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2007 Key Curriculum Press Discovering Algebra: Una gua para padres 37

Transformaciones

C A P T U L O

8Resumen de contenido

En el Captulo 8, los estudiantes continan su trabajo con funciones, especialmentefunciones no lineales a travs del estudio adicional de las grficas de funciones. En

particular, consideran tres maneras de cambiar la localizacin, la orientacin y eltamao de esas grficas. (Nota: Usted puede querer saltar el material de matrices si elprofesor de su estudiante no cubre la Leccin 8.7; las matrices frecuentemente secubren como parte del currculo de lgebra avanzada.)

TraslacionesUna traslacin traslada puntos o grficas en un plano.Si un punto (x,y) se traslada hacia laderecha h unidades y hacia arriba k unidades, el punto resultante es (x h, y k).

La grfica de una funcin puede trasladarse en la misma manera,reemplazandoxconx h en cada ocurrencia dexen la ecuacin de la grfica y reemplazandoycony ken cada ocurrencia dey.

Como un ejemplo, considere lafuncin racional f(x) 1x, la cual el libro introduce eneste captulo. Si se traslada la grfica dey 1x 2 unidades hacia la derecha y 3 unidadeshacia arriba, el resultado tiene la ecuaciny 3x

12. Tambin puede pensar de la

ecuacin resultante como la grfica de la funcing(x)x1

2 3. Aunquef(x) 1

x

est indefinida parax 0 y tiene la lneay 0 como una asntota (asymptote) (unarecta a la que la grfica se acerca pero nunca toca),g(x) est indefinida 2 unidades a laizquierda, dondex2, y tiene una asntota 3 unidades ms arriba, eny 3.

Es posible representar las transformaciones con matrices. En particular, unatranslacin puede representarse con la suma de matrices. Para hacerlo, puederepresentar el punto (x, y)

por la matriz y la translacin por . Luego el punto imagen serepresenta por la suma de estas matrices:

.

De hecho, este mtodo de matrices puede representar la traslacin de ms de un punto.Discovering Algebra muestra cmo una matriz puede representar los vrtices (esquinas)de un polgono, con cada columna como las coordenadas de un vrtice. Por ejemplo, la

matriz representa el pentgono dibujado en la prxima pgina.Una translacin hacia la izquierda de 3 unidades y 2 unidades hacia arriba puede

representarse por la matriz .3 3 3 3 32 2 2 2 2

3 1 2 1 22 1 0 2 4

x h

y k

h

k

x

y

hk

xy

5

y

6

4

x5

y 1

_

x 2 35

y

5

5

x5

y1_

x

(continuado

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38 Discovering Algebra: Una gua para padres 2007 Key Curriculum Press

Captulo 8 Transformaciones (continuado)

El polgono resultante est representado por la suma de las matrices:

ste est mostrado como el polgono entrecortado en la grfica.

Reflexiones

El libro examina las reflexiones (o vueltas) de puntos o grficas alrededor de los ejes.

Cuando se refleja un punto (x, y) alrededor del ejey, el resultado es el punto(x, y). Reflejar el punto (x, y) alrededor del ejexproduce una imagen de (x,y).

Para reflejar una grfica alrededor del ejey, se reemplaza cada ocurrencia dexen su ecuacinconx. Para reflejar una grfica alrededor del ejex, se reemplazaycony. Por ejemplo, lareflexin de la grficayx

12 alrededor del ejeytiene la ecuacinf(x)x

1 2.

La reflexin deyx1

2 alrededor del ejextiene la ecuacinyx1

2, yx

12.

Las reflexiones tambin se pueden representar a travs de la multiplicacin de matrices.

Por ejemplo, para reflejar el pentgono representado por alrededor del ejey, multiplica la matriz por para obtener

Estiramientos y encogimientosUn estiramiento (stretch) vertical por un factor positivo a cambia (x, y) a (x, ay). Si aes menor de 1 (pero an positivo), el estiramiento es un encogimiento (shrink).

Para estirar o encoger una grfica verticalmente por un factor positivo a, sereemplaza cada ocurrencia deycon a

y en la ecuacin de la grfica. Por ejemplo, el

reemplazarycon 2y en la ecuacinf(x) 1x crea un estiramiento vertical por

un factor de 2. sta es la ecuacin de la funcing(x) 2x.

6

6

y

6

x6

3 1 2 1 22 1 0 2 4

3 1 2 1 22 1 0 2 4

1 00 1

1 00 1

3 1 2 1 22 1 0 2 4

6 4 1 2 54 1 2 4 6

3 3 3 3 32 2 2 2 2

3 1 2 1 22 1 0 2 4

6

6

y

6

x6

(continuado)

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Los estiramientos y encogimientos tambin pueden representarse por lamultiplicacin de matrices. Se puede hallar la imagen del pentgono

despus de ser estirado verticalmente por un factor de

13 si multiplica la matriz por la matriz

para obtener

.Problema de resumen

Usa las trasformaciones de la funcinf(x) xpara ajustar los datos en la tabla

anterior tan bien como puedas.Preguntas que podra hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen:

Por qu diferentes translaciones dan el mismo resultado?

