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ING. GILDA ELISA TIZNADO PARRA

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Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas”


TEMARIO: I. Funciones

1.1 Definición de Funciones 1.1.1 Ejercicios

1.2 Dominio y Rango 1.2.1 Ejercicios

1.3 Dominio y Rango restringido 1.3.1 Ejercicios

II. Leyes de los signos

2.1 Ejercicios

III. Representación gráfica de funciones

1.3 Ejercicios

IV. Ecuaciones Lineales y Funciones lineales

4.1 Forma de Pendiente Intersección 4.1.1 Ejercicios

4.2 Ecuaciones Lineales con 2 o más variables 4.2.1 Ejercicios.

4.3 Funciones lineales

4.3.1 Funciones lineales de costo, ingresos y utilidad. 4.3.2 Modelos de punto de equilibrio

V. Introducción a álgebra de Matrices

5.1 Finalidad del estudio de las matrices 5.1.1 Operaciones con matrices

5.2 Determinante de una matriz



I. FUNCIONES

Definición de Funciones

"Una función es una ley que relaciona dos magnitudes numéricas (llamadas variables) de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la primera magnitud (llamada variable independiente) le hace corresponder un valor y sólo uno de la segunda magnitud (llamada variable dependiente). Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera."

Todos los ejemplos analizados nos permiten ver que a pesar de tratarse de situaciones completamente diferentes todas pueden expresarse simbólicamente de la misma forma:

donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Esta manera de representar una función es especialmente interesante cuando la relación f entre la x y la y viene dada por una expresión matemática, pues en ese caso podemos saber con certeza los valores que toma la variable dependiente para cualquier valor que tomemos de la variable independiente. Más aún, si disponemos de una expresión matemática de la función podremos construir con facilidad una tabla de valores de la misma y una gráfica, pues cada pareja de valores (x, y) de la tabla que hagamos representa un punto del plano. Uniendo todos los puntos de la tabla obtendremos la gráfica de la función.

La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada UN y SOLO UN valor de salida. Es en esencia, un dispositivo de entrada – salida. Se proporciona una entrada a una regla matemática que la transforma (manipula) en una salida específica.

Elementos de una función.

Como vimos en el apartado anterior, una función es una manera de relacionar dos magnitudes de forma unívoca. La primera de esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable dependiente. Además, hemos visto que toda función (de una variable) admite una expresión del tipo

Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).

Todas las funciones que hemos analizado en los ejemplos son funciones de una variable. Reciben este nombre todas las funciones que sólo tienen una variable independiente. En realidad, el concepto de función es más general. La definición más completa de función habría sido la siguiente: Una función es una ley que relaciona una o más magnitudes (denominadas variables independientes) con otra magnitud (denominada variable



dependiente) de forma unívoca, es decir, que a cada conjunto de valores formado por un valor de cada una de las variables independientes le corresponde un valor de la variable dependiente y sólo uno. Una función de varias variables tendría este aspecto:

Ejemplo: Y = f(X2 – 2X + 1) Si X = 1 Y = (1)2 – 2(1) + 1 = 0 Si X = -5 Y = (-5)2 – 2(-5) + 1 = 36 Si X = 10 Y = (10)2 – 2(10) + 1 = 81

La ecuación da la regla que permite transformar un valor de x en un en un valor

correspondiente de y.

Ejemplo: Suponga que usted ha aceptado un empleo como vendedor. El patrón le ha dicho que su sueldo dependerá del número de unidades que venda a la semana. Si se establece que: Y = Sueldo semanal en dólares X = Número de unidades vendidas a la semana Si su patrón le dice que le pagará como sueldo fijo 150 pesos a la semana, más 10 pesos por cada unidad que usted venda. ¿Cómo quedaría expresada la función de su sueldo? ¿Cuánto ganará si vende 120 unidades en esa semana? ¿Y si vendiera 150?

1.1.1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS Determine:

a) f(10) b) f(-2) c) f(3) d) f(a + b)

1. (3X / 2) – 1 2. 4X2 + 6X -7 3. 6X3 + 4X2 -25 4. 3X4 – 5X3 +8X2 – X + 3



Determine: a) en F(X, Y) = X2 – 4XY + 3Y2 determine f(0, 0), f(-1,1), f(5,10), f(-3,5). b) En g(u, v) = 2u2 + 5uv – 4v3, determine f(-5,4), f(5, 10), f(-2,6) c) En f(X1, X2, X3) = (X1 – X2 + 3X3)2, determine f(1, 1, 1), f(0, 2, 3), f(-2, 5, -1) d) En f(X1, X2, X3, X4) = 3X1X2 – 5X2X4 – X1X3X4, determine f(0,1,0,1), f(2,1,-2,3), f(-

1,2,5,7) e) En f(X1,X2,X3,X4) = X1X2 – 2X3X42, Detremine f(1, 10, 4, -5), f(2, 2, 2, 2), f(a, b, c, d).

Ejercicio. 1. La compañía eléctrica de la localidad se vale del siguiente método para calcular las facturas mensuales de una categoría de clientes. Para cada cliente se determina un cargo mensual de $5 por concepto de servicio. Además la compañía cobra $0.60 dólares por kilowatts-hora. A). Determine la función que expresa el cargo mensual de un cliente, en función de un número de kilowatts-hora. b). Con esta función calcule la cuenta mensual de un cliente que utiliza 725 kilowatts-hora. c) Y si utilizó 1200 Kw./hora? 2. El departamento de policía de una ciudad pequeña, estudia la compra de un carro patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro (subcompacto pero de gran potencia), completamente equipado, es de 18000 dólares. Han estimado también un costo promedio de 0.40 dlls. Por milla. a). Determínese la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del coche patrulla, en términos del numero de millas que recorra. b). Cual es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 millas en su vida útil? c). y si recorre 100 000 millas?

