D) LOS VECTORES APLICADOS A LA CINEMÁTICA

U.D. 9 – ESTUDIO DEL MOVIMIENTO. CINEMÁTICA (PARTE 2) UD 9 (P2ª)-

FISICA Y QUÍMICA. 1º BACHILLERATO. PROFESOR: CARLOS M. ARTEAGA

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FÍSICA Y QUÍMICA. 1º DE BACHILLERATO

PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA

UNIDAD DIDÁCTICA 9

ESTUDIO DEL MOVIMIENTO: CINEMÁTICA (2ª PARTE)

D) LOS VECTORES APLICADOS A LA CINEMÁTICA

13.- POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

¿QUÉ TENEMOS QUE APRENDER?

Cuál es y cómo se representa el vector posición.

Cuál es, cómo se representa y cómo se halla el vector desplazamiento.

LA POSICIÓN

El movimiento en un plano es un movimiento en dos dimensiones. Si nos estamos fijando en la trayectoria de un objeto en movimiento, y queremos señalar su posición en un instante determinado hay que dar los valores de sus dos coordenadas cartesianas (x, y).

Recibe el nombre de VECTOR DE POSICIÓN un vector que determina la posición de un móvil y que se define como aquel cuyo origen se halla siempre en el origen de coordenadas y cuyo extremo coincide en cada instante con la posición del punto móvil (Figura).

La posición de un punto P en un plano queda, pues, determinada mediante dos números reales (x, y), que reciben el nombre de

COORDENADAS CARTESIANAS DEL PUNTO, o mediante el vector r

que une el origen del sistema de referencia con el punto P.

EL DESPLAZAMIENTO

Cuando el objeto se desplaza desde el punto P0 de coordenadas (x0, y0), hasta el punto P1 (x1, y1), las dos magnitudes

x = x1 – x0 ; y = y1 – y0

se conocen con el nombre de desplazamientos según los ejes X e Y.

Es decir el objeto se ha desplazado una distancia x sobre el eje X y

una distancia y sobre el eje Y.

Según lo que vimos antes, si un móvil tiene como vector posición 0r

y

al moverse su nuevo vector posición pasa a ser 1r

llamamos VECTOR

DESPLAZAMIENTO r

(Figura) al vector diferencia:

1 0 1 0— x – x , y – y )yr ( x,

1 0r r

Observa que lo que habíamos llamado antes “desplazamientos según X y según Y” son las dos componentes del vector desplazamiento.



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El desplazamiento es una magnitud vectorial cuyas principales características están resumidas a

continuación:

• El vector desplazamiento es el vector que tiene su origen en el punto de partida y su extremo en el punto de llegada.

• El desplazamiento entre dos posiciones es siempre el mismo, cualquiera que sea la trayectoria que una dichas posiciones.

• El vector desplazamiento se obtiene restando el vector de posición inicial al vector de posición final:

—r 1 0

r r

Si: 1 1 1

r x i y j Y 0 0 0

r x i y j

El vector desplazamiento será: 1 0 1 0r x — x i y — y j x i y j

Siendo x = x1–x0 ; y = y1–y0 .

CONTESTA Y REPASA

9.25. Un móvil se encuentra en el instante t1 en el punto del plano P1 (4,3) y en el instante t2 en el punto P2 (–1, 1). Si la trayectoria es rectilínea y la unidad de longitud es el metro, calcula el vector desplazamiento y el espacio recorrido por el móvil.

14.- LA VELOCIDAD COMO MAGNITUD VECTORIAL


La fórmula que define al vector velocidad media.

A qué llamamos vector velocidad instantánea y cómo se representa

La velocidad es una magnitud vectorial.

VECTOR VELOCIDAD MEDIA de un móvil que se ha desplazado r en un intervalo de tiempo t se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo transcurrido en realizar dicho desplazamiento

2 1m m mx y

2 1

r r rv v i v j

t t t

Si escribimos el VECTOR VELOCIDAD MEDIA de un móvil que se ha

desplazado r en un intervalo de tiempo en función de sus componentes tendríamos:

ym m mxΔx/Δt , Δy/Δt = v , ( ) vv =

Recuerda que si el vector r se divide por un número positivo, en este caso por t, su sentido no cambia. Entonces el vector velocidad tiene la misma dirección y lleva el mismo sentido que el vector desplazamiento.

Cuando el intervalo de tiempo t es extremadamente pequeño, v es el VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA.

El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto y podemos decir que marca la dirección que lleva el móvil en cada instante y tendrá siempre el sentido de avance del móvil.

En coordenadas cartesianas, el vector velocidad instantánea lo escribimos:

x y

v = v i + v j



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CONTESTA Y REPASA

9.26. Un móvil pasa por el punto A de su trayectoria con una velocidad Av = 3 i + 5j , y 2 segundos

después pasa por el punto B con una velocidad Bv = 7 i - j (en unidades del S.I.) Calcula am y am.

15.- TRAYECTORIA Y ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO


Las definiciones de trayectoria y de espacio recorrido.

A qué llamamos ecuaciones del movimiento.

La resolución de problemas conociendo las ecuaciones del movimiento.

Las sucesivas posiciones que va ocupando un móvil a lo largo de un intervalo de tiempo definen una línea que recibe el nombre de TRAYECTORIA. Anteriormente se han estudiado movimientos de trayectoria rectilínea. En el plano los movi-mientos también pueden tener trayectoria circular (movimiento circular), trayectoria para-bólica (movimiento parabólico), o bien movi-mientos curvilíneos más generales.

