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CURVAS CIRCULARES
Dada la imposibilidad de realizar un trazado de una línea ferroviaria con rectas
solamente, es preciso introducir curvas entre tramos de rectas,
Las curvas son necesarias a fin de evitar obstáculos, obtener rampas menos
pronunciadas (aunque mas largas) y, a veces, además de estas razones técnicas y
económicas se agregan las de carácter políticas o sociales.-
Caracterización de una curva.
En principio las curvas a emplear en ferrocarriles pueden ser simples arcos de
circunferencia.-
Por lo tanto para describir una curva circular lo podemos realizar por la longitud de su
radio en metros.- Esta es la practica en todos los ferrocarriles del mundo, con
excepción de América del Norte y los países procedentes de las colonias británicas.-
Estos últimos países caracterizan las curvas por medio del ángulo sexagesimal
subtendido en el centro, por una cuerda de 100 pies (30,48 m), valor denominado
grado de curva.-
La relación entre el radio y el grado de curva en unidades métricas esta dado por:
D = (360/2*π*R) * 30,50 = (1746 / R)
Donde D = grado de curvatura y
R = radio en metros
Por supuesto determinar en una alineación curva de la vía la medida del radio o el
grado de curva no es posible, por lo que estas magnitudes se determinan midiendo la
flecha definida por una cuerda de longitud determinada.-
Relación entre la flecha y la curva :
2
En una circunferencia de centro O y radio R, se traza la cuerda AB = 2c, siendo M el
punto medio de dicha cuerda.
El diámetro trazado CMOD es perpendicular a la cuerda AB , en el punto M, resultando
la flecha:
f = MC
Por semejanza de triángulos:
se tiene:
Reemplazando valores: CM = f ; MD = (2R - f)
Luego:
En ferrocarriles, los radios de las curvas son muy grandes en relación a las flechas,
pues se utilizan cuerdas de 20 m, pudiendo despreciar el término f2.
Se tiene pues:
3
con c = mitad de la cuerda de 20 metros
R = 50 / f
Relación entre el grado de curva y la flecha de un arco de circunferencia:
Tg α /2 = AM / OM Sustituyendo
Tg α /2 = c / (R – f ) Si sustituimos (R – f ) por R ( f << R) y
R = c2 / 2 * f
Tendremos: Tg α /2 = c / (c2 / 2 f) y como el ángulo α es muy pequeño en las
curvas ferroviarias
Tg α /2 ≈ α /2 y α = 2 f / c (valor en radianes)
Pasándolo a grados sexagesimales se obtiene:
D = (720 f) / (π . c ) Con D en grados sexagesimales, f y c en
metros
Para la cuerda de 30,48 m, c = 15,24 m y
D = 15 f con f en metros
y D = 0,15 f con f en centimetros
4
Distintos tipos de curvas circulares 1 - De un solo sentido, con un solo radio. 2 - De un solo sentido, con 2 o más radios. 3 - De sentido contrario, con recta intermedia. 4 - De sentido contrario, sin recta intermedia. Ejemplos de las curvas circulares indicadas 1 - De un solo sentido, con un solo radio
FIGURA 1
α = Angulo central de la curva β = Angulo de las tangentes. Arc ADC = Arco de la curva
DF = Flecha de la curva
AC = Cuerda
cuerda
OA = OC = radio de la curva
DB = Distancia del vértice de tangentes al centro de la curva
5
2 - De un solo sentido, con 2 o más radios
FIGURA 2
CCurva Nº 1: Tgs. T1 y T3 - R1 - α1
Curva Nº 2: Tgs. T1 y T2 - R2 - α Curva Nº 3: Tgs. T2 y T4 - R3 - α2
3 - Dos curvas de sentido contrario.
Curva Nº 1: Tgs. T1 y T2 - R1 -∠ α Curva Nº 2: Tgs. T2 y T3 - R2 - ∠ β La tangente T2 es común a ambas curvas
FIGURA 3
6
4 - Dos curvas de sentido contrario, con recta intermedia
Curva Nº 1: Tgs. T1 y T2 - R1 - ∠ α
BC - Parte recta. No debe ser menor a 30 m. Curva Nº 2: Tgs. T2 y T3 - R2 - ∠ β La tangente T2 es común a ambas curvas
FIGURA 4
7
RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DE UNA CURVA CIRCULA R
NOTA 1: Todas las fórmulas, cálculos, tablas utilizadas, etc., que se utilizarán para
este tema, estarán referidas al libro “Replanteo de curvas”, de Sarrazin - Oberbeck - Höfer. Si en alguna ocasión se utiliza un método distinto, se citará la fuente.
NOTA 2: Las tablas referidas están calculadas por Radio = 1 m. Por consiguiente,
todas las fórmulas de los encabezamientos y las magnitudes de cada elemento de la curva deberán ser multiplicados por el radio elegido, a efectos de obtener el resultado correcto.
8
- Angulo Central OAC∃ = α = α‘. Siempre se mide α‘, por practicidad.
- Semiángulo central OBC∃ = OAB∃ '= =
α α2 2
- Tangente de entrada (T1) = Tangente de salida (T2) en el sentido ascendentes de
las progresivas.
