1Cuaderno de trabajo

2Cuaderno de trabajo

Estimado(a) estudiante:

Este cuaderno es una herramienta que te ayudará en tu proceso de preparación acadé-mica y contribuirá a ejercitar tus conocimientos. En él encontrarás diversas actividades me-diante las cuales podrás reforzar los aprendizajes que has adquirido en la escuela.

Los temas están organizados de forma que los puedas trabajar durante cuatro días conse-cutivos, idealmente de lunes a jueves. El quinto día, el viernes, está reservado para las acti-vidades integradoras, las cuales te servirán para poner en práctica lo que hayas aprendido durante la semana y recordar otros conceptos complementarios. En total serán 20 días de trabajo organizado y eficiente.

En este proceso de aprendizaje te acompañará un tutor —generalmente un familiar—, quien te guiará en las actividades y te ayudará a resolver dudas.

Presentación

3Cuaderno de trabajo

Los temas son:

4.1. Figuras geométricas y áreas

4.2. Cuerpos geométricos y volúmenes

Actividad integradora

4Cuaderno de trabajo

DÍA 1

Me activo y me concentro

El espejo

Realiza la dinámica con tu tutor, quien te dará las indicacio-nes.

TEMA 4.1: Figuras geométricas y áreas

Lo que sé sobre el tema

Cada una de las siguientes frases hace referencia a un con-cepto relacionado con el tema que veremos. Escribe los conceptos y luego forma un crucigrama con ellos en el es-pacio cuadriculado. Puedes guiarte con la palabra que ya ha sido colocada y que forma parte de una de las respues-tas (esa respuesta en particular debe completarse con otra palabra).

1. Están formadas por dos dimensiones. 2. Son superficies que también se conocen como… 3. Conjunto de dos dimensiones. 4. Nombre de la primera dimensión. 5. Nombre de la segunda dimensión. 6. Nombre de la tercera dimensión. 7. Medida de la superficie. 8. Conjunto secuenciado de puntos.

Aprendo más

Componentes básicos de las figuras geométricas

Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la máquina, planta industrial u obra civil más compleja, se forman primero en la mente. Antes de fabri-carlos, hay que describirlos con precisión y determinar con exactitud su forma, tamaño y funcionalidad. Sólo así es po-sible evitar problemas al construirlos y utilizarlos.

5Cuaderno de trabajo

La geometría permite definir la representación plana (pro-yección) de los objetos tridimensionales antes o después de que existan en la realidad. Es decir, estudia las propiedades de las figuras en un plano o espacio y, de esta forma, con-tribuye a que se construyan o fabriquen tornillos, resortes, relojes, sillas, mesas, televisores, autos, etc.

Para entender la geometría es necesario tener claros sus conceptos fundamentales:

• Punto. Indica una ubicación en el espacio. Sólo tiene po-sición, no dimensión.

• Línea. Sucesión de puntos que se extiende indefinida-mente. Tiene longitud, pero no grosor, y puede ser de diferentes tipos:

a) Recta. Línea que se mantiene constante. Se puede de-finir como la menor distancia que hay entre dos puntos.

b) Poligonal o quebrada. Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados.

c) Curva. Línea del plano o del espacio que no tiene seg-mentos rectos.

• Plano. Superficie plana que puede contener en su totali-dad una línea recta que conecta dos puntos cualesquiera.

• Ángulo. Porción de un plano comprendida entre dos rectas de origen común.

• Círculo. Figura geométrica plana limitada por una circun-ferencia.

• Superficie. Configuración geométrica que tiene sólo dos dimensiones. También se conoce como cara de un cuerpo.

• Sólido. Espacio limitado por superficies. También se co-noce como cuerpo geométrico.

• Vértice. Punto de unión de dos rectas. La parte más alta del cono también es un vértice.

• Arista. Unión de dos superficies.

Figuras geométricas

Las figuras geométricas se forman cuando se unen tres o más líneas en un mismo plano. La unión de estas líneas forma el perímetro que delimita el área o superficie de un cuerpo.

Las figuras geométricas se clasifican en polígonos regulares y polígonos irregulares.