El ESPACIO RECORRIDO es la magnitud escalar que mide la longitud de la trayectoria. Coincide con el módulo del desplazamiento en el caso de

que el movimiento sea rectilíneo y además no cambie de sentido.

Así por ejemplo, cuando lanzas una pelota verticalmente hacia arriba, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento mientras la pelota está subiendo; pero cuando ésta, una vez alcanzada la altura máxima, inicia el descenso, el desplazamiento disminuye, mientras que el espacio sigue aumentando. Cuando la pelota llega al punto de partida, el desplazamiento es nulo; en cambio, el espacio recorrido (la longitud de la trayectoria) es igual al doble de la altura alcanzada.

Las sucesivas posiciones del móvil en un plano se expresan mediante el vector de posición r = x i + yj

y las magnitudes x e y pueden variar con el tiempo, por eso se escribe r t = x t i + y t j

Las expresiones x(t) e y(t) nos indican que los valores de las componentes varían con el tiempo y, por tanto, que en cada instante pueden ir cambiando de valor.

A estas expresiones se las denominan ECUACIONES DEL MOVIMIENTO O LEYES HORARIAS.

Por ejemplo, si un móvil se mueve en un plano con velocidad uniforme v0 = (3, –1) m/s y pasa por el punto r = (1, –2) en el instante t = 3 s, su ecuación de movimiento es:

x(t) = x0 + v0x · t ; y(t)= y0 + v0y · t

x(3) = x0 + v0x · 3 ; y(3)= y0 + v0y · 3

x(3) = 1; y(3) = –2

v0x = 3 ; v0y = –1

1 = x0 + 3 · 3 x0 = 1 – 9 = –8

– 2 = y0 + (–1) · 3 y0 = – 2 + 3 = 1

x(t) = x0 + v0x · t = (– 8 + 3t)m; y(t) )= y0 + v0y · t = (1 – t)m

es decir, r(t) (en metros) = (3t - 8) i + (-t + 1)j



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EJERCICIO RESUELTO

Una partícula se mueve en el plano según las ecuaciones x = 2t + 1; y = t – 1, donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcula:

a) La posición de la partícula en cualquier instante.

b) La posicion inicial.

c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 s?

d) ¿A qué distancia del sistema de referencia se encuentra la partícula en ese instante?

a) La posición de la partícula en cualquier instante viene determinada por el vector de posición. Las coordenadas del vector de posición son x e y, las cuales irán tomando valores diferentes a medida que transcurra el tiempo t. En forma vectorial podemos escribir el vector de posición así:

(2 1) ( 1)r xi y j t i t j

b) Para calcular la posición inicial sustituimos t = 0 en la expresión anterior:

0 0 0 (2 0 1) (0 1)r x i y j i j i j

por tanto, la partícula se encuentra inicialmente en el punto (1, –1) m.

c) A los 5 s la partícula se encontrará en la posición:

5 5 5 (2 5 1) (5 1) 11 4r x i y j i j i j

que corresponde al punto (11, 4).

d) La distancia pedida viene dada por el módulo del vector 5r :

2 2 2 2 2 2

5

5

|r | = x + y = 11 + 4 = 121 + 16 = 137m

|r |= 137 = 11,7m

CONTESTA Y REPASA

9.27. Una partícula se mueve en el plano de acuerdo con las ecuaciones x = t2 ; y = 5 – t expresadas en el SI. Calcula:

a) Dónde se encuentra la partícula en los instantes t = 0 s, t =1s y t = 2s.

b) Dibuja la trayectoria.

c) El desplazamiento en los tres primeros segundos.

16.- LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA


Las ecuaciones que describen el lanzamiento vertical hacia arriba.

El criterio de signos adoptado para la resolución de problemas de lanzamiento vertical hacia

arriba.

La resolución de problemas de este tipo de movimiento.

El estudio del lanzamiento vertical hacia arriba lo vamos a realizar mediante empleo de vectores a la hora de utilizar los signos de las magnitudes.

Para ello lo primero que hacemos es establecer un Sistema de Referencia en el que el eje X (abscisas) es la línea horizontal del suelo, y el eje Y (ordenadas) es la misma vertical de lanzamiento.

Al lanzar cualquier cuerpo verticalmente hacia arriba, le comunicamos una velocidad inicial que tiende a alejarlo de nosotros: le asignamos un signo positivo debido a que asciende por el eje Y.



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Sin embargo, finalmente vuelve a caer, pues g actúa en contra de ese ascenso (g es, pues, de signo negativo).

Teniendo en cuenta las ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante y el criterio de signos expuesto, las ecuaciones que describen el lanzamiento vertical hacia arriba de un cuerpo son:

Ecuación de velocidad:

v = v0 + gt

Ecuación de posición (altura):

y = y0 + v0t + ½ gt2

La ecuación de posición o altura está escrita suponiendo que el cuerpo ha sido lanzado desde una altura inicial y0. Si el lanzamiento se efectúa desde el suelo, entonces y0 = 0.

Para estudiar algunos aspectos relativos a este movimiento, como por ejemplo a qué altura máxima ascendería un cuerpo lanzado verticalmente, o con qué velocidad llega al suelo cuando cae, debemos fijamos en cuál es la característica de ese punto concreto.

Así por ejemplo, si te fijas en el punto de máxima altura, el cuerpo deja de ascender para comenzar a descender, y como ello supone un cambio de sentido (signo), forzosamente en ese instante la velocidad es cero.

