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Temas del CursoTemas del Curso
Control ClControl Cláásico versus Control modernosico versus Control moderno
Concepto de Estado y Variables de EstadoConcepto de Estado y Variables de Estado
Ejemplos de ModelaciEjemplos de Modelacióón en el Espacio de Estadon en el Espacio de Estado
RepresentaciRepresentacióón en el Espacio de Estadon en el Espacio de Estado
•• CorrelaciCorrelacióón entre FT y Ecuacin entre FT y Ecuacióón de Estadon de Estado
•• ObtenciObtencióón de la representacin de la representacióón de estado a partir de n de estado a partir de la funcila funcióón de transferencian de transferencia
Control ModernoControl Moderno
Control ClControl Cláásico versus Control Modernosico versus Control Moderno
Concepto de Estado o Concepto de Estado o de Variable de Estadode Variable de Estado
Control ClControl Cláásico o sico o ConvencionalConvencional
Sistemas LIT SISOSistemas LIT SISOUnaUna--EntradaEntrada--UnaUna--SalidaSalida
Control Control ModernoModerno
Sistemas MIMOSistemas MIMOVariasVarias--EntradasEntradas--VariasVarias--Salidas, Salidas, Sistemas Lineales o No lineales, Sistemas Lineales o No lineales,
Invariantes o Variantes en el Invariantes o Variantes en el Tiempo Tiempo
Control ModernoControl Moderno
Control ClControl Cláásicosico FUNCIFUNCIÓÓN DE N DE TRANSFERENCIATRANSFERENCIA
Concepto de EstadoConcepto de Estado
( ) ( ) ( )g t y t u t=
FunciFuncióón de n de TransferenciaTransferencia
No da informaciNo da informacióón de la n de la estructura festructura fíísicasica
Varios sistemas fVarios sistemas fíísicos sicos pueden tener igual FTpueden tener igual FT
( )u t ( )y tSISTEMADINÁMICO
(CAJA NEGRA)
Control ModernoControl Moderno
Concepto de EstadoConcepto de Estado
( ) ( ) ( ) (0) 0g t y t u t con x= =
FunciFuncióón Transferencia considera Sistema tiene Condiciones n Transferencia considera Sistema tiene Condiciones Iniciales Nulas en Iniciales Nulas en tt00 = 0= 0
SiSi (0) 0 ( ) ( ) ( ) (0)x y t g t u t x≠ ⇒ = +
ESTADO:ESTADO: es la cantidad de informacies la cantidad de informacióón en n en tt00 que juntamente que juntamente con la entrada con la entrada uu((tt) determina de forma ) determina de forma úúnica el nica el comportamiento del sistema, o sea determina la salida comportamiento del sistema, o sea determina la salida yy((tt) para ) para todotodo
Salida depende de la Salida depende de la entradaentrada y de las y de las condiciones inicialescondiciones iniciales
0t t≥
Control ModernoControl Moderno
Concepto de EstadoConcepto de Estado
Comportamiento Comportamiento del Sistema del Sistema DinDináámicomico
Respuesta de laRespuesta de laSalida Salida yy((tt))Estados Estados xxii((tt))
Definiciones:Definiciones:Variables de ESTADO:Variables de ESTADO: es el mínimo conjunto de variables necesario para describir completamente el comportamiento del sistema dinámico.Vector de ESTADO:Vector de ESTADO: El estado de un sistema dinámico puede ser representado por un vector columna, dimensionalmente finito, denotado por “x”, llamado vector de estado:vector de estado: T
1 2[ ... ]nx x x=x
Control ModernoControl Moderno
Definiciones:Definiciones:
Ecuaciones de Espacio de ESTADO:Ecuaciones de Espacio de ESTADO: el conjunto de ecuaciones que describe la relación única entre las entradas, las salidas y los estados, se denomina ecuaciecuacióón dinn dináámica o de espacio de estadomica o de espacio de estado.
Sea un sistema MIMO con “n” estados, “r” entradas y “m” salidas
Control ModernoControl Moderno
( )
( )
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),.............................................................................
( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),
n r
n n n r
x t f x t x t x t u t u t u t t
x t f x t x t x t u t u t u t t
⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
( )
( )
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),.............................................................................
( ) ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),
n r
m q n r
y t g x t x t x t u t u t u t t
y t g x t x t x t u t u t u t t
⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +x A x B u
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +y C x D u
Diagrama de Bloques:
( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu
( ) ( ) ( )t t t= +y Cx Du
Control ModernoControl Moderno
Control ModernoControl Moderno
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +x A x B u( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t= +y C x D u
Si las funciones h y g no son función del tiempo t, el sistema es invariante en el tiempo, por tanto:
T T1 2 1 2
T1 2
[ ... ] Vector de Estado, [ ... ] Vector de Entrada
[ ... ] Vector de Salida,n r
m
x x x u u u
y y y
= → = →
= →
x u
y
A: “matriz de estado” o “matriz de dinámicas del sistema”
B: “matriz de entrada”
C: “matriz de salida”
D: “matriz de transmisión directa entrada-salida”
Control ModernoControl Moderno
Ejemplos: Circuito RLC
( )u t
R L
C( )i t +−
+
−( ) ( )cv t y t=
( ) ( ) ( )cdiu t i t R L v tdt
= + +
( ) ( ) ( ) cc L
dvi t i t i t Cdt
= = =
Estados: Tensión en el capacitor y Corriente en el Inductor
Vector de Estado: 1
2
( ) ( )( )
( ) ( )c
L
x t v tt
x t i t⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x ( ) ( )cy t v t=
1cdvx
dt=
2Ldix
dt=
1 1( ) ( ) ( )
1 ( )
LL c
cL
di Ru t i t v tdt L L Ldv i tdt C
⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
Control ModernoControl Moderno
Ejemplos: Circuito RLC
( )u t
R L
C( )i t +−
+
−( ) ( )cv t y t=
Escritas en forma matricial:
1 1( ) ( ) ( )
1 ( )
LL c
cL
di Ru t i t v tdt L L Ldv i tdt C
⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
( )0 1 / 0( )
( )1 / / 1 /c c
L L
v v tCu t
i i tL R L L⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]0 1/ 0, , 1 0 , 0
1/ / 1/C
L R L L⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦A B C D
[ ] ( )( ) 1 0
( )c
L
v ty t
i t⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Control ModernoControl Moderno
Ejemplos: Circuito RLC
( )u t
R L
C( )i t +−
+
−( ) ( )cv t y t=
Estados: Tensión en el capacitor y derivada de la Tensión en el capacitor
1
2
( )( )( )
( )( )c
c
v tx tt
v tx t⎡ ⎤⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x
1 2
21 1( ) ( ) ( )
c
c c c
x v xRx v u t v t v t
LC L LC
= =⎧⎪⎨
= = − −⎪⎩
( ) ( )0 1 0( )
( ) ( )1 / / 1 /c c
c c
v t v tu t
v t v tLC R L LC⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]0 1 0, , 1 0 , 0
1/ / 1/LC R L LC⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦A B C D
Control ModernoControl Moderno
Representación de Estado Circuito RLC
2
0 11/ /LC R L
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A1
0 1/1/ /
CL R L
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A1° caso: 2° caso:
OBSERVACIONES:OBSERVACIONES:
Autovalores de AAutovalores de A11 y Ay A22 son los mismos;son los mismos;
La representaciLa representacióón de Estado no es n de Estado no es úúnica;nica;
El conjunto de Variables de Estado tampoco es El conjunto de Variables de Estado tampoco es úúnico;nico;
La elecciLa eleccióón de las variables de estado estn de las variables de estado estáá generalmente generalmente asociada a una cantidad fasociada a una cantidad fíísica o a una necesidad matemsica o a una necesidad matemáática;tica;
Las variables de estado estLas variables de estado estáán asociadas a elementos que n asociadas a elementos que almacenan energalmacenan energíía;a;
Control ModernoControl Moderno
OBSERVACIONES:OBSERVACIONES:
El nEl núúmero de variables que definen el estado de un sistema mero de variables que definen el estado de un sistema es el mismo para cualquiera de las representaciones de es el mismo para cualquiera de las representaciones de espacio de estado del mismo sistema dinespacio de estado del mismo sistema dináámico, mico, y debe y debe consistir del menor nconsistir del menor núúmero de variables posiblemero de variables posible..