1.2 DOMINIO Y RANGO

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada y el rango es el conjunto correspondiente de valores de la variable dependiente (valores de salida).

• Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).

• Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).



Ejemplo. En la función y = f(x) = x² - 2x + 1

x puede ser sustituida por cualquier valor real, resultando un valor correspondiente y único de y. Si D se define como el dominio de f

D = {x I x es real}

Ejemplo. En la función y = f(x) = √ x - 5

x puede ser sustituida por cualquier valor para el cual la expresión bajo el signo de raíz cuadrada sea positiva o cero. Para determinar estos valores,

x - 5 ≥ 0 x ≥ 0

Cuando

Así pues, el dominio de la función incluye todos los número reales que sean mayores o iguales a 5, esto es D = {x I x es real y x ≥ 5}

1.3 DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDO

Cuando se ponen restricciones de modo tal que en la función del coche patrulla, el costo C = 0.40x + 18 000 incluye cualquier valor real de x. no obstante, dentro del contexto de la aplicación habría que establecer la restricción de que x no adopte valores negativos (no existen millas negativas recorridas). Además, si el departamento tiene la política de que ninguna patrulla recorrerá más de 150 000 millas, entonces x queda restringida a valores no mayores que 150 000 y el dominio restringido de esta función queda de la siguiente manera:

0 ≤ X ≤ 150 000 (en función de las millas recorridas)

El rango restringido de esta función de costo, a la luz de las restricciones de “X” será:

$18 000 ≤ C ≤ $78 000

Ejemplo: Una compañía de seguros, cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de $10 dlls. Por todas las pólizas mas 1.50 dlls. Por cada mil dólares del importe de la póliza. Por ejemplo, una póliza de $20000 dlls. Costara $10 por el cargo fijo más $30 dlls, cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. . Si p, es la prima anual en dólares y “x” denota el valor nominal de póliza



(expresado en miles de dólares), determine la función que puede emplearse para calcular las primas anuales. a). Suponga que la póliza mas pequeña que se da es de 10 000 dlls. Y la mas grande de $500 000. determine el dominio y rango restringidos de la función encontrada.

1.3.1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS

1. Suponga que en el ejemplo de la compañía de luz, el método para calcular la factura de los consumidores se aplica a clientes que utilizan entre 200 y 1500 Kw./hr. Por mes. Determine el dominio y rango restringido de esta función. 2. Al fabricar un producto, una empresa incurre en costos de 2 tipos. Tiene costos fijos anuales por 200 000 dlls. Sin importar el número de unidades producidas. Además cada unidad producida le cuesta $8. Si C es el costo anual total en dólares y si “x” denota el número de unidades producidas durante un año. a). determine la función C = f(x) que exprese el costo anual. b). Establezca el dominio y rango restringido de dicha función, si la capacidad máxima es de 300, 000 unidades al ano. 3. La función C(x) = 25X + 80000 expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar “x” unidades de un producto. Si el numero máximo de unidades que pueden producirse es igual a 20 000, establezca el dominio y rango restringidos de esta función de costo. 4. Una estación radiofónica local adquirió el derecho exclusivo de promover un concierto en el auditorio cívico de la ciudad, con cupo para 20 000 personas. Su comisión es de $5000 dlls. Más $1.50 por cada boleto que venda para el concierto. a). determine el dominio y rangos restringidos de esta función. b). si se tiene un lleno total, cuales serían las utilidades de la estación radiofónica?



II. LEYES DE LOS SIGNOS

La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.

Ley de los signos Multiplicación División (+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+) (+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-) (-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-) (-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+)

Las leyes de los signos para la Suma y para la Resta

Se aplican los siguientes criterios:

1. Cuando los NUMEROS son DEL MISMO SIGNO, Se suman los valores y se conserva el signo. . . Esto es: Ejemplo: Si tenemos 2 + 2, los dos números son de signo positivo y por lo tanto el resultado será positivo. Si tenemos -3 - 6, los dos números son negativos, por lo tanto el resultado será negativo.

2. Cuando los NUMEROS son de SIGNOS DIFERENTES, Se restan los números y se conserva el signo del mayor . . . Ejemplos: Si tenemos 6 - 9, sabemos que el 6 es positivo y el 9 es negativo, por lo tanto se restan y el resultado es 3, pero como el 9 > 6 y el signo del 9 es negativo, el resultado será negativo. Si tenemos -2 + 4, sabemos que el 4 es positivo y el 2 negativo, por lo tanto se restan y el resultado es 2, como 2 < 4, entonces se conserva el signo del 4 que es positivo.



2.1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS

• Resuelva las siguientes operaciones con signos. (+4) (-4) = (+2) (+18) = (-8) (-3) = (-18) (+2) = (-10) (-10)= (+7) (-12) = (-4.2) (-6) = (+8.5) (-4) = (-8/-4) = (-5/+2) = (+1/-3) = (+18/-9) = (+14) - (-6) = (-18) + (-22) = (-25) + (-15) = (+0.333) - (0.666) = (-18) - (-22) =

• Escriba el signo que falta en las siguientes operaciones.

(+10) + (-4) = + 10 4 = + 6

(-3) + (+4) = 3 4 = + 1

(+9) - (-3) = + 9 3 = + 12

(-3) - (+9) = - 3 - 9 = 12

• Ponga usted los signos que faltan en las siguientes operaciones.

( 3) + ( 3) + ( 3) - ( 6) = 3 (-8) · (-3) + (-12) ·(-2) + (-2) = ?

( 24) + ( 24) + ( 2) = 46



• Resuelva las siguientes operaciones.

