(x3-3)

e) (x2-2x+3)(x2-2)

f) (x2-5x+2)(2x-2)

g) (x2+2x-3)(x+2)

h) (2x+4)(x2-2x+1)

i) (2x-3y)(2y+3x)

j) (2xy2-5x+2y)(2x+3y)

k) (x2-3x+2y)(2xy-y2)

l) (3xy+2x2-3x)(3x+y)

m) (2xyz+2x2y-2z)(2z-y+x)

n) (2x2-3y+5z)(2x-3y+2z)

o) (2x3-5x2+3x-1)(x+2)

p) (x2+2xy2-3)(2x+5y)

3.- Dados los polinomios A(x)= x5 25 x3 + 10x; B(x)= x2 x 2 ;C(x)= x3 + 3x2 4x 4

D(x)= 3 x4 x3 + x2 + 2 .Calcula:

a) A(x)+B(x)+C(x)+D(x)

b) A(x) - B(x) -C(x)+D(x)

c) A(x)+B(x) - C(x) - D(x)

d) -A(x)+B(x)+C(x) - D(x)

e) A(x) - 2B(x) -C(x)+3D(x)

f) 3A(x) - B(x) +2C(x)-D(x)

4.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios:

P(x) = 2x3 6x + 5; Q(x) = x4 + 2x3 6x2 7; R(x) = x2 3x-2

a) P(x) + Q(x) + R(x)

b) P(x)+Q(x) R(x)

c) 2Q(x) 5R(x) + 3P(x)

d) Q(x) . R(x)

e) 3R(x)[Q(x) 3R(x)]

f) P(x)[5R(x) 2Q(x)]

5.- Si P(x) = x3 + 6x2- 4x 5 y Q(x) = x2 + 6x + 9, calcula:

a) P(x) + Q(x); b) P(x) Q(x); c) P(x) Q(x) d) P(x) : Q(x) e) Q(x) 26.- Si P(x) = x3 + 3x2- 4x 5 y Q(x) = x2 + 6x + 2, calcula:

a) P(x) + Q(x);

b) P(x) Q(x);

c) P(x) Q(x)

d) 3 P(x) 2 Q(x)

e) P(x) / Q(x)

f) P(x) . 2 Q(x)

g) (2P(x)- Q(x)) . Q(x)

h) (P(x) + Q(x)) / Q(x)

i) P(x) 27.- Si P(x) =x4 2x3 - 4x2 + 5 y Q(x) = x2 + 2x - 5, calcula:

a) P(x) - Q(x); b) P(x) Q(x) c) P(x) / Q (x)

d) P(x) 2

8.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios:

P(x) = x3 x2 -2x+ 5; Q(x) = x4 + 2x3 6x2 7; R(x) = x2 3x+2

a) P(x) +2 Q(x)

b) P(x) / R (x)

c) Q (x) / R (x)

d) P(x) / R (x)

e) P(x) . Q(x)

f) R(x) 2g) 2Q(x) 5R(x) + 3P(x)

h) 3R(x)[Q(x) 3R(x)]

i) P(x)[5R(x) 2Q(x)]

j) (Q(x) + P(x)): R(x)

k) (Q(x) . R(x)): P(x)

l) Q(x) / (R(x)+P(x))

9.- Si P(x) = x3 + 5x2- 4x 5 y Q(x) = x2 + x + 1, calcula:

a) P(x) + 2Q(x); b) P(x) Q(x); c) 3P(x) Q(x) d) P(x) : Q(x) e) Q(x) 210.-Realizar las siguientes divisiones de polinomios y hacer la prueba.

a) (x3 + 6x2- 4x 5 ) : (x2 3x-2)

b) (x4 + 2x3 4x2 3): (x2 +3x-1 )

c) (x4 -3x3 3x2 + 3x-2): (x2 -2x-2 )

d) (x4 +5x3 2x2 + x-1): (x2 +3x-2 )

e) (x4 +6x3 5x2 +2 x-3): (x2 +3x-3 )

f) (x4 + x3 3x2 3): (x2 +2x-1 )

g) (x5 -4x4 +x3 2x2 + x-1): (x2+2x-5 )

h) (x5 +3x4 +3x3 x2 + x-2): (x2+3x-1 )

i) (x5 -5x4 +x3 2x2 + x+1): (x2+2x-1)

j) (x5 -4x4 +x3 -2x2 + x-1): (x3-2x2+2x-5)

k) (x4 -3x3 3x2 + 3x-2): (x3-x2 -2x-2 )

l) (x4 - 3x2 + x-2): (x2 -5x-2 )

IDENTIDADES NOTABLES

FrmulaEjemplo

(a + b)(a b) = a2 b2(3x3 5xy) (3x3 + 5xy) = (9x6 25x2y2)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(5y2 + 3x)2 = 25y4 + 30y2x + 9x2

(a b)2 = a2 2ab + b2

(6y2 2y)2 = 36y4 24y3 + 4y2

(a + b)3 = a3 + 32b + 3ab2 + b3(2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

(a - b)3 = a3 - 32b + 3ab2 - b3(x2 2x)3 = x6 6x5 + 12x4 8x3

11.- Utilizar las frmulas de las identidades notables para realizar.

1. (2x 4)(2x + 4)

2. (3y2 + 2x)(3y2 2x)

3. (2x y2)(2x + y2)

4. (3y2 + 2x)(3y2 2x)

5. (2x2 3)(2x2 + 3)

6. (3y2 + x3)(3y2 x3)

7. (x y2)(x + y2)

8. (3y2 + 2x2)(3y2 2x2)

9. (z2 + 2yx2)(z2 2yx2)

10. ()()

11. ()()

12. (a2b-c3)213. (3x+2)214. (3y2-2x2)215. ()2 16. (4x+)217. (2x -)218. ()219. (3y +2x)220. (2x3-5y)221. (3xy-2x2)222. (y + 2x2)223. (2xy2-3y)224. (ab-2 a2)225.

26. (2x + )227. (a-2b)228. (x y2)229. (

30. (x-3y)3

31. (z2+2y)332. (x+2y)333. (5- 3x)334. (2y 3)335. (x+2y)336. (2x-y)337. (x2-3y)338. (3x+y)339. (2x-3y)340. ()312 Escribir las siguientes sumas como una identidad notable:

1. x2-y22. x4-4y23. 5x6-4y44. 4x2y2-4z25. 16x8-25y46. 25x4-9y27. 36x4-16y28.

9. 5x4-910. 16x4-2511. 25x2y2-1612. 16x4-

13.

14.

15. 4x4+4x2+1

16. 9x4+6x2+1

17. x2 + 4x + 4

18. 25x2 -30x + 9

19. x2 -12x +3620. x2 6x +9

21. x2 + 2x +122. 4x2-20x+2523. 5x6-9y2z224. x2+2xy+y225. x2+4xy+4y226. x4-6x2y+9y227. 4x2+12xy2+9y428. 25x2+20xy3+4y629. 16x8-8x4y3+y630. x6-6x3y2+9y431. x3+3x2y+3xy2+y332. x3-3x2y+3xy2-y333. 8x3+12x2y+6xy2+y334. 125x3+75x2y+15xy2+y335. x3-15x2y+75xy2-125y336. 27x3+27x2y+9xy2+y337. x3 + 6x2 + 12x + 838. x3 12x2 + 48x 6439. x6 +6x4 y+ 12x2y2 +8y313.- Sacar factor comn en los siguientes polinomios:

a) x3-3x2+2x-3

b) 2x3-6x2+4x

c) x4 + 2x3 6x2d) x5 -4x4 +x3 -2x2e) x6 x5 + x4 + x3f) x5y4z3 +3x4y3 +x3y2

g) x4y4 +2x3y3 x2y2

h) 2x3y4+4x2 y3- 8xy2i) x4y3 + 2x3y2 6x2y

j) x5y3z2 -4x4y3z +x3y2k) 2x3y4z4 + 4x2 y3z3l) - 8xy2z2-3x3y3z

m) x3y4 +3x2 y3- 4xy2n) x3y-3x2y2-2xy3o) 2x3y4 -2x2 y3- 4y2

q) 2x3y4 z+ 4x2 y3z2- 8xy2r) x3y4 + 3x2 y3- xy2s) 15x3y-9x2y2-3xy

t) 6x3y4z4 + 4x2 y3z3

u) 4x5y4z3 +6x4y3 +12x3y2FACTORIZACIN DE POLINOMIOS - MCM

Definiciones:

Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.

Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen ms races reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores ms simples.

