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CURSO PROPEDUTICO DE MATEMTICAS

Cinvestav-Guadalajara

Ral ErnestoGonzlez Torres

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FUNCIONES

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ContenidoDefinicin de funcin. Igualdad de funcionesFunciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversas

Funciones compuestas

Operaciones binarias

Operaciones conmutativas y asociativas

Elemento neutro e inversos

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FuncionesSea f: A B una relacin.Decimos que f es una funcin de A a B si y slo sipara cada xA hay un solo yB tal que xfy.

Observemos que:De acuerdo a la definicin dada, si f: A B es una funcin, entonces Dom(f) = A; esto es, cada elemento del primer conjunto A debe tener un asociado, mediante f, del segundo conjunto B.

Como en cada caso, y es nico para x, lo denotamos por f(x).

La Grfica de una funcin f: A B es el conjuntoGr(f) = { (x, y)AB| y = f(x) }.

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FuncionesEn trminos de parejas ordenadas, decimos que una relacin R: A B definida mediante su grfica, es una funcin si satisface dos condiciones:i) Dom(R) = A. yii) si (a, b), (a, c)Gr(R), entonces b = c.

Consideremos la relacin R: A B definida por la matriz:

EJEMPLO:

R

1 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

M :=

Como hay un 1 en cada fila de la matriz, cada elemento de A se relaciona con un elemento de B, y como no hay ms que un 1 en cada fila de MR , solamente hay un elemento de B asociado a cada elemento de A,.Por tanto, R es una funcin de A en B.

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EJEMPLO:Encontremos el dominio de la funcin real g definida por la frmula

Dibujo de la grfica de g

x 1g(x):= x+1Tenemos que

x 1x+1 x 1 0x+1

(x < 1 x 1).

Por lo tanto,Dom(g) = (, 1) [1, ).

g(x)

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Funcin inyectiva

EJEMPLOS:

Sea f: A B una funcin.Decimos que f es una funcin inyectiva (o uno-a-uno) si y slo si (x1)(x2)( x1 x2 f(x1) f(x2) ).

Corolario: f: A B es una funcin inyectiva si y slo si(x1)(x2)( f(x1) = f(x2) x1 = x2 ).

1. La funcin valor absoluto no es una funcin inyectiva, porque,como contraejemplo, se tiene quesi x1 = 1 y x2 = 1, entonces se cumple que x1 x2 , perof(x1) = f(1):= |1|= 1 = |1|:= f(1) = f(x2).

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Sea : la funcin que asigna a cada letra la letra siguiente en el orden alfabtico.

2.

Entonces g es una funcin inyectiva.

Esta funcin es inyectiva.4.

Sea g: {0} {1} definida por la regla

1g(x):= 1x

(Prubelo!)

3. Sea A un conjunto no vaco.La funcin identidad en A se denota por A y se define por la regla A(a):= a, para todo aA.

Sea el abecedario.

Cul es su dominio? Es inyectiva?

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Funcin sobreyectiva

EJEMPLOS:

Sea f: A B una funcin.Decimos que f es una funcin sobreyectiva (o sobre) si y slo si

Im(f) = B, es decir, para cada yB existe xA tal que y = f(x) ).

es una funcin inyectiva.

Vimos que la funcin g: {0} {1}definida por la regla 1g(x):= 1x

Podemos probar que tambin es una funcin sobreyectiva

1.

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La funcin identidad A en cualquier conjunto A es sobreyectiva

.

2.

3. Sea A un conjunto no vaco. Entonces no existe una funcin sobreyectiva de A en P(A).Demostracin:Supongamos que, por el contrario, s existe una funcin f: A P(A) tal que f es sobreyectiva.Consideremos el subconjunto

B:= { aA | af(a) }.Como f es sobreyectiva, existe bA tal que f(b) = B.

Se cumple que bB?Pregunta:Como obtenemos una contradiccin, debemos concluir que no existe tal funcin sobreyectiva f.

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Funcin biyectivaSea f: A B una funcin.Decimos que f es una funcin biyectiva (o una correspondencia biunvoca) si y slo si

f es una funcin inyectiva y sobreyectiva.EJEMPLOS:

1. La funcin identidad A en cualquier conjunto no vaco A es una funcin biyectiva.

2. Si A y B son dos conjuntos finitos, entonces existe una funcin biyectiva entre A y B si y slo si A yB tienen el mismo nmero de elementos.Luego, no existe una funcin biyectiva entre un conjunto finito y cualquiera de sus subconjuntos propios.

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Pero esto no ocurre as con los conjuntos infinitos.Por ejemplo, el conjunto de los nmeros enteros pares es un subconjunto propio de y la funcinf: definida por la regla f(n):= 2n

es una funcin biyectiva!

Si R es una funcin y R 1 es la relacin recproca de R, qu condiciones debe cumplir R para que R 1 sea una funcin de B a A? Observando cuidadosamente los diagramas siguientes, en los cuales R 1 no es una funcin,

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R es sobreyectiva pero no es inyectiva

R es inyectiva pero no es sobreyectiva

nos vemos tentados a concluir que para que R 1 sea una funcin de B a A es necesario y suficiente que f sea una funcin biyectiva.Este hecho lo establece el teorema siguiente:

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Teorema: Sea f: A B una funcin.Sea R 1: B A la relacin inversa de f.R 1 es una funcin de B a A si y slo si f es una funcin biyectiva.