• Polígonos regulares. Figuras formadas por líneas y án-gulos del mismo tamaño, como el triángulo, el cuadrado, el pentágono, etc.

6Cuaderno de trabajo

• Polígonos irregulares. Figuras formadas por líneas de diferente tamaño o ángulos distintos, como el triángulo escaleno, el rombo (tiene lados iguales, pero ángulos di-ferentes), el rectángulo, etc.

Los triángulos son los polígonos más sencillos debido a que sólo tienen tres lados y tres ángulos internos —a ello se debe su nombre—. Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con varios criterios. Por el tamaño de sus lados, se clasifican en equilátero (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales y uno diferente) y escaleno (tres lados diferen-tes).

Después de los triángulos, los polígonos más sencillos se-gún el número de lados son los cuadriláteros, figuras con cuatro lados como el cuadrado, el rombo y el rectángulo, entre otros. Los cuadriláteros también se clasifican con base en distintos criterios, pero su clasificación se puede resumir de la siguiente manera:

Cuando tienen cinco lados o más, los polígonos se nom-bran según el número de ángulos (gono = ángulo) que for-man sus lados, por ejemplo:

El círculo es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia. Todos los puntos de esta curva conve-xa y cerrada están a una distancia constante de otro punto fijo en su interior. Este punto fijo se denomina centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio (tam-bién se llama radio al segmento que une el centro con cual-quier punto de la circunferencia). El diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

7Cuaderno de trabajo

Practico para comprender mejor

A. Observa la siguiente pintura y señala los componentes geométricos básicos que identifiques.

B. Observa la siguiente fotografía y señala las figuras geomé-tricas que identifiques.

C. En tu libreta crea una obra que contenga las figuras y los elementos geométricos que hemos visto hasta este mo-mento.

Repaso con mi tutor

Comenta con tu tutor en dónde se puedes reconocer los conceptos relacionados con la geometría y las figuras geométricas.

DÍA 2Me activo y me concentro

Gato

Realiza con tu tutor la dinámica con base en las indicacio-nes que te dé.

8Cuaderno de trabajo

Lo que sé sobre el tema

Completa los siguientes textos.

• Tres ejemplos de elementos básicos de la geometría son…

• La línea puede ser…

• Las figuras geométricas se clasifican en…

• El área se mide en unidades…

• La diferencia entre círculo y circunferencia es…

Sigo aprendiendo

Área

El área es la magnitud de una superficie. Cuando pones tu mano sobre una pared, por ejemplo, estás tocando su su-perficie; el área indica de qué tamaño es esa superficie en su totalidad. Todos los objetos que observas tienen área, aunque no sean figuras geométricas.

El área se mide en unidades cuadradas porque, para calcularla, se multiplican las dos dimensiones que tienen todas las figuras geométricas (alto y ancho). Si tomamos como referencia el metro, el área se mide en m2.

La fórmula para determinar el área de una superficie varía según la figura, como se puede ver a continuación.

Durante el cálculo de áreas, es importante recordar lo si-guiente:

• La altura de las figuras se simboliza con la letra h (minús-cula).

• La apotema (a) es la distancia más corta entre el centro de un polígono regular y uno de sus lados.

9Cuaderno de trabajo

• El radio de un círculo es la mitad del valor del diámetro y se simboliza con la letra r (minúscula).

• π = 3.1416• B (mayúscula) es la base mayor del trapecio.• b (minúscula) es la base menor del trapecio.• D (mayúscula) es la diagonal mayor del rombo.• d (minúscula) es la diagonal menor del rombo.• Las magnitudes son cuadráticas o “al cuadrado” (mm2,

cm2, m2, km2, etc.).

Aunque las fórmulas varían, en todos los casos se deben identificar los valores correspondientes y sustituirlos. Por ejemplo:

En el caso de los polígonos regulares, como el pentágono, el hexágono, etc., para calcular el área es necesario cono-cer el perímetro de la figura. Recuerda que el perímetro es la línea que delimita una superficie y, por tanto, se determina sumando el valor de los lados de la figura. El perímetro se mide en unidades lineales porque su única dimensión es la longitud (medida total del contorno). La unidad de longitud del sistema internacional de unidades es el metro (m).