(-16)·(+3) - (-18) - (-15) (-2) =

Rafael ganó en un trabajo 30,000 pesos y estima que sus gastos serán de $5,000 mensuales, por lo que cree que lo que ganó le alcanzará para 6 meses. Si sus gastos en 6 meses fueron como se muestran a continuación, señale si logró ahorrar o le faltó dinero y cuánto.

Mes Gastó

marzo $4,560

abril $5,785

mayo $5,820

junio $4,900

julio $4,850

agosto $4,925

¿Ahorró? Sí No ¿Cuánto? $

¿Gastó de más? Sí No ¿Cuánto? $



III. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Formas de representar una función. Todo lo estudiado en esta página nos permite ver que una función puede ser presentada de múltiples maneras. Resumiendo, una función puede expresarse mediante:

• Una gráfica. En los ejemplos expuestos la gráfica ha sido de tipo lineal, pero existen multitud de formas gráficas de representación de una función.

• Una tabla de valores. • Una frase que exprese la relación entre ambas variables. • Una expresión matemática del tipo y=f(x).

Ejemplos: Y = f(X2 – 2X + 1) Si X = 1 Y = (1)2 – 2(1) + 1 = 0 Si X = -5 Y = (-5)2 – 2(-5) + 1 = 36 Si X = 10 Y = (10)2 – 2(10) + 1 = 81

La forma mas ordenada de generar un par de puntos que satisfagan una función consiste en preparar una tabla con un renglón o columna que contengan ciertos valores de la variable independiente y otro que incluya valores calculados de la variable dependiente. Para trazar la grafica de la función lineal Y = f(x) = 2x – 4 El primer paso consiste en seleccionar de modo arbitrario los valores de “x” y calcular los valores correspondientes de “y”. A continuación los valores de “x” y de “y” se consideran coordenadas. Una vez graficados los puntos se unen son una curva suave que, en este caso, resulta sospechosamente ser una recta. Ejemplo: graficaremos la función y = f(x) = 2x - 4

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4



Para trazar la función cuadrática u = f(v) = 10v² + 20v -100

Para trazar la función cúbica Y = f(x) = x³

X 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y 0 1 8 27 64 -1 -8 -27 -64

3.1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS Ejercicios; grafique las siguientes funciones y explique si es lineal, cuadrática o cúbica. Y = f(x) = x² - 4 Y = f(x) = x³ + 5 Y = f(x) = -x³ Y = f(x) = 3x + 2

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 140 50 -20 -70 -100 -110 -100 -70 -20 50 140



IV. ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES

4.1 ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y).

• Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En lo sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:

a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)

a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)

...

a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma a1x1 + a2x2 + …+ anxn = b en donde x1, x2, …, xn son variables; a1, a2, … an son constantes llamadas los coeficientes de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación. Ejemplo 1 Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno? Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto:

X +2 (x + 2) = 103 3x + 4 = 103 X = 99/3 = 33

Ejemplo 2 3X1 – 2X2 + 5X3 = 0 -X1 + 3X2 – 4X3 + 5X4 – X5 + 2X6 = -80 5X1 – X2 + 4X3 +X4 – 3X5 + X6 – 3X7 + 10X8 – 12X9 + X10 = 1250

ECUACIONES LINEALES CON 2 O MÁS VARIABLES

Ecuación lineal con 2 variables: Una ecuación lineal con 2 variables “x” y “y” tiene la forma ordinaria.

ax + by = c



Donde a, b y c son números reales y “a” y “b” no pueden ser iguales a cero.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Hay exactamente una solución. Un número infinito de soluciones.

No existe solución.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales? Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2).

• Método por sustitución • Método por igualación • Método gráfico

RESOLUCIÓN MÉTODO POR SUSTITUCIÓN Este método se resume así: 1. Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. 2. La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por su

correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta. 3. El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación obtenida en el

paso 1.



Ejemplo 1 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma? Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces: X + y es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. X –y es la velocidad de la lancha con la corriente en contra. Por lo que: x + y = 100 x – y = 70 Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales. Resolviendo el sistema (*) se obtiene: x = 85 km/hr y y = 15 km/hr Resolver por sustitución el sistema: x + y = 100 x – y = 70 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene: y = 100- x 2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene:

X – (100-x) = 70 2x – 100 = 70 X = 170/2 = 85

3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y Y = 100- 85 = 15

RESOLUCIÓN MÉTODO POR IGUALACIÓN Este método se resume así: 1. De cada ecuación se despeja la misma variable. 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la ecuación que resulta. 3. El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las ecuaciones

obtenida en el paso 1. Ejemplo 2 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan.



Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t se tiene que: 60 = d/t o sea 60t – d = 0 90 = d/t-1 90t – d = 90

Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:

90t – 90 = 60t 30t = 90

t = 90/30 = 3

Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene que d = 180.

RESOLUCIÓN MÉTODO GRÁFICO La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta. Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. Ejemplo 3 Resolver gráficamente el sistema X – Y = -1 2X – Y = 1 Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe:

Y = X + 1 Y = 2X -1

X 0 -1

Y 1 0

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe:

X 0 2

Y -1 3

0 – 1

2

3

1

x

y

(2, 3)



- 2

1 0

y

x

2X – Y = 2

X – Y/2 = 1

El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

X = 2 Y = 3

Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema. El sistema X – 3Y = 1 tiene solución única. Observe: X – 4Y = 8 Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta. El sistema X – Y/2 = 1 tiene infinidad de soluciones. Observe: 2X – Y = 2

2

1

0

4

2

x

y

(4, 1)

1

X – 4Y = 8

X – 3Y = 1



Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí. El sistema X – Y/2 =1 no tiene solución. Observe: 2X – Y = 3

4.2.1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Mezcla de productos. Una compañía fabrica dos tipo de productos diferentes. Para la semana entrante se disponen de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos productos. Además como los dos tipos de producción aportan buenas ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas de trabajo durante la semana. Cada unidad del producto “A” requiere 3 horas de trabajo para su elaboración y cada unidad del producto “B” requiere 2.5 horas. a). Defínase la ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la producción de “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120. b). ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30 unidades del producto B? c). Si la gerencia decide producir solo un artículo, ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿ Y cuál será la cantidad máxima del producto B?