1. Cálculo de la altura máxima:

En la altura máxima, la velocidad del cuerpo se hace cero

Al ser cero la velocidad, se despeja el tiempo que será, por tanto el tiempo que tarda en ascender.

v = v0 + gt 0 = v0 + gt t = – v0/g

Al sustituir ese tiempo en la ecuación de altura, se obtiene la altura máxima.

y = y0 + v0t + ½ gt2

ymáx = y0 – v0 (v0/g) + 1/2 g (v0/g) 2 ymáx = y0 – v02

/g + 1/2 (v02

/g)

ymáx = y0 – 1/2(v02

/g)

Esta fórmula no es necesario aprendérsela pues el valor numérico del tiempo lo calculamos previamente.

Aunque el valor de g es –9,8m/s2, a veces el enunciado del problema nos indica que, para facilitar el cálculo usemos –10m/s2.

2. Cálculo del tiempo total de vuelo

Al llegar al suelo, la altura del cuerpo es cero

Si se quiere resolver cualquier aspecto relativo a la llegada al suelo del cuerpo (como el tiempo total de vuelo o la velocidad con que llega), hay que considerar cuál es la característica de ese punto. Aquí hay que advertir de un error que se halla muy generalizado y que consiste en afirmar que la velocidad de llegada al suelo es igual a cero. La simple experiencia de lanzar una pelota verticalmente hacia arriba y de colocar la mano en el punto de aterrizaje bastaría para negar dicha afirmación, y es que la velocidad no sólo no es cero, sino que la velocidad tiene su máximo valor, lo único que se hace cero es la altura.

Al ser cero la altura, se despeja el tiempo, y el resultado es el tiempo que el objeto lanzado ha estado en el aire:

y = y0 + v0t + ½ gt2

0 = y0 + v0t + ½ gt2



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3. Cálculo de la velocidad con la que llega al suelo

Si se sustituye el tiempo total de vuelo en la ecuación de velocidad, se obtiene la velocidad al llegar al suelo.

En el lanzamiento vertical hacia arriba se cumple matemáticamente la simetría que se aprecia en el ascenso y el descenso: si el objeto ha sido lanzado desde el suelo, el tiempo que tarda en llegar al punto de máxima altura es la mitad del tiempo total de vuelo. En otras palabras, tarda lo mismo en ascender hasta la máxima altura que en descender desde ese punto hasta el suelo.

v = v0 + gt : la velocidad con que llega al suelo tiene el mismo valor que la velocidad inicial, aunque de signo opuesto.

Por lo demás, lo dicho para la caída libre sobre la independencia de la masa es igualmente cierto en el caso del lanzamiento vertical.

EJERCICIO RESUELTO

Un arquero que está al pie de una torre, dispara una flecha verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 25 m/s. Tomando el valor de g como 10m/s2en valor absoluto:

a) Escribe las ecuaciones del movimiento.

b) Calcula la altura máxima que alcanza la flecha.

c) Halla la velocidad con la que llega al suelo.

a) Tomamos el sistema de referencia al pie de la torre.

DATOS: v0 = 25m/s; y0 = 0; g = –10m/s2

Ecuación de velocidad: v = v0 + gt v = (25 – 10t) m/s

Ecuación de posición (altura): y = y0 + v0t + ½ gt2 y = (0 + 25t – 5t2) m

b) Para calcular la altura máxima hacemos cero la velocidad

Al ser cero la velocidad, se despeja el tiempo que será, por tanto el tiempo que tarda en ascender.

v = v0 + gt ;

0 = v0 + gt t = – v0/g = – 25/(–10) = 2,5s

Al sustituir ese tiempo en la ecuación de altura, se obtiene la altura máxima:

2 2

0 0 máx

1 1y = y + v t + gt y = 0+ 2,5 25 + 10 · 2,5

2 2

máx

y = 62,5 - 31,25 31,25m

c) Para calcular la velocidad con que la flecha llega al suelo, hacemos cero la altura, calculamos el tiempo en la fórmula de la altura y a continuación el tiempo calculado lo sustituimos en la fórmula de la velocidad:

y = (0 + 25t – 5t2) m

0 = (0 + 25t – 5t2) m

25t = 5t2

25 = 5t

t = 5s

Como v = (25 – 10t) m/s v = 25 – (10 · 5) m/s = – 25 m/s

(El signo negativo es debido a que la velocidad es descendente)

CONTESTA Y REPASA

9.28. Una niña ha lanzado un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 = 15 m/s. Al cabo de cierto tiempo t1 alcanza una altura máxima h y después comienza a descender invirtiendo un tiempo t2 en volver al punto de partida. Calcula: a) Los valores de t1, t2 y h. b) Los valores de la coordenada y al principio y al final del movimiento son iguales, pero el móvil ha recorrido un cierto número de metros durante su viaje. Calcula cuántos.



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E) COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Imagina que lanzas una pelota con una cierta velocidad por el tablero de una mesa.

¿Qué ocurre con el movimiento de la pelota cuando alcanza el borde de la mesa y cae? Puedes comprobar que adquiere una trayectoria parabólica, pero ¿por qué toma esa trayectoria parabólica?