- Angulo sub-Tangentes AGD DHC∃ ∃ º= = −1802
α
- Angulo de las tangentes ABC∃ º= −180 α
- Cuerda A C−
- Semicuerda AF FC=
- Flecha central de la curva DF
- Distancia del centro de la curva al vértice de las tangentes BD
- BO = secante deα2
x R
CON VERTICE DE TANGENTES INACCESIBLE
FORMULAS Y TABLAS PARA RESOLUCION DE LAS CURVAS SIN ARCOS DE ENLACE (SARRAZIN)
- Para la resolución de estos problemas resulta imprescindible conocer el ángulo
central de la curva. - Este ángulo es igual al formado exteriormente por la prolongación de las tangentes
(Ver Figura 5) y normalmente se mide con teodolito al efectuar el replanteo de la curva, cuando el mismo es accesible.
- Si no es accesible, se puede trazar una tangente al centro de la curva, o bien trazar
una poligonal, midiendo entonces los ángulos por ella formados, que serán accesibles, deduciendo los complementarios y, por último, deducir el ángulo de las tangentes. En posesión de este último dato, es entonces sencillo obtener el ángulo central de la curva.
Se procede en la siguiente forma:
9
PROCEDIMIENTO 1 - Las tangentes T1 y T2 marcan los rumbos que sigue la vía.
2 - Se traza desde ella la poligonal S1 - S2 - S3, que puede ser abierta o cerrada,
según el nivel de exactitud buscado y la habilidad del operador.
3 - Se miden con teodolito los ángulos ∃ ∃ ∃A; B y C
4 - Se continúa el lado S S1 2 de la poligonal hasta la prolongación de la tangente.
5 - Se determina el valor de ∃; ∃ ∃β γ εy , restando c/u de 180º.
6 - Se determina el ∃δ restando de 180º la suma de ∃γ ε+
7 - Se determina el valor ∃λ , restando ∃δ de 180º
8 - Se determina el valor de ∃α restando de 180º la suma de ∃ ∃β λ+
9 - Se determina el valor de ∃ω restando ∃'α de 180º
10
10- Como ∃ω es = a ∃α , se obtiene así el valor del ángulo central.
- Si las condiciones del terreno (o del túnel) y la curva es corta, es posible que, en
lugar de poligonal baste con una secante entre ambas tangentes. El
procedimiento es el mismo que el ya descripto, pero más simple.
RESOLUCION DE LOS ELEMENTOS DE UNA CURVA CIRCULAR, CONOCIENDO
EL ANGULO CENTRAL. Todas las notaciones están referidas a la Figura 5 (Página 23). 1 - TANGENTES La longitud de las tangentes, desde su punto de intersección B hasta los
arranques del arco A y C es:
AB BC r= = tgα2
TABLA I, columna 1. No olvidar multiplicar por el radio, en
metros. Como surge de la Figura 5, esta distancia, al igual que el radio elegido, configuran
los elementos esenciales para diseñar la curva.
2 - DISTANCIA DEL VERTICE D DE LA CURVA AL PUNTO B DE INTERSECCION
DE TANGENTES
BD r r= −
sec
α2
o sea BD r= −
sec
α2
1 TABLA I, columna 2. No olvidar el r
Esta distancia del vértice de la curva al punto B suele ser muy necesario para
determinar el lugar de paso de la curva y, por lo tanto, su radio y la longitud de las
tangentes.
3 - CUERDA DE LA CURVA La semi-cuerda de la curva es igual a:
c r= × senα2
TABLA I - columna 3. No olvidar el radio.
La cuerda será igual a:
TABLA Nº I del SARRAZIN
11
C r= ×
2
2sen
α
4 - FLECHA DE LA CURVA
F r= −
1
2cos
α TABLA I - Columna 4. No olvidar el radio.
NOTA: No confundir esta flecha con la obtenida en los relevamientos por cuerdas y
flechas que son FC
R
C
rR
C=
∴ =
2
2 2
8
1
22
1
22
o . La diferencia estriba en
que, en este último caso, las cuerdas son muy cortas y las flechas muy
pequeñas.
5 - LONGITUD DEL ARCO
L ADC r)
= × ×π α180º
TABLA I - Columna 5. No olvidar multiplicar por el radio
NOTA: La Tabla I, mencionada este capítulo, contiene los valores de
tg ; sec ; sen ; cosº
α α α α π α2 2
12
12 180
− − y ,
para todos los ángulos de 0º a 120º, dados de 2’ en 2’. Los valores intermedios se pueden determinar por interpolación. Hablamos del libro Replanteo de Curvas, de Sarrazin - Oberbeck - Höfer, que está especialmente pensado para el replanteo en campo de las curvas.
DETERMINACION DE LOS DIVERSOS PUNTOS DE UNA CURVA CIRCULAR SIN ARCOS DE ENLACE
La distancia y (ordenada) desde un punto cualquiera de la curva circular a la
tangente, en función de la distancia “x” (abcisa) que se desee tomar desde el punto de tangencia, es:
y r r x= − −2 2
TABLA Nº II del SARRAZIN
12
FIGURA 7
EJEMPLO
x m= 30 . Siendo “y” el valor de la ordenada de la abcisa “x”, el punto “p” buscado
está resuelto.
r m= 300 .
Para: y r r x= − − = − − = − =2 2 300 90 000 900 300 89100. .
= − =300 29850 150m m m. , . , .
TRAZADO DE LOS ARCOS CIRCULARES
CON EL VERTICE DE TANGENTES ACCESIBLE
1 - Para el trazado de los arcos circulares sin curvas de enlace es necesario conocer
el valor del ángulo central de la curva, el cual interviene en la resolución de todos
los elementos de la curva (Longitud de tangentes; distancia del vértice “B” al
centro del arco de la curva “D”; semi-cuerda y cuerda; longitud o desarrollo de la
curva).
