25/2/2017

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BIOFÍSICA

Clase 9. Unidad 3

HidrostáticaCurso de Ingreso a FCM-UNSE

2017

Los seres humanos somos una gran tubería caminando. Por dentro estamos llenos de caños, tubos, mangueras, fuelles, bolsas y otro conjunto de espacios anatómicos que contienen fluidos.

De modo que si queremos entender el funcionamiento del cuerpo humano u otro ser vivo debemos comenzar por el estudio de una serie de propiedades biofísicas que nos permitirán comprenderlo.

Introducción

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Fluidos Principales

Líquido Gas

Somos 75% aguaSANGRE

Volemia: 5 litros

PULMONESAire: 6 litros en

inspiración profunda

.

3

3

2

2

1

1cte

V

m

V

m

V

m===

V

m=δ

[ ] ...

3etc

l

mg

dm

kg

mL

g

L

kg=====

µδ

DensidadRelación entre la masa y el volumen de una

sustancia

En ecuaciones

δ = letra griega denominada “delta”

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V

P

r

=ρ

gmP ×=

r

gV

gm ×=

×

= δρ

Peso EspecíficoRelación entre el peso y el volumen de

una sustancia

En ecuaciones

ρ = letra griega denominada “rho”

[ ]33

2

m

N

m

seg

mkg

=

×

=ρ

Densidad y Peso Específico de Diferentes Sustancias

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A

F P

r

=

[ ] Ketcm

N

cm

dina

cm

kgf P ====

222

2cm

dina Baria =

Presión

Fuerza

sobre

área

Es la fuerza ejercida por unidad de área

En ecuaciones

2m

N Pascal =

Interesa el módulo de la fuerza, no su dirección (por eso aparece su módulo entre

líneas verticales)

hPaTorrmmHgAtm 1013760760 ===

( )( )2cm

dyndinaBa Baria =

Unidades de PresiónEs la fuerza ejercida por unidad de área

( )2

m

N Pa Pascal =

( ) BaBar Bar6

10=

( ) ( )PaPascalBa Barias10 1=

g1g1r

≠

Nseg

m9,800,001kga0,001kgg1

20098,0=×=×=

r

El gramo (g) es una medida de masa, y el gramo fuerza, de peso (fuerza)

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Presión Hidrostática

Es un principio basado en la conservación de la energía

hg P ××= δ

h P ×= ρ

h P ∆ρ∆ ×=

Teorema General de la Hidrostática

Nótese que la presión en el seno de un líquido es independiente del ancho de lacolumna de líquido, sólo depende de la profundidad. Por ende, existe la mismapresión en el fondo de un tubo vertical lleno de agua de 15 metros de alto y 5cm de diámetro que en el fondo de un lago de 15 metros de profundidad.

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¿Qué fuerza ejerce el agua sobre nuestros tímpanos cuando nos sumergimos a4 metros de profundidad? Dato: considere que el área del tímpano es dealrededor de 3 cm².

Ejemplo

A

F P

r

= A PF ×=

r

( ) ( )Ah g F ×××= δr

( )223

34101 cm mseg

m

cm

gF ×

××=

r( )( )

( )( )22

232

3

103410

10

101 m m

seg

m

m

kgF −

−

−

×

××=

r

( )24

236

3

10341010

101 m m

seg

m

m

kgF −

−

−

××

××=

r

( )24

23

310341010 m m

seg

m

m

kgF −××

××=

r

( )34

23

410104 m3 m

seg

m

m

kgF

−××

×××=

r

N F 12=

r

Sustituimos por los valores del problema Colocamos las unidades en el SI

Resolvemos!

Principio de Pascal

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21PP =

2

2

1

1

A

F

A

Frr

=

1

21

2

A

AFF

×

=

r

r

Prensa Hidráulica

P1P2

BAPP =

hP HgB ×= ρ

3280133

m

N.

Hg=ρ

m,mmh 760760 ==

( )m,m

N.P

B760280133

3×

=

Pa.PB

300101=

Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físicoitaliano, fue el primero en medir la presión que ejercela atmósfera sobre nuestros cuerpos. ¿Cómo hizoTorricelli para medir esa presión?

