Universidad Juárez Autónoma de Tabasco.

Nombre del Alumno:

Ezequiel Vázquez Julián.

Catedrático:

M.C; Jazmín Gorety Sánchez Téllez.

Materia:

Calculo Diferencial e Integral.

Grupo:

D01.

Investigación:

INTEGRAL DE UNA FUNCION Y SU INTERPRETACION.

Villahermosa, Tabasco a 17 de septiembre de 2014.

Introducción:

Hemos visto que la derivada representa la tasa de variación de una función. De

ahí que luego podamos interpretar la derivada de diferentes maneras como la

velocidad de variación de cierto fenómeno que evoluciona con respecto al tiempo.

En numerosas situaciones, es más fácil determinar la velocidad de crecimiento

que el valor total que alcanza una magnitud. En esos casos debemos idear

mecanismos para, a partir de la función de velocidad, poder deducir la función de

valor total en cada instante. Aquí entra en juego el concepto de integral indefinida

y definida. En este caso la interpretación geométrica para la integral definida como

el área encerrada por una función, nos llevar a también a distintas aplicaciones del

concepto en diferentes contextos.

Es decir:

Ahora bien, la integral de una función lo abordaremos a fondo en el contenido de este trabajo.

Ojo: La integral definida puede representar alguna magnitud física, fuerza,

presión, distancia, etc., así como cualquier otra cantidad que se obtiene como el

producto de otras dos. Las técnicas de integración son métodos que usaremos

para calcular antiderivadas de funciones que encontraremos frecuentemente.

Contenido:Bien ahora para saber interpretarla hay que saber comprenderla y para eso

empezaremos con la:

LA INTEGRAL DEFINIDA

Ya vimos que la integral indefinida nos da como resultado una familia de

funciones. Para calcular una función de toda esa familia, debemos definir el valor

de la constante de integración, generalmente imponiendo una condición, por

ejemplo, que pase por un punto. La integral definida no nos devuelve como

resultado una función, sino un número real. Estas integrales tienen gran

importancia para resolver problemas de diversos tipos.

NOTACIÓN DE SUMATORIA

Dado que la integral definida se interpreta generalmente como un área, vamos a

necesitar conocer la notación de sumatoria.

En palabras, la sumatoria es igual a la suma de los términos que vamos a considerar.

Al grano que significa esto!

Ahora, para calcular la integral definida vamos a utilizar las reglas de

integración inmediata.

La integral definida está definida como un límite. Este límite puede

calcularse con las fórmulas de integración inmediata.

Para calcular el valor de integral definida evaluamos primero el límite

superior y después el límite inferior. La diferencia entre estos valores es el

valor de la integral definida.

• Calculamos la integral:

• Ahora evaluamos:

• Este resultado representa el área bajo la curva y =x³, desde x = 1 hasta x = 2 y sobre el eje x.

• El cálculo de esta integral definida también se puede realizar utilizando la definición:

Hasta aquí hemos considerado solamente integrandos que están definidos

positivos para el intervalo de integración. Es decir, hemos considerado integrales

de la forma:

Técnicas de integración:

Cambio de Variable:

Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de

variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos

en cálculo diferencial:

• Empezamos definiendo: u(x) = 5x − 7, de donde: u0(x) = 5.

• Sustituyendo estos valores en la integral:

En otros casos vamos a tener que simplificar algebraicamente el integrando para

que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de

cambio de variable.

2) INTEGRACIÓN POR PARTES

Si consideramos la regla para derivar el producto de dos funciones:

Podemos despejar el primer término de la derecha de la igualdad y escribir:

Usando el hecho de que la integración es el proceso inverso de la derivación, al

integrar ambos lados de la igualdad obtenemos:

Esta es la regla de integración por partes.

La recomendación para no confundirte con las definiciones que hagas para el

cálculo de la integral por partes es que elabores una tabla con los valores de u, du,

dv y v . Cuando tengas la tabla completa, sigue sustituir estos valores en la regla

de integración por partes, y después de calcular la integral, simplificar el resultado

hasta donde sea posible.

3) INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas.

Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias.

Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.

4) INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Cuando debemos calcular la integral de una función racional algunas veces

necesitamos transformar el integrando de la función de tal manera que

obtengamos una que se pueda integrar inmediatamente.

Para eso utilizamos el método de fracciones parciales.

En este tipo de integrales estudiaremos los dos casos más sencillos.

✓ Cuando el denominador tiene factores lineales.

✓ Cuando el denominador tiene factores cuadráticos.

DENOMINADORES CON FACTORES LINEALES

Cuando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con

denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que

los denominadores de cada fracción, bien eran lineales todos, bien uno de los

factores era cuadrático factorizable.

DENOMINADORES CON FACTORES CUADRÁTICOS

El siguiente caso de integrales que se resuelven por el método de fracciones

parciales es en el que en el denominador tenemos factores cuadráticos.

En este caso, tendremos un factor que no se puede factorizar como un polinomio

lineal. Por ejemplo: x² + 5.

Supongamos que deseamos expresar la siguiente fracción como la suma de otras

fracciones:

Conclusión.

En términos generales podríamos decir que;

Entonces el teorema quedaría así:

Y si bien, no olvidando dentro de sus propiedades de las integrales porque son importantes:

Bibliografía:

Purcell, Varberg y Rigdon. 2007. “Calculo Diferencial e

Integral” 9 Edicion. Editorial Pearson. Impreso en México

D.F.

http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB6.pdf

Granville. 2010. Calculo Diferencial e Integral. 5 edición.

Editorial Limusa. Impreso en México D.F Balderas.

http://www.ingenieria.unam.mx/~posgradoingcivil/DocsMatemat/Tema_4_CalculoIntegral.pdf