Sistemas Electrnicos de Control Curso 2013/2014-1 Tema 3.Diseo
clsico de controladores Profesora:Rosa M Fernndez-Cant Tema 3.Diseo
clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a2 Contenido 1. Introduccin
.............................................................................................................................................
32. Especificaciones
........................................................................................................................................
52.1 Tipos de especificaciones
..................................................................................................................
52.2 Formulacin de especificaciones
......................................................................................................
72.3 Conformacin de S, T y L
..................................................................................................................
92.4 Restricciones de diseo en sistemas retroactivos de un grado de
libertad ..................................... 102.5 Construccin de
T(s)
.......................................................................................................................
122.5.1 A partir de un bloque de 2 orden con polos y ceros
adicionales ............................................ 122.5.2
Bloque de orden n.Polinomios ptimos o formas estndar
................................................... 132.5.3
Conversin de las especificaciones de L(je) en especificaciones de
T(je) ............................ 142.6 Estabilidad interna
..........................................................................................................................
152.7 Ejercicios resueltos
.........................................................................................................................
193. Mtodos polinmicos.Sntesis directa
.................................................................................................
233.1 Diseo por sntesis directa
..............................................................................................................
233.2 Conceptos y definiciones
.................................................................................................................
243.3 Configuraciones de un grado de libertad
........................................................................................
253.3.1 Mtodo de Truxal (model matching)
......................................................................................
253.3.2 Fijacin de polos
.....................................................................................................................
263.4 Configuraciones de dos grados de libertad
.....................................................................................
273.4.1 Compensador RST
..................................................................................................................
273.4.2 Configuracin con retroaccin E/S de la planta
.....................................................................
293.5 Ejercicios resueltos
.........................................................................................................................
304. Mtodos empricos.Reguladores PID
.................................................................................................
344.1 Reguladores PID
.............................................................................................................................
344.1.1 Aplicacin del PID a plantas genricas
..................................................................................
354.1.2 Aplicacin del PID a plantas SLI de parmetros concentrados
.............................................. 384.2 Reglas de
Ziegler-Nichols para la sintonizacin de reguladores PID
............................................ 384.2.1 Regla de la
oscilacin crtica
..................................................................................................
384.2.2 Regla de la curva de reaccin
.................................................................................................
394.3 Otros mtodos de
sintonizacin.......................................................................................................
404.3.1 Frmulas de Cohen-Coon
.......................................................................................................
404.3.2 Uso de ndices globales.Integrales de error
..........................................................................
404.4 Realizaciones activas para PIDs
.....................................................................................................
414.5 Instrumentacin.Controladores comerciales
................................................................................
424.6 Ejercicios resueltos
.........................................................................................................................
425. Mtodos grficos.Compensadores de avance y retardo
....................................................................
585.1 Compensador de avance de fase
.....................................................................................................
585.2 Compensador de retardo de fase
.....................................................................................................
595.3 Diseo en el dominio frecuencial
....................................................................................................
605.3.1 Compensador de avance.Ejemplo
.........................................................................................
605.3.2 Compensador de retraso.Ejemplo
.........................................................................................
635.4 Diseo en el lugar de las races
......................................................................................................
655.4.1 Compensador de avance.Ejemplo
.........................................................................................
655.4.2 Compensador de retraso.Ejemplo
.........................................................................................
675.4.3 Compensador de retraso-adelanto.Ejemplo
..........................................................................
695.4.4 Diseo de redes PD-PI.Ejemplo
...........................................................................................
705.5 Compensacin tacomtrica
.............................................................................................................
735.6 Realizaciones
...................................................................................................................................
765.6.1 Realizaciones pasivas
.............................................................................................................
765.6.2 Realizaciones activas
..............................................................................................................
765.7 Ejercicios resueltos
.........................................................................................................................
78 Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos
de Control1314a3 1.Introduccin
Lamayoradelossistemasdecontrolestnbasadosenelprincipiodelaretroaccin:laseala
controlar se compara con la seal de referencia (deseada) y la
discrepancia se utiliza para calcular la accin de control
correctora. El objetivo de la Teora de Control es obtener mtodos
para disear sistemas de control basados en
laretroaccinquepuedanaplicarseaungrannmerodeproblemasyqueseanlomssencillos
posible.Por otro lado, la Teora de la Retroaccin ha de indicar
directamente y sin ambigedades cuando los objetivos de
comportamiento no pueden ser alcanzados. Pasos y dificultades en el
diseo de los Sistemas de Control:La secuencia de pasos en el diseo
de los sistemas de control es la siguiente: 1)Decidir el tipo y la
localizacin de sensores y actuadores. 2)Modelizar el sistema
resultante a controlar. 3)Simplificar el modelo para hacerlo
tratable. 4)Analizar las propiedades del modelo simplificado.
5)Decidir las especificaciones del comportamiento. 6)Decidir el
tipo de controlador.
7)Disearelcontroladorparasatisfacerlasespecificaciones(siellonoesposible,cambiar
las especificaciones o escoger otro tipo de controlador).
8)Simularelsistemacontroladoenunordenadory/oprototipo(siesnecesario,volveral
primer paso). 9)Escoger los componentes hard y soft e implementar
el controlador. 10)Si es necesario, sintonizar on-line el
controlador. Dificultades prcticas:Las dificultades prcticas que
aparecen en los problemas reales son:
1)Lasplantassoninciertas.Pormuybuenaquesealamodelacin,esinevitablela
existenciadedinmicasnomodeladasqueaumentansubstancialmenteelnivelde
incertidumbre (sobre todo a altas frecuencias). 2)Las plantas son
de fase no mnima.Ello restringe el ancho de banda alcanzable en
lazo cerrado. 3)El ruido del sensor y las restricciones en el nivel
de la seal de entrada son otros factores que limitan los beneficios
alcanzables por el feedback. Dependiendo de la aplicacin unos
factores pesan ms que otros.
Objetivodelcontrol:Elobjetivodelcontrolesqueunadeterminadasalidaysecomportedela
formadeseada.Paraello,semanipulaciertaentradau.Sedistinguenlossiguientesobjetivosde
comportamiento (performance): 1)Problema regulador:Consiste en
mantener la seal de salida y lo ms cerca posible de un determinado
punto de equilibrio, normalmente cero. Tema 3.Diseo clsico de
controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a4
2)Problemaservo:Consisteenmantenerpequealasealyr,paraundeterminado
conjunto de seales r de referencia.
3)Esfuerzodecontrol:Cadaunodelosdosproblemasanterioressecombinaconla
necesidad demantener laseal decontrol u pequea
(bienseaparamantenerseen el rango de operacin lineal, bien para no
encarecer el coste del diseo).
Lasespecificacionesdecomportamientosedanenformadecotasdelasnormasdelassealesde
inters.Notarquelosconceptoscercadeypequeosedescribenpormediodenormas(y
pequea significa ypequea). Modelizacin:A un modelo se le pide que
sea capaz de predecir el comportamiento entrada/salida del sistema,
de manera que pueda ser usado para disear un sistema de control, y
que adems sea lo
suficientementefiableparaqueeldiseofuncioneenelsistemafsicoreal.Interesatambinque
sea lo ms simple posible: de dimensiones finitas, lineal e
invariante con el tiempo. Hay que distinguir entre: -Sistema fsico
real:El que est ah fuera.
-Modelofsicoideal:Modeloesquemticoquedescribeelcomportamientodelanteriory
estformadoporlainterconexindebloquesideales(resistencias,masas,medios
isotrpicos, ...)
-Modelomatemticoideal:Resultadodeaplicarlasleyesnaturalesalmodelofsicoideal.Normalmente
es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales.
-Modelomatemticoreducido:Seobtienelinealizando,truncando,...Engeneraltomala
forma de funcin de transferencia racional. -Modelo obtenido a
partir de datos experimentales:Considerando el sistema como una
caja negra, se excita con diversas entradas u y se miden las
salidas y obtenidas.El objetivo es obtener un modelo que cubra
todos los posibles pares (u, y) obtenidos experimentalmente.
Incertidumbre:Ningnmodelomatemticoescapazdedescribirperfectamentealsistemafsico
real.Siempreexisteincertidumbre.Laincertidumbreprovienetantodelasentradas
(impredecibles,desconocidas)comodeladinmicadelpropiosistema(desconocida,sometidaa
simplificacin). La descripcin de la incertidumbre debe ser tambin
lo ms simple posible, por ejemplo n u P y + A + = ) (
dondePeslafuncindetransferencianominaldelaplanta,Aeslaincertidumbreenel
conocimientodelaplanta(plantperturbation)yneslaincertidumbrequeaadenlasseales
perturbadorasoruidosas(disturbanceinput).TantoncomoApertenecenaunosdeterminados
conjuntos, por tanto se asume un cierto conocimiento a priori de la
incertidumbre. Notar que cada entrada u es capaz de producir un
conjunto de salidasn u P + A + ) ( .As pues, la
inclusindelaincertidumbreenelmodelomatemticonominaldalugaramodelosno
deterministas. Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a5 2.Especificaciones 2.1Tipos de
especificaciones Las especificaciones en un sistema de control se
pueden agrupar en los siguientes tipos: Estabilidad Comportamiento
(transmisin, esfuerzo de control) Sensibilidad y robustez
Implementabilidad (el controlador debe ser realizable)
Especificaciones de estabilidad
Estabilidadnominal:Unsistemadecontrolesestablecuandotodoslospolosdelafuncinde
transferencia en lazo cerrado pi tienen parte real negativa,( )i ip
p < , 0 Re .