Presión Atmosférica y Experimento de Torricelli

Presión atmosférica

Patm

vacío

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21PP ∆∆ =

2211hh ∆ρ∆ρ ×=×

2211hghg ∆δ∆δ ××=××

2211hh ∆δ∆δ ×=×

Tubo en U y Densidad

Aplicando entonces el teoremageneral de la hidrostática enambas columnas tenemos

Tomamos dos líquidos de distintadensidad, representados por distintoscolores.

Presión absoluta = Presión relativa + Presión atmosférica

Presión barométrica = Presión manométrica + Presión atmosférica

Presión Absoluta y Relativa

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Arquímedes de Siracusa (287 AC - 212 AC) fue un físico y matemático griegoconsiderado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica(quizá el primero!). Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentosen hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca.

Principio de Arquímedes

Eureka !!!!

Principio de ArquímedesEl principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo

sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

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Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluidoexperimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluidodesalojado. Fíjense que el peso de la balanza colgante, es transferido al dela balanza inferior, siendo su suma, la misma que cada uno por separado.

Arquímedes elaboró el concepto de Empuje (E)

Principio de Arquímedes

Se llama empuje a la fuerza que el líquido ejerce sobre uncuerpo, y que es igual al peso del líquido desplazado (Pld)por el cuerpo.

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CPEr

= ldPEr

=

ldCPPrr

=

ldldCCVV ×=× δδ

SldCChh ×=× ρρ

donde hc

es la altura del cuerpo y hs

es su porción sumergida.

Principio de Arquímedes

Por lo tanto, si expresamos los pesos a través de sus densidades, resulta:

ldldCCVgVg ××=×× δδ

Si el cuerpo tiene simetría vertical, lo anterior equivale a:

CPr

Peso del cuerpo

ldPr

Peso del líquido desplazado

El empuje es un equilibrio

ldCPPrr

>

ldCδδ >

ldCδδ <

→ se hunde

¿Flota o se Hunde?

→ flota

Ahora, cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igualal del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambosmiembros por el volumen y se obtiene

ldCPPrr

<

→ se hunde

→ flota

1

Ejercicios Resueltos Unidad 3 – Parte Hidrostática

1. Calcular el peso específico de un cuerpo de 11 cm3 que pesa 33 gr

(gramos fuerza). Expresar

el resultado en gr

/cm3.

Sabemos que el peso especifico ρ es δ x g (donde la aceleración de la gravedad “g” la

tomaremos como 10 m/s2). Por lo tanto, si el peso del cuerpo es 33 gr

, y su volumen 11 cm3, el

peso específico será:

333

11

33

cm

g

cm

g

V

Prr

r

===ρ

Nota: Nótese que el gr

y el g (gramo), representan distintas unidades, siendo gr

una unidad de

fuerza del sistema técnico y el gramo una unidad de masa del sistema CGS.

2. Al sumergir un tubo de vidrio en una cubeta conteniendo mercurio (Hg), éste asciende 760

mm cuando se encuentra expuesto al aire. ¿Cuál es la presión atmosférica expresada en barias,

si el peso específico del Hg (ρ) es 13,6 gr

/cm3?

Previo a la resolución del problema, siempre identifique si la unidad “g”, es la unidad de masa,

o peso fuerza “ gr

”. Se quiere averiguar la presión (P) atmosférica que será igual a la ejercida

por la columna de Hg. Recordando el experimento de Torricelli (hacer el esquema para

ayudarse).

Datos: altura (h) = 760 mm = 76 cm; ρHg = 13,6 gr

/cm3 = δ x a, donde a = 10 m/s2 = 1000 cm/s2.

A la vez, numéricamente hablando, el valor de la δ expresado en g/cm3, es igual al ρ

expresado en la unidad técnica, gr

/cm3. Es decir, que la δHg es 13,6 g/cm3. Dado que el

resultado final debe expresarse en Barias, sistema CGS, trabajaremos en ese sistema.

Ba..cms

cm

cm

g,hghP 6000331761000613

23=

××××=××=×= δρ∆

3. Una columna líquida de 60 cm de altura ejerce una presión de 310 dinas/cm2. ¿Cuál es el

peso específico ρdel líquido en gr

/cm3?