Mnimo comn mltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Ejemplos

1) Factorizar un polinomio

a) Si no tiene trmino independiente se saca x o xn factor comn Ejemplo: 2x5 6x3 + 4x2 ;

Sacamos 2x2 factor comn a los tres sumandos ( 2x2(x3 3x + 2)

El polinomio (x3 3x + 2) se factoriza como se explica a continuacin

b) Si tiene trmino independiente se buscan sus races utilizando el mtodo de Ruffini

Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x raz1)(x raz2)....

Ejemplo: x3 3x + 2 (1

0

-3

2

Debemos buscar un nmero, divisor

Raz =

1

1

1

-2

del trmino independiente, tal que el

1

1

-2

0

resto de la divisin sea 0.

1

1

2

1

2

0

-2

-2

1

0

Por lo tanto el polinomio se factoriza del siguiente modo (x 1)2(x + 2)

La factorizacin final de 2x5 6x3 + 4x2 ser:

2x5 6x3 + 4x2 = 2x2(x3 3x + 2) = 2x2(x 1)2(x + 2)

2) Calcular el MCM

a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior.

Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 4x3; 2x5 6x3 + 4x2; x2 + 4x +4.

x5 4x3 = x3(x 2)(x + 2)

2x5 6x3 + 4x2 = 2x2(x 1)2(x + 2)

x2 + 4x +4 = (x + 2)2b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican

MCM = 2x3(x + 2)2(x 1)2(x + 1)(x 2)

REGLA DE RUFFINI

Definicin: Es un mtodo para dividir un polinomio entre x

Ejemplo : Dividir 4x3-7x2+5x-6 por x -2

4 -7 5 -6 En diagonal se multiplican en vertical se suman

2 8 2 14

4 1 7 8 = Resto Cociente : 4x2+x+7

Cociente

Teorema del resto: El valor numrico de un polinomio para x=a es igual al resto de la divisin

Ejemplo : Calcular el valor numrico de P(x)= x3-3x2+5x-8 para x=2

1 -3 5 -8 En diagonal se multiplican en vertical se suman

2 2 -2 6

1 -1 3 -2 = Resto P(2)= -2

Ejemplo : Calcular el valor de k P(x)= x3-3x2+kx-2 para que P(x) tenga el valor 8 en x=2

1 -3 k -2 En diagonal se multiplican en vertical se suman

2 2 -2 2k-4 Despejamos K en la ecuacin

1 -1 k-2 2k-6 = 8 2k=14 ; k=7

14 Factorizar los siguientes polinomios:

1. x3-5x2+8x-4

2. x3+4x2+x-6

3. x3-2x2-7x-4

4. x3-5x2-13x-7

5. x3-x2-4x+4

6. 4x3+8x2-4x-87. x4-3x3-6x2+8x8. x3+5x2+2x-8

9. 5x3-5x2 -25x15

10. x3+8x2+13x+6

11. x5+5x4+7x3+3x212. 3x3+12x2+15x+613. x3+6x2+9x+4

14. -x3+2x2+5x-6

15. 3x3+6x2-3x-616. x4+x3-9x2-9x17. x3+7x2+12x+6

18. x6-3x5-9x4-5x319. x3+3x2-4x+1220. 4x4+20x3-4x2-20x21. x3+2x2-4x-8

22. x3+8x2+5x-14

23. x3-8x2 +19x1224. x3 + 4x2 -11x +625. 2x3+3x2-3x-2

26. 2x3-18x2+52x-4827. x3 + 3x24x 12

28. x3+9x2+15x+7

29. x3-2x2-9x+18

30. x3-9x2+26x-24

31. x3-3x2-6x+8

32. x3-x2-14x+24

33. x3-x2-8x+12

34. x3+x2-16x+20

35. x3-11x2+32x-28

36. x3-5x2-17x+21

37. x4 10x3 + 25x2 36

38. x4 5x3 -5x2 +45x 36

39. x4 5x3 + 5x2 +5x - 6

40. x4 5x3 + 2x2 +20x-24

41. x4 +3x3 -7x2 -27x -18

42. x4 8x3 +23x2 -28x +1243. x4 3x3 -2x2 +12x 8

44. 2x4 10x3+10x2+10x 1245. 3x4 9x3+3x2+9x 646. x4 7x3+17x17x+6

47. x5 2x4-8x3+18x2 9x48. x4 3x3-3x2+11x 6

49. 4x4 40x2 + 3650. x4 +5x3+5x2-5x 6

51. x4 x3-7x2+13x 6

52. 3x4 6x3 27x2+6x +2453. x4 + 2x3 18x2+8x +2454. x6 2x5-3x4+8x3 4x255. 4x4 20x2 + 1656. x4 +6x3+13x2+12x+4

57. x4 -4x3+3x2+4x-4

58. x5 +3x4+x3 -3x2 2

59. x4 +x3-7x2 x +6

60. x4 +6x3+8x2-6x 9

61. x4 +8x3+22x2+24x+9

62. x4 -10x3+8x2 10x-9

63. x5 x4 x3 + x264. x5 25 x3 + 144x

65. 5x5-x45x3+x266. 2x4+5x3 +3x267. 3x415x321x2+15x+1868. 4x4-16x3+12x2+16x-1669. x4+3x3 -7x2 -27x-1870. x5 - 7x4 + 10x3 x2+ 7x 1071. x5+3x45x3-15x2+4x+1272. x53x45x3+15x2+4x-1273. x52x45x3+10x2+4x-874. x5-2x49x3+14x2+20x-2475. x58x3+6x2+7x-676. x5-2x4-6x3+4x2+13x+677. x5-2x4-10x3+20x2+9x-1878. x5+2x4-10x3-20x2+9x+1815 Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios.

1. x2-2x+1 ; x3-3x2+3x-1 ;4x2-8x+4

2. x2-4x+4 ; x3-5x2+8x-4 ; 3x2-12x+12

3. x2-5x+6 ; x2-9 ; x4-5x3-5x2+45x-36

4. x2-1 ; x4-5x2+4 ; x4-10x2+9

5. 2x2-16x-14; 2x3-2x; 4x2-4x+4

6. x2-5x+4 ; x3-3x2-6x+8 ; 2x3-8x ;

7. x2-4x+4 ; x3-x2-8x +12 ; 2x3-8x2+8x

8. x2+x-12 ; x3-9x ; x2-4x+3 ; x4-10x2+9

9. x3+6x2+12x+8 ; x3+3x2-4 ; x3+5x2+8x+4

10. x3-3x+2 ; x3+2x2-x-2 ; 2x3 4x2 2x

11. x3-x2-5x-3; x3+5x2+7x+3 ; x3+4x2+5x+2

12. x3+6x2+9x+4; x2+2x+1 ; x3+7x2+11x+5

13. x3-3x2+3x-1 ; 2x2-4x+2 ; x4-3x2+2x

14. x3-6x2+12x-8 ; 2x2-8x+8 ; x4-5x3+8x2-4x

15. x3-3x2+3x-1 ; 3x2-6x+3 ; x4-4x3+5x2-2x

16. 2x3+4x2-2x-4 ; x3+6x2+12x+8 ; x3+4x2+2x

17. x3+2x2-x-2 ; x3-3x2-3x-1 ; x4+x3-2x2 ; x2-2x+1

18. x3-6x2+12x-8 ; x3-5x2+8x-4 ; x3-3x2+4 ;x4-4x3+3x2+4x-4

19. 2x2-x-3 ; 6x3+7x2+x ; 2x3+4x2-2x-4 ; 2x3+8x2+6x

20. 2x3+4x2-2x-4 ; x3+6x2+12x+8 ; x3+4x2+2x

21. 2x4-4x2 ; 2x3-8x2+4x ; 4x3-6x2+4x

22. x3-x ; x4-5x2+4 ; x4-10x2+9

23. x4-3x3 +3x2-x ; 2x3-4x2+2x ;x4-3x2+2x

24. x4-6x3+12x2-8x ; 2x3-8x2+8x ; x 4-5x3+8x2-4x

16 Hallar mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

1. (3x4-2x3+4x2+3x-1):(x-2)

2. (x5-3x3+2x2-15):(x+2)

3. (x3-5x2+2x-3):( x-1)

4. (x3-4x2+5x-1):( x+1)

5. (x4-3x3+5x2-3x+3): (x-3)

6. (x4-2x3-3x2-3x+1): (x+3)

7. (2x4-x3+4x2-2x+3): (x-2)

8. (x4+2x3-x2-2x-2): (x-1)

9. (3x4+2x2-4x+1): (x-2)

10. (x4-2x3+x2-2x+2): (x-4)

11. (x4-5x3-x2+2x-1):(x-3)

12. (x5-2x3+x2-1):(x-2)

13. (x3+x2+3x-1):( x-1)

14. (2x3-3x2+6x-2):( x+1)

15. (x4-x3+4x2-2x+1): (x-2)

16. (x4-x3-x2-x+1): (x+5)