2. Determine cual de estas son ecuaciones lineales. a). 4Y – 11X = 0 b). 3Y2 = X + 10 c). X + Y – 4 = 2X + 6Y + 6 d). 3Y = 4X2 – X/2 e). 2X1 + 3X2 + X3 = 15 f). 4a – 5b = -10

- 2

1 0

y

x

- 3

2X – Y = 3

X – Y/2 =1



3. Considere la ecuación 15X = 75 como una ecuación de dos variables. a) ¿Qué par de valores satisfacen la ecuación cuando Y = 10? b) ¿Qué par de valores satisface la ecuación cuando X = 20? 4. En la ecuación 4X1 = -2X2 + 6X3 = 0 a). Qué valores satisfacen la ecuación cuándo X1 = 5 y X3 = 4? 5. Si se tiene la ecuación 2X1 – 2X2 + 6X3 – 4X4 = 32 a). ¿Qué valores satisfacen la ecuación cuándo X1 = 10, X3 = 4 y X4 = -2? 6. Si se tiene la ecuación 2x1 – 2x2 + 6x3 – 4x4 = 32 ¿Qué valores satisfacen la ecuación cuando x1 = 10, x2 = 2, x3 = 4 y x4 = -2? 7. Grafique la ecuación y = 3x + 6 cuando los valores de x son de -3,-2,-1, 0,1,2,3. 8. Planeación nutricional. Un dietista está estudiando la conveniencia de servir tres tipos de alimentos en una comida. Le interesa sobre todo la cantidad de vitamina contenida en la comida. Una onza del alimento 1 rinde 8 miligramos de la vitamina; una onza del alimento 2 suministra 6 miligramos; y una onza del alimento 3 rinde 16 miligramos. La ración diaria mínima de la vitamina es de 96 miligramos. a). Si xj. Es el número de onzas del tipo de alimento j servido en la comida, determine la ecuación apropiada que garantice que la comida cumple exactamente con la ración diaria mínima. b). Si solo uno de los 3 tipos de alimentos debe de incluirse en la comida, ¿Cuánto tendrá que servirse (en cada uno de los 3 casos posibles) a fin de satisfacer la ración diaria mínima?

9. Transporte aéreo de emergencia. La cruz roja quiere enviar por avión alimentos y medicamentos a un país de América del Sur que ha sufrido un temblor. Se estudia la posibilidad de enviar 4 tipos de suministros, cada uno de los cuales se enviará en contenedores o cajas. Una caja de un artículo pesa 150, 100, 80 y 200 libras, respectivamente, para los cuatro artículos. El avión que se usará tiene una capacidad de peso de 60 000 libras y Xj, es el número de contenedores enviados del artículo “j”. a). Determine la ecuación adecuada que asegure que el avión esté cargado a toda su capacidad. b). Si se decide usar este avión para transportar un artículo solamente. ¿Cuántas cajas podrían embarcarse de cada suministro? 10. Contratación de Personal. Una empresa consultora de programas de computadora (software) ha recibido un gran contrato para desarrollar un nuevo sistema de reservación de una importante aerolínea. A fin de cumplir con él, hay que contratar a nuevos analistas programadores, analistas programadores de alto nivel e ingenieros de software. Cada puesto de analista programador costará 30 000 dólares por concepto de sueldo, beneficios y prestaciones. Cada puesto de programador analista de alto nivel costará $45 000 dlls. Y cada



puesto de Ingeniero de Software costará $60 000 dlls. La aerolínea cuenta con un presupuesto de $1.8 millones de dólares anuales para las nuevas contrataciones. a). Determine la ecuación que asegura que el total de las nuevas contrataciones absorberá exactamente el presupuesto. b). Si se desea gastar todo el presupuesto en un tipo de puesto, ¿A cuántas personas de cada tipo contrataría? c). Si para el contrato se necesitasen exactamente 20 analistas programadores, ¿Cuál es el número máximo de analistas programadores que podrían ser contratados? ¿Y el número máximo de Ingenieros de Software? 4.3 FUNCIONES LINEALES La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos.

Una función lineal tiene la forma general

Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).

La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.

Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

Ejemplo:

Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)

donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:



Podemos observar:

1. Es función creciente

2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.

3. D (f) = R0+ I (f) =

4.3.1 FUNCIONES LINEALES DE COSTO, INGRESOSY UTILIDAD

La utilidad de una organización es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo total.

Matemáticamente pudiera expresarse como:

Utilidad = Ingreso Total – Costo total

Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como

ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el nombre de pérdida o déficit.

Cuando tanto la función de ingreso como la de costo son funciones lineales de una misma

variable, es decir, de la cantidad de artículos producidos o servicios brindados la función de la

utilidad también será una función lineal de la misma variable. Es decir, si el ingreso total fuera

la función I(x) y el costo total C(x), la función utilidad sería:

Utilidad o pérdida = I(x) + C(x)

Ejemplo: Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00, si sus gastos por mano de

obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 por producto

teniendo costos fijos de $1‘000, 000.00 mensuales, si su producción mensual es de 50,000

artículos determina la utilidad mensual de la empresa.

