Curvas_Parametricas1_

Departamento de Ciencias Geometría Analítica: Ciclo 2009-2

1

Curvas Paramétricas

Hasta ahora, se ha presentado una gráfica mediante una sola ecuación con dos variables.

En esta parte se emplean tres variables para representar una curva en el plano.

Considere la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45o. Si la

velocidad inicial del objeto es 48 pies/ seg, el objeto recorre la trayectoria parabólica

dada por :

2

72

xy x Ecuación rectangular.

Como se muestra en la figura.

Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice dónde se

encuentra el objeto, no dice cuando se encuentra en un punto dado ( , )x y . Para

determinar este instante, se introduce una tercera variable t , conocida como

parámetro. Expresando ,x y como funciones de t , se obtiene las ecuaciones

paramétricas

24 2x t Ecuación paramétrica para x

y

216 24 2 .y t t Ecuación paramétrica para y


2

A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante 0t , el

objeto se encuentra en el punto (0,0) . De manera semejante, en el instante 1t , el

objeto está en el punto (24 2,24 2 16) , y así sucesivamente.

Nota.- En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas

de t , y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana.

CURVA PLANA

Definición.- Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las

ecuaciones

( )x f t y ( )y g t

Se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de

puntos ( , )x y que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica

de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es

lo que se llama una curva plana

Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas,

se trazan puntos en el plano XY. Cada conjunto de coordenadas ( , )x y está determinado

por un valor elegido para el parámetro t . Al trazar los puntos resultantes de valores

crecientes de t , la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la

orientación de la curva.

Ejemplo 1.- Trazado de una Curva

Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas

2 4x t y , 2 3.2

ty t

Solución

Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones

paramétricas, los puntos ( , )x y que se muestran en la tabla.


3

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 0.5 0 0.5 1 1.5

Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f

y de g se obtiene la curva C que se muestra a continuación.

A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la

misma gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas

2 34 4 , , 1

2x t y t t

Figura 1

Figura 2


4

Tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo (1). Sin embargo, al

comparar los valores de t en las figuras (1) y (2) se ve que en la segunda gráfica se traza

con mayor rapidez (considerando a t como variable tiempo) que la primera gráfica. Por

lo tanto, se pueden emplear distintas ecuaciones paramétricas para representar las

diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria determinada.

Ejemplo 2.- Determine la gráfica de la curva

cos , , 0 2x t y sent t

Solución

La tabla anterior muestra los valores de x y y que corresponden a los múltiplos de

4 para el parámetro t .Estos valores dan los ocho puntos resaltados en la figura

siguiente, los cuales están en la circunferencia unitaria y lo cual se puede verificar

aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

2 2 2 2cos 1.x y t sen t


5

Así como en el caso anterior del ejemplo 1, esta gráfica también tiene otra

representación paramétrica, la cual se da a continuación:

2

2 2

1 2, ,

1 1

t tx y t

t t

Y esto se puede ver ya que cumple 2 2 1.x y

ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO

Para encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de

ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el

parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo (1) se puede eliminar

como sigue:

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación 24 4x y representa una

parábola con un eje horizontal y vértice en ( 4,0) cómo se ilustra en la figura 1.

El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a

la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe

ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones

paramétricas.

Ejemplo 3. Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro.

Dibujar la curva representada por las ecuaciones

1, , 1

11

tx y t

tt

Eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.


6

Solución.- Para empezar, se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por

ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.

2

2

2

2 2

1 Ecuación paramétrica

1

1 Ecuación paramétrica para x

1

11

1 11 Despejar

xt

xt

tx

xt t

x x

Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y , se obtiene

2 22 2

2 2

2

1 Ecuación paramétrica para

1

(1 ) Sustitución de por (1 ) .

[(1 ) ] 1

1 Simplificar

y yt

x xy t x x

x x

y x

La ecuación rectangular 21y x , está definida para todos los valores de x . Sin

embargo, en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para

1t . Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se

ilustra en la figura 3

Figura 3


7

En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa

el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro.

Ejemplo 4. Emplear trigonometría para eliminar un parámetro.

Dibujar la curva representada por

3cosx y 4 , 0 2y sen

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

Solución.- Para despejar se despejan cos y sen de las ecuaciones dadas.

cos3

x y

4

ysen Despejar cos y sen

A continuación, se hace uso de la identidad 2 2cos 1.t sen t para formar una ecuación

en la que solo aparezcan x y y .

2 2 2 22 2cos 1 1 1

3 4 9 16

x y x yt sen t

Ecuación rectangular.