17. (2x4-2x3+3x2-x+2): (x-1)

18. (x4+x3-2x2-x-1): (x-2)

19. (x4+ 2x3 -2x2-4x+1): (x-2)

20. (x5-2x4+x3-2x+2): (x-1)

21. (x7 + 2x5 3x4 + x + 2):(x-3)22. (4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + 2) : (x+2)23. (2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + 3) : (x-1)24. (x6 x5 + x4 + x3 - x 5) : (x-5)

25. (2x5 x4 + 3x3 - 2x2 + x 3) : (x-4)26. (5 x7 2x6 3x3 + x2 + 1): (x-2)27. (3x6 + x4 2x3+ x2 + x-2) : (x-3)17 Aplicar la regla de Ruffini en cada uno de los siguientes casos e indica si se trata de una divisin o de una aplicacin del teorema del resto

HALLAR EL VALOR DE K

EN EL POLINOMIOEL VALOR NUMRICO EN

NOS RESULTE

2x6 + 3x5 x4 + kx2 + 1x = 25

x7 + 2x5 3x4 + x + kx = 10

5x7 4x6 x4 + kx2 + x + 3x =2-9

3x6 x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + kx + 1 x =-110

6x7 + x4 3x3 + 2x2 x + kx = 3-12

2x7 + x6 x5 + kx3 x2 +2 x - 1x=- 435

3x6 x5 + 2x4 x3 - 2x + kx = 3-6

4x7 x6 + 2x5 3 x4 + kx + 9x = 12

- x7 + x6 + x4 x3+ kx2 - x - 1x = 2-50

3x6 + x4 2x3+ x2 + kx x =- 22

2x6 x5 + x3 x2 + x + kx =- 315

4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + kx = 1-5

7x5 2x4 + x3 + kx + 5x = 2-2

x6 x5 + x4 + kx3 - x - 5x = 10

2x5 x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3x= - 26

5x6 + 6x3 + kx - 2x = 330

2x5 + x4 - x2 - 2x + kx = 1-3

3x6 x5 + 4x4 5x3 2x + kx = 23

-3 x6 2x3 + kx =10

2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + kx =- 112

5 x7 2x6 3x3 + kx2 + 1x = 1-1

3 x6 2x5 + kx4 3x2 + 2x - 3x = 22

x5 x3 + kx + 22x = 210

-2 x6 + 6x4 + x3 2x2 + kx =- 2-29

5x5 + kx4 x3 - x + 3x =310

x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5x= - 115

2x5 + 3x4 x3 + 2x2 + kx - 1x = 12

3 x6 + 2x5 - x4 + kx2 - x - 2x =- 12

4x5 + kx4 5x = 2-165

2 x6 + kx - 1x =- 21

X3-5x2+kx-2x=25

3 x6 + 2x5 - x4 x2 + 2x + kx =316

HALLAR EL VALOR DE K

EN EL POLINOMIOPARA QUE AL

DIVIDIRLO

ENTRENOS RESULTE DE RESTO

6x6 + 2x5 x4 + kx2 + 1x + 2317

4x7 + 2x5 3x4 + x + kx - 10

5x7 4x6 x4 + kx2 + x + 3x + 2-927

3x6 x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + kx + 1 x + 110

6x7 + x4 3x3 + 2x2 x + kx + 3-12935

2x7 + x6 x5 + kx3 x2 +2 x - 1x - 435895

3x6 x5 + 2x4 x3 - 2x + kx + 3-1746

4x7 x6 + 2x5 3 x4 + kx + 9x + 10

- x7 + x6 + x4 x3+ kx2 - x - 1x - 2-51

3x6 + x4 2x3+ x2 + kx x - 2200

2x6 x5 + x3 x2 + x + kx - 31235

4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + kx + 1-5

7x5 2x4 + x3 + kx + 5x + 2-225

x6 x5 + x4 + kx3 - x - 5x + 10

2x5 x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3x - 269

5x6 + 6x3 + kx - 2x + 33490

2x5 + x4 - x2 - 2x + kx + 1-3

3x6 x5 + 4x4 5x3 2x + kx + 2338

-3 x6 2x3 + kx + 10

2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + kx - 112

5 x7 2x6 3x3 + kx2 + 1x + 1-1

3 x6 2x5 + kx4 3x2 + 2x - 3x + 2253

x5 x3 + kx + 22x + 20

-2 x6 + 6x4 + x3 2x2 + kx - 2-29

5x5 + kx4 x3 - x + 3x + 31086

x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5x - 115

2x5 + 3x4 x3 + 2x2 + kx - 1x + 12

3 x6 + 2x5 - x4 + kx2 - x - 2x - 10

4x5 + kx4 5x + 2-165

2 x6 + kx - 1x - 2123

3 x6 + 2x5 - x4 x2 + 2x + kx + 31608

x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5x - 21

9 FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Saca factor comn y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

2. Factoriza utilizando las frmulas de las identidades notables, saca factor comn en los casos

que necesites y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

3. Factoriza , saca factor comn en los casos que necesites y simplifica las siguientes

fracciones algebraicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

4.- Realiza las siguientes operaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

5.- Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

10 ECUACIONES DE 1 GRADO CON UNA INCGNITA

Conceptos:Procedimientos:

Se trata de encontrar un nmero real que verifique una igualdad. Para ello las operaciones que se hagan a un lado de la igualdad tambin se deben realizar al otro lado para que se mantenga la igualdadSi la ecuacin no tiene denominador ,si tienen parntesis, los operamos, cambiamos a la izquierda los trminos con incgnita , a la derecha los trminos sin incgnita y despejamos la incgnita.

Si la ecuacin tiene denominadores se calcula el MCM y se multiplican todos los trminos por l. Cuidado con los signos al quitar los denominadores, para no equivocarse utilizar parntesis con cada sumando.

Ejemplos

2(x-3) +3(x-5) = 4x-7 ;

1 Operamos los parntesis ; 2x-6 +3x -15 = 4x -7 ;

2 Se pasan aun lado del signo igual todos los trminos con x y al otro los trminos sin x y se opera.: 2x+3x-4x = -7+6-15 ; x= -16

;

el MCM de los denominadores es 54

54 ; 3(2x-3) 2(2 4x) = 18.5 9(2x 1)

6x 9 4 + 8x = 90 18x + 9

2.- Se pasan aun lado del signo igual todos los trminos con x y al otro los trminos sin x y se opera. 6x + 8x + 18x = 90 + 9 + 9 + 4; 32x = 112

3.- Se despeja x y se da la solucin. x =

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

11 PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO1 Hallar un nmero que sumado con 5 unidades sea igual al triple de dicho nmero disminuido en tres unidades

2 Hallar un nmero que al sumarle su doble y su tercera parte resulte 40

3 Hallar el nmero cuya mitad, tercera y cuarta parte , suman 39.

4 Dividir el nmero 668 en tres partes de las cuales la primera es 3/8 de la segunda y esta 5 / 14 de la tercera.

5 Hallar un nmero cuya mitad, mas su cuarta parte, ms una unidad, sea igual a dicho nmero.

6 Hallar tres nmeros sabiendo que son consecutivos y que suman 1807 Un nmero mas su cuarta parte es 100. Calcularlo.

8 La diferencia entre el tercio y el cuarto de un nmero es 512, hallarlo.

9 La diferencia entre el noveno y el dcimo del dinero que llevo es 15 Cunto dinero llevo?

10 Si a un nmero se le restan 2 unidades, resulta el triple de dicho nmero disminuido en 10 unidades.

Hallar dicho nmero.

11 Sumando la tercera ms la cuarta parte de un nmero da como resultado su mitad mas 27 De que nmero se trata?

12 Calcular un nmero sabiendo que 3 / 5 de su mitas es 2713 En una reunin de 100 personas el nmero de mujeres es el triple de hombres. Cuntos hombres y mujeres asistieron a dicha reunin?

14 Una botella y su tapn vales 11,5 . La botella vale 8 ms que el tapn. Calcular el precio de ambos

15 Un padre tiene 47 aos y su hijo 13 Cuntos aos tienen que transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la del hijo?

16 Un nio ha olvidado cierto nmero pero sabe que la diferencia entre su tercio y su cuarta parte es 8

17 Un vendedor de naranjas vendi la mitad de las que tena menos 6, luego 1/5 de las que le quedaban, mas tarde 3/ 4 partes de las que an conservaba. Le quedaron 12 Cuntas tena?

18 La edad de Alberto dentro de 12 aos ser el triple de la actual Cuntos aos tienen ahora?

19 En una reunin de 49 personas hay el doble nmero de mujeres que de hombres, el nmero conjunto

de nios y nias es cuatro veces el nmero de hombres Cuntas personas hay de cada clase?