Solución: El ingreso estaría definido por: Ingreso total = $100 (x) El costo total sería: Costo

total = $25.00 (x) + $1 000, 000

La utilidad es: Utilidad = 100(x) – ($25.00(x) + $1 000, 000)

Agrupando tenemos: Utilidad = $75.00(x) – 1 000, 000 Utilidad Mensual = $ 75.00 (50,000

artículos) - $ 1000, 000 Utilidad Mensual= $3, 750 000 - $ 1000, 000 Utilidad Mensual = $2,

750 000

FUNCIONES LINEALES DE COSTO: A las empresas les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan. Esos flujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldo, materia prima, suministros, alquiler, calefacción,



servicios públicos y otros gastos. Los costos se dividen en dos componentes: Costos fijos y Costos variables. Los costos fijos son aquellos que aunque no se produzca nada o se realice trabajo, tienen que pagarse constantemente una cantidad fija. Los costos variables cambian con el nivel de producción y se calculan como el producto del costo variable por unidad y nivel de producción. Ejemplo: Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que exprese el costo total anual “y” en función de la cantidad de unidades producidas “x”. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de 50 000 dólares. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a $5.50 y que los costos por mano de obra son de $1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y embarque. La función de costo total tendrá la forma:

Y = C(x) = Costo total variable + Costo total fijo. Los costos totales variables constan de 2 componentes: los costos de materias primas y los de mano de obra. Los segundos se calculan al sumar los respectivos costos de mano de obra de los 3 departamentos. El costo total se define por medio de la función: Y = costo total de materias primas + costo total de mano de obra + costo total fijo. Y = costo total de materias primas + costo de mano de obra + Costo Fijo

(Depto de montaje, depto. De embarque, Depto de acabado.)

Al simplificarse quedaría: Y = 5.50x + (1.50x + 0.75x + 1.25x) + 50 000 Y = 9x + 50 000 El 9 representa el costo variable combinado por unidad producida de $9.00

FUNCIONES LINEALES DE INGRESO. El dinero que entra a una organización por la venta de sus productos o por las prestaciones de sus servicios suele recibir el nombre de ingreso. La manera más básica de calcular el ingreso total por la venta de un servicio es: Ingreso total = (Precio)(Cantidad Vendida) Ejemplo: Una agencia de alquiler de automóviles está tratando de competir con algunas de las firmas más grandes del país. La dirección se da cuenta de que a los clientes actuales no les interesan muchas cosas como el tipo de cristales, radios, sistemas de calefacción u otros aditamentos. El dueño y presidente de la agencia ha estado reciclando automóviles usados para integrarlos a la flotilla. También simplificó la estructura de la tarifa de alquiler, pues cobra $9.95 netos diarios por el uso del automóvil. El ingreso total por año es una función lineal del número de días-automóvil rentado por la agencia, esto es, si R = ingreso anual y d = número de días-automóvil rentado durante el año. R = f(d) = 9.95d



FUNCIONES LINEALES DE UTILIDAD. La Utilidad de Una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Utilidad = Ingreso total – Costo Total Cuando el ingreso total es mayor que el costo total, la utilidad será positiva. En tales casos a la utilidad puede llamársele ganancia o utilidad neta. Si el costo total es mayor que el ingreso total, la utilidad es negativa y puede dársele el nombre de pérdida o déficit. Cuando tanto el ingreso total como el costo total son funciones lineales de la (s) misma (s) variable (s), la función de utilidad es también una función lineal de la (s) misma (s) variable (s). Esto es, si Ingreso Total = R(x) Costo Total = C(x) La utilidad se define como: P(x) = R(x) – C(x) Ejemplo: Una empresa vende un solo producto a 65 dlls. Por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por concepto de materiales y de $27.50 por concepto de mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a $100 000. Formule la función de utilidad expresada en términos de x, número de unidades producidas y vendidas. ¿Qué utilidad se gana si las ventas anuales son de 20 000 unidades? Solución: Si el producto se vende a $65 por unidad, el ingreso total se calcula mediante la función. R(x) = 65x El costo total anual está constituido por los costos de materiales, los costos de mano de obra y los costos fijos: C(x) = 20x + 27.50x + 100 000 Que se reduce a: C(x) = 47.50x + 100 000 Así pues, la función de utilidad se obtiene así: P(x) = R(x) – C(x) P(x) = 65x – (47.50x + 100 000) P(x) = 17.50x – 100 000 Obsérvese que P(x) es una función lineal. Si la firma vende 20 000 unidades durante el año, entonces: P(20 000) = 17.50(20000) – 100 000 = 350 000 – 100 000 = $250 000



4.3.1.1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS Ejercicio 1 Planeación Agrícola. Una empresa agrícola tiene 3 granjas que se utilizarán en el año entrante. Cada una está dotada de características especiales que la hacen adecuada solo para un tipo de cultivo. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja, el costo anual de plantar 1 acre, el ingreso que se espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las granjas. Además de esos costos fijos, la corporación en conjunto tiene costos fijos anuales de $75 000. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas. Si Xj = número de acres plantadas en la granja j, rj = ingreso por acre en la planta j, cj = costo por acre en la granja j y Fj = costo fijo de la granja j.

Granja Cultivo Costo/acre (Cj)

Ingreso/acre (rj)

Costo Fijo (Fj)

1 Soya $900 $1300 $150 000

2 Maíz $1100 $1650 $175 000

3 Papas $750 $1200 $125 000

Solución: El ingreso total proviene de la venta de los cultivos plantados en las 3 granjas, o sea:

R(x1, x2, x3) = r1x1 + r2x2 + r3x3 = 1300x1 + 1650x2 + 1200x3

Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos de la empresa, es decir,

C(x1, x2, x3) = c1x1 + F1 + c2x2 + F2 + c3x3 + F3 + 75,000 = 900x1 + 150 000 +1100x2 + 175 000 + 750x3 + 125 000 + 75000

= 900x1 + 1100x2 + 750x3 + 525 000

La utilidad total es una función lineal que se calcula como: P(x1, x2, x3) = R(x1, x2, x3) – C(x1, x2, x3)

= 1300x1 + 1650x2 + 1200x3 – (900x1 + 1100x2 + 750x3 + 525 000) = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525 000.