Recordamos nuevamente que la presión de la columna líquida es el peso (fuerza) del líquido,

por lo que el experimento de Torricelli establece que

2

3

2

1666560

310

cm

dinas,

cm

cm

dinas

h

P

hP

=

=

=

×=

ρ

∆ρ

ρ∆

Ahora bien, averiguaremos cuál es la masa en g que provoca esa fuerza en dinas:

g,m

seg

cm

seg

cmg,

ma

seg

cmg,

amdinas,

3

2

2

2

10175

1000

175

175

175

−×==

×

=

×

×=

Es decir que, por definición, si la masa es de 5,17 x 10-3 g, el peso en gramos fuerza es 5,17 x

10-3 gr

. Por lo tanto, el peso específico expresado en gramos fuerza/cm3

3

310175

cm

g,

r

−

×=ρ

4. El agua que llena un recipiente cilíndrico pesa 0,050 k gr

, el radio de la base es 1 cm. Calcule

la altura (ρH2O = 1 gr

/cm3).

El siguiente problema es simplemente un recordatorio matemático para calcular el peso del

recipiente, a partir de lo cual se puede extraer la información requerida. La masa de agua

dentro del cilindro es 0,050 kg, para un volumen de agua de

2

2

r

Volh

hralturabaseVol

cilindro

cilindro

×

=

××=×=

π

π

Dado que el volumen del cilindro no es dato, tiene que salir del peso de la masa líquida que sí

es dato y surge de

3

3

3

3

501

10050

2

cmcmg

g,PesoVol

gVolgmasaPeso

OH

cilindro

cilindro

cilindrocilindro

=

×==

××=×=

r

r

ρ

δ

cmcm,cm

cm

,r

Volh cilindro

169151143

50

2

3

22≈=

×=

×=

π

5. Calcular la fuerza que ejerce el agua en un recipiente cilíndrico cuya base tiene 4 cm de

radio y 31 cm de altura.

( ) dinas..cmcm

dinas,.rPAPF

cm

dinas.cm

s

cm

cm

ghgP

APF

A

FP

4405571414300031

000313110001

2

2

22

223

=

×××=××=×=

=

××××=××=

×=

=

π∆∆

δ∆

∆

∆

6. ¿Cuál es la presión (en hPa) ejercida por una columna de agua (δ = 1 g/cm3) de 50 m de

altura? ¿Cuál es la altura que alcanzaría una columna de alcohol (δ = 0,85 g/cm3) para ejercer

la misma presión? g = 9,8 m/s2.

Para resolver este problema, primero dividámoslo en dos partes, siendo lo primera que se

pregunta cuál es la presión (P) de una columna de agua de 50 m de altura.

Como dato tenemos la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2. Recordemos que el principio de

Torricelli nos dice que P = ρ x h, donde ρ es el peso específico del líquido. Sabiendo que la

densidad es δ = 1 g/cm3, entonces

hPa.Ba..cm

dinas..P

cms

cm

cm

ghgP

900400090040009004

50009801

2

23

===

×

×××=××=

∆

δ∆

Recordando que 1 Pa = 10 Ba; 1 hecto-Pascal, hPa = 100 Pa.

4

La segunda parte del problema, nos pregunta cuál es la altura que alcanzaría la columna, para

un líquido (alcohol) que tiene una densidad menor. Nuevamente, P = δ x g x h, donde “h” es la

incógnita. Por lo tanto h = P/ δ x g. Reemplazando valores, tenemos

cm.

s

cm

cm

gcm

dinas

,

..

g

Ph

hP

8825980850

009004

23

2

=

××=

×=

×=

δ

∆

ρ∆

10. Dos vasos A y B contienen agua en equilibrio. El vaso A tiene una base de 2 cm² y contiene

agua hasta 10 cm de altura. El B, tiene una base de 4 cm² y la altura de agua es de 5 cm. ¿Cuál

es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad? ¿Cuál es la presión

generada por el agua en el fondo de cada vaso? ¿Las presiones calculadas en a) y b) son las

presiones totales?

¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad?