20 Jaime y su hermana Elsa tienen 25 cromos. Reparte los cromos de manera que Elsa tenga 2 cromos mas que la mitad de Jaime.

21 Reparte 3000 euros entre tres personas de modo que la segunda reciba 16 euros mas que la primera y la tercera 28 euros ms que la segunda.

22 Antonio tiene 56 aos Qu edad tiene su hijo Lus si hace dos aos su padre le triplicaba la edad?

23 El precio de un libro coincide con un tercio de lo que vale ms un cuarto de lo que vale ms 5 euros. Cunto cuesta el libro?

24 Si al nmero que estoy pensando lo multiplico por 2 y a lo que me d le sumo 50, obtengo el 124 De qu nmero se trata?

25 En mi casa hay un patio rectangular de permetro 42 m . Hallar las dimensiones sabiendo que es el doble de largo que de ancho

26 Reparte 105 euros entre cinco personas de manera que a cada uno le correspondan 5 euros ms que el anterior.

27 Halla la longitud de una pieza de tela sabiendo que despus de haber vendido la mitad, la quinta parte y la dcima parte quedan diez metros.

28 En un garaje hay entre coches y motos 50 vehculos. Sabiendo que el nmero total de ruedas es de 160, halla el nmero de motos y coches.

29 La suma de las dos cifras de un nmero es 10, y el doble del nmero supera en una unidad al nmero

que se obtiene invirtiendo las cifras. Qu nmero es?

30 Encuentra un nmero tal que restndole 1 resulte tres veces mayor que restndole 10

31 La suma de tres nmeros pares consecutivos es 102. Calcularlos

32 La suma de dos mltiplos de tres consecutivos es 75. Calcularlos

33 Un pilote se halla clavado bajo tierra en 1/3 de su longitud, sus 2/5 partes quedan dentro del agua y restan en el aire 90 cm. Calcular la longitud total del pivote.

12 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCGNITAS

1) 5x y = 3

8x + 3y = 14 2) 2x + 5y = 14

x 2y = -2 3) 6x y = 9

x + 3y = 11 4) 7x + 5y = -3

x - y = 3 5) 8x 3y = -2

2x + y = -4

x=1 y=2x=2 y=2x=2 y=3x=1 y=-2x=-1 y=-2

6) x 7y = 17

8x + 9y = 6 7) - 6x + 5y = -6

2x - y = 2 8) 8x 2y = 0

-x +9y = 35 9) 8x 3y = 10

4x + 2y = 12 10) 2x 3y = 4

- x + y = -3

x=3 y=-2x=1 y=0x=1 y=4x=2 y=2x=5 y=2

11) 2x + 3y = 9

7x 3y = 19 12) 4x + 3y = 1

3x 2y = 5 13) 3x 2y = -10

4x + y = -6 14) -5x 3y = -6

6x + 7y = -3 15) -3x y = -9

4x + 5y = 34

x=3 y=1x=1 y=-1x=-2 y=2x=3 y=-3x=1 y=6

16) 2x - y = 5 3x + 5y = 14 17) 9x - y = 10

6x + 2y = 418) 2x + 3y = 2

5x 7y = -24 19) x 2y = 9

2x + y = 3 20) - x 5y = -31

3x 4y =-21

x=3 y=1x=1 y=-1x=-2 y=2x=3 y=-3x=1 y=6

21) -3x + 9y = -3 4x + y = -22 22) 5x 2y = 13

7x - y = 11 23) -x + 7y = 30

8x -11y= -60 24) -2x - y = -6

3x + 7y = 20 25) -3x + 11y = 7

4x - 3y = 14

x=-5 y=-2x=1 y=-4x=-2 y=4x=2 y=2x=5 y=2

26) 6x + 7y = 32

3x + y = 1127) 3x - y = 4

5x + 8y = -328) -2x + 6y = 16

5x 3y = -16 29) 4x + y = 9

2x + 5y = -9 30) 2x - y = -4

4x -2y = -8

x=3 y=2x=1 y=-1x=-2 y=2x=3 y=-3x=1 y=6

31) -3x 7y = 2

x - y = -4 32) 6x + 5y = 21

-x + 2y = 5 33) x 5y = -12

4x + 6y = 4 34) 8x + 3y = 15

6x + 11y= -15 35) - x + 5y = 29 7x + 3y =25

x=-3 y=1x=1 y=3x=-2 y=2x=3 y=-3x=1 y=6

36) 6x + 3y = 27

4x + 5y = 21 37) 6x + 7y = -1

8x - y = 9 38) 2x + 5y = 1

4x + 9y = 1 39) 4x - y = 10

3x -7y = -5 40) - x + 2y = 13

7x 5y =-37

x=4 y=1x=1 y=-1x=-2 y=1x=3 y=2x=-1 y=6

41) 10x - y = 16

5x + 2y =18 42) 6x - y = 7

x + y = 2 43) x + y = 5

2x - 2y = 2 44) 2x + y = 3 x + y = 0 45) 4x + 5y = 34 7x - y = 1

x=2 y=4x=1 y=-1x=3 y=2x=3 y=-3x=1 y=6

46) 7x 3y = 29

x - 5y = -547) 9x 3y =12

5x- y = 848) 5x 3y = 1

-x - y = -5 49) 3x 6y = 15

4x + 5y = -6 50) 7x + 2y = -11

9x + y = -11

x=5 y=2x=2 y=2x=2 y=3x=1 y=-2x=-1 y=-2

51) 8x - y = 6

7x + 5y =17 52) 8x 3y = 22

7x + y = 12 53) 3x + 4y = 18

9x - 2y = 12 54) 8x - y = -2

7x + y = 17 55) 2x + 5y = -12

7x + 9y = -25

x=1 y=2x=2 y=-2x=2 y=3x=1 y=10x=-1 y=-2

56) 7x 3y = 2

x + 6y = 157) 9x 3y =3

5x + y = 858) 5x 3y = 1

-x - y = 2 59) 2x 6y = 3

4x 8y =1 60) 11x + 2y = 1

9x + y = 1

x=1/3 y=1/9x=9/8 y=19/8x=-5/8 y=-11/8x=-9/4 y=-5/4x=1/7 y=-2/7

71) -2x + 9y = 2

4x -6 y = -2 72) 5x 2y = 1

7x - y = 1 73) -x + 7y = 3

3x -11y= -4 74) -2x - y = -2

3x + 3y = 2 75) -3x +5 y = 5

6x - 3y =- 1

x=-1/4 y=1/6x=-1/ y=-4/3x=1/2 y=1/2x=4/3 y=-2/3x=10/21 y=9/7

76) 6x + 3y = 2

4x + y = 1 77) x + y = -1

2x - y = 5 78) x + y = 1

4x -y = 1 79) 4x - y = 1

-3x +2y = 4 80) - x + 2y = 1

x +5y =7

x=1/6 y=1/3x=4/3 y=-7/3x=2/5 y=3/5x=6/5 y=19/5x=8/7 y=15/14

81) -2x + 9y = 3

x -6 y = -1 82) 8x 2y = 1

- 3x + y = 1 83) -x + 7y = 3

3x -12y= 1 84) -2x - y = -2

3x + 3y = 2 85) -3x + y = 5

6x - 4y =- 1

x= -3 y=-1/3x=3/2 y= 11/2x=2/5 y=10/9x=43/9 y=10/9x=-19/6 y=-9/2

86) 3x + y = 2

4x + 5y = 9 87) x + y = -1

8x - y = 9 88) 2x + 5y = 1

4x + 8y = 3 89) 4x - y = 10

3x +y = -7 90) - x + y = 1

2x 5y =-3

x=-1/11 y=-25/11x=8/9 y=-17/9x=7/4 y=-1/2x=3/7 y=-58/7x=-2/3 y=1/3

13 PROBLEMAS DE SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITAS DE PRIMER GRADO 1 Hallar dos nmeros sabiendo que su diferencia es 22 y que el mayor es triple del menor

2 Calcular las dimensiones de un rectngulo de permetro 20 m sabiendo que la altura es 2/3 de la base.

3 El cociente exacto entre dos nmero es 3 y su diferencia es 24. Calcularlos

4 Hallar dos nmeros cuya diferencia es 7 y cuya razn es 3/2

5 La diferencia entre dos nmeros es 121 y su cociente exacto es 12. Calcularlos.

6 Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si el padre tuviera 30 aos menos y el hijo 8 ms tendran la misma edad. Averigua la edad de cada uno.

7 Un televisor y un video cuestan 1080 . Si el televisor se rebaja un 20% , entonces costaran lo mismo Cul es el precio de cada uno?

8 En una granja hay gallinas y conejos. El nmero de cabezas es de 282 y el de patas 654. Calcula cuntas gallinas y cuntos conejos hay.