Estabilidadinterna:Sedicequeunsistemadecontrolesinternamenteestablecuandotodaslas
funciones de transferencia en lazo cerrado tambin son estables.
Estabilidad robusta:Se dice que la estabilidad de un sistema es
robusta si el sistema sigue siendo estable a pesar de la presencia
de incertidumbre.
Existendiversosndicesquemidenlocercaqueestunsistemaestabledelainestabilidad.Estos
ndices son los mrgenes de estabilidad clsicos MG (margen de
ganancia) y MF (margen de fase),
perotambinelmximodelafuncindesensibilidadSr(omargendemdulo 1 = ArS
M )ylos
ndicessobrepico(overshoot)delarespuestaindicialRptycoeficientedeamortiguamiento,.Algunas
relaciones tiles son: , 100 ~ MF para , 212arcsenS S jr=( )
ePrecisin M(0), ek p zv i i i i( ) = = 1 1 1, ISE tipo del sistema:
kp, kv, ka Velocidadtr, tp, tD, ts;en, ed, er, ebec (cross-over) ~
er(de M(je))Sensibilidad S jGM( ) e ,S j ( ) e, Ss Ms ( ) ( ) =
111+Lj ( ) eAtenuacin de las perturbaciones (b-f) S jGM( ) e 11+Lj
( ) eRechazo del ruido (a-f)exceso polos sobre cerosexceso polos
sobre ceros Tabla 1.Formulacin de especificaciones.Tabla de ndices
Valoresnumricosdereferencia:, = 0 7 . ,% 5 =ptR ,MG=2,MF=30,S j ( )
e s 2 .En general disearemos los controladores intentando conseguir
estos valores. 2.2Formulacin de especificaciones
Mediantefuncionesobjetivo(funcionales).Lasdescripcionesmediantefuncionalesmidenla
calidad(global)delsistemadecontrol.Silasfuncionesobjetivosonabruptas(nodiferenciables)
no se puede obtener su gradiente, pero si son convexas pueden
optimizarse numricamente.
Grannmerodeenfoquesdediseopuedendescribirsemediantefamiliasdeespecificacionesde
tipobooleano(falsoocierto)(Rpts1.2,102s u
,DR>0.25,MF>50).Enotrossetratade minimizar el valor de una
funcin de coste (ISEU, 2eo ). Conviene estudiar la viabilidad de
las especificaciones y hallar M(s) que sean estables y realizables.
Mediante normas.Las normas miden el tamao de las seales y los
sistemas: Seales:los objetivos del control pueden expresarse en
funcin del tamao de seales tales como e(t), u(t) que han de ser
pequeas. Ejemplos:Vmax, Vef (rms), V , 2x , distribucin de
amplitud, consumo, normas l2, l1.
Sistemas(ganancias).Lasnormasdesistemassonmedidasquepermitenestablecer
relaciones de entrada/salida de seales especficas.
EjemplossonH2,H,Hankel.LallamadaEntropa(I)sibiennoesnormaest
relacionada con H2 y H.Clculo e interpretacin (ganancia en el caso
especial de norma). Tema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a8 Normas de
seales:Considerar las sealesRe ) , ( : ) ( t u , continuas a tramos
y causales (u(t) = 0 para t < 0).Se definen las siguientes
normas: Norma - 1: } dt t u u ) (1 Norma - 2: 2 122) ( |.|
\|} dt t u uNorma - :) ( sup t u ut Normas de sistemas:Se
definen las siguientes normas: Norma - 2: 2 122) (21|.|
\|} e etd j G GNorma - :) ( sup eej G G Opcional:Tenemos un
sistema G(s) estable y estrictamente propio.La cuestin es: si
conocemos lo grande que es la entrada u, cun grande ser la salida
y? ) ( ) ( t t u o = ) sen( ) ( t t u e =12 s u 1 supow(u) s 1
Norma-2 2 2G y = =2y=G y2sup =2sup y =2yNorma- =G y ) ( e j G y =
2sup G y = 1sup G y = =ypow(.)0 ) ( = y pow2) () (e j Gy pow = 0 )
( = y pow=G y pow ) (=G y pow ) (Tabla 2.Relaciones entrada/salida
Mtodo de clculo de la norma-2:En el caso que G(s) sea estrictamente
propia y no tenga polos en el eje imaginario (con lo que 2Ges
finita), se calcula como: } } } = = = ds s G s Gjds s G s Gjd j G
Gjj) ( ) (21) ( ) (21) (21 2 22t te et La integral de contorno
tiene dos contribuciones:el semicrculo alrededor del semiplano
izquierdo (cuya integral es nula puesto que G(s) es estrictamente
propia, G(j) = 0) y el eje imaginario.Por el Teorema de los
residuos, izquierdo semiplano el en polos los en ) ( ) ( de
residuos22s G s G G = Seal potencia (power signal):Se dice que u es
una seal potencia si existe la potencia media (es decir, si existe
el lmite anterior).Entonces, se define pow(u) como la raz cuadrada
de la potencia media, 2 12) (21) ( |.|
\|} TT Tdt t uTlim u powTema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a9 Notar que pow(u) no es
una norma puesto que puede valer cero aunque u(t) = 0.No cumple
pues la siguiente propiedad de las normas:0 = u 0 ) ( = t ut.
2.3Conformacin de S, T y L Representacin grfica de T y S:
Propiedades globales (T, S).Las especificaciones que debe
satisfacer un servo son: - Asegurar la transmisin de las seales de
mando (en general, de b-f):1 ) ( ~ e j T(a bf) - Atenuar el efecto
del ruido de medida y de entrada (en general, de a-f): 1 ) ( >
LAltas frecuencias.Rechazo del ruido de medida :0 ~ T 0 ~
LFrecuencias intermedias.Estabilidad:pendiente de L < -2. |L| ha
de ser de la forma: Tema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a10 10 -2
10-1100101102103-100 -50 0 50 100 FREQUENCYMAG dB |L(je)|Precisin
Transmisin Desensibilizacin Zona de transicin
(estabilidad)Atenuacin del ruido Fig. 2.Conformacin (loopshaping)
de L Resumen:1) T(s): diseo por fijacin de polos y ceros 2)Lj ( ) e
: diseo por loopshaping Tambin se usan normas: W Ss 0, se cumple
que: ) ( 11) (s Ls S+= 01) ( == p Sy1 ) ( = z S) ( 1) () (s Ls Ls
T+= 1 ) ( = p Ty010) ( = = z T Restricciones analticas Restriccin
3:Waterbed effect:El efecto de cama de agua establece que no es
posible hacer S pequea a todas las frecuencias.Esto es una
consecuencia de la frmula del rea: Frmula del rea de la grfica de
log|S(je)| en funcin de e.Sea{ }ipel conjunto de los polos de L(s)
en Re s > 0.Suponer que el exceso de polos sobre ceros (grado
relativo) de L(s) es de, al menos, 2.En esas condiciones, el rea es
( )}= ip e d j S Re ) (log ) ( log t e eComentarios:
1)Notarquelarepresentacinesenescalalogartmicaparalasordenadasylinealparalas
abscisas.
2)Notarqueesteteoremaesvlidotantoparalossistemasdefasemnimacomolosdefaseno
mnimaaunqueslosepuedeaplicarsielexcesodepolossobrecerosdeL(s)esigualo
superior a 2. Ejemplo1.Frmuladelrea.Considerarelsistemacon ) 2 )( 1
(1) (+ =s ss P y10 ) ( = s C .Es internamente estable? Cunto vale
el rea neta de) ( log e j Sa lo largo de e? Solucin:
Elsistemaesinternamenteestableysupolinomiocaractersticovale82+ + s
s .Porotrolado,
puestoqueelexcesodepolossobrecerosdeL(s)esde2,sepuedeaplicarlafrmuladelreala
cual nos dice que el rea neta es positiva y vale( ) ) (log Re )
(log e p eit t =. 0 2 4 6 8 1010-1100 101 +_ Fig. 3.