A: Punto de tangencia
P: Punto de la curva circular que se
desea determinar
13
Para determinar un punto cualquiera de la curva, lo cual sirve para replantearla en
el terreno, se encuentra explicitado en la Tabla Nº 2 del Sarrazín.
2 - Formas de trazar este tipo de curvas
a - Supongamos el ángulo central accesible y, por lo tanto, mensurable mediante
teodolito u otro goniómetro adecuado. Recordamos que los elementos
esenciales de la curva se encuentran en la Tabla Nº 1 del Sarrazín y que el
sistema para determinar los puntos de la curva está en la hoja Nº 27 de este
informe.
b - Trazado de una curva circular por ángulos sucesivos y cuerdas
correspondientes a coordenadas polares
Este es un trazado de ejecución normalmente simple y de rápida ejecución.
Consiste en estacionar el teodolito, distanciómetro o cual goniómetro que se
utilice en el primer punto de tangencia del arco, “A” en este caso. Todo lo que
se diga respecto al trazado por coordenadas polares (o ángulos de deflexión,
estará referido a las Figuras Nros. 8 y 9).
Desde el punto “A” se dirige la visual al punto “B” y se van marcando los
distintos ángulos, que serán múltiplos del módulo que se calcule, el cual
tendrá un valor acorde con el radio de la curva y los segmentos de arco que
se hayan elegido (10, 20, 30 m.).
DIAGRAMA DE UNA CURVA CON LOS ELEMENTOS NECESARIOS PARA
TRAZARLA POR COORDENADAS POLARES (O ANGULOS DE DEFL EXION)
CURVA CIRCULAR SIN ARCOS DE ENLACE
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FIGURA 8
α: Angulo central T1 tangente de entrada = T2, tangente de salida ADC
): Curva circular
A y C: Puntos de tangencia de la curva
NOTAS: 1 - El módulo o ángulo fundamental δ que se utilizará, con sus múltiplos, para el
trazado de la curva, se define por la expresión:
δπ
= × ×1
2
360
2
º.
Rlongitud elegida del arco de curva
Ejemplo para una curva circular de R = 350 y arcos cada 10 m.
15
δπ π
= × × = ××
× =1
2
360
210
1
2
360
2 35010 0 8185111
º.
º. , ;
Rm m 0 49 6 64º ,′ ′′
2 - En realidad no se miden arcos de circunferencia sino sus cuerdas, cuya longitud
es prácticamente la misma. Para un R = 300 m., que es el caso más desfavorable,
la diferencia entre un arco de 10 m. y su cuerda es de 0,46 de mm. Según la
Norma Técnica Nº 4 de Ferrocarriles Argentinos, para ángulos tan pequeños la
diferencia entre el arco y la cuerda que lo subtiene debe despreciarse.
CONTINUACION DE TRAZADO DE CURVAS CIRCULARES SIN AR COS DE
ENLACE POR COORDENADAS POLARES
Como no se miden los arcos sino sus cuerdas, que son más cortas, no se debe
trabajar con arcos mayores que 0,1 del radio.
FIGURA 9
DIBUJO SIMPLIFICADO
16
α: Angulo central de la curva T1 tangente de entrada = T2 tangente de salida.
3 - Si la curva a replantear tiene un gran desarrollo, en cierto momento se trasladará
el teodolito a “C” y se procederá de modo similar, pero en forma inversa.
4 - Para trazar la curva en el terreno y colocar las estacas cada 10 m., se procederá
así:
• El operador del teodolito marcará el ángulo inicial y luego los subsiguientes,
una vez que otros 2 operadores con una cadena de 10 metros, por ejemplo,
marquen la distancia del arco de círculo y coloquen el jalón en el rumbo que el
operador del teodolito indique, para luego clavar la estaca y el clavo de
marcación. Desde luego la marcación puede hacerse con una cinta de medir,
de acero, pero es mucho mejor y más cómodo hacerlo con una cadena o cable,
provisto de manijas y de la medida exacta que se desea.
• Si, pese a lo dicho en el punto 3 el desarrollo de la curva fuera muy grande,
deberá trazarse una tangente auxiliar y trazar los ángulos desde ella.
• Todos los valores necesarios figuran en la Tabla IV del Sarrazín.
5 - Retomando el ejemplo dado en la Nota 1 (Página 29 de este informe), y utilizando
los mismos valores, se tendrá:
• R curva = 350 m.
• Longitud de cada cuerda utilizada para tirar la curva = 10,00 m.
• Angulo fundamental o módulo de la curva = 0º 49’ 07’’ (δ).
Utilizando una cuerda de 10 m., la longitud real del arco subtenido sería:
• sen δ = sen 0º 49’ 07’’ = 0,0142869
• Longitud que correspondería al arco con cuerda de 10 m. , sería:
Long.arco = 2 R x sen δ = 2 x 350 m. x 0,0142869 = 10,0008817, con diferencia
de 0,0008817 m., o sea que, recíprocamente, si utilizamos un arco de 10,00
m. de desarrollo, la cuerda sería :
Cuerda = 10,00 m. - 0,0008817 = 9,9991183 m.
• Se entiende, entonces, que la diferencia de 8,8 décimas de milímetro es
despreciable para cualquiera de ambos casos, por lo que se justifica
17
plenamente la utilización de la cuerda en lugar del arco. En realidad, la
diferencia en el trazado de la curva no resulta importante para velocidades
medias, digamos hasta 100 km/h. Si se quiere ser estricto en el cálculo y en el
replanteo, se puede calcular la longitud de la cuerda en función de la longitud
del arco, tal como se indica más arriba. En el caso de radios de curva inferiores
a 300 m., será conveniente utilizar cuerdas más cortas digamos de 5 m.