Mientras la pelota está en contacto con la mesa, solamente existe un movimiento que es uniforme porque suponemos que no existe ningún tipo de rozamiento; pero cuando la pelota abandona la mesa empieza a actuar la gravedad, y se origina entonces un movimiento de caída libre. La fuerza vertical de la gravedad no influye en el movimiento horizontal; la existencia del movimiento horizontal, del mismo modo, no cambia el efecto de la fuerza gravitatoria sobre el movimiento vertical.

En otras palabras, los movimientos horizontal y vertical son independientes.

En los casos que vamos a estudiar a continuación son dos las coordenadas de posición que varían con el tiempo. Así, por ejemplo, cuando damos una patada a un balón jugando al fútbol, éste avanza horizontalmente (en la dirección X) a la vez que se eleva en altura (según Y) para luego descender, describiendo una parábola.

17.- LANZAMIENTO HORIZONTAL


Cuáles son los dos movimientos que componen el lanzamiento horizontal. Las ecuaciones que defines este movimiento.

Las fórmulas de la velocidad en cada instante.

La resolución de problemas acerca de este tipo de movimiento.

Supongamos que se lanza horizontalmente un objeto desde el punto A con una velocidad vX. Si el rozamiento con el aire es despreciable, el objeto conservará esta misma velocidad mientras no colisione con otro objeto. Al mismo tiempo, su velocidad vertical descendente aumenta, en valor absoluto, en 9,8 m/s en cada segundo que transcurre en caída libre.

Tenemos que recordar que, según el criterio de signos, tanto la velocidad vertical descendente como la aceleración de la gravedad g tienen signos negativos.

Como los dos movimientos son independientes entre sí, es posible analizarlos por separado.

De acuerdo con el sistema de referencia indicado en la Figura situada debajo, las ecuaciones que definen estos movimientos son:

Movimiento horizontal:

Velocidad: vx = v0

Posición: x = vx t

Movimiento vertical:

Velocidad: vy = gt

Posición: y = y0 + 1/2 gt2



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Así se puede conocer el avance y la altura de la pelota en función del tiempo.

Igualmente, combinando ambos movimientos se podrá conocer la velocidad de la pelota en cualquier instante:

Ecuación de velocidad: x yv = v + v j i

Velocidad de avance horizontal: x 0v = v

Velocidad de caída vertical: yv = g t

Ecuación de velocidad del lanzamiento horizontal: 0v = v + g t ji

Como puede verse, la velocidad de avance de la pelota es constante en el tiempo, pues la aceleración de la gravedad actúa en vertical y por tanto provoca la aparición de una componente vertical de la velocidad. Como se recordará, el valor de la velocidad en cualquier instante viene dado por:

2 2

x yv= v +v

EJERCICIO RESUELTO

Un vehículo circula por una superficie horizontal a una velocidad de 100km/h y al llegar al borde de un precipicio de 10 m de altura y se despeña por él. ¿A qué distancia horizontal caerá? ¿Qué velocidad llevará al contactar con el suelo? (Utiliza 10 m/s2 como valor absoluto de g)

DATOS: v0 = 100 km/h = 27,78 m/s

y0 = 10 m

g = –10 m/s2

Cálculo de la distancia horizontal recorrida x:

Cuando llega al suelo la altura y es igual a 0

Calculamos el tiempo que tarda en llegar al suelo mediante la fórmula del movimiento vertical:

y = y0 + 1/2 gt2 0 = 10 + ½ (–10)t2 0 = 10 –5t2 5t2 = 10 t2 = 2 t = 1,41 s

Sustituimos el valor del tiempo que tarda en caer en la fórmula de posición del movimiento horizontal:

x = v0 t = 27,78 · 1,41 = 39,17 m

Cálculo de la velocidad que lleva al contactar con el suelo:

Para ello hay que determinar las dos componentes de la velocidad: la horizontal y la vertical.

Velocidad de avance horizontal:

vx = v0 = 27,78 m/s

Velocidad de caída vertical:

vy = gt = (–10) 1,41 = – 14,1 m/s

La velocidad en forma vectorial es, por tanto:

v = vxi + vyj = 27,78i – 14,1j

Y el módulo de la velocidad es:

2 2 2 2

x yv v v 27,78 ( 14,1) 31,15m s

CONTESTA Y REPASA

9.29. Una pelota de tenis es sacada horizontalmente desde 2,20 m de altura a una velocidad de 140 km/h. ¿A qué distancia horizontal caerá? ¿Qué velocidad llevará al contactar con el suelo?



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18.- TIRO OBLICUO


Cuáles son los dos movimientos que componen el tiro oblicuo.

Las ecuaciones que definen este movimiento.


Tiro oblicuo es el lanzamiento de un objeto que se realiza con una

velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal.

Si queremos que un objeto lanzado alcance mayor distancia, lo lanzaremos un poco hacia arriba, ya que si la velocidad tiene una componente inicial hacia arriba, tardará más tiempo en caer al suelo, y, por tanto, tendrá más tiempo para desplazarse ho-rizontalmente.

El ángulo que forma la velocidad de lanzamiento con el horizonte recibe el nombre de ángulo de tiro o ángulo de elevación.

v0x = v0 cos

v0y = v0 sen

y los dos movimientos independientes (en los que hay que mantener los criterios de signos establecidos) están definidos por las ecuaciones:

Ecuación de posición: r x y i j

Ecuación de velocidad: x y

v v v i j

Movimiento horizontal:

Velocidad: vx = v0 cos

Posición: x = v0 cos t

Movimiento vertical:

Velocidad: vy = v0 sen + gt

Posición: y = y0 + (v0 sen t) + ½ gt2



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Estas ecuaciones, entre otras cosas, te permiten calcular:

1. La altura máxima que alcanza el objeto lanzado.

El objeto lanzado está en el punto más alto de su trayectoria cuando su velocidad vertical es cero.