Elreanegativaabajasfrecuencias(necesariaparatenerbuenseguimiento)vieneacompaada,
inevitablemente, por otra rea positiva a frecuencias ms altas. Tema
3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a12 2.5Construccin de T(s) Una vez decididas las
especificaciones del problema de control, lo habitual es construir
una funcin
detransferenciaT(s)quelascumpla.Elsistemadecontrolsedisearparaquesutransmitancia
entre entrada y salida sea T(s). 2.5.1A partir de un bloque de 2
orden con polos y ceros adicionales Suponer que la dinmica deseada
viene especificada en trminos de la respuesta al escaln mediante
ndices del rgimen permanente tales comokp ykv y del transitorio
tales como tr, tp,Rpt, ts, etc. En ese caso conviene empezar con
una T(s) con dos polos complejos (transitorio) con el numerador
ajustadodemaneraquesecumplalaprecisinestticarequerida.Encasodequeseanecesario
asegurar un determinado exceso de polos sobre ceros se aade un polo
suficientemente alejado. Este procedimiento, usado en el mtodo de
Sntesis Directa de Truxal, puede resumirse as: 1) Considerar una 2
22) (n ns sks Te ,e + += . 2) Hallar las ,, en que satisfacen las
especificaciones del transitorio. 3) Ajustar la ganancia k del
numerador para conseguir1 ) 0 ( = T . 4) En caso necesario, aadir
un cero para conseguir lakv ( = =i i vssz p ke1 1 1). 5) En caso
necesario, aadir un polo alejado para asegurar que el exceso de
polos sobre ceros de M(s) sea igual o superior al de la planta, sin
por ello afectar la forma del transitorio. 6) Reajustar la ganancia
del numerador para asegurar que, de nuevo,1 ) 0 ( = T . Ejemplo
2.Construccin de T(s) sin tener en cuenta la planta. Considerar las
siguientes especificaciones: estabilidad relativa: % 15
=ptRvelocidad: s radb/ 40 = eprecisin: 1 ) 0 ( = Tseguimiento: 60
=vkSe pide: 1)Obtener una 2 22) (n ns sks Te ,e + +=tal que las
satisfaga todas. 2)Si ello no es posible, proponer una solucin
alternativa. Solucin: Parmetro k:Para que la ganancia en continua
sea1 ) 0 ( = T , es necesario que 2nk e = . Parmetro ,:Para tener
un sobrepico del% 15 =ptR , el coeficiente de amortiguamiento debe
ser 5 . 0 = ,(valor obtenido por tablas o mediante la frmula). Tema
3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a13 Parmetro en:Podemos obtenerlo a partir de la
especificacin de seguimiento a rampas, kv, n vk e, 2 1= 60 5 . 0 2
2 = =v nk , e s radn/ 60 = e Pero tambin podemos obtenerlo a partir
de la especificacin de ancho de banda a -3dB.Puesto que 5 . 3 3 ~r
bt e y nndrte, e, te 42 . 21cos21== =,unvalorvlidoparaeness radn/
30 = epuesto que est entre26 . 32/ 342 . 2 42 . 2= = =b rnt eey66 .
27/ 5 . 342 . 2 42 . 2= = =b rnt ee El problema es que, si se
escoges radn/ 30 = e , se cumple la especificacins radb/ 40 = epero
laespecificacindeconstantedevelocidadsequedacorta:60 302< =
=,envk .Y,siseescoge s radn/ 60 = e , se cumple la especificacin60
=vkpero la especificacin de ancho de banda no se cumple: 40 4 .
7442 . 23> = =n be e . As pues, el bloque de segundo orden no es
suficiente puesto que con slo tres parmetros (grados de libertad)
no se pueden ajustar cuatro especificaciones no redundantes. Hay
que introducir ms parmetros, por ejemplo, un cero: zz ss sks Tn n++
+=2 22) (e ,e Tomamoss radn/ 30 = e demaneraquesecumples radb/ 40 =
e ycalculamoszparaquese cumpla60 =vk : z kn v1 2 1 =e, z1305 . 0
2601= z = 60 El resultado final es, pues, 606030 30 5 . 0 230) (2
22++ +=ss ss T . 2.5.2Bloque de orden n.Polinomios ptimos o formas
estndar Elanlisisinversomediantesistemasdesegundoorden,conun polo
y/ounceroadicionalesalo
msquepodemosllegarsiqueremosmantenerunarelacinintuitivaentreT(s)ysurespuesta
indicial. Sin embargo, en algunos casos conviene aceptar que
estamos ante sistemas de orden n elevado cuya
correlacinentrepolosysurespuestaindicialescompleja.Adems,lacomodidadanalticade
Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a14
situarunpoloalejadonosvaasuponerunesfuerzodecontrolexageradoy,probablemente,
innecesario. Para abordar este problema se recurre a los polinomios
ptimos, tpicos de la aproximacin o ajuste de curvas (Butterworth,
Legendre, Chebichev, etc.). Un procedimiento/gua para construir
T(s) podra ser el siguiente: 1) Seleccionar el orden del polinomio
atendiendo al exceso de polos-ceros requerido. 2) Seleccionar el
tipo de polinomio que nos parezca ms adecuado. 3) Fijar e0 de
acuerdo con la escala de tiempos dada por las especificaciones.
4)Ajustarelnumeradoratendiendoalosrequisitosdeprecisin(Nota:Encasodetenerque
aadir un cero, y puesto que ello afectar atr yRpt, puede hacerse un
primer retoque de los coeficientes del denominador, aumentando su ,
y/o disminuyendo su e0).
5)Hallarporsimulacinlarespuestaindicialy,demanerainteractiva,acabardeajustarlos
coeficientes del numerador N(s) y denominador D(s) de manera que se
obtenga una respuesta que se considere satisfactoria.
2.5.3Conversin de las especificaciones de L(je) en especificaciones
de T(je) En muchos casos las especificaciones son tales que pueden
ser formuladas con mayor facilidad en la forma deseada para la
ganancia del lazo (loop shaping).En este caso el procedimiento a
seguir es el siguiente:
1)TraducirlasespecificacionesdetransmisinysensibilidadencotasmnimasdeL
j ( ) e a bajas frecuencias. 2) Traducir las especificaciones de
rechazo del ruido en cotas mximas a alta frecuencia. 3) Asegurar la
estabilidad, estableciendo una pendiente adecuada a la frecuencia
de corte (ec). 4) Aproximar la curva resultante deL j ( ) een forma
racional L(s). 5) Calcular LLHs T+=11) ( . Ejemplo 3.Relacin entre
las especificaciones del lazo (L(s)) y del servo (T(s)): Dadas las
propiedades en lazo abierto Estabilidad:MF = 30 Exactitud:kv = 2
Velocidad:eco = 10rad/s(frecuencia de crossover, o de paso por 0dB,
de la ganancia del lazo) Se pide estimar las correspondientes
especificaciones en lazo cerrado: Estabilidad:,, Rpt, Mr (= Mpe)
Exactitud:T(0), i iz p1 1(pi, zi:polos y ceros del servo)
Velocidad:en, eb;tr, tp;polos dominantes Robustez:Si Sr = 2,
estimar MF y MG. Solucin: Propiedades del servo a partir de las
propiedades del lazo Tema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a15 Estabilidad:,, Rpt,
Mr (= Mpe) , 100 ~ MF 3 . 010030= = , 37 . 021= =,,te Rpt (o con
ayuda de la grfica Rpt(,)) 67 . 1211 212= ~=,, ,rM Exactitud:T(0),
i iz p1 1(pi, zi:polos y ceros del servo) Puesto que kv = 2 =cte,
el sistema es de tipo 1el lazo tiene un integradorla ganancia en
continua (a escaln) del servo es T(0) = 1 El trmino i iz p1 1
corresponde al error permanente a entradas en rampa, por tanto, 21
1) (1 1= = = v i ikez p Velocidad:en, eb;tr, tp;polos dominantes En
primer lugar,10 = ~co re econ lo que04 . 112 12==,eern.A partir de
ah, 19 . 10 4 2 14 2= + = , , e en b o tambin24 . 13 2 . 1 = ~n be
e .(Nos quedamos con el segundo puesto que, al no poder asegurar
que sea un segundo orden estricto, el ancho de banda ser
probablemente mayor que 10.19) Polos dominantes:53 . 10 12= = , e
en d 53 . 10 3 . 32 , 1j j pd n = = e ,e Tiempo de subida (aprox.
segundo orden): 18 . 0cos1== =d drte, teo tambin 5 . 3 3 a tr b~ e
25 . 024 . 133 . 3 3 . 3= = ~brte.(Nos quedamos con el segundo)
Tiempo de pico (aprox. segundo orden): 29 . 0 = =dptet Robustez:Si
Sr = 2, estimar MF y MG. 21 =~rrSSMG = ~9 . 2821sin 21rSMF
2.6Estabilidad interna Lazo retroactivo bsico: -Planta:Objeto a
controlar (suele contener a los actuadores).