También recuerda que el perímetro del círculo se llama cir-cunferencia. Para determinar su medida, se debe multipli-car el valor del diámetro por el valor de π = 3.1416.

El número pi (π) representa la cantidad de veces que el diá-metro “rodea” al círculo para formar la circunferencia. Esto quiere decir que el perímetro del círculo mide tres diámetros más una fracción de otro. El número pi es infinito, por lo que no es un número exacto.

10Cuaderno de trabajo

Cálculo de áreas compuestas

El área de polígonos irregulares, como el que aparece en la imagen, se determina mediante los siguientes pasos:

1. Observa la imagen e identifica las figuras geométricas que la integran.

• Un triángulo• Un rectángulo• Un cuadrado• Dos círculos

2. Observa si las figuras están sobrepuestas o solamente unidas por sus aristas.

• La mitad de cada círculo está encima del rectángulo.

3. Calcula el área de cada figura.

• Triángulo = 6 cm2 • Rectángulo = 32 cm2 • Cuadrado = 4 cm2 • Círculos = 7.069 cm2 c/u

4. Suma o resta las áreas, según corresponda a su posi-ción.

• Se suman las áreas del triángulo, el rectángulo y el cua-drado porque no están sobrepuestos.

6 cm2 + 32 cm2 + 4 cm2 = 42 cm2

• Se suman las áreas de los círculos (7.069 + 7.069 = 14.138), pero, como la mitad de cada uno está sobre-puesta, se divide el resultado entre dos (14.138

2 = 7.069). Esto equivale al área de un solo círcu-

lo, que ahora se suma al área de las otras figuras.

42 cm2 + 7.069 cm2 = 49.069 cm2

El área compuesta también se observa cuando hay una fi-gura “dentro de otra figura”. En estos casos, se calculan las áreas y se realizan las operaciones que correspondan a

11Cuaderno de trabajo

cada situación. Por ejemplo, para conocer cuánto mide el área sombreada del círculo, sigue los siguientes pasos:

1. Observa la figura e identifica el área sombreada.R: Una corona y un segmento del área clara.

2. Calcula las áreas de los círculos.R: El área del círculo mayor mide 25,446.96 mm2.R: El área del círculo menor mide 11,309.76 mm2.

3. Observa que el área sombreada abarca una cuarta parte del círculo menor. Entonces, el área del círculo menor se divide entre 4 y se toma esa parte, 1

4 . R: 2,827.44 mm2

4. Resta el área del círculo menor al área del círculo mayor y suma al resultado la fracción ( 1

4 ) del círculo menor.

25,446.96 – 11,309.76

14,137.2o

14,137.2d + 2,827.44 16,964.64

El área sombreada de la figura es 16,964.64 mm2.

Practico para comprender mejor

Sigue las indicaciones para realizar las actividades.A. Observa las figuras y determina el perímetro.

B. Observa las figuras y determina sus perímetros. Conside-ra que cada cuadrado mide 1 cm.

12Cuaderno de trabajo

C. Observa las siguientes figuras y determina sus áreas. Considera que cada cuadrado mide 1 cm.

D. ¿Cuál es el área de la parte sombreada del trapecio?

E. ¿Cuál es el área de la parte sombreada del octágono?

Repaso con mi tutor

Comenta con tu tutor la relación que hay entre el perímetro y el área.

Me autoevalúo

En tu libreta escribe:• Lo que aprendiste en estos dos días de estudio.• Lo que necesitas reforzar según los resultados de las ac-

tividades que realizaste.• Cómo te sientes con lo que has aprendido o te falta re-

forzar.

13Cuaderno de trabajo

DÍA 3

Me activo y me concentro

Respiración profunda

Tu tutor te dará las indicaciones para que realicen juntos esta actividad.

TEMA 4.2. Cuerpos geométricos y volúmenes

Lo que sé sobre el tema

Relaciona ambas columnas —de forma continua, hasta don-de sea posible— con líneas horizontales o diagonales, no verticales.

Aprendo más

Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son objetos que tienen tres di-mensiones: alto, ancho y largo o profundo. Son cuerpos “cerrados”, porque están limitados por polígonos (iguales o diferentes).