La presión en un punto cualquiera de un líquido en reposo es directamente proporcional a la

densidad del líquido y a la profundidad a la que se halla el punto, expresión que se conoce

como Teorema general de la hidrostática. Una consecuencia del teorema es que dos puntos a

igual profundidad en un mismo líquido en reposo, se hallarán sometidos a la misma presión, es

decir que la diferencia de presión entre dos puntos situados a diferentes profundidades puede

expresarse como:

hP ×= ρ∆

Por lo tanto, la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad va a ser la

misma, independiente de cuán ancha sea la base del recipiente:

( ) ( ) ( ) Pam

Nm

seg

m

m

kghghP 400400104101000

223

2 ==

×××××=××=×= −

δρ∆

¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso?

5

( ) ( ) ( ) aB.cm

dinas.cm

seg

cm

cm

ghghP

A00010000101010001

223==

××××=××=×= δρ

( ) ( ) ( ) aB.cm

dinas.cm

seg

cm

cm

ghghP

B00050005510001

223==

××××=××=×= δρ

¿Las presiones calculadas en A y B son las presiones totales?

A las presiones calculadas hay que sumarles la presión atmosférica para hacerlas presiones

totales.

11. En una jeringa el émbolo tiene un área de 2,5 cm² y el líquido pasa por una aguja de 0,8

mm² de sección transversal. ¿Qué fuerza mínima debe aplicarse al émbolo para inyectar el

líquido en una vena en la que la presión sanguínea es de 1 cmHg?

Para resolver este problema, lo primero que tenemos que recordar es que la presión P, se

define como una fuerza aplicada (F) sobre una superficie (área, A).

A

FP =

Ahora, la fuerza requerida de la mano para presionar en el émbolo tiene que vencer una

presión interna (de la vena), de 1 cmHg, o 10 mmHg. Lo primero que debemos hacer es

convertir la presión en mmHg a unidades que conozcamos. Recordamos el experimento de

Torricelli y su definición de presión atmosférica. Sabemos por su famoso experimento que 76

cmHg equivalen a 1 atm, que es igual a 101.300 Pa, por lo que 1 cmHg valdrá 101.300 Pa / 76

cmHg, o sea 1.333 Pa. También nos conviene recordar que 1 Pa = 1 N / 1 m2 (fuerza en Newton

y superficie en m2), así que la superficie del émbolo de 2,5 cm² de área, la convertimos en 2,5 x

10-4 m².

N,mm

N,,FAP

A

FP 333010523331

2

2

4 =

×××==×∴= −

12. Las suelas de los zapatos de una persona de 70 kilos tienen un área de 100 cm² cada una.

¿Qué presión ejerce la persona sobre el suelo cuando está de pie? Expresar el resultado en Pa.

Recordamos como en el problema anterior, que la presión es la relación entra una fuerza y un

área dada. En este caso, tenemos la masa, 70 kg del cuerpo, que debemos convertir en peso

(fuerza) antes de hacer el cálculo. Para ello, debemos multiplicar esa masa, por la aceleración

de la gravedad en la Tierra, o sea 10 m/s2 (y obtener el peso en Newton!). Tengamos en cuenta

que si cada zapato tiene un área de 100 cm2, el área total será del doble (200 cm2 ó 2 x 10-2 m2)

6

Pa.m

seg

mkg

A

FP 00035

102

1070

2

2

2=

×

×

×==

−

13. Un líquido se encuentra en equilibrio dentro de un recipiente de sección uniforme, cuya

base tiene un área de 100 cm². La presión hidrostática debida al líquido sobre el fondo del

recipiente es de 0,2 atm. Si se trasvasa el líquido a un recipiente semejante pero de 50 cm² de

base, la presión ejercida por el líquido en el fondo será de:

a) 0,05 atm b) 0,1 atm c) 0,2 atm

d) 0,4 atm e) 0,8 atm f) 1,6 atm

Este problema es simplemente aritmético, recordando que la presión es directamente

proporcional a la altura. Al cambiar la base del cilindro, la altura va a cambiar, pero cuánto? El

volumen del cilindro es Área × h, por lo que si la base es la mitad, su altura tendrá que

duplicarse, para mantener el mismo volumen. Al duplicarse la altura, la presión del líquido será

proporcionalmente mayor, y en este caso la respuesta es d) 0,4 atm.