Nota: La junta directiva votó por el siguiente programa de cultivos para el año próximo: 1000 acres se plantarán en la granja 1, 1600 acres en la granja 2 y 1550 acres, en la granja 3. a) ¿Cuáles son las utilidades esperadas del programa? b). Una sequía ha hecho que los rendimientos por acre se reduzcan en 20, 30 y 10%, respectivamente, en las 3 granjas. ¿Cuál es la utilidad esperada del programa de plantación antes mencionado?



Ejercicio 2: Un fabricante de microcomputadoras produce tres modelos diferentes. La tabla adjunta sintetiza los precios al mayoreo, el costo de los materiales por unidad y el costo de mano de obra por unidad. Los costos fijos anuales son de $ 25 000 000. Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Precio al mayoreo / unidad

$600 $1200 $1950

Costo de materiales/ unidad

$200 $450 $795

Costo de mano de obra / unidad $100 $150 $225

a). determine el conjunto de la función de ingreso total para la venta de los tres modelos de microcomputadoras. b). Determine la función de costo total anual de la fabricación de los 3 modelos. c). Determine la función de utilidad para las ventas de los 3 modelos. d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000, 40 000 y 10 000 unidades, respectivamente, los tres modelos? Ejercicio 3 Arrendamiento de automóviles. Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas. Los automóviles nuevos cuestan $12 000 dólares. Se emplean 3 años y luego se venden en $2500 dlls. El dueño de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles, sin contar gasolina, son $0.25 dlls. Por milla. Los automóviles se alquilan en $0.40 netos por milla (sin incluir gasolina) a). Formule las funciones de Ingreso, de Costo y de utilidad. b). Cuál será la utilidad si el automóvil se renta por 60 000 millas durante un periodo de 3 años? c). ¿Cuántas millas se requieren a fin de obtener una utilidad cero durante 3 años? Ejercicio 4 Una estación radiofónica local adquirió el derecho exclusivo de promover un concierto en el auditorio cívico de la ciudad, con cupo para 20 000 personas. Su comisión es de $5000 dlls. Más $1.50 por cada boleto que venda para el concierto. a). determine el dominio y rangos restringidos de esta función. b). si se tiene un lleno total, cuales serían las utilidades de la estación radiofónica? DETERMINE CUAL DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES SON LINEALES. a). 4Y2 – 11X = 0 c). 2X1 + 3X2 + X3 = 15 b). 3Y = X3 + 10 d). 4X2 + 5Y –3Z3 –4XY + 6XZ = 48



Ejercicio 5 Una empresa dedicada a la elaboración de cintos de piel, fabrica 3 tipos de cintos, el tipo A, tipo B y tipo C, el cinto tipo A requiere 3 horas de fabricación en la máquinas, el tipo B requiere 5 horas de fabricación en las máquinas y el tipo C requiere 4.5 horas en las máquinas. Si el costo por hora en las máquinas es de $10.00 y se tienen costos fijos de $25000, cuál sería la función de costo total que determine el costo de producir los 3 cintos?

Si cada cinto del tipo A se vende en $ 75, cada cinto B en $ 100 y cada cinto C en $ 85. Cual sería la función de ingreso y de utilidad que determine la utilidad total?

Si se vendieran 10000 cintos del tipo 1, 8500 del tipo 2 y 9000 del tipo 3, determine la utilidad total.

Si la empresa decidiera solo fabricar un solo tipo de cinto, cuantos de cada tipo podría fabricar?

Si la empresa solo pudiese vender 13000 cintos del tipo A, 10000 del tipo B y 11000 del

tipo C. Determine el dominio y rangos restringidos de la función, en cuanto a costo se refiere.

Ejercicio 6 En un concierto a beneficio de la Cruz roja, cada boleto de entrada se vende en $50, la comisión que tendrá la cruz roja por este evento será de $20000, si al auditorio le caben 30000 personas y las ventas fueron de 25000 boletos.

a). determine la función que exprese la comisión de la Cruz roja en este evento. b). Determine el dominio y rango restringido de esta ecuación. c). ¿Cuántos boletos (como mínimo) se deberían vender a fin de lograr la utilidad de $1 000 000 d). Determine la utilidad del evento.

Ejercicio 7 Una compañía fabrica 2 productos diferentes, A y B. La elaboración de cada unidad del producto A, cuesta $60 dlls. Y $40 dlls. La del producto B, en costos variables. La compañía insiste en que el costo fijo, de fabricar los 2 productos sea de $30000. El precio de cada unidad del producto A es de $ 100. y el de cada unidad del producto B, es de $ 120.

a). defina la ecuación de costo que exprese el costo total de fabricar “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B es de $30000. b). Suponiendo que la compañía aceptó surtir un pedido de 140 unidades del producto A, cuántas unidades del producto B deberán fabricarse si los costos fijos son mantenidos en 30000? c). Formule las ecuaciones de ingreso, de costo y de utilidad, si se fabrican 2000 unidades del producto A y 3000 unidades del producto B.



4.3.2 MODELOS DE PUNTO DE EQUILIBRIO Una importante indicación del desempeño de una compañía se refleja en el último renglón del estado de ingresos y gastos; es decir, el monto de la utilidad ganada. El análisis del punto de equilibrio se centra en la rentabilidad de una empresa. Uno de sus puntos principales consiste en encontrar el nivel de operación o de producción que de cómo resultado una utilidad cero (punto de equilibrio). Este representa el nivel de operación en que los ingresos totales son iguales a los costos totales. Cualquier cambio en este nivel producirá una utilidad o una pérdida. El análisis de equilibrio es útil sobre todo como un instrumento de planeación cuando las firmas estudian futuras expansiones; por ejemplo, ofrecer nuevos productos y servicios. De manera semejante ayuda a evaluar el pro y el contra de emprender un nuevo negocio. En todos los casos el análisis permite efectuar una proyección de la rentabilidad. Ejemplo: 1. Un grupo de Ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo material, mano de obra y costos de mercadotecnia son de $22.50 dólares. Los costos fijos relacionados con la formación, operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan en total $250000. Estiman que el precio de venta será de $30, por detector.

Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la empresa alcance el equilibrio en el negocio.

Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá aproximadamente 40000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto, si les pone un precio de $30 cada uno. Determine las utilidades esperadas en este nivel de producción.

Solución: a). La función de Ingreso Total se representa por medio de la ecuación: R(x) = 30x La función de costo total se representa con la ecuación: C(x) = 22.50x + 250000

La condición de equilibrio se presenta cuando el ingreso total es igual al costo total o cuando:

R(x) = C(x)

En este problema el punto de equilibrio se calcula así: 30x = 22.50x + 250 000 7.5x = 250,000

X = 33,333.33 detectores de humo.

Otro método consiste en escribir primero la función de utilidad y hacerla igual a cero como sigue:

P(x) = R(x) – C(x) = 30x – (22.50x + 250,000) = 7.50 – 250 000

Suponiendo que la función de utilidad “p” es igual a 0, se tiene: 7.50x – 250,000 = 0 7.50x = 250, 000

X = 33,333.33



Este es el mismo resultado que el anterior y la conclusión es que, con los parámetros (valores) supuestos de costo y precio, la empresa necesita vender 33,333.33 unidades a fin de alcanzar el equilibrio. b). Cuando se proyecta una venta de 40 000 detectores de humo, P (40 000) = 7.5(40,000) – 250,000 = 300,000-250,000 = 50,000 Esta ecuación sugiere, que si se cumplen las estimaciones (de precio, costo y demanda), la empresa esperará ganar $50,000 en el negocio.

4.3.2.1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS Ejercicio 1: Un numeroso grupo médico se compone de 30 médicos de tiempo completo. En el momento actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los pacientes. Debido al enorme volumen de facturas, el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación manual a la computarizada. Están estudiándose dos opciones: (1) El grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer ellos mismo la facturación (la opción de hacer). (2) Puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de efectuar la facturación (la opción de comprar). Los costos de una y otra alternativa dependen de la cantidad de facturas. La oferta más baja presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de 3000 dólares anuales más $0.95 por factura procesada. Con ayuda de un experto en computación, el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar un pequeño de sistema de cómputo para negocios, junto con los programas necesarios, a un costo de $15000 por año. Se estiman en $0.65 por factura los costos variables de realizar la facturación de este modo. Si el número de facturas rebasa las 40000, que opción resulta más barata? Ejercicio 2: Planeación de convenciones. Una organización profesional está planeando su convención anual que se celebrará en san Francisco. Están haciéndose arreglos con un gran hotel donde se llevará a cabo la convención. Los participantes en ese evento de 3 días de duración pagarán $250 dólares por persona, cantidad en que se incluyen la cuota de inscripción, la estancia, las comidas y las propinas. El hotel cobra a la organización $20,000 dlls. Por el uso de las instalaciones como salas de reunión, pista de baile, y servicios recreativos. Además el hotel cobra $145 dlls. A cada huésped por concepto de estancia, comidas y propinas. La organización profesional se reserva $25 dlls. De la cuota de $250 como cuotas anuales que depositará en la tesorería de la oficina central. Determine el número de participantes que se necesitan para que la organización cubra el costo fijo de $20,000.



Ejercicio 3. Una empresa vende un producto a $25 dlls. La unidad. Los costos variables por unidad son de $13 y los costos fijos ascienden a $150,000. ¿Cuántas unidades hay que vender a fin de alcanzar el equilibrio? Ejercicio 4. Un universitario con mucha iniciativa ha decidido comprar un negocio de lavado de automóviles. El costo de compra es de $30,000. El precio de lavado será de $3.50 y se espera que el costo variable por automóvil (jabón, agua, mano de obra y otros) sea de $1.00. ¿Cuántos automóviles deben lavarse para recuperar los 30, 000 del precio de compra? Ejercicio 5. Un estadio cívico está negociando un contrato con una compañía ambulante de patinaje sobre hielo. Esta compañía cobra $60,000 por noche, más el 40% de la recaudación de taquilla. El estadio cívico planea cobrar $12.50 por boleto para cualquier asiento. a). Determine el número de boletos que deben venderse cada noche a fin de alcanzar el equilibrio. b). Si el estadio cívico tiene la meta de recaudar $15000 cada noche, ¿Cuántos boletos necesita vender? c). Cuál será la utilidad por noche si la asistencia promedio es de 7500 personas? Ejercicio 6. Decisión de fabricar o comprar. Suponga que un fabricante puede comprar un componente a un proveedor a un precio de $8 por unidad o bien puede invertir $40,000 en equipo y producir ese componente con un costo de $5.50 la unidad. a). Determine la cantidad en que los costos totales son iguales a las alternativas de fabricar y comprar. b). ¿Cuál es la alternativa de costo mínimo si se requieren 15000 unidades? ¿Cuál es el costo mínimo?



V. INTRODUCCIÓN DE ALGEBRA DE MATRICES

5.1 FINALIDAD DEL ESTUDIO DE MATRICES ¿Qué es una matriz? Siempre que se utilizan datos, debe sentirse la necesidad de organizarlos de modo que sean significativos y puedan identificarse sin dificultad. Y esta función la cumple la condensación de datos en forma tabular. Las tablas de Impuestos sobre la renta constituyen un ejemplo de esta clase de organización. La matriz es un medio común para resumir y presentar números. Matriz: Es un arreglo rectangular de elementos.