• Si se utiliza un teodolito con limbo graduado de 20” en 20”, el error ocasionado
por el valor incompleto de los ángulos será menor a 0,015 m. para un
desarrollo de 300 m., en una curva de cualquier radio pero, si se opera sobre
cuerdas de aproximadamente 100 m., el error será menor que 0,0005 m., es
decir, insignificante.
• Si el teodolito, en el caso más desfavorable suministra ángulos de minuto en
minuto, se podrá cometer un error de 0,015 m. sobre 100 m. de desarrollo, y,
por lo tanto, desdeñable.
18
TRAZADO DE UNA CURVA CIRCULAR POR ORDENADAS SOBRE L A TANGENTE
CON VERTICE DE LAS TANGENTES ACCESIBLE
1 - Prosiguiendo con los casos de vértices accesibles que permiten la medición
directa del ángulo central, a continuación se detallará el método de trazado de
curvas circulares por ordenadas sobre la tangente.
2 - Para este método es necesario conocer el ángulo central α, que podrá medirse.
3 - Los valores necesarios se encuentran en la Tabla I y en las hojas Nros. 26 y 27 de
este informe.
4 - En los casos en que el ángulo α del vértice (cruce de tangentes) sea menor de
90º, se llega hasta donde sea posible con las ordenadas sobre Tangente 1 y luego
α = 90º Tg = 100 m. R = 100 m.
y R R x= − −2 2 x = 10 m. en 10 m.
• ANGULO CENTRAL DE LA CURVA α ACCESIBLE
19
se repite el procedimiento con ordenadas sobre la Tangente 2, completándose así
todos los puntos que conformarán la curva circular.
CURVAS CIRCULARES CON ARCOS DE ENLACE (CURVAS DE TR ANSICION)
1 - En un principio, en el trazado de las curvas no existían curvas de transición. El
peralte asignado a la curva se repartía a partir del punto de tangencia, mitad en la
curva circular y mitad en la curva, en forma descendente hacia los extremos. A
partir de los primeros años de este siglo, las deformaciones que aparecían en los
extremos de las curvas indicaron la necesidad de introducir otro tipo de curvas de
radios variables, que suavizaran el tránsito de los trenes desde la vía recta hacia
la curva circular y viceversa. Se utilizan varios tipos de curvas de enlace, tales
como elipses, radioides, parábolas cúbicas, etc. En nuestro país, al igual que en
Francia, España, Inglaterra, etc., se usa la parábola cúbica:
yx
r l=
3
6 , en que
NOTA: Esta parábola cúbica se utiliza exclusivamente para las curvas
circulares provistas de arcos de enlace, puesto que interviene “l” que es
la longitud del enlace.
2 - DETERMINACION DE LA LONGITUD DE LAS TRANSICIONES
Existen varios métodos, propuestos por diversos autores, para definir la longitud
de las transiciones. Todos ellos tienen, de una u otra manera, relación con el
peralte de la curva circular, la velocidad establecida y la rampa de peralte. existen,
también, varios sistemas para establecer el peralte en la curva circular, de los
cuales examinaremos 2, muy conocidos:
a) En Alemania, el peralte será igual a:
x: abcisa
y: ordenada
R: Radio
l: longitud curva transición
20
PV
r= 8
2
donde V es velocidad máxima en km/h. y r = radio de la curva
circular.
b) En Francia, Ferrocarriles Argentinos, España, el peralte se establece:
Peralte teórico (trocha 1,435 m.) = 11 8 2, ×V
R
Este peralte teórico jamás se aplica en forma directa, pues resultaría excesivo
en grado sumo, provocando el desgaste y aplastamiento del riel interior de la
curva.
Para ello intervienen los siguientes factores:
I - Insuficiencia de peralte (valores máximos), en mm: Para trocha 1,435 m.
= 130 mm, para Peralte Máximo de 160 mm. como en subterráneos, Pmáx
= 150 mm., La Ip será de 120 mm.
II - Exceso de peralte (valores máximos, en mm.). Para trocha 1,435
Para tráfico diario en toneladas:
> 45.000 t = 70 mm.
de 25.000 a 45.000 = 80 mm.
de 10.000 a 25.000 = 90 mm.
< 10.000 = 100 mm.
Reducción valores por Pmax = 150 mm.
60 mm.
70 mm.
80 mm.
90 mm.
III - Variación de peralte en las transiciones
Variación excepcional: 216
V
Variación Peralte Máximo: 180
V (con un máximo de 4 mm/m).
Para V = 120 km/h. De 1 a 1,2 mm/metro
Para V = 100 km/h. De 1,2 a 1,5 mm/metro
21
Para V = 80 km/h. De 1,5 a 2 mm/metro
Para V = 70 km/h. De 2 a 2,5 mm/metro
Para V = 60 km/h. De 2,5 a 3 mm/metro
Para V = 50 km/h. De 3 a 3,5 mm/metro
Para V = 40 km./h. De 3,5 a 4 mm/metro (Excepcional)
3 - LARGO DE LAS TRANSICIONES
No existe una regla matemática única para establecer la longitud de los enlaces.
en rigor de verdad, se utilizan varios métodos, algunos de los cuales son los que
siguen:
Para una curva con transiciones - R = 1.000 m.
V = 70 km/h.
P = 40 mm.
L = longitud transición, proyectada sobre la
tangente
1 - L R= = =1000 3162, .m (F.C. San Martín (1,26 mm/m).