0 = v0 sen + gt

Para calcular la altura máxima despejas el tiempo en esta ecuación:

0 0 00

2

m 9,8

9,8s

v sen v sen v sengt v sen t t t

g

Con los datos conocidos calculas el valor de ese tiempo y lo sustituyes en la ecuación de la posición vertical:

y = y0 + (v0 sen t) + ½ gt2

2. Alcance máximo.

Recibe el nombre de alcance máximo la distancia horizontal desde el punto de partida al punto en el cual el objeto lanzado vuelve a alcanzar su altitud inicial.

Es decir, en el alcance máximo se cumple y = 0 0 = (v0 sen t) + ½ gt2

Para hallar el alcance máximo, despejas el tiempo en esta ecuación, calculas el valor de ese tiempo

despejado con os datos conocidos y lo sustituyes en la ecuación de la posición horizontal: x = v0 cos t

3. Tiempo de vuelo.

Es el tiempo que el objeto lanzado está en el aire.

Cuando toca el suelo se cumple y = 0 en la ecuación de la posición vertical.

EJEMPLO:

Imaginemos un saltador de saltos de esquí. Cuando llega al borde del trampolín comenzamos a contar el tiempo, con lo que ya tiene una velocidad v con sus dos componentes, vx y vy, puesto que del

trampolín va a salir con un ángulo con respecto a la horizontal.

En este caso la posición del saltador en el aire vendrá dada por:

Ecuación de posición: r x y i j

Componente horizontal de avance: x = v0x t = v0 cos t

Componente vertical de altura: y = y0 + (v0y t) + ½ gt2 = y0 + (v0 sen t) + ½ gt2 La velocidad del saltador en el aire, por su parte, tendrá también dos componentes (una de avance y otra de ascenso–descenso).

Ecuación de velocidad: x y

v v v i j

Velocidad de avance horizontal: vx = v0x

Velocidad de caída vertical: vy = v0y + gt Con estas ecuaciones, que, como ves, no introducen ninguna novedad, puedes resolver cualquier situación relativa a un movimiento parabólico. Tan sólo es preciso hacer alguna aclaración. En el ejemplo del saltador de esquí en trampolín, el deportista comienza el salto desde una altura inicial considerable con respecto al punto donde finalmente aterriza. En este caso, y en todos los que tengan una altura inicial, tendrás que tener en cuenta que la ecuación de altura será

y = y0 + (v0y t) + ½ gt2 En el caso de un saltador de longitud, la altura de la que parte es la misma que la altura final, por lo que en este caso y en todos los que la altura inicial y final coinciden, la ecuación de altura que utilizamos es:

y = (v0y t) + ½ gt2



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EJERCICIO RESUELTO

Un centrocampista golpea un balón, que sale de su bota a 80 kmlh y con un ángulo de 450 del suelo. ¿En qué lugar botará el balón?

DATOS: v0 = 80 km/h = 22,22 m/s ; y0 = 0 ; g = –10 m/s2 ; = 450

La velocidad inicial tendrá dos componentes: vx = v0cos450 = 15,71 mIs

vY = v0sen450 = 15,71m/s

El lugar donde bota el balón de nuevo es el punto de máximo alcance de la pelota : y = 0

y = (v0y t) + ½ gt2 = 0

y = 15,71 t + ½ · (–10)·t2 = 0 15,71 t – 5 t2 = 0 15,71 – 5t = 0 15,71 = 5t t = 3,2s

En ese tiempo, el alcance habrá sido de: xmáx = v0xt = 15,71 · 3,2 = 50,27 m

EJERCICIO RESUELTO

Desde lo alto de un acantilado de 20 m se lanza una piedra al mar formando un ángulo de 300 con la horizontal con una velocidad inicial de 15 m/s.

a) Escribe las ecuaciones del movimiento respecto a un sistema de referencia situado en la base del acantilado.

b) Si no existiese rozamiento, ¿a qué distancia de la base del acantilado caería la piedra sobre la superficie del mar?

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzaría la piedra sobre la superficie del mar?

SOLUCIÓN

DATOS: v0 = 15 m/s ; y0 = 20 m ; g = –10 m/s2 ; = 300

a) Ecuaciones del movimiento:

Se trata de un movimiento de tiro oblicuo. La velocidad inicial se puede descomponer en sus componentes

horizontal y vertical: v0x = v0 cos = 15 · cos 300 = 13,0 m/s

v0y = v0 sen = 15 · sen 300 = 7,5 m/s

El movimiento de la piedra se puede interpretar como la suma de dos movimientos: uno horizontal rectilíneo uniforme y otro vertical de caída libre.

Movimiento horizontal: x0 = 0

vx = v0x vx = 13,0 m/s

x = v0x t x = 13 t

Movimento vertical: y0 = 20m

vy = v0y + gt vy = 7,5 – 10t

y = y0 + (v0y t) + ½ gt2 y = 20 + 7,5t – 5t2

b) Cálculo del alcance:

Este apartado tiene dos etapas; primero, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar al agua. Segundo, conocido el tiempo determinar el alcance.

Cuando la piedra llega al suelo: y = 0.