-Entradasexgenas:r(referenciaoentradademando),d(sealperturbadoraexterna)yn(ruido
de medida) Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a16 -Objetivo del comportamiento:y(v)se
debe aproximar a una funcin pre-especificada de r en presencia de
d, de n y de la incertidumbre en la planta. controladorplanta
sensor r u d v n y CP H r u d v n y x1 x2 x3 Fig. 4.Lazo de control
bsico Problema bien planteado:Se dice que el problema est bien
planteado (well-posed) si todas las funciones de transferencia en
lazo cerrado (de r, d, n a u, y, v) existen.Para ver que existen,
basta ver que existen las 9 funciones de transferencia de r, d, n a
x1, x2, x3. )`+ =+ = =2 31 23 1Px n xCx d xHx r x|||.|
\|=|||.|
\|((((
ndrxxxPCH3211 00 10 1|||.|
\|((((
=|||.|
\|ndrPCHxxx13211 00 10 1 El sistema est bien planteado la matriz
no es singular 0 1 = + PCH existir la inversa. Clculo de la
inversa: ((((
((((
((((
1111 01 00 11 00 10 1/P PCCH CH PHHPCPCHadj transp sign Por
tanto, |||.|
\|((((
+=|||.|
\|((((
=|||.|
\|ndrP PCCH CH PHPCHndrPCHxxx111111 00 10 11321 Condiciones para
tener un problema bien planteado:
-SiP,C,Hsonpropiasylas9funcionesdetransferenciasonpropias,elproblemaestbien
planteado.En efecto, notar que 9 FT propias1 + PCHno es
estrictamente propia1 + PCH() = 0 -Si P, C, H son propias y una de
ellas (en general, P) es estrictamente propia, el problema est bien
planteado. Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a17 -Hay casos en que basta con que P sea
propia.Entonces, para que el sistema est bien planteado se tendr
que asumir que |PCH()| < 1 (|PCH()| > 1 implica que el
sistema se hara inestable). Estabilidad interna -Sea G(s) una
funcin de transferencia estable y propia.Se puede escribir como la
suma de una constante G0 y una funcin estrictamente propia G1. ) (
) (1 0s G G s G + = Ejemplo:1111 + =+ s ss -Veamos que su salida a
una entrada acotadac t u s ) ( , para todo t, est tambin acotada: }
+ = t t t d u t G t u G t y ) ( ) ( ) ( ) (1 0 < + s} t t cd G c
G t y ) ( ) (1 0 -Se dice que el sistema retroactivo es
internamente estable si las 9 funciones de transferencia son
estables.Enconsecuencia,silastresentradasexgenasr,d,nestnacotadas,tambinlo
estarn las seales intermedias x1, x2, x3 y, por tanto, tambin las
seales de salida u, y, v. Ejemplo4.Considerarelsistemacon 11)
(+=sss C , 11) (2=ss P y1 ) ( = s H .Versison estables las
funciones de transferencia de r a y y de d a y. Solucin: 2 21) 1
(11) 1 (11222+ +=+++=+=s sssPCHPCry estable! 21) 1 ( ) 1 ( ) 1 (1)
1 (11) 1 )( 1 (112 3 22 + += + ++=++ +=+=s sss s ssss sPCHPrd
inestable! Criterios de estabilidad interna
-SiseexpresanP,CyHenformacocientesdepolinomioscoprimos(esdecir,sinfactores
comunes), PPDNP = ,CCDNC = ,HHDNH =el polinomio caracterstico vendr
dado por H C P H C PD D D N N N +Los polos en lazo cerrado son las
races de dicho polinomio. Veamos dos criterios que nos indiquen
cuando el sistema es internamente estable: Tema 3.Diseo clsico de
controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a18
Criterio1:Elsistemaretroactivoesinternamenteestablenotienepolosenelsemiplano
derecho cerrado, Re s > 0. Demostracin: Por simplicidad se
supone H = 1.Tenamos que |||.|
\|((((
+=|||.|
\|((((
+=|||.|
\|ndrD D D N N NN D D D D ND D D N D DN N D DndrP PCCH CH
PHPCHxxxC P C P C PC P C P P CC P C P C PC P C P111111321 Paso
1.Suficiencia:No hay polos en lazo cerrado en Re s > 0 las 9
funciones de transferencia son estables el sistema es internamente
estable.
Paso2.Necesidad:Elsistemaesinternamenteestablelas9funcionesdetransferenciason
estables Pero eso no implica que el polinomio caracterstico no
tenga races en Re s > 0, puesto que se podr haber producido
alguna cancelacin con las races de los polinomios de los
numeradores. Hay que demostrar que C P C PD D N N +no tiene races
comunes con C PD D , C PD N , P CD Ny C PN N . Suponer que P pD dp
s D) ( + = . La raz s = -r no puede formar parte de NP (por
coprimicidad).Y siformarapartedeNCno
podraformarpartedeDC(porcoprimicidad).Portanto,sque puede existir
cancelacin a pesar de la coprimicidad? C P C PC PC P C PC PD D r s
N r s ND D r sD D N ND D) () () (+ + ++=+ Criterio 2:El sistema
retroactivo es internamente establese satisfacen las condiciones:
(a)La funcin de transferencia 1 + PCH no tiene ceros en Re s >
0. (b)No hay ninguna cancelacin polo-cero en Re s > 0 dentro del
producto PCH. Demostracin: Por simplicidad se supone H = 1.Tenamos
que |||.|
\|((((
+=|||.|
\|ndrP PCCH CH PHPCHxxx11111321
Paso1.Necesidad:(a)Elsistemaesinternamenteestableenparticularlastresfuncionesde
transferencia PCH + 11 son estables 1 + PCH no tiene races (ceros)
en Re s > 0. Tema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a19 (b)El sistema es
internamente estable H C P H C PD D D N N N +no tiene races en Re s
> 0 no hay races comunes en Re s > 0 entre H C PN N Ny H C PD
D D No hay ninguna cancelacin polo-cero en Re s > 0 dentro del
producto PCH. Paso 2.Suficiencia:Se asumen (a) y (b) Las races de H
C P H C PD D D N N N +estn en Re s < 0. Para demostrarlo
supondremos lo contrario:s0 es una raz en Re s0 > 0.Entonces 0 )
(0= s N N NH C P implicara que) (0s D D DH C P lo cual incumple la
condicin (b). Y si hacemos0 ) ( 1 ) ( 10 0= + = + s PCH sD D DN N
NH C PH C P se incumple la condicin (a). Criterio 3:Criterio de
Nyquist:Construir un contorno de Nyquist que englobe a los polos en
el eje imaginario.Sea n el nmero total de polos de P, C y H en Re s
> 0. El sistema es internamente estable el diagrama de Nyquist
de PCH no pasa por el punto 1 y da exactamente n vueltas alrededor
de 1 en sentido antihorario. Polos lazo cerrado inestables = polos
lazo abierto inestables + nmero vueltas PCH alrededor -1
2.7Ejercicios resueltos Ejercicio 1.Considerar el sistema con
retroaccin unitaria, H(s) = 1.La definicin de estabilidad
internaesquelas9funcionesdetransferenciaseanestables.Enelcasoderetroaccinunitaria
basta con que slo dos de estas nueve funciones sean estables de qu
dos funciones se trata? Solucin: Tenamos que |||.|
\|((((
+=|||.|
\|((((
+=|||.|
\|ndrD D D N N NN D D D D ND D D N D DN N D DndrP PCCH CH
PHPCHxxxC P C P C PC P C P P CC P C P C PC P C P111111321 Las dos
funciones son C P C PC PN N D DD NPCP+=+ 1yC P C PP CN N D DD
NPCC+=+ 1 ya que si estas dos son estables tambin lo sern las
funciones C P C PC PN N D DD DPC +=+ 11yC P C PC PN N D DN NPCPC+=+
1 y viceversa. Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a20 Ejercicio 2.Considerar 1 101) (+=ss P
, C(s) = k y H = 1.Hallar la mnima ganancia positiva k tal que:
(a)El sistema es internamente estable. (b)1 . 0 ) ( s esi r(t) =
escaln unitario y n = d = 0. (c)1 . 0 sypara todo d(t) con12 s dy r
= n = 0. Solucin: (a)Para que el sistema sea internamente estable,
las 9 funciones de transferencia|||.|
\|((((
++ + ++ ++ +=|||.|
\|((((
+=|||.|
\|ndrs ks k s s ks sk sndrD D D N N NN D D D D ND D D N D DN N D
DxxxC P C P C PC P C P P CC P C P C PC P C P1 10 1) 1 10 ( 1 10 ) 1
10 () 1 10 ( 1 1 10) 1 ( 101 1321 deben ser estables.Por tanto, 1 +
k > 0k > -1k > 0. (b)Seguimiento asinttico: 91 . 09 . 01 .
01111) 1 ( 101 10) 0 (1) ( ) (00= > s++=+ ++= = = =kk k k ssSss
sS lim ess (c)Comportamiento:PCPdy+=1, 22221 1011dk sdPCPy + += +=
Delasrelacionesentrada/salidadelasnormassabemosquesi12 s d
,entonces 221 101Gk sy =+ +=. } } = = = SPI del polos los en ) ( )
( de residuos ) ( ) (21) (21222s G s G ds s G s Gjd j G Gte et ) 1
( 20110110 / 110110 / 110110122kksksks lim Gks+=++ ++|.|
\| ++ =+ 4 1 . 0) 1 ( 201> s+=kky La condicin ms restrictiva
es la de seguimiento, por tanto,9 > k . Ejercicio
3.Especificaciones.Determinar en qu regin del plano complejo deben
estar situados lospolosdelsistema 2 222) (n nns sks Me ,ee+ +=
paraquesurespuestaindicialpresentelas siguientes caractersticas:
Precisin:0 ) ( = eTema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a21 Estabilidad:% 10 >
p=- 8+j *1;>> [ wn, z] =damp( p) wn=8. 0623 z=0. 9923
>> M=t f ( wn^2, [ 12*wn*zwn^2] ) ;>> st ep( M)0 0.2
0.4 0.6 0.8 1 1.200.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime
(sec)Amplitude >> p=- 8+j *8;>> [ wn, z] =damp( p)
wn=11. 3137 z=0. 7071 >> M=t f ( wn^2, [ 12*wn*zwn^2] )
;>> st ep( M)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.800.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)Amplitude >>
p=- 8+j *10;>> [ wn, z] =damp( p) wn=12. 8062 z=0. 6247
>> M=t f ( wn^2, [ 12*wn*zwn^2] ) ;>> st ep( M)0 0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.800.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime
(sec)Amplitude Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a23 3.Mtodos polinmicos.Sntesis directa
3.1Diseo por sntesis directa El problema de diseo de controladores
puede describirse as: -Elegir el par (u, y). -Elegir actuador y
sensor. -Elegir configuracin. -Determinar el algoritmo de proceso
de (r, y) para generar u. Fig. 5.
Paraevitarelprocesodetanteoinherentealosmtodosdediseodesistemasdecontrolpuede
recurrirse a los llamados mtodos directos que desarrollan el diseo
en dos fases: 1)Formulacin de los objetivos de control.Se
selecciona la funcin T=Y/R, que engloba las
caractersticasdeseadasdelcomportamientodelsistema.Eselproblemallamadomodel
matching o de fijacin de polos y ceros.