En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en

(0,0) con vértices en (0,4) y (0, 4) y eje menor de longitud 2 6b , como se muestra

en la figura siguiente


8

Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

El empleo de la técnica presentada en el ejemplo 4, permite concluir que las gráficas de

las ecuaciones paramétricas

cosx h a y y k bsen 0 2

es una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por

2 2

1x h y k

a b

La gráfica de las ecuaciones paramétricas:

x h asen y cosy k b 0 2

también es una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por

2 2

1x h y k

a b

.

HALLAR ECUACIONES PARAMÉTRICAS

En los ejemplos anteriores hemos desarrollado técnicas que nos han permitido dibujar la

gráfica que representa un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ahora haremos el caso

inverso, es decir, determinaremos un conjunto de ecuaciones paramétricas a partir de

descripción física o una gráfica dada.

Ejemplo 5.-Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada.

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de 21y x

a) t x b) la pendiente dy

mdx

en el punto ( , )x y

Solución

a) Haciendo t x se obtienen las ecuaciones paramétricas

x t y 2 21 1y x t .


9

b) Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder como sigue.

22 1dy

m x derivada de y xdx

.

2

mx despejar x

Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x . Para obtener una ecuación

paramétrica para y , en la ecuación original se sustituye x por 2m .

2

2

2

1 Escribir la ecuación rectangular original

1 Sustitución de por 2.2

1 Simplificación.4

y x

my x m

my

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son

2

y 1 .2 4

m mx y

En la gráfica anterior se observa que la orientación de la curva resultante es de

derecha a izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la

pendiente m. mientras que si se toma el apartado a) la curva tendría la orientación

opuesta.


10

Ejemplo 6.- Parametrizar la elipse

2 2

1x y

a b

Solución

Haciendo el siguiente cambio

coscos

x

x aa

y y bsensen

b

Ejemplo 7.- Ecuaciones paramétricas de una cicloide

Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un círculo de radio

a que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides.

Solución

Sea el parámetro que mide la rotación del circulo y supóngase que al inicio el punto

( , )P x y se encuentra en el origen. Cuando 0 , P se encuentra en el origen. Cuando

, P está en un punto máximo ( ,2 )a a . Cuando 2 ,P vuelve al eje x en

(2 ,0)a . En la figura siguiente se ve que 0180APC


11

Por tanto,

(180 ) ( )AC BD

sen sen sen APCa a

cos cos(180 ) cos( )AP

APCa

Lo cual implica que

cos( )AP a y .BD asen

Como el círculo rueda a lo largo del eje x , se sabe que OD PD a . Además, como

BA DC a , se tiene

cos .

x OD BD a asen

y BA AP a a

Por tanto las ecuaciones paramétricas son

( )

cos (1 cos )

x a asen a sen

y a a a

EJERCICIOS PROPUESTOS

A.- En los problemas siguientes elimine el parámetro, dar la ecuación rectangular y

luego bosqueje la curva.

1.- 1 , 2 1x t y t

2.- 2 21 , 2 1x t y t

3.- , 3 2x t y t

4.- 2 3 , 2x t t y t

5.- , coshx senh t y t


12

6.- 2cosh , 3x t y senh t

7.- 3 , 3lnx t y t

8.- 2ln 2 ,x t y t

9.- 4sec , 3tanx y

10.- 2 2tan , secx y

B.- En los ejercicios siguientes elimine el parámetro y obtenga la forma estándar o

canónica de la ecuación rectangular.

1.-Recta que pasa por 1 1 2 2( , ) y ( , ) ;x y x y

1 2 1 1 2 1( ) , ( )x x t x x y y t y y

2.-Circunferencia: cos ,x h r y k r sen

3.-Elipse: cos ,x h a y k bsen

4.-Hipérbola: sec , tanx h a y k b

C.- En los ejercicios siguientes emplear los resultados de los ejercicios anteriores (Parte

B) para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta o las demás cónicas.

1.- Recta que pasa por (0,0) y (5, 2)

2.- Recta que pasa por (1,4) y (5, 2)

3.-Circunferencia: centro (2,1) ; radio:4

4.- Circunferencia: centro ( 3,1) ; radio:3

5.-Elipse: vértice: ( 5,0) ; foco ( 4,0)

6.- Elipse: vértice: (4,7),(4, 3); foco (4,5),(4,-1)

7.-Hipérbola: vértice ( 4,0) ; foco ( 5,0)

8.- Hipérbola: vértice (0, 1) ; foco (0, 2)

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