Por qu diferentes reflexiones dan el mismo resultado?

Por qu diferentes combinaciones de estiramientos y encogimientos dan elmismo resultado?

Importa el orden en que se hacen las transformaciones?

Puede transformarse otra funcin diferente def(x) xpara ajustar los puntosde datos mejor?

Repuestas ejemplaresPara una recta con ecuaciny a bx, reemplazarxconx h day a bx bh,oy bh a bx. As que una traslacin horizontal por h es lo mismo que unatraslacin vertical porbh. El lgebra tambin muestra que una reflexin de unarecta alrededor del ejexpuede lograrse por una reflexin alrededor del ejey,combinado con una traslacin, y que estirar una recta en una direccin esequivalente a encogerla en la direccin perpendicular. Una funcin no linealprobablemente se ajustar mejor a los datos.

3 1 2 1 2

23

31 0

23

43

3 1 2 1 22 1 0 2 4

1 0

0 13

1 0

0 1

3

3 1 2 1 22 1 0 2 4

Captulo 8 Transformaciones (continuado)

x 1.5 0.7 0.2 0 1 3

y 3.0 1.2 0.8 0.7 0.5 0.3

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Captulo 8 Ejercicios de repaso

Nombre Periodo Fecha

1.(Lecciones 8.1, 8.3, 8.4) Dibuja este tringulo en papel de grficas o en tucalculadora. Luego dibuja la imagen bajo cada una de las siguientestransformaciones. Describe cada transformacin.

a. (x 2,y 1) b. (x, y) c. (x, y) d. (0.5x, 3y)

2.(Lecciones 8.28.4) La grfica de la funcinyx 3 se muestraabajo. Nombra las funciones que dan las siguientes transformaciones dela grfica. Verifica cada contestacin graficndola en tu calculadora.

a. Traslada hacia la derecha 2 unidades.

b. Refleja alrededor del ejeyy traslada 1 unidad hacia arriba.

c. Refleja alrededor del ejex, encoge verticalmente por un factor de 0.5,traslada 1 unidad hacia la izquierda y traslada 3 unidades hacia arriba.

3.(Leccin 8.6) Reduce cada expresin a sus trminos ms bajos. Declaracualquier restriccin sobre la variable.

a.2x2

4x

130x4 b.

2x26

x4x c.

42x(x(x

33)2) d.

6 2x

2x2

5 1

y

6

x10

f(x) |x 3|

5

x5

y

7

7

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2y x 3 Reemplazaycon 0y.5,

2y, para encoger lagrfica verticalmentepor un factor de 0.5.

y 0.5x 3 Resuelve paray.

y 0.5(x 1) 3 Reemplazaxconx 1para trasladar la gr-fica 1 unidad hacia laizquierda.

y 3 0.5x 2 Reemplazaycony 3para trasladar la gr-fica 3 unidades haciaarriba.

y 0.5x 2 3

[4.4, 14.4, 1,6.2, 6.2, 1]

3. a.2x2

4x

13

0x4

5x3, donde x 0

La restriccinx 0 es necesaria porque el valor dex0 hara el denominador de la expresin originalcero.

b.2x2

6

x4x

2x2(x

3

x2)

x

32, donde x 0

La restriccinx 0 es necesaria porque el valor dex0 hara el denominador de la expresin originalcero.

c.42x(x(x

33)2)x

2

x3, dondex 3.

d.6

2x2x2

232

xx2

3

x

x2, donde x 0.

2 2 5 x6

2 2 x3

1. a. Traslada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidadhacia arriba.

b. Refleja alrededor del ejey.

c. Refleja alrededor del ejex.d. Encoge horizontalmente por un factor de 0.5;

estira verticalmente por un factor de 3.

2. a. yx 3 Funcin original.

y(x 2) 3 Reemplazaxconx 2 paratrasladar la grfica 2 unidadeshacia la derecha

yx 5

[9.4, 9.4, 1,6.2, 6.2, 1]

b. y x 3 Funcin original.

y (x) 3 Reemplazaxconxparareflejar la grfica alrededordel ejey.

y 1 x 3 Reemplazaycony 1 paratrasladar la grfica 1 unidadhacia arriba.

y x 3 1

c. y x 3 Funcin original.

y x 3 Reemplazayconypara reflejar alrededordel ejex.

yx 3 Resuelve paray.

5

x5

y

7

7

a

d

b

c

42 Discovering Algebra: Una gua para padres 2007 Key Curriculum Press

SOL UCIONES A L OS EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPTUL O 8

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