( )u t
R
3C( )i t+
−1C
+−
+− 2C
1( )x t2 ( )x t
3 ( )x t 1 2 3( ) ( ) ( ) 0x t x t x t+ + =
Las 3 tensiones de los capacitores son linealmente dependientes
Por ejemplo: x1 y x2 definen el estado del sistema
Control ModernoControl Moderno
CorrelaciCorrelacióón entre FT y Ecuacin entre FT y Ecuacióón de Estado:n de Estado:
Dadas las ec. de estado se puede obtener la FT
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t tt t t= += +
x Ax Buy Cx Du
Laplace ( ) (0) ( ) ( )( ) ( ) ( )
s s s U sY s s U s
− = += +
X X A X BCX D
1 1( ) ( ) ( ) ( ) (0)s s U s s− −= − + −X I A B I A X
Sustituyendo en la ecuación de salida:1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) (0)Y s s U s s− −= − + + −C I A B D C I A X
Considerando X(0)=0, la FT resulta:
1( )( ) [ ( ) ]( )
Y sG s sU s
−= = − +C I A B D
Control ModernoControl Moderno
CorrelaciCorrelacióón entre FT y Ecuacin entre FT y Ecuacióón de Estado:n de Estado:
De esta ecuación observamos:
Puede reescribirse la FT:
El numerador es un polinomio en “s”, por tanto:
1( )( ) [ ( ) ]( )
Y sG s sU s
−= = − +C I A B D 1 ( )( ) Adj sss
− −− =
−I AI A
I A
[ ( )]( ) Adj sG ss− +
=−
C I A B DI A
( )( ) P sG ss
=−I A
s −I A Es el polinomio característico de G(s)
Autovalores de la matriz A son los polos de la FT G(s)
Control ModernoControl Moderno
CorrelaciCorrelacióón entre FT y Ecuacin entre FT y Ecuacióón de Estado:n de Estado:
Para el ejemplo del circuito RLC tenemos:
Las raíces del polinomio característico (o los autovalores de la matriz A) son:
[ ]
2
1 01 0 11
( ) 1
RsL C
s LLG s Rs sL LC
⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=+ + 2
1/( ) 1LCG s Rs s
L LC
=+ +
2 21 2
1 1( ) 4 , ( ) 42 2
r RC RC LC r RC RC LCLC LC
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Control ModernoControl Moderno
Utilizando Utilizando MatlabMatlab::Obtener los autovalores de A:
A=[0 1;-10 -4]
A =
0 1
-10 -4
eig(A) % eigenvalues
ans =
-2.0000 + 2.4495i
-2.0000 - 2.4495i
coef_pol = poly(A)
coef_pol =
1 4 10
(s^2 + 4s + 10)
roots(coef_pol)
ans =
-2.0000 + 2.4495i
-2.0000 - 2.4495i
Obtener las raíces del polinomio:
Control ModernoControl Moderno
Utilizando Utilizando MatlabMatlab para obtener la representacipara obtener la representacióón de n de estado a partir de la FT y viceversa:estado a partir de la FT y viceversa:
num=[1]
den=[1 4 10]
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)
A = -4 -10
1 0
B = 1
0
C = 0 1
D = 0
A=[-4 -10;1 0];
B=[1;0];
C=[0 1];
D=0;
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num = 0 0 1.0000
den = 1 4 10
Control ModernoControl Moderno
Utilizando Utilizando MatlabMatlab para graficar salida y estados:para graficar salida y estados:
A=[0 1;-10 -4]; B=[0;-10]; C=[1 0]; D=0;
sistema=ss(A,B,C,D); % crea un sistema LIT
ci=[5;2.5]; % condición inicial
[y,t,x] = initial(sistema,ci); % grafica rta. cond. inicial
figure; plot(t,y,'k'); grid
legend('y'); legend('y','Location','NorthEast')
figure; plot(t,x(:,1)); hold on
plot(t,x(:,2),'r'); grid
legend('x1','x2'); legend('x1','x2','Location','NorthEast')
( ) ( )c cv t y v t
Control ModernoControl Moderno
Salida del sistema Salida del sistema RLCRLC: Tensi: Tensióón sobre el capacitorn sobre el capacitor
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2
3
4
5
6y
Tiempo, s
Am
plitu
d
5(0)
2,5⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
x
Control ModernoControl Moderno
Estados del sistema Estados del sistema RLCRLC: :
Tiempo, s
Am
plitu
d
5(0)
2,5⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8
-6
-4
-2
0
2
4
6x1x2
( ) ( )c cv t y v t
Control ModernoControl Moderno
Utilizando Utilizando MatlabMatlab para graficar salida y estados:para graficar salida y estados:
C=20e-6; R=12; L=1e-3;
A=[0 1/C;-1/L -R/L]; B=[0;1/L]; C=[1 0]; D=0;
sistema=ss(A,B,C,D); % crea un sistema LIT
ci=[2;5]; % condición inicial
[y,t,x] = initial(sistema,ci); % grafica rta. cond. inicial
figure; plot(t,y,'k'); grid
legend('y'); legend('y','Location','NorthEast')
figure; plot(t,x(:,1)); hold on
plot(t,x(:,2),'r'); grid
legend('x1','x2'); legend('x1','x2','Location','NorthEast')
( ) ( )c Lv t e i t
Control ModernoControl Moderno
Salida del sistema Salida del sistema RLCRLC: Tensi: Tensióón sobre el capacitorn sobre el capacitor
Tiempo, s
Am
plitu
d
2(0)
5⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-3
-5
0
5
10
15
20
25
30y
Control ModernoControl Moderno
Estados del sistema Estados del sistema RLCRLC: :
Tiempo, s
Am
plitu
d
2(0)
5⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
x
( ) ( )c Lv t e i t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-3
-5
0
5
10
15
20
25
30vciL