14Cuaderno de trabajo

Los elementos de los cuerpos geométricos son:

Los cuerpos geométricos se clasifican en poliedros (regu-lares e irregulares) y cuerpos redondos.

A. Los poliedros están formados por caras planas y reci-ben su nombre según la cantidad de caras que tengan (edro = cara). Por ejemplo:

NÚMERO DE CARAS NOMBRE

5 Pentaedro7 Heptaedro9 Eneaedro

11 Endecaedro16 Hexadecaedro

• Poliedros regulares. Todas sus caras, aristas y ángulos son iguales. Sólo hay cinco:

• Poliedros irregulares. Sus caras, aristas y ángulos son diferentes. Los más comunes son los prismas, las pirámi-des y los troncos.

• El prisma tiene dos bases paralelas iguales y sus caras laterales son paralelogramos.

• La pirámide tiene una base y caras laterales triangu-lares unidas por un vértice en la parte contraria a la base.

• El tronco es la porción que queda después de sec-cionar una pirámide o un cono en sentido paralelo a la base. La nueva base puede tener igual forma, pero su tamaño será diferente al de la figura original.

15Cuaderno de trabajo

B. Los cuerpos redondos tienen al menos una cara curva. Son el cono, el cilindro y la esfera.

• Cono. Una de sus caras es curva y su base es un círculo.

• Cilindro. Tiene una cara curva y sus dos bases son cír-culos paralelos.

• Esfera. Su superficie es curva y la delimitan puntos que están a igual distancia de un punto interior llamado centro.

Volumen

El volumen se puede definir como el espacio que ocupa un cuerpo en tres dimensiones: alto, ancho y largo. Recuerda que todos los objetos que nos rodean, incluso aquellos que no son cuerpos geométricos, tienen estas tres dimensiones.

El volumen de un objeto nos indica cuánta materia (de lo que está hecho) contiene o, si es un recipiente, cuánto ma-terial o líquido cabe en él. Por ejemplo, una botella de agua de un litro está diseñada para que le quepa ese volumen.

El volumen se mide en unidades cúbicas (m3) porque se multiplican las tres dimensiones, como se puede ver a con-tinuación.

16Cuaderno de trabajo

Para calcular el volumen de cada cuerpo geométrico se uti-liza una fórmula particular.

Durante el cálculo de volúmenes, es importante recordar lo siguiente:

• La altura de las figuras se simboliza con la letra h (minús-cula).

• El radio de un círculo se simboliza con la letra r (minús-cula).

• π = 3.1416• Las magnitudes son cúbicas o “al cubo” (mm3, cm3, m3,

km3, etc.).• En algunos casos es necesario calcular previamente el

perímetro y/o el área, según los datos que se tengan en ese momento y lo que se solicite conocer del cuerpo geométrico.

Para determinar el volumen de un cuerpo, se deben identi-ficar los valores y sustituirlos en la fórmula correspondiente. Veamos los siguientes ejemplos.

CASO 1. Se conocen las unidades cuadráticas y las uni-dades lineales.

a) Se sustituyen los valores en la fórmula.

CASO 2. Sólo se conocen las unidades lineales.

a) Se realizan los cálculos necesarios para obtener las medidas que se piden en la fórmula. En este caso, se debe calcular primero el área de la base.

17Cuaderno de trabajo

• Observa que para conocer el área de la base se calcula primero el perímetro.

• Luego se sustituye el valor del perímetro en la fórmula del área.

b) Ya que se conoce el área de la base, se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el volumen del cuerpo.

Estimación de volúmenes

En matemáticas, la estimación consiste en determinar un valor aproximado con métodos diferentes a la aplicación de fórmulas. En este sentido, el volumen de un cuerpo geomé-trico regular se puede estimar si se compara con otro para observar las dimensiones y deducir su proporcionalidad.

Por ejemplo:

1. Observa la forma y el tamaño de los cuerpos geométri-cos.

• Son dos cilindros de diferente a tamaño.• Tienen la misma anchura, pero diferente altura.

2. Identifica la diferencia que hay entre ambos cuerpos.

3. Coloca esa medida estimada de tal manera que se pue-da conocer la razón que hay entre ambos cuerpos, es decir, cuánto es A a B o cuánto es B a A (recuerda el tema de proporcionalidad).