2)ImplementacindeT(s).Seeligelaconfiguracindecontrolysecalculanlos
controladores. Sobre la formulacin de las caractersticas
deseadas:Para que el proceso de diseo sea realista y no se reduzca
a un simple juego matemtico conviene saber a priori que la solucin
no solo debe
presentarciertaspropiedadesdinmicas,sinoqueademsdebetenerencuentalaslimitaciones
fsicas de los componentes a la hora de forzar dicha dinmica.En este
sentido la T(s) ha de ser tal que, adems de la relacin Y/R, tenga
en cuenta las siguientes caractersticas: 1)La dinmica interna.El
sistema debe ser internamente estable, es decir, todas sus
funciones
detransferencia(ynosoloY/R)debenserestablesyaquelareferencia(R)noeslanica
entrada.Elloaseguraque,enlacompensacindelospolosocerosinestables,noseha
recurrido a la simple cancelacin que, por otra parte, es
prcticamente imposible. 2)La posible amplificacin del ruido de alta
frecuencia.Para evitarlo se dice que el problema
hadeestarbienplanteado(well-posed).Elloimplicaquetodaslasfuncionesde
transferencia del servo Ti(s) sean propias, lo que requiere Ci
propios y, adems, 1+L()=0.Ello limita tambin la seal de control
puesto que U/R=T/P=Q debe ser propia y estable.
3)Larealizabilidaddeloscontroladores,esdecir,queresultenpropiosypuedan
implementarse, sin problemas, con circuitos activos (o algoritmos
causales). SensorPlantaActuador Controlador r e uy y Tema 3.Diseo
clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a24 Sobre las limitaciones de T(s):Para que la T(s)=Y/R
sea implementable ha de ser escogida con las siguientes
limitaciones: -Ha de ser estable
-Hadeserpropia(paraqueelproblemaestbienpropuesto).Porello,nopuedehaber
conexin directa (sin pasar por la planta) entre R, Y. -Ha de tener
un exceso de polos sobre ceros superior o igual al de la planta.
-Ha de retener todos los ceros de la planta inestables (es
aconsejable hacer lo mismo con los ceros estables que estn cerca al
eje imaginario) para asegurar la estabilidad interna. Sobre los
criterios de optimizacin: -Sirven de gua (referente) para obtener
buenas dinmicas segn sean las especificaciones: tr, Rpt, e(),
etc.Los ms interesantes son:ITAE, ISEU. -El resultado (T(s))
depende de la seal de excitacin
-Presentanproblemasdeclculosilaoptimizacinesconrestricciones,porejemplo
M u n-1,lasolucinnoesnica(hay
varias)pudindoseelegirlamsconvenienteparasatisfacerotrosobjetivosademsdela
fijacin de polos.Si P(s) es propia pero no estrictamente propia,
para que haya solucin nica se requiere que el orden deC(s) sea m =
n.
2)Siseaplicaestemtodoparaobtenermodelmatching,sefuerzanciertascancelaciones
(inevitables, no se pueden modificar) que pueden desvirtuar el
diseo al posibilitar la aparicin de seales elevadas y/u
oscilaciones persistentes. 3.4Configuraciones de dos grados de
libertad 3.4.1Compensador RST Formulacin del problema: Datos:Planta
) () () (s Ds Ns P = , estrictamente propia y de orden n
Objetivos:Concentrados en el modelo ) () () (s Ds Ns
MMMM=Configuracin: ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () (s S s N s R s Ds N s Ts
M+= +T(s) ) (1s R S(s) P(s) Fig. 8. Problema:Hallar los polinomios
R(s), S(s) y T(s).Hallar ) () () (1s Rs Ts C =y ) () () (2s Rs Ss C
=propios tales queTema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a28 ) ( ) ( ) ( s N s N s
TM=y) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s D s S s N s R s DM= + (ecuacin diofntica)
Solucin: Condiciones de existencia y unicidad de la solucin: -P(s)
irreductible y de orden n. -C1(s) y C2(s) propios y de orden n-1.
-) (s Mimplementable y de orden 2n-1.Si no es as, hay que
completarlo (ms o menos arbitrariamente) Pasos de la solucin: Paso
1.Acondicionar el orden y los factores de) (s MM para obtener) ( '
s MM -Dividir ) () (s Ns MM = {eliminar factores comunes} = ) () (s
Ds Npp(coprimos) -Nuevo numerador: ) ( ) ( ) ( ) ( '0s D s N s N s
Np M-Nuevo denominador: ) ( ) ( ) ( '0s D s D s Dp M0D
esunfactorarbitrario(deracesrazonablementeestables)conelorden
adecuado para que el orden de) ( ' s DM sea superior o igual a
2n-1. Paso 2.Formular las ecuaciones de diseo,) ( ) ( ' s M s MM=)
( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( '0s N s T s D s N s N s Np M= ) ( ) ( ) (0s
D s N s Tp=) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( '0s S s N s R s D s D s D
s Dp M+ =Paso 3.Construir el sistema de ecuaciones algebraicas
lineales correspondiente a la ecuacin diofntica ) ( ) , ( ) , (0D D
S R D Npf c S = Por ejemplo, para n = 2, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0s
D s D s S s N s R s Dp= +( )( ) ( )( ) ( )0 12233 0 1 0 1 0 1 0
122f s f s f s f s s s n s n r s r d s d s d + + + = + + + + +
+|||||.|
\|=|||||.|
\|(((((
3210110021 1 20 0 1 10 00 0 000 0ffffsrsrdn d dn d n dn d Paso
4.Resolver el sistema anterior ) ( ) , ( ) , (01D D D N S Rpf S c
=0 1) ( r s r s R + =, 0 1) ( s s s s S + = Paso 5.Realizar
fsicamente los controladores ) () () (1s Rs Ts C =y ) () () (2s Rs
Ss C = . Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a29 3.4.2Configuracin con retroaccin E/S
de la planta Formulacin del problema: Datos:Planta ) () () (s Ds Ns
P = , estrictamente propia y de orden n Objetivos:Concentrados en
el modelo ) () () (s Ds Ns MMMM=Configuracin: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
() ( ) () () () () () () (1) () () (0 2 100201s D s D s N s N s N s
Ds D s Ns Ds Ns Ds Ns Ds Ns Ds Ns M+ +=+ += + ++) (10s D P(s)
C1(s)C2(s) Fig. 9. Problema:Hallar N1(s), N2(s) y D0(s).Hallar ) ()
() (011s Ds Ns C =y ) () () (022s Ds Ns C =propios tales que) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 2 1s D s D s D s N s N s N s DM= + +(ecuacin
diofntica) y) ( ) ( ) (0s N s D s NM=y Solucin: Condiciones de
existencia y unicidad de la solucin: -P(s) irreductible y de orden
n. -C1(s) y C2(s) propios y de orden n-1. -) (s MM implementable y
con un exceso de polos y ceros igual al de la planta. Pasos de la
solucin: Paso 1.Acondicionar el orden y los factores de) (s MM para
obtener) ( ' s MM -Dividir ) () (s Ns MM = {eliminar factores
comunes} = ) () (s Ds Npp(coprimos) -Nuevo numerador: ) ( ) ( ) ( )
( '0s D s N s N s Np M-Nuevo denominador: ) ( ) ( ) ( '0s D s D s
Dp MSi el grado de Np,m , es inferior a n-1, entonces 0Des un
factor arbitrario de orden) 1 ( n m .Simes mayor o igual a n-1,
entonces10 = D . Paso 2.Formular las ecuaciones de diseo,) ( ) ( '
s M s MM=Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a30 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( '0 0s D s T
s D s N s N s Np M= ) ( ) ( ) (0 0s D s N s Dp=) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( : ) ( '0 2 1 0s D s D s N s N s N s D s D s D s Dp M+ +
=Paso 3.Construir el sistema de ecuaciones algebraicas lineales
correspondiente a la ecuacin diofntica ) , , , ( ) , ( ) , (0 2 1 p
pN D D D N N D N f c S = tomando | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 2 1s F s N s D s D s D s D s D s D s D s
N s N s N s Dp p p= = = + Por ejemplo, para n = 2, ) ( ) ( ) ( ) (
) (2 1s F s N s N s N s D = +( )( ) ( )( ) ( )0 12233 20 21 0 1 10
11 0 122f s f s f s f n s n n s n n s n d s d s d + + + = + + + + +
+|||||.|
\|=|||||.|
\|(((((
32102111201021 1 20 0 1 10 00 0 000 0ffffnnnndn d dn d n dn d
Paso 4.Resolver el sistema anterior ) , , , ( ) , ( ) , (012 1 p pN
D D D D N N N f S c = 10 11 1) ( n s n s N + = ,20 21 2) ( n s n s
N + = Paso 5.Realizar fsicamente ) () () (011s Ds Ns C =y ) () ()
(022s Ds Ns C = . 3.5Ejercicios resueltos Ejercicio 1.Control
RST.Considerar la siguiente planta y especificaciones 2 33) () ()
(2+ ++= =s sss As Bs P y 4 3 34) () () (2 3+ + += =s s s s Ds Ns
MMM La configuracin de control escogida es la de dos grados de
libertad representada en la figura, + T(s) ) (1s S R(s) P(s) +) ()
() (1s Ss Ts C =) () () (2s Ss Rs C =) () () (s As Bs P = Fig. 10.
Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a31 donde BR SATBSABRSABT M+=+=1.Se desea obtener los
controladores C1 y C2.Para ello, 1)Plantear matricialmente y
resolver la ecuacin diofntica a fin de obtener los polinomios S y
R.Obtener C2(s). 2)Obtener C1(s).(Nota:Aqu T no tiene que ser
obligatoriamente un polinomio) Solucin: Condiciones de existencia
de la solucin: Planta irreductible (A y B no tienen factores en
comn): s M implementable y de fase mnima:s M de orden 2n-1 donde n
es el orden del denominador de P:s (M es de orden 22-1=3) En estas
condiciones, C1 y C2 deben ser propios y de orden n-1=2-1=1.Por
tanto, 0 1 0 1) ( , ) ( r s r s R s s s s S + = + = La ecuacin
diofntica) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s D s R s B s A s SM= +queda como: (
)( ) ( )( ) ( )0 12233 0 1 0 1 0 122 0 1p s p s p s p r s r b s b a
s a s a s s s + + + = + + + + + + Matricialmente, tenemos:
|||||.|
\|=|||||.|
\|(((((
3210110021 1 20 0 1 10 00 0 000 0pppprsrsab a ab a b ab a 1 5 .
0 ) ( , 5 . 0 ) (13340 1 0 01 3 0 13 2 1 30 0 3 20 1 0 111100+ = +
= + = + = |||||.|
\|(((((
=|||||.|
\|s r s r s R s s s s s Srsrs De ah, 5 . 01 5 . 0) () () (2++ =
=sss Ss Rs C La funcin de transferencia del lazo cerrado es4 3 3) 5
. 0 )( 3 () (3 5 . 0 5 . 0 1 5 . 3 5 . 3) 5 . 0 )( 3 () (5 . 0) 1 5
. 0 (2 3312 33) () ( ) ( 1) () ( ) (2 3 1 2 2 3 122121+ + ++ +=+ +
+ ++ +==++ + ++++ ++=+=s s ss ss Cs s s s ss ss Csss sss sss Cs C s
Ps Ps C s M Para tener seguimiento se selecciona T de manera que
Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a32 34) ( 4 ) 3 )( ( ) ( ) ( ) (+= = + =ss T s s T s N s
B s TM De ah, ) 3 )( 5 . 0 (4) () () (1+ += =s s s Ss Ts C
Ejercicio2.ControlRSTconaccinintegral.Repetirelejercicioanteriorperoforzandoahoraaccin
integral en el lazo: + T(s) ) (1s S R(s) P(s) +) () () (1s Rs Ts C
=) () () (2s Ss Rs C =) () () (s As Bs P = Fig. 11. Solucin: Hay
que forzar a que el polinomio S(s) tenga un trmino Hs=s.El mtodo es
el mismo, pero ahorasupondremos que Hs forma parte de la planta
(n=3).Habr que ampliar M(s) con polos lejanos a fin de que se
cumpla la condicin de existencia (2n-1=5).As: Nueva planta (n=3):s
s sss s sss H s As Bs As Bs Ps2 33) 2 3 (3) ( ) () () ( ') () (2 3
2+ ++=+ ++= = = Hs=[ 10] ;numP=[ 13] ; denP=conv( [ 123] , Hs)
;%seponeel i nt egr ador comosi f uer apar t edel apl ant a
Nuevasespecificaciones(2n-1=5):ponemosdospoloslejanosen-20yajustamoslagananciaen
continua 202020204 3 34) ( ') ( ') (2 3+ + + + += =s s s s s s Ds
Ns MMM 1600 1360 1324 523 431600) (2 3 4 5+ + + + +=s s s s ss M
numM=4*20*20; denM=conv( [ 1334] , [ 120] ) , denM=conv( denM, [
120] )%seaadenpol osl ej anosaM%denP=[ 1230] , denM=[
143523132413601600] Ecuacin diofntica A=[ 032100; 310000; 003210;
031000; 000321; 003100] ' ;y=r ot 90( denM) ;x=i nv( A) *y;
A=030000 310300 203103 102031 001020 000010 y=1600 1360 1324 Tema
3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a33 523 43 1 x=194. 2778 533. 3333 41. 0000 81. 2778 1.
0000 243. 7222 ||||||||.|
\|((((((((
=||||||||.|
\|1435231324136016000 1 0 0 0 00 2 0 1 0 01 3 0 2 0 13 0 1 3 0
20 0 3 0 1 30 0 0 0 3 01221100rsrsrs S=[ x( 5) x( 3) x( 1) ]R=[ x(
6) x( 4) x( 2) ]C2=t f ( R, conv( S, Hs) ) s s s s H s S s S s s s
Ss3 . 194 41 ) ( ) ( ' ) ( 3 . 194 41 ) ( '2 3 2+ + = = + + = 3 .
533 28 . 81 7 . 243 ) (2+ + = s s s R Tr ansf er f unct i on:243.
7s^2+ 81. 28s+ 533. 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - -s^3+ 41s^2+ 194. 3s s s ss ss Ss Rs C3 . 194 413 . 533 28 .
81 7 . 243) () () (2 322+ ++ += = B=[ 13] ; A=[ 123] ;P=t f ( B, A)
,L=ser i es( C2, P) ; M=f eedback( L, 1) , zpk( M)T=t f ( numM, B)
31600) () ( ') (+= =s s Bs Ns TM C1=t f ( numM, conv( B, R) ) Tr
ansf er f unct i on:1600 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - -243. 7s^3+ 812. 4s^2+ 777. 2s+
1600 1600 2 . 777 4 . 812 7 . 2431600) () () (2 3 1+ + += =s s s s
Rs Ts C M=mi nr eal ( ser i es( C1, M) ) Tr ansf er f unct i
on:1600 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -s^5+ 43s^4+ 523s^3+ 1324s^2+
1360s+ 1600 Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a34 4.Mtodos empricos.Reguladores PID Los
mtodos clsicos para el clculo de controladores suponen que las
plantas son sistemas lineales invariantes con el tiempo (SLI) y de
parmetros concentrados (dimensin finita).
Sinembargo,enlamayoradeprocesosrealesellonoesas.Enlaindustriamuchasplantas
presentan grandes retardos puros (tanto en la dinmica del proceso
como en las medidas) y por tanto
nosepuedenmodelarpormediodeparmetrosconcentrados.Otrosmuchosprocesos(comolos
queimplicanflujosturbulentos)nopuedenserdescritospormodeloslineales,lasvlvulasde
control se saturan (no se pueden abrir ms), etc. En estos casos se
pueden adoptar diversas soluciones: Extrapolar las tcnicas
lineales, usando un modelo linealizado y de dimensin finita (aunque
sea
burdo),yaplicarundiseolinealconesteenfoque.Nohayseguridaddequeunavez
implementadofuncionebien,peroesteprimerdiseopuedeacabardeajustarseconayudadel
ordenador (a menos que hayan muchos parmetros). Usar tcnicas no
lineales de anlisis y diseo.El diseo de sistemas de control de
sistemas no
linealesnormalmentehayquehacerloportanteo:seempiezaporunaconfiguracinyun
controladorsimples.Sinosetienesuertesesigueconconfiguracionesycontroladoresms
complejos. Trabajar directamente con la planta fsica y con un
regulador PID, ajustando a priori y de modo
empricosusparmetros,yconfiandoenqueunavezimplementadofuncione.Sinoesas,el
operador deber reajustar los parmetros.
ComoenelcasodeSLI,laretroaccinmejoralascaractersticas(perturbacionesexternasy
sensibilidad). 4.1Reguladores PID Son controladores cuyas funciones
de transferencia se muestran en la siguiente tabla P: ck s C = )
(PI: ||.|
\|+ =sk s Cict11 ) ( PID: ||.|
\|+ + = ssk s Cdictt11 ) ( PD:( ) s k s Cd ct + = 1 ) (PID
prctico: ||.|
\|++ + =p sssk s Cdictt11 ) ( PD prctico: 1 ;11) ( >>++=
NsNsk s Cddctt Tabla 3.Funciones de transferencia de los
reguladores PID Tema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a35 4.1.1Aplicacin del
PID a plantas genricas Regulador proporcional (P):El regulador
proporcional, como su nombre indica, no es ms que una
ganancia:elesfuerzodecontrolesproporcionalalasealdeerror,) ( ) ( t
e k t uc = ,amserror ms esfuerzo de control. Aumentar laganancia kc
permite reducir el error permanente a entradas en escaln (offset)
pero no eliminarlo a no ser que la planta tenga un integrador
(recordar que la nica forma
deeliminareloffsetaescalnesqueellazotengaunintegradoryelreguladorP,por
definicin, no contiene accin integral, slo proporcional).
Perotampocoesrecomendableaumentardemasiadokcporqueellopuededegradarla
respuesta del sistema.Por un lado, el sistema tiende a oscilar ms y
puede llegar incluso a desestabilizarse y, por otro, podemos llegar
a saturar los actuadores (vlvulas, motores) con lo que el
comportamiento dejar de estar en la zona lineal. Regulador integral
(I):El esfuerzo de control es proporcional a la integral
("historia") de la seal de error, } =tid e k t u0) ( ) ( t t .De
este modo, mientras la referencia no sea alcanzada la integral del
errornoparardecrecer,yconellalaaccinde
controlsobreelsistema,hastaquelaaccinsea suficiente para llevar al
sistema al punto deseado.Notar que, aunque la seal de error sea
nula en un instante, la accin de control no tiene por qu serlo
tambin. Si el lazo (con retroaccin unitaria) es de Tipo 1, y el
servo es estable, el reset (i.e., la salida y la consigna coinciden
en rgimen permanente) se realiza automticamente.Ello es vlido tanto
para sistemas lineales como no lineales.