Tabla ordenada de nº reales en m filas y n columnas.

La matriz A tiene dimensión 3x4, siendo m = 3 y n = 4 Los elementos de una matriz suelen ser números reales, pero no siempre. Considérese las puntuaciones de pruebas obtenidas por 5 estudiantes en los exámenes. Las calificaciones podrían mostrarse en la siguiente matriz.

Prueba 1 2 3

1 75 82 86 2 91 95 100 3 65 70 68 4 59 80 99 5 75 76 74

A = (

3 -1 0 4

) 0 6 2 -7

1 5 7 -9



5.1.1 OPERACIONES CON MATRICES

Suma - Resta de matrices

S=A+B

Sumamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B

+

S=A-B

Restamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B.

-

Número real por una matriz

k . A Multiplicamos el número real k por cada uno de los elementos de A.

k = 7 A = (

0 1

) -2 6

-4 3

k . A = (

7 . 0 7 . 1

) = (

0 7

) -14 42

-28 21

7 . (-2) 7 . 6

7 . (-4) 7 . 3

A = (

3 -1 ) 1 6

7 5

A = (

5 9 ) -7 9

B (

-2 1 ) 2 -3

-5 3

S = (

3+(-2) (-1)+1

) = (

1 0

) 3 3

2 8

1+2 6+(-3)

7+(-5) 5+3

B (

-6 -4 ) -2 -1

R = (

5-(-6) (9)-(-4) ) = (

11 13

) -5 10

(-7)-(-2) 9-(-1)



k = 4 A = (

0

9

9 )

-7 1 5

k . A = (

0 36 36 )

-28 4 20

Producto de matrices

Producto escalar de dos vectores : ( x1 , x2 ) .

P = A . B

Hacemos el producto escalar de cada fila de A por cada columna de B.

A = ( 1 2

) 5 4

B = ( 3 6 0

) 8 -7 9

P = A.B = (F1A

. C1B

1 . 3 + 2 . 8 F1A

. C2B

1 . 6 + 2 . (-7) F1A

. C3B

1 . 0 + 2 . 9

F2A . C1B

5 . 3 + 4 . 8 F2A

. C2B

5 . 6 + 4 . (-7) F2A

. C3B

5 . 0 + 4 . 9

) = (

19 -8 18 ) 47 2 36

A = ( 6 -4

) 9 -6

B = ( -8 4

) -3 2

P = A.B = (F1A

. C1B

6 . -8 + -4 . -3 F1A

. C2B

6 . 4 + -4 . (2)

F2A . C1B

9 .(-8) + (-6 . -3) F2A

. C2B

9 . 4 + (-6) . (2)

) = (

-36 16 ) -54 24

( y1

y2 ) = x1 . y1 + x2 . y2



Potencias de matrices

An siendo n natural Multiplicamos n veces A por sí misma.

A = ( 1 -2

) 5 3

A . A = A2 = (

-9 -8 ) 20 -1

Ejemplo 2

A = ( 2 4

) 2 -1

A . A = A2 = (

12 4 ) 2 9

A2 . A = A3 = (

12 4

) . (

2 4

) = (

32 44

) 2 9 2 -1 22 -1

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj. b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri. c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj.

A2 . A = A3 = (

-9 -8

) . (

1 -2

) = (

-49 -6

) 20 -1 5 3 15 -43



Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo. Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

(-4)R1 + R2 R2

(-3)R1 + R3 R3

(-(1÷ 3))R2 R2

(-1)R3 R3

(-5)R2 + R3 R3

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:



Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por

sustitución.

5.1.2 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Resuelve las siguientes operaciones

1. S = a+b

2. S = a-b

3. k * a k = 3

4. P = A . B

5. 2X1 + 4X2 = -16

X1 - 2X2 = 16

6. X1 + X2 +X3 = 6

2X1 – X2 + 3X3 = 4

4X1 + 5X2 – 10X3 = 13

A = (

4 3 ) 1 5 B = (

2 4 ) 5 2

A = (

3 1 ) 4 2 B = (

1 6 ) 2 -4

A = (

2 4

) -5 3

A = (

2 5 ) 3 -2 B = (

1 1 ) 3 2



5.2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Determinantes A toda matriz cuadrada le podemos asignar un número real que denominaremos determinante.

Determinantes de orden 2 Se calcula haciendo el producto elementos de diagonal ppal. - producto de elementos de diagonal secundaria:

A = ( 1 2

) det(A) = | 1 2

| = 1 . 4 - 2

. 3 = -2

3 4 3 4

Algunas propiedades de los determinantes: (Válidas tanto para filas como para columnas) 1. Si intercambiamos dos filas el determinante cambia de signo:

B = | 2 7

| = -50 F1 <---> F2 | 8 3

| = 50 8 3 2 7

2. Si multiplicamos una fila por un número el determinante queda multiplicado por dicho número:

| 7 . 1 7. 2

| = 7 . | 1 2

| = 7 . ( -2 ) = -14 3 4 3 4

3. Si a una fila se le suma una combinación lineal de otras filas el determinante no varía:

| 1 2

| = -2

| 1 2

| = -2

3 4 2 . F1 + F2 ---> F2 5 8

Pero si se hubiese hecho



| 1 2

| = -2

1/7 . | 1 2

| = 1/7 . (-14) = -2

3 4 2 . F1 + 7

. F2 ---> F2 23 32

y ello porque estamos haciendo 7 . F2 que es la fila que estamos sustituyendo y según vimos

en la propiedad 2 estamos multiplicando el determinante por 7. Luego para que conserve su

valor lo multiplicamos por 1/7.

EJERCICIOS

Calcule la determinante y resuelva la matriz

7X1 – 3X2 + 8X3 = -49

X1 – 2X2 – 5X3 = 5

4X1 – 6X2 + 10X3 = -84

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