2 - LV
R= × =0 07 3.
24 m. (F.C. San Martín) (1,66 mm/m).
3 - L R= = × =4 48 4 48 1000, , 14167, .m (F.C. San Martín) (0,28 mm/m)
4 - L R= = × =2 75 2 75 1000, , 86 96, .m (F.C. San Martín) (0,4 mm/m).
6 - ( )LV
Peralte mm mm= × = × =100
70
10040 28 m. (García Lomas - Pág.354)
(1,43 mm/m).
7 Peraltel
Rl h R L h R= ∴ = × ∴ = × = × × =
22
1616 16 0 04 16 1000, 2530, .m
En este caso, por aplicación de la fórmula el Peralte es de 40 mm. y la pendiente
de peralte, de 1,58 mm/m. - Libro Sarrazín - Pág. 297).
5 - LPeralte
Pend Peralte
mm
mm m= = =
. , /
40
1 7 2353, .m (2 mm/m).
22
En teoría las transiciones debieran tener la mayor longitud posible, a efectos de
que la pendiente del peralte tuviera valores muy bajos y permitiera una marcha
suave del vehículo hasta alcanzar el peralte máximo en la curva circular. Todos
los valores que intervienen en la determinación de la longitud de las transiciones
están relacionados entre si, pues, inciden en ello la velocidad de los trenes, el
radio de la curva (con lo que se determina el peralte), la pendiente del peralte y
algún coeficiente dado generalmente por la experiencia del autor. Si examinamos
lo antedicho, advertimos algunas determinantes que deben tenerse en cuenta
para el trazado de vías:
A - Si es necesario instalar una sucesión de curvas, que serán transitadas a
velocidades parecidas, aunque tengan radios distintos deben poseer todas la
misma insuficiencia de peralte, con lo cual se obtendrá un equilibrio entre
aceleraciones laterales de todas las curvas, que hará que la marcha sea suave y
sin alteraciones.
B - Debe, asimismo, procurarse que las variaciones de peralte en las curvas
sucesivas tengan valores similares, por los mismos motivos antedichos. En el
punto III se indica, para distintas velocidades, la variación de peralte en las
transiciones. En esta especie de tabla no se ha respetado estrictamente la fórmula
180
V, sino que se han modificado los resultados en función de la experiencia
obtenida a través de muchos años. Puede parecer un tanto exagerado utilizar
valores con décimas de milímetro y en verdad lo es si son tomados
individualmente. Lo que importa es la pendiente que esos valores confieren a la
transición y, consecuentemente, la longitud de la misma.
C - El largo de las transiciones tiene diversas formas de resolución, según los autores,
las que se indican en el punto 3, precedente.
Estudiados los distintos casos se distinguen 2 grupos:
a - Fórmulas 3 y 4, que producen transiciones muy largas y pendientes de peralte
excesivamente suaves, aptas para muy altas velocidades.
b - Fórmulas Nros. 1, 2, 5, 6 y 7, que conducen a enlaces y pendientes de peralte
razonables.
23
De todos estos sistemas, el que aparece como más lógico y efectivo es el
Nº 5 , en el cual la longitud de la curva de transición surge como resultado de
dividir el peralte de la curva circular por la pendiente de peralte en la curva de
enlace. Como se ve, en esta fórmula, como en casi todas las demás, el
peralte, la rampa de peralte, la velocidad y el radio aparecen vinculados entre
si.
4 - UBICACION DE LAS TRANSICIONES CON RESPECTO A LA CURVA
CIRCULAR
La continuidad de la vía peraltada exige que el carril exterior se eleve
progresivamente desde su nivel normal en alineación recta (o) hasta el valor del
peralte en la curva circular, cuya pendiente media resulta, por lo tanto, ih
l= .
Antiguamente no existían los enlaces, y el peralte se daba parte sobre la vía en
recta y parte sobre la circular, con grave perjuicio para ambos sectores, por los
desgastes inadecuados que se producían.
En la actualidad todas las vías poseen enlaces, aún las curvas de grandes radios
y la tendencia es colocarlas en curvas de playa y de desvíos, aún sin peralte, a
efectos de evitar deformaciones en la curva circular.
existen varias formas de ubicar una transición, la cual en nuestro país es una
parábola cúbica, de la forma yx
P=
3
6. La constante “P” que entra en la ecuación
tiene por valor 8 2V l
h, de modo que depende de la velocidad “V”, de la elevación o
peralte “h” y de la longitud “l ” de la parábola. La forma que toma, entonces, la
parábola cúbica para determinar el valor de una ordenada “x” con una abcisa “y”,
es: yx
r l=
3
6 o, para el final de la transición y
l
r=
2
6 , siendo l = longitud
transición.
NOTA 1: Las abcisas y ordenadas para los arcos circulares figuran en la
Tabla Nº II del Sarrazín (Ver Hoja Nº 27).
24
NOTA 2: Las abcisas y ordenadas para los arcos circulares provistos de curvas
de enlace se indican en la Tabla Nº III del Sarrazín.
5 - TRAZADO DE LAS CURVAS DE TRANSICION Los sistemas de trazado que seguidamente se describirán servirán tanto para el
diseño de las curvas como para su replanteo en el terreno, ya que éste no es otra
cosa que dibujar en escala natural.
6 - ENLACES PARABOLICOS
Para introducir enlaces parabólicos en dos alineaciones rectas que han de ser
enlazadas por un arco de círculo, se desplaza dicho arco hacia el interior de la
curva y se incluyen los arcos de parábola, de longitud “l “ entre las alineaciones T1
y T2 y el arco de círculo desplazado tal como se indica en las siguientes Figuras
Nros. 11, 12 y 13.