18Cuaderno de trabajo

4. Concluye.

• La altura del cilindro B es dos tercios la altura del cilindro A.

• El cilindro A es un medio más alto que el B.

Practico para comprender mejor

A. Lee cada afirmación y anota una “C” si es cierta o una “F” si es falsa.

AFIRMACIÓN C o F

1. Las figuras geométricas son tridimensionales.

2. Los cuerpos redondos tienen una superficie curva.

3. El vértice es la unión de los lados de los polígonos.

4. El volumen de los cuerpos geométricos se mide en unidades cuadradas.

5. Todas las caras son planas.

6. Los poliedros se dividen en regulares e irregulares.

7. Estimar es hacer una aproximación.

8. Un tronco puede resultar de cortar un cilindro.

9. Un ejemplo de volumen es la cantidad de agua que cabe en un vaso.

10. El valor exacto de π es 3.1416.

B. En tu libreta explica por qué las afirmaciones que mar-caste con una “F” no son verdaderas.

C. Determina el volumen de los siguientes cuerpos geomé-tricos:

19Cuaderno de trabajo

Vean el video “Volumen”.

Repaso con mi tutor

Comenta con tu tutor lo que aprendiste acerca de los volú-menes.

Me autoevalúo

Marca la opción que mejor describa cómo te sientes.

DÍA 4

Me activo y me concentro

Observa el siguiente cuadro y descubre cuántas letras A hay.

La última y nos vamos

Lee con atención las preguntas y selecciona la opción que contenga la respuesta correcta.

1. ¿Cuánto mide el área de la superficie de la mesa si su forma es rectangular y tiene las siguientes medidas?

a) 1.05 m2 b) 1.35 m2 c) 2.15 m2 d) 2.21 m2

20Cuaderno de trabajo

2. ¿Cuál es el volumen de un vaso que tiene una base circu-lar de 6 cm de diámetro y una altura de 15 cm?

Considera π = 3.1416

a) 122.314 cm3 b) 244.156 cm3

c) 424.116 cm3

d) 527.212 cm3

3. Como se muestra en la imagen, las bases de dos pirámi-des son iguales, pero su altura es diferente.

¿Cuál es la relación que hay entre sus volúmenes?

a) El volumen de la pirámide 1 es dos veces mayor que el de la pirámide 2.

b) El volumen de la pirámide 1 es la mitad del volumen de la pirámide 2.

c) El volumen de la pirámide 1 es un tercio del volumen de la pirámide 2.

d) El volumen de la pirámide 1 es un cuarto del volumen de la pirámide 2.

21Cuaderno de trabajo

4. ¿Cuál es el área del círculo de la base superior del conte-nedor de petróleo?

Considera π = 3.1416d = 16 cm

a) 201.0624 cm2 b) 205.1122 cm2

c) 150.3367 cm2

d) 178.1294 cm2

5. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

a) 90 cm2 b) 45 cm2 c) 22.5 cm2 d) 11.5 cm2

6. Si cada lado de la siguiente caja mide 50 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 200 cm3 b) 1,500 cm3

c) 2,500 cm3

d) 125,000 cm3

7. Cada lado del marco de una ventana cuadrada mide 60 cm. ¿Cuál es el área que ocupa la ventana?

a) 2,400 cm2 b) 3,000 cm2

c) 3,600 cm2

d) 4,000 cm2

22Cuaderno de trabajo

8. Calcula el área de la siguiente figura.

a) 64 cm2 b) 40 cm2 c) 28 cm2 d) 16 cm2

9. La casa de María tiene dos cisternas cúbicas con las si-guientes medidas.

¿Cuál es la relación entre las cantidades de agua que caben a cada una?

a) En la cisterna 2 caben 27 veces más litros que en la cisterna 1.

b) En la cisterna 1 caben 30 veces menos litros que en la cisterna 2.

c) En la cisterna 1 cabe la cuarta parte de agua que en la cisterna 2.

d) En la cisterna 2 cabe 10 veces menos agua que en la cisterna 1.