Aunquelaaccinintegralmejoralaprecisin,estropealaestabilidad.Eltransitoriose
vuelve lento y oscilatorio.La accin I es ms lenta que la accin P.
Puede aparecer el fenmeno llamado integral wind up (o saturacin
integral).La u supera
elniveldesaturacindelactuadorconloque,aunqueaumentemsdemagnitud,ellono
produceningnefecto.Sinembargo,sisesigueteniendounerrornonuloenellazo,la
accinintegralloirsumandoysumando(generandounarampa).Elproblemavendr
cuando, por ejemplo, la seal de error cambie de signo.Antes de que
la accin de control
puedaresponderadecuadamentesetendrque"vaciar"laintegralyellopuedetardarun
tiempo.Como resultado se introducir un retardo en el lazo que puede
llevar al sistema a la inestabilidad.Este problema empeora cuando
se usan controladores digitales de coma fija
(laacumulacinenlaintegralpuedeprovocar overflowy
laupuedepasarrepentinamente de su mximo positivo a su mximo
negativo) Anti reset wind up.Para eliminar el efecto anterior, se
fija un valor mximo y mnimo en la evolucin de u que estn por debajo
de los niveles de saturacin y se desactiva el integrador cuando u
alcanza dicho nivel y as u no crece por encima de la saturacin.Al
cambiar e de signo su efecto aparece inmediatamente en u, mejorando
as el comportamiento del sistema de control.
Lasiguientefiguramuestralacompensacindelasaturacinasociadaaunreguladorcon
accin integral mediante un lazo auxiliar no lineal Tema 3.Diseo
clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a36 ) 5 )( 1 (5+ + s s U ua PI (o PID)E + uR + s s Uc
Fig. 12.Anti reset wind up mediante lazo auxiliar no lineal
Regulador proporcional-integral (PI): Notar que el regulador PI
equivale a un integrador y un cero: ssksk s Ciicicttt1 11 )
(+=||.|
\|+ = El regulador PI combina las ventajas de las dos acciones P
e I.La accin integral permite obtener offset nulo a consignas tipo
escaln y la accin proporcional adicional aade el cero que reduce el
riesgo de inestabilidad propia de la accin integral.
Reguladorderivativo(D):Lasealdecontrolesproporcionalaladerivadadelasealdeerror
dtt dek t ud) () ( = .Con la accin diferencial se busca conseguir
un comportamiento ms suave del
sistemadecontrol(sisoloseusaPeI,laformadealcanzarelvalordereferenciapuedeser
excesivamente brusca, presentando picos de sobreoscilacin
excesivos).
Aestaaccindecontroltambinselellamaanticipativapuestoque,altenerinformacin
sobresielerrorestcreciendoodecreciendo,elesfuerzodecontrolactaantesdequela
seal de error sea excesivamente grande o pequea.Dicho de otro modo,
evitamos que el
sistemapasedelargolareferenciayaquesiladerivadadelerroresnegativa(nos
acercamos a la referencia) el efecto derivativo frena ligeramente
la accin de control.La
accinderivativapueshacealsistemamssensibleyaumentalaestabilidadrelativa(al
introducir un cero en el lazo). Notar tambin que si el error es
constante, la accin de control es nula por lo que este tipo de
accin no es adecuada para eliminar errores permanentes.
Laaccinderivativapuraesproblemticacuandoexisteruidoosealesperturbadoras
superpuestasalasalidadelservo.Porejemplo,suponerquetenemosunaperturbacin
aditivadetipoAsin(et),conegrande.Alpasarporelderivador,laamplituddelaseal
perturbadora ser Ae>>A con lo que la accin perturbadora se
ver reforzada.
Otroproblemarelacionadoconlaaccinderivativapuraesquepuedesucederquelos
actuadores no puedan implementarla.Por ejemplo, si hay un cambio
brusco de consigna, la seal de control generada ser un impulso de
gran amplitud, pero por mucha amplitud que tenga, si el actuador
presenta una saturacin, la salida del actuador siempre ser la
misma. Tema 3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas
Electrnicos de Control1314a37
As,elreguladoridealkdsesimpropio(mscerosquepolos)ypocorecomendablede
implementar, por ello, en la prctica se implementa Ns ks ks Cdd+=1)
( , donde N vara entre 3
y10,yvienedeterminadoporelfabricanterecibiendoelnombredetamingfactor.Este
factor facilita la realizacin y, adems, limita la ganancia a altas
frecuencias, de manera que el ruido de medida no es magnificado
indebidamente.A los efectos de la seal de error el C(s) se comporta
(aproximadamente) como kds. Regulador proporcional-derivativo
(PD):La seal de control es proporcional a la seal de error y a la
derivada de la seal de error dtt dek t e k t ud p) () ( ) ( + = .En
el dominio transformado, ( ) s k s Cd ct + = 1 ) ( El control PD
aumenta la estabilidad relativa al introducir un cero finito.Ello
se traduce en que se reduce el sobreimpulso de la respuesta
indicial.Dependiendo de la posicin del cero
delcontroladorconrespectoalaplantapuedeserquelarespuestadelsistemacontrolado
sea excesivamente lenta. ReguladorPID:La ||.|
\|+ + = s Ts Tk s Gdic c11 ) (
puederealizarsedediversasmaneras(verla siguiente figura) PID + u y
PI+ uyD+ I+u y PD + (a) de texto(b) tacomtrica ideal(c) alisado (I)
del error Fig. 13.Configuraciones PID El control PID permite
eliminar el offset gracias a la accin integral y mejorar la
estabilidad relativa (reducir el sobreimpulso) gracias a la accin
derivativa.Para ajustarlo se empieza variando kc.Si
noessuficienteseaadeki(Ti)paralaprecisiny,porltimo,kd(Td)paramejorarel
amortiguamiento.
RealizacindelaaccinderivativaD:Laaccinderivativapuranoesrealizable(notarqueel
derivadorpuroimplicarespuestafrecuencialcrecientedependiente+20dB/decyanchodebanda
infinito).Sinembargo,puedeaproximarsepormediodelaretroaccintalycomomuestrala
siguiente figura: Tema 3.Diseo clsico de controladores
ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a38 Fig. 14.Realizacin
prctica de un derivador
EnlaFig.14,lafuncindetransferenciadeentradaasalidaenlazocerradoes 1
/N sNsN s s N= ~+ + si N>>. 4.1.2Aplicacin del PID a plantas
SLI de parmetros concentrados El PID tambin puede ser aplicado al
diseo de SLI concentrados.En realidad el controlador P es
siempreelprimeroenaplicarseseaeldiseoporEvansoporBode.EnelcasodeplantasSLI
tambin puede usarse Ziegler-Nichols (calculando Tcu, kcu) pero no
hay razn para restringir el tipo de controladores a su formato PID
ya que pueden considerarse como casos especiales los siguientes: sk
s kPIi p+= escasounespecialdefiltroderetardo p sz
s++,z>p,porloqueeldiseo resultar de menor calidad al
restringirse al caso p = 0. p snp s ksNks kk s k k PDddp d p++=++ ~
+ =) (1, n> r =r l ocus( G, 1700)r =- 21. 0000 - 0. 0000+ 9.
1652i- 0. 0000- 9. 1652i Sintonizacin por oscilacin
crtica:Sintonizamos los distintos reguladores: >> s=t f ( '
s' ) ;>> ku=1700; Tu=0. 68; Control P: >> P=ku/ 2;
Control PI: >> kc=0. 45*ku; Ti =Tu/ 1. 2; PI =kc*( 1+1/ ( Ti
*s) ) Tr ansf er f unct i on:433. 5s+ 765 - - - - - - - - - - - -
-0. 5667s Control PD: >> kc=ku/ 2; Td=Tu/ 8; PD=kc*( 1+Td*s)
Tr ansf er f unct i on:72. 25s+ 850 Control PID: >> kc=0.
6*ku; Ti =Tu/ 2; Td=Tu/ 8; PI D=kc*( 1+1/ ( Ti *s) +Td*s) Tr ansf
er f unct i on:29. 48s^2+ 346. 8s+ 1020 - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - -0. 34s
Simulacindelasrespuestasindiciales:Construimoselsistemadecontrolenlazocerrado(desde
consigna y desde perturbacin).Para el caso de regulador PID:
>> G=zpk( [ ] , [ - 1- 4- 16] , 1) Zer o/ pol e/ gai n:1 - -
- - - - - - - - - - - - - - - -( s+1) ( s+4) ( s+16) >> L=ser
i es( PI D, G) ;>> Mr =f eedback( L, 1) ; st ep( Mr )>>
Md=f eedback( 1, L) ; st ep( Md) Tema 3.Diseo clsico de
controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a45 Los
resultados de la simulacin con consigna escaln son: 0 2 4
600.511.5PTime (sec)Amplitude0 5 10 15 20 2500.511.52PITime
(sec)Amplitude0 0.5 1 1.5 200.511.5PDTime (sec)Amplitude0 1 2
300.511.52PIDTime (sec)Amplitude Fig. 19. Los resultados de la
simulacin con perturbacin escaln son: 0 2 4 6-0.500.51PTime
(sec)Amplitude0 5 10 15 20 25-1-0.500.51PITime (sec)Amplitude0 0.5
1 1.5 2-0.500.51PDTime (sec)Amplitude0 1 2 3-1-0.500.51PIDTime
(sec)Amplitude Fig. 20.