TRAZADO DE CURVAS CON TRANSICIONES
FIGURA 11
El desplazamiento del arco de círculo puede hacerse fundamentalmente con 2
sistemas:
25
a - Conservando el radio “R” del círculo y desplazando su centro de “O” a “O’”, tal
como se indica en la Figura 11.
b - Conservando el centro “O” y disminuyendo ligeramente su radio, que en tal
caso se convierte en R-f, siendo “f” el desplazamiento sufrido por el arco al
introducir las transiciones.
El desplazamiento “f” cruce en magnitud en forma directamente proporcional
a la longitud de las transiciones, pero, dentro de una serie de transiciones de
longitudes iguales, disminuye en forma inversamente proporcional a la
magnitud del radio de la curva.
Para el presente estudio se ha elegido el segundo caso, en razón de que las
Tablas Nº III de Sarrazín están preparadas de esta manera, facilitándose con
ello el estudio del método, Por otra parte, “f” nunca es lo suficientemente
importante como para influir en el diseño.
TRAZADO DE CURVAS CON TRANSICIONES PARA LINEAS NUEV AS
FIGURA 12
T2
G
CG'
aa
B
f
A
L/2
L/2 L/2
L/2D
L = CURVA TRANSICIONL = CURVA TRANSICION
E
T 1
F
D'
R = 300 m
. (R prim
itivo) R =
300
m. (
R p
rimiti
vo)
R = 300 - f = 299,50
R =
300
- f =
299
,50
26
CURVA CIRCULAR PRIMITIVA
V = 70 km/h.
α = 60º
R = 300 m.
Tg = 173,20 m.
D = 314,16 m.
CURVA CON TRANSICIONES
Pte. = 131 m.
Pend.Pte. = 2,18 mm/m.
Transiciones = 60 m.
f = 0,50 m.
R = 300 - 0,50 = 299,50
Tg = 203,20 m.
FIGURA 13
NOTAS IMPORTANTES
1 - Las tangentes A'P' son auxiliares y se utilizan para el cálculo. 2 - Las tangentes reales son T1 y T2.
ORDENADAS DE LOS ARCOS DE ENLACE
yx
R L=
× ×
3
6 siendo “x” la abcisa a partir de “A” y la
ordenada de la curva en ese punto.
L/2 = 30 m.
L/2
T
P
P'
A 10 20 30 35 40
Ord
enad
as p
ara
el a
rco
circ
ular
45 50 55
TRANSICION
60
ARCO
CIRCULAR
NU
EVO
ARCO
CIRCULAR PRIMITIVO
70
A'
D
D'
L/2 = 30 m.
f = L2
24 R
6
06
x 30
0
2
2,00
m. (
pará
bola
) L 6
R2
R' -
f -
R
-
+
x
r +
- x
=L 2
L 2
< 3
00,5
0 (
300-
30+
60)(
300+
30-6
0) =
= 30
0,50
- 2
93,5
0 =
2,00
m.
27
3 - Las coordenadas de los puntos del arco de enlace se obtienen mediante la
ecuación x
R L
3
6 .
Cuando se utiliza como abcisa la longitud total de la transición “L”, la ecuación podrá
ser: L
R
2
6 .
4 - Las coordenadas de los arcos de círculo difieren, en estos casos en que existen
transiciones, de las dadas en la página 27 y de los valores administrados en la
Tabla Nº II del Sarrazín que son para arcos circulares sin arcos de enlace.
Así, y tal como se ha marcado en la ordenada EF de la FIGURA 13 anterior, la
ecuación que se utiliza para determinar las ordenadas de los arcos circulares
que poseen enlaces parabólicos es :
R f Rl
x rl
x− − − +
+ −
=
2 2
5 - La TABLA Nº III del Sarrazín, tiene en cuenta ambas ecuaciones al suministrar los
valores de las ordenadas tanto para los enlaces parabólicos como para los arcos
circulares.
6 - Como prueba de la idoneidad de ambas ecuaciones, en la ordenada EF de la
Figura Nº 13, que corresponde igualmente al fin de la curva de transición y al
principio de la curva circular, se utilizaron ambas ecuaciones que arrojaron, como
debía ser, idéntico resultado: 2,00 m.
SOBREANCHO EN LAS CURVAS FERROVIARIAS
1 - El encastre de las ruedas sobre los ejes. Al contrario de los vehículos de
carretera, las ruedas de los vehículos ferroviarios forman un solo cuerpo con sus
ejes y giran conjuntamente con éstos, en lugar de hacerlo en derredor de los
mismos mediante cojinetes. Este sistema ofrece mayor solidez, ya que un eje
montado con sus ruedas en una sola pieza es menos susceptible de dislocación
que un eje de ruedas libres o que el constituído por el montaje de éstas sobre
cojinetes independientes.
28
Esta disposición tiene el inconveniente de que, en las curvas, la rueda exterior de
un eje, que recorre mayor camino que la interior, necesariamente sufre un
deslizamiento a la vez que rueda sobre el riel, lo que conduce a un desgaste por
rozamiento.
FIGURA 14 FIGURA 15
2 - Para evitar estos inconvenientes las llantas no se tornean cilíndricas, sino en
forma troncocónica, con una inclinación variable sobre la horizontal que, en
algunos países es de 1:20 y, en otros, de 1:40. En la Argentina fue de 1:20 y,
luego de la estadía de la consultora francesa SOFRERAIL, se adoptó 1:40,
variante que no fue ejecutada en todas las llantas, ni mucho menos (Figura 14).