Demostracin: (Ejercicio!)

Cuando f es una funcin biyectiva tambin decimos que es una funcin invertible, porque su relacin inversa R 1 es una funcin, denotamos a R 1 por f 1 (lemosla efe inversa) y la llamamos la funcin inversa de f.

Si conocemos la grfica de f, podemos dibujar directamente la grfica de f 1 mediante una reflexin en el plano cartesiano con respecto a la recta y = x.

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EJEMPLOS:1. La inversa de la funcin identidad A (en cualquier

conjunto no vaco A) es la misma funcin identidad.2. La inversa de la funcin g: {0} {1}

definida por la regla 1g(x):= 1xes la funcin g 1: {1} {0}cuya regla es 1 1g (x):= x+1

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Funcin compuestaLema: Sean f: A B y g: B C funciones.

Entonces la relacin compuesta de f y g es una funcin.

Demostracin: (Ejercicio!)

La funcin compuesta de f y g se denota por gf, ya que si cC tal que gf asocia c al elemento a de A, entonces, como muestra la figura, c = g(f(a)).

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Podemos definir la funcin compuesta de f y g sin requerir que el codominio de f sea igual al dominio de g, y exigiendo, de manera un poco ms general, que

Im(f) Dom(g). Esto nos puede ser de utilidad, por ejemplo, cuando trabajamos con funciones reales que han sido definidas slo mediante sus reglas.si f y g son dos funciones que han sido definidas mediante sus reglas (o frmulas), el dominio de la funcin compuesta gf es el conjunto Dom(gf) = { xDom(f) | f(x)Dom(g) }.

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Consideremos las funciones reales f y g definidas por las reglas siguientes:

EJEMPLO:

Observamos que Im(f) = [0, ) y Dom(g) = (3, ). Como Im(f) Dom(g), gf no se puede definir directamente.

gf: (12, ) , tal que gf(x):= g(f(x)) =

f(x):= x 3 y1g(x):=x 3

Sin embargo, si restringimos el dominio de f al conjunto A:= (12, ), entonces, podemos definirgf as:

1g( x 3) =x 3 3

Cul conjunto es Im(gf)?

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Igualdad de funcionesSean f: A B y g: A B funciones.Decimos que f es igual a g y escribimos f = g si y slo si

f(x) = g(x), para todo xA.

Observemos que, de acuerdo a este criterio, slo tiene sentido considerar la posibilidad de que f y g sean iguales si tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

A continuacin se presentan algunos teoremas bsicos relativos a la composicin de funciones:

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AsociatividadTeorema: Sean f: A B, g: B C y h: C D

funciones. Entoncesh(gf) = (hg)f.

Demostracin:Demostracin: (Ejercicio)

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El rol de la funcin identidadTeorema : Sea f: A B una funcin.

Sean A e B las funciones identidad en A y B, respectivamente.i. fA = f y Bf = f.ii. Si f es invertible, entonces

f 1f = A y ff 1 = B.Demostracin:Demostracin: (Ejercicio)

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Qu condiciones deben satisfacer las funciones f y g para que la funcin compuesta sea inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? El Teorema siguiente nos provee de condiciones suficientes para que esto ocurra.Teorema : Sean f: A B y g: B C funciones.

i. Si f y g son funciones inyectivas, entonces gf es una funcin inyectiva.

ii. Si f y g son funciones sobreyectivas,entonces gf es una funcin sobreyectiva.

iii. Si f y g son funciones biyectivas,entonces gf es una funcin biyectiva.

Demostracin: (Ejercicio!)

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Las proposiciones recprocas de las implicaciones dadas en el Teorema anterior no son verdaderas en general.Mostrmoslo mediante contraejemplos usando las funciones descritas en la figura siguiente:

gf es inyectiva, pero g no es inyectiva, puesto queg(b2) = g(b3) = c2

gf es sobreyectiva, pero f no lo es, porque b3Im(f). gf que es biyectiva, pero ni f ni g son biyectivas.

EJEMPLO:

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Teorema : Sean f: A B y g: B C funciones.i. Si gf es funcin inyectiva, entonces

f es funcin inyectiva.ii. Si gf es funcin sobreyectiva, entonces

g es funcin sobreyectiva.Demostracin: (Ejercicio!)

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Teorema: Sean f: A B y g: B C funciones invertibles. Entoncesgf: A C es funcin invertible y adems

(gf)1 = f1g1.Demostracin: (Ejercicio!)

Invertibilidad de la composicin

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EJERCICIOS:1. Sean f: A B y g: B A funciones.

Demuestre quesi gf = A y fg = B , entonces f es invertible y g = f 1 .

2. Sean f: A B, g: B A y h: B A funciones. Demuestre quesi gf = A y fh = B , entonces g = h.

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