9 Hemos pagado una factura de 435 con billetes de 5 y 10 En total hemos dado 60 billetes . Averigua cuantos hay de cada clase.

10 Calcula el rea de un rombo sabiendo que la suma y la diferencia de sus diagonales es 170 y 70 respectivamente.

11 En una papelera se han vendido 13 cuadernos de tipo A y 12 de tipo B por 79,10 . Calcular el precio de cada tipo si sabemos que el precio del tipo B es el 80% del tipo A

12 Las dos cifras de un nmero suman 12. Si se invierten el orden de estas se obtiene el mismo nmero 18 unidades mayor. Calcula dicho nmero.

13 Hace 10 aos la edad de una persona era el doble que la de otra y dentro de 16 aos, la edad de la primera ser 4 / 3 de la segunda. Calcula la edad de esas dos personas.

14 Dos nmeros de diferencian en 53 unidades. Si dividimos el mayor entre el menor el cociente es igual a 2 y el resto a 21. Calcula los nmeros.

15 Hallar dos nmeros cuya suma es 72 y cuya diferencia es 26.

17 Hallar dos nmeros sabiendo que suman 85 y que el menos aumentado en 36, equivale al doble del mayor, disminuido en 20.

18 En un garaje hay motos de dos cilindros y autos de 6 cilindros; en total hay 80 cilindros y 58 ruedas. Calcular el nmero de motos y autos que hay en el garaje

19 Hallar las edades de un padre y un hijo, sabiendo que hace 8 aos la edad del padre era 8 veces la del hijo y dentro de 16 aos ser solamente el doble.

20 Hallar las edades de A y B sabiendo que hace 6 aos A tena el triple de edad que B y dentro de 12 aos A tendr 20 aos ms que B

21 A dice a B. Mi edad es el triple de la que t tendrs dentro de 6 aos. Hallar la edad de cada una sabiendo que la suma de las edades actuales es 50 aos.

22 Un muchacho vive en el ltimo piso de su casa. Baja la escalera de 3 en 3 y sube de 2 en 2 y en total de 100 saltos Cuantos peldaos tiene la escalera?

23 Dos nmeros son entre si como 5 es a 3, y si al primero se le restan 10 y al segundo se le suman la razn se invierte. Hallar dichos nmeros.

24 Hallar el numerador y el denominador de una fraccin sabiendo que si los aumentamos en 3 la fraccin es igual a 5 / 7 y si los disminuimos en 6 unidades resulta 1 / 5.

25 Se han pagado 9,20 por 10 kg de azcar de dos clases diferentes. La primera cuesta 0,9 / Kg. y la segundo 1 / Kg.

26 Se han mezclado dos cantidades de vino de 3 /l. y 6 /l., obteniendo 200 litros de mezcla que sale a 3,75 / l. Qu cantidades se mezcl de cada clase?

27 La nota media de matemticas de la clase de tercero A es 5,4 y la de tercero B es 6,4. Cuntos alumnos hay de cada grupo si en total son 50 con una nota media de 5,88?

28 La base de un rectngulo es 15 m mayor que la altura. El permetro mide 70m. Calcular la longitud de los lados

29 Las bases de un trapecio issceles se diferencian en 7cm. Su altura mide 18 cm. y su rea es igual a 297cm2. Calcula la longitud de las bases.

30 La suma de dos nmeros es 7 y su cociente exacto es tambin 7 .Calcularlos.

14 SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCGNITAS x + y + z = 6

1 x + 2y z= 2

2x y +2z=6 x + y z = 2

2 2x- y +3z=3

4x+2y-2z=6 x -2y + z = -1

3 2x+ y-3z =8

3x -2y+ 2z=2 x +2y -2 z = 1

4 2x+ y +z =1

5x+ y- 3z=-6

x=1 ; y=2 ; z=3x=1 ; y=2 ; z=1x=2 ; y=1 ; z=-1x=-1 ; y=2 ; z=1

x -2 y -2 z = -3

5 2x -4y +3z= -13

3x y - z = 1 x + y + z = 3

6 3x + y -z=3

2x+2y-3z=1 x - y + z = 3

7 2x+ 3y-2z =-2

3x -4y+ 2z =7 x +2y -4z = 4

8 5x -3y +z =7

3x+ y- 2z= 7

x=1 ; y=3 ; z=-1x=1 ; y=1 ; z=1x=1 ; y=0 ; z=2x=2 ; y=1 ; z=0

x y z = 1

9 3x y + z= -1

7x + y +z=7 4x +3y -2z = 5

10 2x- 4y +7z=5

3x -4y +2z=1 2x +3y- z = 3

11 3x+ 2y-z =3

5x +3y+ z=10 2x +y + z = -3

12 3x+4y +2z =-1

-5x+2y- 4z=-21

x=1 ; y=2 ; z=-2x=1 ; y=1 ; z=1x=1 ; y=1 ; z=2x=-1 ; y=2 ; z=-3

3x -2y +z = 16

13 2x +4y z= -10

-7x + 2y +3z=-14 x + y + z = 5

14 2x- 4y +3z=1

3x +7y -2z=2 x +3y- z = 2

15 3x+ 2y-z =3

4x +3y+ z=9 5x -2y +z =-15

16 2x+2y z =1

4x -3y- 2z=-26

x=2 ; y=-3 ; z=2x=0 ; y=2 ; z=3x=1 ; y=1 ; z=2x=-2 ; y=4 ; z=3

4x y -z = 8

17 x + y -5z= -10

4x + y +2z=10 x +2y +2z = 5

18 3x- y +2z=4

4x + y -3z=2 2x y- z = 2

19 4x+ y-2z =0

3x y+ 2z=6 4x+2y +4z =18

20 2x+ y + z =5

6x y- 3z=3

x=2 ; y=-2 ; z=2x=1 ; y=1 ; z=1x=1 ; y=-1 ; z=1x=2 ; y=-3 ; z=4

x + y + z=14

21 x y + z = 22

-x + y + z =2 x + y + z = 1

22 3x + y -z=3

2x+2y-3z=7 x + y + z = 5

23 3x + y -z=-5

2x+3y+2z=14 x + y + z = 4

24 x +3z=0

3x+2y=13

x = 6; y= -4; z= 12x =0; y=2; z=-1 x=-2 ; y=4 ; z=3x=3 ; y=2 ; z=-1

x + y - z = 4

25 x + 2y z= 6

2x y +2z=-2 x + 2y z = -4

26 2x+3y +3z=-1

4x+ y-2z =0 x -2y + z = 0

27 2x+ y -3z =10

3x -2y+ 2z=5 x +2y -2 z = -5

28 2x+ y +z =1

5x+ y- 3z=0

x=1 ; y=2 ; z=-1x=1 ; y=-2 ; z=1x=3 ; y=1 ; z=-1x=1 ; y=-2 ; z=1

x -2 y -2 z = 2

29 2x +4y +3z= 2

3x -2y -3z = 4 x +2 y + z = 4

30 3x + y -z=3

2x+3y-3z=2 x - y + z = 3

31 2x+ 3y-2z =-3

3x -4y+ 2z =9 x -2y -4z = -12

32 5x -3y +z =17

3x+ y- 2z= -3

x=2 ; y=-2 ; z=2x=1 ; y=1 ; z=1x=1 ; y=-1 ; z=1x=2 ; y=-1 ; z=4

x + y + z=3

33 2x y + z = -2

-x + y + z =1 x -y + z = 1

34 3x + y -z=3

2x+2y+3z=7 x + y + z = 5

35 3x + y -z=3

2x+3y+2z=10 x + y + z = 4

36 x +3z=5

3x+2y=8

x=1 ; y=3 ; z=-1x=1 ; y=1 ; z=1x=1 ; y=2 ; z=2x=2 ; y=1 ; z=2

x + y + z=-2

37 2x y + z = 3

-x + y + z =-4 x -2y + z = 1

38 4x + y z =3

2x+2y+3z=10 x + y + z = 7

39 3x - y - 2z =3

2x+3y+2z =16 x + y + z = 6

40 x +3z=11

3x+2y=8

x=1 ; y=-2 ; z=-1x=1 ; y=1 ; z=2x=3 ; y=2 ; z=2x=2 ; y=1 ; z=3

x + 2y +z = 4

41 x + 2y z= 6

3x y +2z=-1 x + 2y z = 4

42 2x+3y -3z=5

4x+ y+2z =8 x +2y +2 z = 3

43 4x +2y +3z =11

3x -2y+ 2z=5 x +2y -2 z = -5

44 2x+ y +z =1

5x+ y+ 3z=6

x=1 ; y=2 ; z=-1x=1 ; y=2 ; z=1x=3 ; y=1 ; z=-1x=1 ; y=-2 ; z=1

x + y - z = 1

45 x + 2y z= 3

2x y +2z=4 x + 2y z = 0

46 2x+3y +3z=5

4x+ y-2z =2 x -2y + z = -5

47 2x+ y -3z =0

3x -2y+ 2z=-10 x +2y -2 z = 3

48 2x+ y +z =7

5x+ y- 3z=2

x=1 ; y=2 ; z=2x=1 ; y=0 ; z=1x=-2 ; y=1 ; z=-1x=1 ; y=3 ; z=2

15 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOCompletaIncompleta falta bIncompleta falta c

y=ax2-bx+cax2+c=0x2+bx=0

x=

x=

x(x+b)=0

x=0 y x=-b/a

1) Resolver las siguientes ecuaciones:

1. x2 5x + 6 = 0

2. x2 10x + 9 = 0

3. x2 8x + 15 = 0

4. x2 + 12x +32 = 0

5. x2 9x + 8 = 0 .