3 - La inclinación elegida para las llantas debe repetirse con el mismo valor en la
inclinación del riel respecto a la horizontal, hacia el centro de la vía, efecto que se
obtiene mediante indicaciones “ad-hoc” en las silletas, o bien por los chanfles
maquinados en los durmientes de madera. Lo importante es que la relación rueda-
riel se mantenga lo más posible, a efectos de evitar desgastes.
La conicidad de las llantas tiene por objetivo principal guiar al vehículo en
dirección recta, atrayendo constantemente aquél hacia el centro de la vía. En
efecto (Figura 15), si una de las ruedas de un eje llega a tomar cierto avance con
respecto a la otra, aquél se coloca en posición oblicua a la vía y, rodando la rueda
avanzada sobre un diámetro menor, el avance tiende a desaparecer y llega
incluso a invertirse, manteniéndose el eje en una posición media a través de una
serie de oscilaciones que constituyen el llamado movimiento de lazo o serpenteo.
Si la trocha está abierta más allá de las tolerancias establecidas, este movimiento
se torna sumamente incómodo y desgastante.
29
La conicidad debería tener también por efecto la supresión del deslizamiento en
las curvas, ya mencionado en (1), puesto que el bicono compensará el mayor
recorrido de una con respecto a la otra. En resumen, la idea se asemeja a la de
una polea, que no es cilíndrica sino con mayor diámetro en el centro que en los
extremos, manteniendo así la correa que mueve en el centro de aquella.
4 - Sobreancho
Si se considera un eje aislado y haciendo referencia al bicono de la Figura 14 y a
lo indicado en la 15, se advierte que, para que tenga lugar la rodadura en cono,
sin apoyo ni rozamiento de las pestañas contra los rieles, la conicidad deberá
compensar la diferencia de longitud de éstos entre la fila exterior y la fila interior
de la curva. Si:
α : es la conicidad j : el juego de la vía r : El radio de rodadura de la rueda en posición normal sobre la vía, y R : El radio de la curva; a = distancia entre ejes de riel.
los caminos recorridos estarán en la misma relación que los radios de rodadura, y
se tiene:
FIGURA 16
r dj
r dj
Ra
Ra
+−
=+
−
2
2
;
de donde:
j
r a
RR
r a
j= × = ×
2 2α αy
30
• Adoptando un valor para “j”, esta relación sólo podrá tener lugar para un
determinado valor de “R”.
• Por otra parte, los ejes de un vehículo de base rígida, b, no pueden encontrarse
simultáneamente en posición radial, es decir, con la superficie de las pestañas
tangencialmente al plano interior de los carriles y, en cuanto se alcance la relación:
b
Rj
2
2>
la pestaña de la rueda interior trasera apoyará oblícuamente sobre el carril interior.
• Resulta de esto que el sector grisado de la Figura 16 se dispondrá oblícuamente en
las curvas de radio reducido y la distancia entre los puntos más alejados de las 2
ruedas del eje, en contacto con el plano de los rieles, es superior a la trocha normal
de la vía (1,435 en subtes). De aquí la necesidad de facilitar la inscripción de los
vehículos en la curva, dotando a la vía de un sobreancho “S”, que se incorpora al
juego de la vía en recta “j”, para constituir el juego total de la vía en curva.
• El sobreancho depende, pues, del radio de la curva y de la máxima base rígida de
los vehículos; como caso más comprometido, estaban las antiguas locomotoras a
vapor, con gran número de ejes acoplados por las bielas, que debían inscribirse
libremente en la curva. En muchos casos, hubo que cepillar las pestañas de las
ruedas correspondientes a uno de los ejes centrales acoplados, para que pudieran
circular por vías de pequeño radio sin que la pestaña montara el riel.
• El valor del sobreancho no debe ser exagerado porque, en tal caso, los vehículos
con menor base rígida se colocarían en posición demasiado oblícua con respecto
del riel exterior, vale decir, el ángulo de ataque de la rueda contra el riel resultaría
excesivo, aumentando el desgaste de éste, la resistencia a la rodadura y los
movimientos anormales de rotación del vehículo alrededor del eje vertical, con el
consiguiente peligro para la circulación. A velocidades elevadas es aconsejable
reducir todo lo posible el sobreancho, a objeto de reducir también el ángulo de
ataque de la rueda contra el riel.
31
• A efectos de evitar desgastes excesivos, en curvas de escaso radio que deban ser
transitadas a cierta velocidad, se ha debido colocar engrasadores de rieles, que son
aparatos que bombean grasa contra la parte interior de la cabeza del riel, al paso
de cada eje, con el objeto de lubricar el sector en que pueden apoyar las pestañas.
• Lo cierto es que no existe unanimidad de criterio para el sobreancho, entre los
diversos países y administraciones. Para un estudio más completo del problema,
será necesario incursionar en un tema bastante largo y complicado, como es la
inscripción de los vehículos con las curvas, cuya complejidad parece excluirlo de
este curso.
• Mientras tanto, se suministrarán algunas fórmulas usuales, todas ellas empíricas.
a) Del Libro de Vías de García Lomas
S = Sobreancho
1 ( )SR
m= −60 012,
2 ( ) ( )S
R=
−1000
27000
2.
.en mm
b) Ferrocarriles Argentinos No posee una fórmula que determine el sobreancho y sólo da los valores que se
indican seguidamente:
R > 250 m :
R 250 m ≥ R ≥ 150 m :
R 150 m ≥ R ≥ 110 m :
R < 110 m :
S = 0 mm.