0 = 20 + 7,5t – 5t2 t = 2,88 s

Sustituyendo el valor del tiempo en la ecuación de x se obtiene el alcance:

Alcance = x = 13t = 13m/s · 2,88s = 37,41 m

c) Cálculo de la altura máxima:

Cuando la piedra llega al punto más alto de la trayectoria vy = 0 0 = 7,5 – 10t t = 0,75s

Sustituyendo este tiempo en la ecuación de y se obtiene la altura máxima:

y = 20 + (7,5 · 0,75) – 5 · (0,75)2 = 22,81 m



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CONTESTA Y REPASA

9.30. Se lanza una flecha con un ángulo de 60º sobre la horizontal. ¿Con qué velocidad debe lanzarse para hacer impacto en un punto situada a 200 m en un terreno plano?

19.- COMPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS PERPENDICULARES RECTILÍNEOS Y UNIFORMES


Las ecuaciones que definen este movimiento.


Para estudiar este tipo de composición de movimientos nos vamos a referir al movimiento de una barca que intenta cruzar perpendicularmente un río con una velocidad constante vx a la vez que es arrastrada por la corriente del río que lleva una velocidad también constante vy.

Es fácil entender lo que significa ir a favor de la corriente o a contracorriente. Vectorialmente, significa que nuestra velocidad y la del curso del agua tienen la misma dirección. Si el sentido es el mismo, vamos a favor de la corriente, y si es el contrario, a contracorriente. Pero, ¿qué pasa si una barca cruza perpen-dicularmente el río, suponiendo que su velocidad y la de la corriente del río son constantes?

Tus conocimientos en materia de vectores te permitirán resolver esta cuestión sin problemas. Se trata de la composición

perpendicular de dos movimientos rectilíneos y uniformes, lo que significa que hay que componer perpendicularmente los desplazamientos y las velocidades.

La barca está sometida a dos movimientos rectilíneos y uniformes: el movimiento producido por los remos, vx, y el movimiento de arrastre producido por el agua, vy (Figura). Ambos son perpendiculares entre sí e independientes: la barca sería arrastrada por el agua con la misma velocidad si el barquero dejase de remar (en la dirección de la corriente), y el barquero impulsaría la barca con la misma velocidad aunque no hubiera corriente (perpendicularmente a las orillas).

Supón que “y” es la dirección de la corriente, y “x” la del movimiento que seguiría la barca en ausencia de corriente.

El desplazamiento en el eje de las X sería: x

Δx=v t

A este desplazamiento hay que superponer o añadir vectorialmente el que produce la corriente en su dirección:

yΔy=v t

Tiene lugar, pues, una «deriva» en el movimiento, con lo que el desplazamiento neto efectuado será finalmente:

Δr=Δx i+Δyj

Y su valor:

2 2Δr= (Δx) +(Δy)

Del mismo modo, la velocidad total de la barca será la superposición de la de su motor o sus remos (vx) y la velocidad de la corriente (vy). Así pues:

x yv=v i+v j

Con lo que su módulo sería: 2 2

x yv= v +v



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EJERCICIO RESUELTO

Una barca cruza un río de 1000 m de ancho navegando siempre perpendicular a la orilla. Si la velocidad media que imprime el motor a la barca es de 25 km/h y el río lleva una corriente de 1,5 m/s ¿qué distancia habrá sido arrastrada la barca cuando llegue al otro lado?

Elegimos el sistema de referencia en el punto de salida de la barca, de forma que el eje X sea perpendicular a la orilla y el eje Y tenga la dirección de avance de la corriente (como indica la figura de este apartado).

El movimiento global de la barca puede considerarse como la suma de dos movimientos: uno, paralelo al eje X, producido por el motor, y otro, paralelo al eje Y, originado por la corriente. Ambos son rectilíneos y uniformes, pues sus velocidades son constantes.

Las ecuaciones del movimiento son:

Componente X

vx = 25 km/h= 6,94 m/s

x = vxt = 6,94t

Componente Y

vy = 1,5 m/s

y = vyt = 1,5t

Cálculo del tiempo que tarda en cruzar:

Cuando llega al otro lado, x vale 1000 m. Sustituyendo este valor en la ecuación

x = vxt = 6,94t

se puede calcular el tiempo que tarda la barca en cruzar el río.

x 1000t s 144s

6,94m s 6,94

Cálculo de la distancia que es arrastrada por la corriente:

En los 144 s la barca habrá recorrido una distancia en la dirección de la corriente:

y = vyt = 1,5t = 1,5m/s · 144s = 216m

EJERCICIO RESUELTO

Una lancha trata de cruzar perpendicularmente un río de 100 m de ancho moviéndose con una velocidad constante en esa dirección de 8 m/s. Si la corriente del río lleva una velocidad de 12 m/s, ¿a qué distancia del punto deseado se encontrará al llegar a la otra orilla? ¿Qué distancia habrá recorrido, en realidad, cruzando el río?

Si no hubiese corriente, el tiempo que tardaría en cruzar sería:

x = vxt

Por tanto:

x

x 100mt 12,5s

v 8m s

Al haber corriente, en ese tiempo sufre un desplazamiento y en la dirección de la corriente, que será:

y = vCORRt = 12m/s · 12,5s = 150m

Así pues, llegará a 150 m del punto deseado, y el desplazamiento neto que habrá efectuado será:

myxr 27,180150100 2222

CONTESTA Y REPASA

9.31. Una barca intenta cruzar un río de 20m de ancho con una velocidad constante, perpendicular a la corriente del mismo, de 1,5 m/s. Teniendo en cuenta que la corriente del río arrastra a la barca con una velocidad de 2 m/s, calcula el lugar de la otra orilla a donde llega y el tiempo empleado en hacerlo.