10. Los diámetros de los círculos que forman una corona circular miden 12 cm y 16 cm respectivamente. Calcula el área de la corona.

Considera π = 3.1416

a) 67.1632 cm2 b) 74. 2596 cm2 c) 87.9648 cm2

d) 95.5298 cm2

11. En la colonia donde vive Juan hay un parque en un te-rreno triangular cuya base mide 50 m y su altura 70 m. ¿Cuál es el área que ocupa el parque?

a) 3,500 m2 b) 2,200 m2 c) 1,750 m2 d) 1,000 m2

23Cuaderno de trabajo

12. Calcula el volumen del siguiente cubo.

a) 125 cm3 b) 75 cm3 c) 50 cm3 d) 25 cm3

13. Luis sabe que la base de su refrigerador es un rectán-gulo que mide 60 cm por 40 cm, mientras que la altura es de 120 cm. ¿Cuál es el volumen del refrigerador?

a) 288,000 cm3 b) 144,000 cm3 c) 120,000 cm3

d) 100,000 cm3

14. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

a) 80 cm2 b) 110 cm2 c) 120 cm2 d) 140 cm2

15. José tiene dos cantimploras cilíndricas de bases y altu-ras diferentes, como se muestra en la imagen.

¿Cuál es la relación entre las cantidades de agua que caben en cada una?

a) El cilindro 1 tiene la cuarta parte del volumen del ci-lindro 2.

b) El cilindro 2 tiene dos veces el volumen del cilindro 1. c) El cilindro 1 tiene un octavo del volumen del cilindro 2. d) El cilindro 2 tiene la cuarta parte del volumen del ci-

lindro 1.

24Cuaderno de trabajo

DÍA 5

Me activo y me concentro

Junto con tu tutor, lleva a cabo la dinámica 1, 2, 3 e inter-cambien sus experiencias.

Actividad integradora

Un momento cubista

El cubismo es una corriente artística que utiliza elementos geométricos para representar la realidad. Los objetos no se representan “como son” o “como se ven"; más bien, el ar-tista los deconstruye en su mente y los recrea por medio de sus formas geométricas esenciales. El cubismo analítico combina la tridimensionalidad de la realidad con la bidimen-

sionalidad de la superficie pictórica. Pablo Picasso y Geor-ges Braque son los creadores de este movimiento artístico.

Ahora es momento de echar a volar tu imaginación y crear una obra cubista.

Recursos

• Libreta de apuntes• Hojas blancas o cuadriculadas tamaño carta• Lápices de colores (opcional) • Regla• Objetos de diferentes formas y tamaños

Procedimiento

1. Elige un espacio para diseñar tu obra de arte; puede ser el piso o una superficie libre.

2. Reúne objetos de diferentes formas, tamaños, texturas y funciones. Pueden ser objetos de cocina, de limpieza, de tu recámara, etc., siempre y cuando no sean peligrosos o puedan ocasionar accidentes.

3. Para hacer tu obra, es importante que tengas objetos con formas y características diferentes: planos, redon-dos, lineales, curvos, huecos, etc.

25Cuaderno de trabajo

4. Acomoda los objetos de tal manera que te ayuden a crear una obra surrealista, es decir, que represente algo para ti aunque no tenga sentido para otras personas.

5. En una hoja, haz una tabla para clasificar los cuerpos geométricos y no geométricos que vayas a usar en tu obra. Ahí mismo registra cuáles de los cuerpos geométri-cos son regulares y cuáles irregulares.

6. Luego deberás calcular: 1) el volumen de los cuerpos geométricos regulares; 2) el área de las caras de los cuerpos geométricos irregulares; y 3) el perímetro de los cuerpos no geométricos.

7. Registra los datos en la tabla.

8. Dibuja tu obra en una hoja. Usa tu creatividad para agre-gar trazos, colores y otros elementos. Sin embargo, re-cuerda incluir en la pintura figuras y cuerpos geométricos que representen todos los objetos que analizaste. Anota la fecha y tu rúbrica en una orilla de la pintura.

9. Al finalizar, coloca los objetos en su lugar.

10. Comenta tu experiencia como artista cubista con tu tu-tor y otras personas.

¡Sabía que podrías lograrlo!