6. x2 2x - 15 = 0

7. x2 x - 2 = 0

8. x2 - 3x - 10 = 0

9. x2 7x + 6 = 0

10. x2 7x + 12 = 0

11. x2 4x - 12 = 0

12. x2 - 6x + 5 = 0

13. x2 - 6x + 9 = 0

14. x2 2x +1 = 0

15. x2 3x - 4 = 0

16. x2 + x - 2 = 0

17. x2 9x + 20 = 0

18. x2 - 5x + 4 = 0 .-

19. x2 2x - 3 = 0 .

20. x2 + 7x + 12 = 0

21. x2 4x + 3 = 0

22. x2 10x + 25 = 0

23. x2- 12x +36=0

24. x2 - 5x - 6 = 0 .

25. x2 11x + 24 = 0

26. x2 3x + 2 = 0

27. x2 7x - 8 = 0

28. x2 4x + 4 = 0

29. x2 14x +4 9 = 0

30. x2 +4x + 4 = 0

31. x2 - 6x + 8 = 0

32. 14x2 132x + 3 = 0

33. 4x2 20x + 1 = 0

34. 3x2 + 7x - 6 = 0

35. 4x2 + 4x - 3 = 0

36. 15x2 26x + 8 = 0

37. 3x2 2x - 5 = 0

38. 4x2 17x + 4 = 0

39. 6x2 - x - 1 = 0

40. 2x2 7x + 6 = 0

41. 3x2 11x + 10 = 0

42. 4x2 + 3x - 1 = 0

43. 4x2 + 8x - 5 = 0

44. 9x2 18x + 8 = 0

45. 4x2 -16 x + 15 = 0

46. 15x2 32x + 16 = 0

47. 12x2 - 23x + 5 = 0

48. 4x2 8x + 3 = 0

49. 2x2 - 9x + 10 = 0

50. 4x2 + 7x - 2= 0

51. 3x2 + 10x - 8 = 0

52. 2x2 5x + 3 = 0

53. 3x2 + x - 10 = 0

54. 4x2 12x - 5 = 0

55. 14x2 - 27x - 20 = 0

56. 15x2 41x + 28 = 0

57. 6x2 + x 2 = 0

2 Resolver las siguientes ecuaciones incompletas:

1. 2x2 x = 0

2. 3x2+6x=0

3. 5x2-10x=0

4. 2x2-x=0

5. 2x2 3x = 0

6. x2 + x = 0

7. x2 5x = 0

8. x2 + 9x = 0 .-

9. 2x2 5x = 0

10. x2 6x = 0

11. x2 + 2x = 0

12. x2 + 8x = 0

13. x2 - 2x = 0 .-

14. 2x2 7x = 0

15. 3x2 x = 0

16. 4x2 + 7x = 0

17. x2 + 7x = 0

18. x2 - x = 0

19. x2 + 3x = 0

20. 3x2 + 5x = 0

21. x2 - 3x = 0

22. 5x2 x = 0

23. 5x2 - 4x = 0

24. 3x2 2x = 0

25. x2 4x = 0

26. 5x2 - 2x = 0

27. 3x2 4x = 0

28. x2 - 7x = 0

29. x2 1 = 0

30. 4x2 1 = 0

31. 9x2 1 = 0

32. 16x2 25 = 0

33. 9x2 16 = 0

34. x2 4 = 0

35. 16x2 1 = 0

36. 4x2 49 = 0

37. x2 9 = 0

38. 4x2 9 = 0

39. 16x2 49 = 0

40. x2 16 = 0

41. 25x2 16 = 0

42. x2 25 = 0

43. 49x2 1 = 0

44. 9x2 25 = 0

45. x2 36 = 0

46. 16x2 9 = 0

47. x2 49 = 0

48. 9x2 4 = 0

49. 25x2 1 = 0

50. x2 64 = 0

51. 49x2 4 = 0

52. 25x2 36 = 0

53. x2 81 = 0

54. x2-169=0

55. x2-144=0

56. 36x2-1=0

57. x2-8x=0

58. 169x2-144=0

59. 16x2-25=0

60. 9x2-36=0

3 Opera y resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado:

1. (x-1)2 +(x-1)2=02. (x-1)2 +(x+1)2=4

3. (x-1)2 +(x-3)2=15

4. 3(x-5)2=75

5. x+=

6. 3x-10 =

7. 11(x-1)2=(2x-3)2+4x2+1

8. 5x(x+4)=2

9. (1-2x)2=1

10. (x+5)2=25

11. (x+1)2=4

12. (x+2)(x-1)=30

13. (x-3)(x+1)=21

14. (x-2)(x+3)=2x-6

15. (x+4)(x-8)=-4x+4

16. (2x-1)(3x+4)=0

17. (x-1)2=1

18. 2x(2x-5)-18=x(7-x)-12

19. (x+4)2=8x

20. 25x(x+1)=-4

21. (2x-3)2=8x

22. (x+2)(x-2)=2(x+5)+21

23. 2x(3x-4)-(1-3x)(1+x)=-2

24. (x-3)2=9

25. (2x-1)2+(x-3)2=10

26.

27.

28.

29.

EMBED Equation.3 30.

EMBED Equation.3 31.

32.

33.

34.

35. x+1=

36. x-6=

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

EMBED Equation.3 -2x=8x2-1

58.

59. (x+1)

60. x(x-1) +1 =+

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

16 PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO1. La mitad del cuadrado de un nmero es 242. Hallarlo

2. Si al cudruple de un nmero se le aaden 320 unidades se obtiene el cuadrado del nmero. Calcularlo

3. Un terreno rectangular ocupa 98m2. Calcular las dimensiones sabiendo que uno de los lados mide el doble que el otro

4. Hallar un nmero sabiendo que si se le aaden 15 unidades resulta

5. Calcula dos nmeros impares consecutivos cuyo producto sea 195

6. Si multiplicas la tercera parte de cierto nmero por sus tres quintas partes, obtienes 405Cul es ese nmero?

7. Un seor compra una parcela de terreno por 4800 . Si el m2 hubiera costado 2 menos, por el mismo dinero hubiera comprado una parcela 200 m2 mayor. Cul es la superficie de dicha parcela?

8. Un ranchero decide repartir una manada de 456 caballos entre sus hijos e hijas. Antes del reparto se enfada con los dos nicos varones, que se quedan sin caballos. As que cada hija recibe 19 cabezas ms. Cuntas son las hijas del ranchero?

9. Varios amigos alquilan un velero por 800. Si hubieran sido tres ms habran pagado 60 menos Cuntos amigos son?

10. Si al triple de un nmero se le quitan 10 unidades resulta la octava parte de su cuadrado. Averiguar de que nmero se trata.

11. Cunto mide el rea de un cuadrado si al aumentar en 2 unidades la longitud de cada lado, el rea del cuadrado resultante es 361 cm2?

12. Hallar dos nmeros positivos consecutivos tal que la suma de sus cuadrados sea 313

13. Hallar dos nmeros positivos consecutivos tal que el cuadrado de su suma es 361

14. La suma de los cuadrados de tres nmeros consecutivos positivos es 365. Hallarlos.

15. El cuadrado de la suma de dos nmeros enteros consecutivos es 529. Hallarlos

16. El producto de dos nmeros impares consecutivos excede en 114 unidades al cuadrado del menor. Calcular dichos nmeros.

17. Al aadir tres unidades a la novena parte del cuadrado de cierto nmero se obtiene el consecutivo de dicho nmero. Hallar el nmero.

18. El permetro de un rectngulo es 30 cm. y su rea es 56cm2. Hallar la longitud de los lados.

19. Hallar la base y la altura de un rectngulo sabiendo que su diagonal mide 50 cm. y que la base tiene 10 cm. ms que la altura.