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F) MOVIMIENTOS CIRCULARES

Hasta aquí todos los movimientos estudiados transcurrían con una trayectoria rectilínea (movimientos rectilíneos) o por la composición de dos movimientos rectilíneos, pero ¿qué ocurre, por ejemplo, cuando se toma una curva o cuando se va en una noria? En estos casos, la trayectoria deja de ser recta para transformarse en circular y dar paso, así, a otro tipo de movimiento que se denomina movimiento circular.

20.- MAGNITUDES ANGULARES


El concepto de radián.

El cálculo del valor de los ángulos en radianes.

El concepto de velocidad angular y de velocidad lineal.

La relación entre velocidad angular y velocidad lineal.

Los conceptos de aceleración lineal, aceleración tangencial y

aceleración normal y las fórmulas para calcularlas.

La resolución de problemas.

El estudio del movimiento circular resulta sencillo si utilizamos magnitudes angulares.

A cada espacio recorrido s le corresponde un ángulo (figura). Si la longitud del arco, s, es igual al radio de la circunferencia, entonces el

ángulo subtendido se dice que mide un radián (rad).

Un ángulo mide un RADIÁN cuando el arco que abarca tiene la

misma longitud que el radio R de la circunferencia.

Como la longitud de la circunferencia es 2R y el ángulo que abarca es de 3600, podemos concluir que:

3600 = 2 radianes

y de aquí: 1 rad = 57,300

Para calcular el valor, en radianes. de un ángulo cualquiera , bastará con

calcular cuantas longitudes R contiene el arco s abarcado por , es decir:

s radianes

R

A una circunferencia completa, 3600, le corresponde un ángulo de:

s 2 R360º 2 radianes

R R

Si lo que conocemos es el ángulo en grados sexagesimales y queremos calcular los radianes que corresponden, la operación que debemos hacer es la siguiente:

3600 2 radianes

0 x 2x radianes radianes

360 180

Se define la VELOCIDAD ANGULAR, , como el ángulo girado por el vector de posición en la unidad de tiempo:

θω=

t

Se mide en rad/s, aunque en la práctica también se utiliza revoluciones/minuto (rpm).

Entre ambas unidades existe la relación: 2 rad

rpm= = rad/s60s 30



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De las igualdades v = s/t y = /t se obtiene la importante relación que existe entre la velocidad lineal y la velocidad angular:

s θRv = = = ωR

t t

v = ·R

También podemos hablar en los movimientos de trayectoria circular de aceleración angular y de aceleración lineal.

La ACELERACIÓN ANGULAR () es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo.

La ACELERACIÓN LINEAL (a) es una magnitud vectorial que tiene dos componentes:

La ACELERACIÓN TANGENCIAL (at) que nos indica la variación del módulo del vector velocidad lineal por unidad de tiempo:

t

Δva =

Δt

y la ACELERACIÓN NORMAL (an) que nos determina la manera en que cambia la dirección y sentido de dicho vector velocidad lineal:

2

n

va =

R

Vectorialmente podemos escribir: t n

a = a + a

EJERCICIO RESUELTO

¿Cuántos radianes tiene un ángulo de 750?

3600 2 radianes

750 x

75 2x 1,31 radianes

360

EJERCICIO RESUELTO

Un objeto que tiene movimiento circular recorre un ángulo de 900 en 10 segundos ¿cuál es su velocidad angular en rad/s y en rpm? ¿Cuál es su velocidad lineal si el radio de giro es de 5 metros?

θ 90º 90º 2 radω = = = = 0,157rad s

t 10s 10s 360º

rad 30ω(rpm) = 0,157 = 0,157 rpm = 1,5rpm

s

v = R = 0,157rad/s 5m = 0,785m/s

CONTESTA Y REPASA

9.32. ¿Cuántos radianes tiene un ángulo de 1200?

9.33. Un objeto que tiene movimiento circular gira un ángulo de 750 en 8 segundos ¿cuál es su velocidad angular en rad/s y en rpm? ¿Cuál es su velocidad lineal si el radio de giro es de 10 metros?



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21.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME


Cuando un movimiento es circular y uniforme.

Los conceptos de periodo y frecuencia.

El valor de la velocidad lineal y de la velocidad angular así como la relación entre estas dos magnitudes.

Qué es un hertzio.

El valor de la aceleración centrípeta.

Este movimiento se caracteriza porque la trayectoria es una circunferencia y porque dicha circunferencia se recorre siempre con la misma rapidez; es decir, el módulo de la velocidad permanece constante.

Si tomamos el centro de la circunferencia como punto de referencia, el vector de posición de la partícula gira cambiando cada instante de dirección, aunque su módulo permanece constante y coincide siempre con el valor del radio de la circunferencia trazada en el movimiento:

r R

Si la partícula inicia el movimiento desde un punto O de la trayectoria que tomamos como referencia y después de un tiempo t la partícula se encuentra en el punto P y está dando la primera vuelta, el espacio recorrido por la partícula será:

s = vt

21.1 VELOCIDAD LINEAL

Como ya sabes, el vector velocidad es tangente a la trayectoria y, como la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio, el vector velocidad v será perpendicular al vector posición r.

En los movimientos circulares a la velocidad v la llamamos velocidad lineal para diferenciarla de la velocidad angular.