Losresultadosdelatablason(alfinaldelejercicioestelcdigomatlabusadopararealizarlos
clculos): >> t abl a{1} ans=t i po: ' P'C: 850 pol os: [ -
19. 1073- 0. 9464- 6. 8512i - 0. 9464+ 6. 8512i ]of f set : 0. 0700
DR: 21. 9565 of f set _D: 0. 0700 DR_D: 56. 4531 >> t abl
a{2} ans=t i po: ' PI 'C: [ 1x1t f ]pol os: [ - 18. 6717- 0. 2514-
6. 2885i - 0. 2514+ 6. 2885i - 1. 8254]Tema 3.Diseo clsico de
controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a46 of f
set : 1. 1732e- 011 DR: 10. 8599 of f set _D: 1. 1732e- 011 DR_D:
24. 5319 >> t abl a{3} ans=t i po: ' PD'C: [ 1x1t f ]pol os:
[ - 3. 2083- 7. 2375i - 3. 2083+ 7. 2375i - 14. 5834]of f set : 0.
0700 DR: 20. 0462 of f set _D: 0. 0700 DR_D: 86. 7240 >> t
abl a{4} ans=t i po: ' PI D'C: [ 1x1t f ]pol os: [ - 12. 8757- 1.
7301- 6. 8529i - 1. 7301+ 6. 8529i - 4. 6641]of f set : - 2. 2204e-
015 DR: 28. 1966 of f set _D: - 4. 4409e- 016 DR_D: 74. 4775 Tema
3.Diseo clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a47 TipoC(s)polos servooffsetdecay ratio (%)
P850-19.1073 -0.9464 - 6.8512i -0.9464 + 6.8512i 0.070021.9565 PI
ss5667 . 0765 5 . 433 + -18.6717 -0.2514 - 6.2885i -0.2514 +
6.2885i -1.8254 010.8599 PD 850 25 . 72 + s-3.2083 - 7.2375i
-3.2083 + 7.2375i -14.5834 0.070020.0462 PID ss s34 . 01020 8 . 346
48 . 292+ + -12.8757 -1.7301 - 6.8529i -1.7301 + 6.8529i -4.6641
028.1966 Tabla 8.Oscilacin crtica Curva en S.La primera figura
muestra la respuesta indicial de la planta.A partir de ella se
estiman los parmetros caractersticos (la recta trazada pasa por el
punto de inflexin y define t0, el valor de
tsebuscacomosifueraunaconstante detiemponormal,apartirde t0 y
usandolarectacomosi fuera la pendiente de la exponencial).La
segunda figura muestra la bondad de la aproximacin 0 1 2 3 4 5 6
700.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.016Step ResponseTime
(sec)Amplitude0 1 2 3 4 5 6
700.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.016Step ResponseTime
(sec)Amplitude Fig. 21. >> k=1/ ( 4*16) ; t au0=0. 25; t
au=1; H=t f ( k, [ t au1] ) ; set ( H, ' i nput del ay' , t au0) ;
H Tr ansf er f unct i on:0. 01563 exp( - 0. 25*s) *- - - - - - -s+
1 >> f i gur e, st ep( G, H) Sintonizacin por curva
sigmoide:Sintonizamos los distintos reguladores: >> s=t f ( '
s' ) ;>> k=1/ ( 4*16) ; t au0=0. 25; t au=1; Control P:
>> P=( 1/ k) *( t au/ t au0)P=256 Control PI: Tema 3.Diseo
clsico de controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de
Control1314a48 >> kc=( 0. 9/ k) *( t au/ t au0) ; Ti =t au0/
0. 3; PI =kc*( 1+1/ ( Ti *s) ) , Tr ansf er f unct i on:192s+ 230.
4 - - - - - - - - - - - - -0. 8333s Control PID: >> kc=( 1.
2/ k) *( t au/ t au0) ; Ti =2*t au0; Td=t au0/ 2; PI D=kc*( 1+1/ (
Ti *s) +Td*s) , Tr ansf er f unct i on:19. 2s^2+ 153. 6s+ 307. 2 -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0. 5s Simulacin de
las respuestas indiciales: Los resultados de la simulacin con
consigna escaln son: 0 1 2 300.20.40.60.81PTime (sec)Amplitude0 1 2
3 400.511.5PITime (sec)Amplitude0 1 2 300.511.5PIDTime
(sec)Amplitude Fig. 22. Los resultados de la simulacin con
perturbacin escaln son: 0 0.5 1 1.5 2 2.500.20.40.60.81PTime
(sec)Amplitude0 1 2 3 4-0.500.51PITime (sec)Amplitude0 1 2
3-0.500.51PIDTime (sec)Amplitude Fig. 23. Tema 3.Diseo clsico de
controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a49 Los
resultados de la tabla son (se ha modificado ligeramente la funcin
utilizada para el caso de la oscilacin crtica): >> t abl a{1}
ans= t i po: ' P'C: 256 pol os: [ - 17. 1976- 1. 9012- 3. 8720i -
1. 9012+ 3. 8720i ]of f set : 0. 2000 DR: 16. 3230 of f set _D: 0.
2000 DR_D: 76. 4702 >> t abl a{2} ans= t i po: ' PI 'C: [
1x1t f ]pol os: [ - 17. 0259- 1. 3587- 3. 3281i - 1. 3587+ 3. 3281i
- 1. 2566]of f set : 1. 3323e- 015 DR: 21. 4184 of f set _D: 1.
1102e- 016 DR_D: 92. 5962 >> t abl a{3} ans= t i po: ' PI
D'C: [ 1x1t f ]pol os: [ - 13. 8776- 1. 5612- 2. 9378i - 1. 5612+
2. 9378i - 4. 0000]of f set : 2. 2204e- 015 DR: 20. 9436 of f set
_D: 1. 1102e- 016 DR_D: 94. 7779 La tabla resumen queda, pues,
TipoC(s)polos servooffsetdecay ratio (%) P256-17.1976-1.9012 -
3.8720i-1.9012 + 3.8720i 0.200016.3230 PI ss8333 . 04 . 230 192 +
-17.0259-1.3587 - 3.3281i-1.3587 + 3.3281i -1.2566 021.4184 PID ss
s5 . 02 . 307 6 . 153 2 . 192+ + -13.8776-1.5612 - 2.9378i-1.5612 +
2.9378i -4.0000 020.9436 Tabla 9.Curva sigmoide Cdigo Matlab
utilizado en el ejercicio Fichero PID_regla1.m cl ear al l , hol
dof f , cl oseal l%s=t f ( ' s' ) ;Tema 3.Diseo clsico de
controladores ETSETB.Sistemas Electrnicos de Control1314a50
ku=1700; Tu=0. 68;P=ku/ 2;%kc=0. 45*ku; Ti =Tu/ 1. 2;PI =kc*( 1+1/
( Ti *s) ) ;%kc=ku/ 2; Td=Tu/ 8;PD=kc*( 1+Td*s) ;%kc=0. 6*ku; Ti
=Tu/ 2; Td=Tu/ 8;PI D=kc*( 1+1/ ( Ti *s) +Td*s) ;%%- - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - -t abl a=cel l ( 1, 4) ;t abl a{1}. t i po=' P' ; t
abl a{2}. t i po=' PI ' ; t abl a{3}. t i po=' PD' ; t abl a{4}. t
i po=' PI D' ;t abl a{1}. C=P; t abl a{2}. C=PI ; t abl a{3}. C=PD;
t abl a{4}. C=PI D;G=zpk( [ ] , [ - 1- 4- 16] , 1) ;f or i =1: 4
L=ser i es( t abl a{i }. C, G) ;%f i gur e( 1) , subpl ot ( 2, 2, i
) ,Mr =f eedback( L, 1) ; st ep( Mr ) ; t i t l e( t abl a{i }. t i
po)t abl a{i }. pol os=pol e( Mr ) ' ;t =l i nspace( 0, 100) ; y=st
ep( Mr , t ) ; t abl a{i }. of f set =1- y( end) ;t =l i nspace( 0,
6, 200) ; y=st ep( Mr , t ) ; t abl a{i }. DR=decay_r at i o( t ,
y, y( end) ) ;%f i gur e( 2) , subpl ot ( 2, 2, i ) ,Md=f eedback(
1, L) ; st ep( Md) , t i t l e( t abl a{i }. t i po)t =l i nspace(
0, 100) ; y=st ep( Md, t ) ; t abl a{i }. of f set _D=y( end) ;t =l
i nspace( 0, 6, 200) ; y=st ep( Md, t ) ; t abl a{i }. DR_D=decay_r
at i o( t , y, y( end) ) ;end Funcin decay_ratio (fichero
decay_ratio.m) f unct i on[ DR, p1, p2] =decay_r at i o( t , y, yf
i nal ) %f i gur e, pl ot ( t , y) , hol don p1=max( y) ; %pr i mer
pi co i nx=f i nd( y==max( p1) ) ;%pl ot ( t ( i nx) , y( i nx) , '
or ' )%i nxz=f i nd( y( i nx+1: end)