20. Descomponer el nmero 16 en dos partes de manera que su producto sea 60.

21. Aadiendo 5 unidades a un nmero natural y multiplicndolo por el mismo nmero disminuido en 5 unidades, el producto de ambos es 144. Cul es el nmero

22. Hallar un nmero tal que quitndole 60 unidades a su cuadrado resulte lo mismo que quitndole 4 unidades al propio nmero.

23. Un padre reparte 3600 entre sus hijos en partes iguales. Si tuviese 3 hijos menos cada uno recibira 200 ms Cuntos hijos tiene ese padre?

24. Hallar los catetos de un tringulo rectngulo sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm. Y un cateto es 7 unidades ms que otro.

25. Un nmero es 10 unidades mayor que otro y el producto de los dos nmeros es -24

26. Un nmero es 13 unidades menos que otro y la suma de sus cuadrados es 349

27. Un rectngulo tiene 300cm2 de rea y su diagonal mide 25 cm. Cunto miden los lados?

28. Calcular la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su rea es la cuarta parte del rea de otro cuadrado cuyo lado es 2 cm mayor.

29. Un cao tarde 5 horas ms que otro en llenar un depsito. Juntos tardara 6 horas. Cunto tardar cada cao en llenarlo por separado?

30. Si un nmero se multiplica por el mismo aumentado en 2 unidades el producto es 15. Calcularlo.

17 ECUACIONES BICUADRADAS Y DE ORDEN SUPERIOREcuaciones bicuadradas

Procedimiento:

Se hace el cambio de variable x2 = y; x4 = y2, y se resuelven como las ecuaciones de 2 grado. Al terminar se deshace el cambio de variable.

Ejemplo: x4 6x2 + 5 = 0; x2 = y; y2 6y + 5 = 0;

y =

Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas:

1. x4-5x2 +4=0

2. x4-8x2 -9=0

3. x4-25x2 +144=0

4. 36x4-13x2 +1=0

5. x4+4x2 +3=0

6. x4-13x2 +36=0

7. x4-26x2 +25=0

8. 4x4-17x2 +4=0

9. 9x4+5x2 -4=0

10. 4x4 -5x2+1=0

11. 44x4-25x2+1=0

12. (3x2+3)(x2-5)=-15

13. (x2-5)(x2-3)=-1

14.

15.

16. 2x4-10x2 +8=017. 4x4-5x2+1=0

18. 9x4 -10x2 +1=0

19. 16x4 -17x2+1=0

20. 25x4-26x2+1=021.

22.

23.

24. 4x4 40x2 + 36=0Ecuaciones de grado superior

Procedimiento:

Se obtienen soluciones por el mtodo de Ruffini hasta obtener una ecuacin de segundo grado que se resuelve utilizando la frmula.

Ejemplo: 8x4 6x3 7x2 +6x 1 = 0

8

-6

-7

6

-1

182-5182-510-1-86-18

-6

1

0

8x2-6x+1=0

x=

Soluciones:1, -1, 1/2, 1/4

Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior:

1. 6x3 + 5x2 -2x -1 =0

2. 2x3-x2-8x+4 =03. 6x3- 17x2+11x-2=0

4. 3x3+x2-12x-4=0

5. 2x4-9x3+6x2+11x-6=0

6. 3x4+5x3-10x2-20x-8=0

7. 3x4+7x3+x2-7x-4=0

8. 2x3-3x2-2x+3=0

9. 12x4-x3-49x2+4x+4=0

10. 4x4-20x3+15x2+45x-54=011. 6x4+17x3-8x2-27x+18=0

12. 9x4-36x3+26x2+4x-3=0

13. 9x4-36x3+26x2+4x-3=0

14. 5x3-x2-5x+1=015. 5x5-x45x3+x2=016. 9x4-45x3+50x2+20x-24=017. 6x4-x3-23x2+4x+4=0

18. 6x3+13x2+4x-3=018 FUNCIONES LINEALESDefinicin: La relacin de proporcionalidad directa entre las magnitudes x e y se puede expresar como funciones de ecuacin y=mx. Las grficas pasan por el origen y m representa la pendiente.

Y

b (a,b)

y=mxSi (a,b) es un punto de la recta la pendiente verifica m=

EMBED Equation.3 Cuanto mayor sea la pendiente ms inclinada ser la recta

o a XSi la pendiente es positiva la recata crece

Si la pendiente es negativa la recta decrece

Definicin: Las grficas de las recta y=mx+n son rectas que no pasan necesariamente por el origen m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.

Ejemplo: Representar y=2x-2

Y y=2x-2

1 2 3La ordenada en el origen es -2 que es el punto de corte con el eje Y.

Resolvemos la ecuacin 2x-2=0 ; x=1 es el punto de

X -1

-2

corte con el eje X.

Unimos los dos puntos y representamos

Definicin: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente . Son se cantes si tienen pendiente distinta. .Para calcular su punto de corte resolvemos el sistema que forman.

1.-Calcular la ecuacin de la recta y representar en las siguientes casos:

1. pendiente 3 y ordenada en el origen 3

2. pendiente -2 y ordenada en el origen 3

3. pendiente -5 y ordenada en el origen 2

4. pendiente 5 y ordenada en el origen -3

5. pendiente 3 y pasa por el punto P (1,2)



8. Pasa por los puntos P(1,3) Q(3,-2)

9. Pasa por los puntos P(-1,2) Q(1,-2)



12. pendiente -2 y pasa por el punto P (3,-2)

13. Es paralela a la recta y=-3x+1 y pasa por el punto P(-1,-2)

14. Es paralela a la recta y=3x-1 y pasa por el punto P(2,-2)

15. Es paralela a la recta y=4x+1 y pasa por el punto P(2,-2)

16. Es paralela a la recta y=2x-1 y pasa por el punto P(1,-2)

2.- Estudiar la posicin relativa de los siguientes pares de rectas. En caso de ser secantes calcular su punto de interseccin.

1. y= 2x-1 e y=3x+2

2. y=3x-1 e y=3x+2

3. y=4x-1 e y=2x-3

4. y= 3x-3 e y=-3x+2

5. y=5x-2 e y=5x+1

6. y=3x+4 e y=4x+3

7. y=2x-2 e y=3x-1

8. y=-2x-2 e y=-2x+4

9. y= -2x+1 e y=3x-3

3.- Dibujar y encontrar las ecuaciones del paralelogramo de vrtices A ( -1,1) ; B ( 5,1 ) ; C (3 ,1) ;D (-3, -1).

4.-Dado el tringulo de vrtices A( 3,1) ; B(6,4); C (8,-2) Hallar:

a) Ecuaciones de los tres lados

b) Recta paralela al lado AB que pasa por C

c) Puntos medios de los tres lados

19 FUNCIONES CUADRATICASProcedimiento general:

y=ax2+bx+c1. Calculamos sus puntos de corte:

Eje OX resolvemos la ecuacin (x1, 0) y (x2 ,0)

Eje OY (0,c)

2. Calculamos su vrtice:

Abcisa x= bien x=

Ordenada sustituimos x en la ecuacin.

Ejemplo: Representar y= x2 +2x -3

1 resolvemos x=

como c=-3 sus puntos de corte son ( 1, 0) ; (-3, 0) ; ( 0, -3).

2 Vrtice x= sustituimos x=-1 en la ecuacin

y=(- 1)2 + 2(-1) -3 = -4

luego el vrtice es V=( -1. -4).

Representar las siguientes parbolas indicando sus puntos de corte y vrtice:

1. y=x2-5x+6

2. y=8x2+32x

3. y=x2-5x+4

4. y=x2-16

5. y=4-x26. y=-x2+4x-4

7. y=x2 10x + 9

8. y=x2 + 2x

9. y= x2-4

10. y=x2-9

11. y=x2-16

12. y=x2+3x

13. y=x2-5x

14. y= -x2-x+2

15. y= -x2+6x-5

16. y=-x2+4x+5

17. y=x2-6x-7

18. y=x2-8x-9

19. y=x2-4x-5

20. y=-x2+5x-4

21. y=x2-4x

22. y= x2-1

23. y=x2-x

24. y=x2-2x+120 ESTUDIO DE FUNCIONES A PARTIR DE SU GRFICAA partir de la grfica de las siguientes funciones estudia: dominio, recorrido, puntos de corte, simetra, asntotas, monotona, mximos, mnimos

1 Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se detiene para comer. A continuacin, sigue avanzando durante otro rato ms, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que haba elegido para la ida.