Un móvil dotado de movimiento circular uniforme invierte siempre el mismo tiempo en dar una vuelta completa. A este tiempo, que llamaremos T, se le conoce con el nombre de período del movimiento circular.

PERIODO (T) es pues el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.

Si en el tiempo T el móvil da una vuelta completa, en un segundo dará f vueltas. Esta regla de proporcionalidad permite obtener el número f de vueltas por segundo que da un móvil. Será f= 1/T

FRECUENCIA (f) es, por tanto, el número de vueltas que da un móvil en un segundo.

La unidad de frecuencia es el HERTZ (O HERTZIO): 1 Hz = 1 s–1 (también se le llama ciclo por segundo).

Un Hertzio es la frecuencia de un móvil que en cada segundo gira una vuelta.

La velocidad lineal (v) se calcula dividiendo la longitud de la circunferencia, 2R, por el tiempo T empleado en recorrerla.

Podemos escribirla de dos formas equivalentes: 2 R

v T

o v 2 Rf

El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y su módulo permanece constante.



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21.2 VELOCIDAD ANGULAR

Ya hemos visto que se llama velocidad angular al cociente entre el ángulo (en radianes) girado por el vector posición y el tiempo t empleado en ello, es decir,

t

En el movimiento circular uniforme la velocidad angular tiene un valor constante. Como cada vez que el

móvil da una vuelta completa, el tiempo empleado es justo el período T y el ángulo girado 2 radianes. Entonces la velocidad angular es

2

T

o equivalentemente, = 2f

Recuerda que se mide en radianes por segundo (rad s–1).

Recuerda también que la relación entre las velocidades lineal v y angular es:

2 R 2v R R

T T

Se acostumbra a orientar los ángulos en sentido opuesto al de las agujas de un reloj convencional; por eso la velocidad angular es positiva si el giro es opuesto al giro de dichas agujas, y negativo en caso contrario.

21.3 LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Teniendo en cuenta que la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo, podemos concluir que el movimiento circular uniforme sí posee aceleración, pues aunque no varíe el módulo de la velocidad (carece por tanto de aceleración tangencial), sí lo hace su dirección y sentido. Este cambio en la dirección y sentido del vector velocidad da origen, como vimos en el apartado anterior a una aceleración que llamamos ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA.

La aceleración normal o centrípeta es, por tanto, la aceleración que está relacionada con la variación de la dirección y sentido del vector velocidad. Es un vector con dirección en todo momento perpendicular a la trayectoria y sentido hacia la parte cóncava de la misma, por lo que en el movimiento circular uniforme la aceleración se dirige siempre hacia el centro de la circunferencia. El módulo de la aceleración normal o centrípeta tiene como valor

2

n

va

R donde v es el módulo de la velocidad lineal y R el radio de la circunferencia trazada.

Considerando la relación existente entre la velocidad lineal (v) y la velocidad angular () el módulo del

vector aceleración instantánea es también 2r:

an = 2R

Si no existiera la aceleración centrípeta, una partícula no podría describir una trayectoria circular. Si en un momento dado la aceleración centrípeta se redujese a cero, la partícula se movería en línea recta siguiendo la dirección de la tangente.

En el movimiento circular uniforme el módulo del vector velocidad es siempre el mismo, por lo que no hay aceleración tangencial, pero la dirección del vector está cambiando constantemente por lo que sí hay aceleración normal o centrípeta. Esta aceleración tiene valor constante y está dirigida hacia el centro de la circunferencia en todo momento.



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EJERCICIO RESUELTO

Un ciclista se mueve con velocidad uniforme de 36 km/h. SI el radio de las ruedas de su bicicleta es 0,5 m, calcula la velocidad angular de las ruedas en rad/s y en rpm, así como el valor de la aceleración de un punto de la cubierta de las mismas.

DATOS: v =36km/h = 10m/s ; R = 0,5m ;

La velocidad angular se obtiene de v = R:

v 10m s 20rad s 60s min20rad s 191rev min(rpm)

R 0,5m rad 2 rad rev

Como el movimiento de cualquier punto de la cubierta de las ruedas es circular uniforme de radio R, la aceleración lineal del mismo carece de la componente tangencial y se reduce al valor de la aceleración normal o centrípeta:

2 22

n

v (10m s)a 200m s

R 0,5m

EJERCICIO RESUELTO

Una piedra se ata a una cuerda de 1 m de longitud y se la hace girar describiendo circunferencias, con una frecuencia de 5 vueltas por segundo. Calcula:

a) La aceleración centrípeta a que está sometido el cuerpo.

b) La velocidad angular en rpm.

c) La rapidez, en km/h, con que gira la piedra.

DATOS: R = 1m ; f = 5s–1

a) Para calcular el valor de an necesitamos conocer el valor de v:

1v 2 Rf 2 1m 5s 31,46m s

2 22

n

v (31,46m s)a 989,73m s

R 1m

b) 1

rev2 rad 22 f 2 5 10 10 300rpm

1T smin

60

c) v = 31,46 m/s = 113,26 km/h

CONTESTA Y REPASA 9.34. Calcula la aceleración centrípeta de un objeto que se mueve sobre una circunferencia de 5 m de radio

a 90 km/h. 9.35. Calcula la velocidad con que se desplaza un automóvil sabiendo que sus ruedas, de 80 cm de diámetro,

giran a 600 rpm.

Documents

D) LOS VECTORES APLICADOS A LA CINEMÁTICA