S = 6 mm.
S = 12 mm.
S = 18 mm.
c) Ferrocarril Gral. Roca Tampoco suministra fórmula y si los valores tabulados que se indican a
continuación:
Esta fórmula suministra sobreanchos muy significativos y sólo debe ser utilizada para curvas de muy escaso radio, que se transiten a baja velocidad. Para R = 500 m., S es igual a 0.
Esta fórmula tiene más amplios límites de utilización y S será igual a 0 cuando R 0 1.000 m.
32
R = 125 m. - S = 15 mm.
R = 150 m. - S = 13 mm.
R = 175 m. - S = 11 mm.
R = 200 m. - S = 10 mm.
R = 250 m. - S = 8 mm.
R = 300 m. - S = 6 mm.
R = 350 m. - S = 4 mm.
R = 400 m. - S = 3 mm.
º Los Ferrocarriles Españoles (RENFE)
No suministra fórmula, pero si la siguiente tabla:
R > 300 m.
300 ≤ R < 250 m.
250 ≤ R < 200 m.
200 ≤ R < 150 m.
150 ≤ R < 100 m.
S = 0 mm.
S = 5 mm.
S = 10 mm.
S = 15 mm.
S = 20 mm.
NOTA: Es más lógica y completa que las anteriores.
º Ferrocarriles Alemanes
R < 300 m. a 251 m.
R < 250 m. a 160 m.
R < 160 m.
S = 5 mm.
S = 10 mm.
S = 15 mm.
NOTAS GENERALES ACERCA DEL SOBREANCHO
1 - El sobreancho se debe aplicar siempre sobre el riel interior de la curva.
2 - El sobreancho debe crecer y decrecer a razón de 1 mm/m.
3 - El sobreancho debe comenzar a ser aplicado a partir de:
• En curva sin enlaces: desde el punto de tangencia con las alineaciones rectas.
• Curva de enlace: desde un punto intermedio de la misma, de manera de llegar
a la curva circular con el sobreancho correspondiente.
33
ENLACES ALTIMETRICOS - CURVAS DE ACUERDO EN EL PLAN O VERTICAL
Pendientes y rampas
Con el advenimiento de las locomotoras Diesel-Eléctricas y de las eléctricas,
con sus variantes de varios coches con tracción propia, se ha incrementado la
posibilidad de los trenes para vencer rampas cada vez más pronunciadas, situándose
la posibilidad de alcanzar un valor del 60 0/00.
Sin embargo, razones de orden económico y no técnico, como son la
velocidad comercial de la línea o la necesidad de dotar a los trenes de potencias
excepcionales para la tracción, ha hecho que la máxima rampa se sitúe el orden del 30 0/00. Esto lleva a limitar, asimismo, la longitud de fuertes rampas y pendientes, tanto a
efectos de la tracción como del frenado, aún cuando ello ocasione un eventual
aumento en la longitud del trazado.
Curvas verticales de acuerdo
1 - Cuando el trazado altimétrico de la plataforma lo permite las pendientes o rampas
de sentido contrario deben estar separados entre si por un sector sensiblemente
horizontal de unos 120 metros de longitud.
2 - Cuando lo anterior no es posible y a los efectos de evitar variaciones bruscas en
la marcha de los trenes, se recurre a la instalación de arcos parabólicos o, en
ocasiones, de arcos circulares de R > 5.000 m. (siempre que esos valores sean
posibles).
3 - Estos enlaces se establecen cuando, definidas las rampas o pendientes en
milésimas, su suma, en el caso de declives de signo contrario o su diferencia, en
caso de inclinaciones del mismo, sea igual o superior a 4 mm. por metro ( 0,004 ),
según lo establece la Norma Técnica Nº 3 de F.A. Otras Administraciones
establecen valores menores, de 2,5 mm. por metro (0,0025 ).-
En la Argentina el radio de este empalme, en las líneas donde la velocidad límite
es igual o superior a 100 km/h, es de 10.000 m, es decir que el declive varía en 1
mm por metro cada 10 m. El enlace debe replantearse antes de su materialización
34
mediante estacas niveladas. En las líneas donde la velocidad límite es inferior a
los 100 km/h, el radio es de 5,000 m, es decir que el declive varía en 2 mm por
metro cada 10 m.
4 Además sea cual fuere la velocidad autorizada, los cambios de gradiente deben
ser evitados, en las obras de arte no balastadas, en los aparatos de vía y en las
curvas.
FIGURA 17 FIGURA 18
En las Figuras 17 y 18 se representan los dos casos que pueden presentarse
comúnmente: si “I” e “I’ “ es la pendiente de cada una de las alineaciones a
enlazar, reemplazando las tangentes por los ángulos se obtiene, con poco error:
- En la Figura 17: I = I’ + I’’
- En la Figura 18: I = I’ - I’’
Invirtiendo las figuras se obtendría igual resultado, con la diferencia de que se
sustituirían las pendientes por rampas y viceversa.
FIGURA 19 FIGURA 20
- En la Figura 19: I = I’ + I’’ - En la Figura 20: I = I’ - I’’
35
El ejercicio siguiente se realizará el enlace una horizontal AB con una rampa BC ,
mostrado en la Figura 21, que a continuación se incluye.
5 - La manera más natural de efectuar el enlace es intercalar entre las 2 alineaciones
AB y BC una curva que sea tangente a ambos y que presente, respecto a la
horizontal, una inclinación que varíe de modo constante desde el origen hasta el
final del enlace, es decir, entre B y C .