Observando la grfica anterior, responder:

a. A cuntos kilmetros de su casa decide parar a comer?

b. Qu tiempo haba transcurrido cuando decide esa parada?

c. Cunto tiempo ha estado comiendo?

d. Cunto tarda en volver a casa desde que decide regresar?

e. En qu momento de la ida tena el camino una pendiente ms pronunciada?

f. Durante qu franja de tiempo pedale a ms velocidad el ciclista?

g. Cules son el dominio y el recorrido de la funcin?

h. Cuntos kilmetros ha recorrido entre la ida y la vuelta?

2 Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que s lo sean, indica cul representa la variable independiente y cul la dependiente.

a. A todo nmero natural se le hace corresponder su nmero natural siguiente.

b. A todo nmero natural se le asocian sus divisores.

c. A cada da del ao se le asocia la cotizacin del euro frente al dlar.

d. A todo nmero fraccionario se le asocia su inverso.

e. A todo nmero se le asocia su raz cuadrada.

f. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase.

g. A todo nmero se le asocia su doble ms siete.

3 Cules de stas grficas no corresponden a una funcin? Por qu?

4 La cotizacin en bolsa de un determinado producto en los primeros 10 das en que se sac a bolsa es la funcin representada en la imagen:

a) Cul es su dominio? Cul es su recorrido?

b) Cunto cotizaba este producto al cabo de 1 da? Y al cabo de 9 das?

c) Cundo suben las acciones? Cundo bajan?

d) Cundo alcanzan su mximo? Y su mnimo?

5 Observa los siguientes datos que se dan en una tabla:

Corresponden al nmero aproximado de bacterias, en miles, de una colonia a lo largo del tiempo medido en horas.

a) Cul es la variable independiente? Y la dependiente?

b) Hacer un esbozo de la grfica de esta funcin.

6 Un padre que estuvo observando desde el balcn a su hijo Alberto como iba al colegio: De casa sali a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Toms. Lo esper un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que se haba dejado la cartera en el banco; volvi corriendo, la recogi y lleg a la escuela a las 9 en punto. Esbozar una grfica que represente la funcin que describe la distancia a la que se encuentra Alberto segn el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la maana.

7 Esta grfica muestra la evolucin de la audiencia de radio en Espaa en un da promedio del ao 1993. El porcentaje se refiere a toda la poblacin espaola de 14 aos o ms.

a. Entre qu horas se realiza la medida?

b. En qu horas del da aumenta el porcentaje de personas que escuchan la radio? Cundo disminuye?

c. En qu momento de la maana es mximo el porcentaje de oyentes?

d. Cul es el mximo de la tarde? Y de la noche?

e. Cul es el porcentaje de oyentes a las 8 de la maana? Y a las 9 de la noche?

8 La siguiente tabla muestra los datos recogidos respecto a la longitud del feto durante el embarazo segn las semanas de gestacin:

a. Usando la tabla de valores, representar grficamente la funcin.

b. Sealar cul es la variable independiente y cul la dependiente y en qu se mide cada una.

c. Durante las primeras dos o tres semanas de gestacin el feto es casi microscpico. Cunto medir cuando la gestacin sea de 12 semanas y media.

d. Cul es la longitud que suele tener un nio al nacer?

e. Si la expresin P = 0'025l3 nos da de forma aproximada el peso del feto en gramos segn su longitud l en centmetros. Construir la correspondiente tabla y dibujar la grfica de la funcin que representa el peso en gramos del feto segn la semana de gestacin.

9 Un remonte de una pista de montaa funciona de 9 de la maana a 4 de la tarde y su recorrido es el siguiente: Desde la salida hasta la pista, que est a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para en la pista 15 min. Baja hasta la base en 10 minutos. Est parado 20 min, y empieza de nuevo el recorrido.

a. Dibujar la grfica que representa el recorrido del remonte.

b. Cul es la posicin del remonte a las 12 h 30 min? Y a las 12 h 20 min?

c. Observas alguna caracterstica especial en la grfica?. Comentarla.

10 Observar en esta grfica que el nmero de viajeros en una lnea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la maana.

a)El crecimiento de la funcin es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8?

b) Indica los tramos en los que la funcin es decreciente y los tramos en los que es creciente.

c) En qu tramo no hay variacin en el nmero de viajeros? Cmo diras que es la funcin en ese tramo?

d) En qu momento hubo un nmero mximo de viajeros?

11 La siguiente grfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad:

a. Cundo crece el nivel de ruido? Cundo decrece?

b. Indicar los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es mxima o mnima.

12 Estudiar los intervalos en los que la siguiente funcin es cncava o es convexa. Encontrar los puntos de inflexin:

13 El supermercado EROSKI no cierra el medio da y quiere saber si eso es rentable. Para ello, ha realizado la grfica que representa la afluencia de pblico un da de la semana, resultando esta:

Construye la tabla que recoja los datos que muestra la grfica y contesta:

a) Es rentable para Eroski abrir al medioda?

b) Cules son las horas de ms afluencia de personas (mximos)?

c) Cules son las horas de menos afluencia de personas (mnimos)?

d) En qu tramos la grfica es creciente? Y decreciente?

14 Representa una funcin con las siguientes caractersticas:

- Su dominio es el intervalo [-4; 6] y es continua.

- Tiene un mnimo en el punto (-2;-3) y un mximo en el (3; 7).

- Corta al eje de abscisas en x = -4, en x = -1 y en x = 6.

15 Representa una funcin con las siguientes caractersticas:

- Su dominio es el intervalo [-2; 10] y es continua.

- Es creciente hasta x = 0 y constante hasta x = 6.

- Corta al eje de abscisas en x =-1 y al de ordenadas en y = 3.

- Tiene un mnimo en el punto (8; 1).16 La siguiente grfica muestra la evolucin de la poblacin en un cierto lugar:

a) Cul es el dominio de definicin que hemos considerado?

b) Qu poblacin haba en enero de 1999?

c) En qu momento la poblacin fue mxima? Cul fue ese mximo?

d) En qu momento la poblacin fue mnima? Cul fue ese mnimo?

e) Describe la evolucin de la poblacin en el periodo de tiempo considerado.

21 GEOMETRA. FIGURAS PLANAS

ParalelogramoTringuloTrapecio

b= base

h= altura

B

rea = b . hrea =

rea=

Polgono regular RomboCrculo

rea=

rea=

rea=

Permetro=

LNGITUDES Y REAS DE FIGURAS CIRCULARESSector circular Corona Circular Trapecio circular

rea Sector=

rea =

rea=

1.- Calcular el era y de los siguientes polgonos regulares de lado:

1. pentgono l=4

2. Hexgono l=3

3. Cuadrado l=2

4. Octgono l=4

5. Heptgono l=5

6. Decgono l=3

7. Rombo L=6 y l =4

8. Trapecio B=7 b=3

9. Rectngulo b=3 h=5

2.- Hallar la longitud del arco y el rea de los siguientes sectores circulares:

1. radio= 1 ; ngulo=30




3.- Hallar el rea de las siguientes coronas circulares:

1. R= 3 r=1

2. R= 5 r=2

3. R= 6 r=3

4. R= 7 r=3

5. R= 8 r=3

6. R= 9 r=2

4.- Hallar el rea de los siguientes trapecios circulares:

1. R= 3 r=1 =60

2. R= 5 r=2 =45

3. R= 6 r=3 =30

4. R= 7 r=3 =90

5. R= 8 r=3 =120

6. R= 9 r=2 =60

5.- Calcula el rea de las zonas sombreadas en las siguientes figuras

.22 FIGURAS EN EL ESPACIO Prisma regular recto Pirmide regular rectaTronco de pirmide

SL= Superficie lateral

PB= Permetro de la base

SL=Superficie lateralla altura: es la perpendicular desde el vrtice a la base.(h)

la apotema: es la altura del tringulo de una cara (ap)

PB = permetro base grande

Pb = permetro base pequea

SB= Superficie base grande

Sb= Superficie base pequea

ap= Apotema lateral

rea lateral : SL = PB . h rea total : ST = SL +2 SB

Volumen: V = SB . h rea lateral:

rea total:

Volumen:

rea lateral: rea total: Volumen:

Cilindro ConoTronco de cono recto

rea lateral : SL = PB . h = 2(rg rea total : ST = SL + 2 SB = 2(r (g+r) Volumen: V = SB . h = (r2 h rea lateral: =(rg

rea total: =

=(r (g+r)Volumen:=1/3 ( r2 h

rea lateral: rea total:

Volumen:

LA ESFERA EsferaHuso esfricoCua esfrica

Superficie: S = 4 ( R2

Volumen: V = 4/3 ( R3

rea:

rea: S = SH + SCRCULO

Volumen=

Dadas las siguientes figuras hallar el rea total y el volumen

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x2=-3

x1=1

b

h

h

h

a

D

d

r

r

R

r

R

r

d)e)f)g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

ap

g=h

r

r

g

h

R

r

g

h

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

2

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Cuaderno de Apoyo