Decisiones de Cantidad

Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.

187

CAPTULO VIII

INVENTARIOS Y DECISIONES

DE CANTIDAD

INTRODUCCIN

Por su naturaleza fsica las cantidades de inventario

que en promedio se administren peridicamente afectan

rentabilidad de los negocios y en general de todas las

empresas. La decisin de cunto ordenar tiene un impacto

considerable, y por ello influye directamente en los costos de

los inventarios.

A partir de aqu se comienza a abordar los modelos

matemticos de inventarios, los mismos que presentan como

su mayor fortaleza al hecho de proporcionar la visin del

problema. El ms usado y a la vez la matriz para los

diferentes modelos es el modelo de lote econmico, que

comenz a mostrar su utilidad a comienzos del siglo pasado.

Con el paradigma de manufactura de clase mundial,

surge un punto de quiebre en cuanto a lo que significa la

cantidad de inventario: se busca hoy reducir al mnimo el

nivel en vez de optimizarlo. Sin embargo no se deja de

reconocer que el inventario no es un mal, dado a que en

cualquier escenario de anlisis, adecuados niveles de

inventario sirven como amortiguadores entre departamentos

de una fbrica o simplemente hacen continua la relacin

proveedor-cliente, que es lo mismo que aceptar que

incrementan nuestro nivel de servicio como proveedores.


188

8.1. Modelos estticos de tamao de lote.

a. Lote econmico de pedido. Llamado tambin cantidad econmica a ordenar, se

sustenta en parmetros definidos y de ocurrencia conocida,

tales como que existe un nico artculo en el inventario, la

demanda es uniforme, no existen faltantes, la entrega es

inmediata y todo lo ordenado llega en un solo instante. Sin

embargo, como es de esperarse, no son todas las

situaciones en las cuales los factores relevantes (demanda,

tiempo de envo y costos) se conocen con toda certeza. El

modelo equilibra dos costos opuestos, los costos de orden

y los costos de tenencia. Proporciona el nmero de

unidades a ordenar en cada ocasin que se pida el artculo.

La geometra de este modelo, base para entender los

dems modelos, es el siguiente:

Q

Q/2

T

Tiempo

Niv

el d

e in

vent

ario


189

En cualquier momento el inventario puede representarse por una cantidad tal como Q/2.

Q es la cantidad de artculos que se pide cada vez que tiene lugar un pedido.

El inventario se agota en un tiempo T

Inmediatamente al final del tiempo T se pide y se surte el pedido cuyo tamao es Q

Inicialmente la tasa de consumo es constante y el aprovisionamiento inmediato

Como ya se dijo, existen costos relevantes y estos son

los costos opuestos aludidos lneas arriba, por lo que en el

anlisis se acepta la existencia de un costo total anual

relevante (CTAR), el mismo que se explica como:

CTAR = Costo de adquisicin + costo de manejo = CT

= Costos por preparacin + costos de mantenimiento

= (costo de preparacin)(N de preparaciones) +

(costo de manejo de una unidad)(cantidad promedio

de inventarios)

CTAR = SQ

D + K

2

Q = S

Q

D + kc

2

Q

Donde:

S: Costo de preparacin o de adquisicin de la orden

D: Requerimiento anual del producto (puede trabajarse

unidades de tiempo menor)

Q: Tamao de lote en unidades de medida

D/Q: Nmero de preparaciones o adquisiciones por

periodo

Q/2: Inventario promedio = (QM + Qm)/2

K: Costo de mantenimiento de una unidad en inventario

por periodo = kc


190

c: Costo unitario del artculo

k: Porcentaje de costo por mantener una unidad en

inventario por periodo

Ejemplo. Una distribuidora tiene un artculo con una

demanda anual de 6000 unidades, calculados a partir de

una demanda mensual relativamente constante. Los costos

de preparacin son de S/. 35.00 cada vez que se coloca un

pedido; la tasa de costo de mantenimiento es de S/. 0.16

por sol de inventario por ao (lase 16% de costo de

oportunidad) y el costo unitario es de S/. 2.00. Se pide

tabular los costos por diferentes tamaos de lote.

Tamao de

lote

(Q)

Costos de los

pedidos

SQ

D

Costo de

mantenimiento

K2

Q

Costo

Total (*)

10 21000.00 1.60 21001.60

100 2100.00 16.00 2116.00

500 420.00 80.00 500.00

1000 210.00 160.00 370.00

1500 140.00 240.00 380.00

2000 105.00 320.00 425.00

3000 70.00 480.00 550.00

4000 52.50 640.00 692.50

5000 42.00 800.00 842.00

6000 35.00 960.00 995.00

(*) Podra agregrsele el costo del producto, pero este es

un costo ineludible y fijo a la vez, por lo tanto es un costo

no relevante.


191

Del cuadro se nota que el costo total mnimo ocurre

cuando el tamao de lote flucta entre 1000 y 1500

unidades, y adems cuando los costos parciales se

aproximan a igual valor. Con este razonamiento

desarrollamos la frmula de tamao econmico de lote.

K2

Q = ck

2

Q Q

2 =

ck

DS2

Q* = ck

DS2, donde las variables del radical son las

explicadas anteriormente.

A la frmula de Q* se le llama tamao econmico de lote,

que aplicado a nuestro caso da:

Q* = 216.0

3560002

x

xx= 1145.64, que deriva en un costo

total mnimo tal como:

CTAR = CT* = 1146

600035x+

2

1146216.0 xx = S/. 366.61

Anlisis de sensibilidad:

Se puede sensibilizar este costo (qu variacin porcentual

sufre el costo mnimo ante variaciones porcentuales del

tamao econmico de lote) utilizando la relacin CT/CT*,

como una funcin de Q/Q*.


192

*CT

CT=

2

*

*

2

kcQ

Q

SD

kcQ

Q

SD

= 2

1

*

*

Q

Q

Q

Q

Ejemplo. Con los datos del ejercicio anterior se pide

calcular en qu porcentaje vara el costo ptimo si se

decide pedir 12% ms que el tamao de lote econmico.

Es decir, Q = 1.12Q*, entonces al aplicar la frmula se

tiene

*CT

CT=

2

1

*

*12.1

*12.1

*

Q

Q

Q

Q= 1.0064, es decir 0.64%

ms.

Se deja para el lector calcular a cunto dinero

corresponde esta variacin!

b. Tamao de lote econmico en dinero. Proporciona el valor ptimo de tamao de lote y es til

cuando se desarrolla y aplica un modelo para determinar el

tamao de lote de costo mnimo de un grupo de artculos.

Sea A el requerimiento en dinero para un ao de

demanda y QS/. el tamao de lote en dinero, entonces con

la misma lgica anterior tenemos:

CT = S./SQ

A+ k

2

./SQ, de donde si derivamos CT respecto

de QS/. e igualamos a cero esta primera derivada (lo mismo

que igualar costos como en el caso anterior), tenemos:


193

QS/. = k

AS2

Ejemplo. Utilice los datos del ejercicio anterior para

calcular QS/.

A = (6000 unidades)(S/. 2.00/unidad) = S/. 12000

QS/. = 16.0

35120002 xx= S/. 2291.29, es el valor de cada

lote econmico.

De la misma forma, se puede utilizar los resultados

hasta hoy calculados para encontrar otras variables

referenciales con estos dos modelos expuestos.

NPA = D/Q* y TEP = 1/NPA = Q*/D, donde

NPA: Nmero de pedidos al ao

TEP: Tiempo entre pedidos

Ejemplo. Si Q* = 1146 y D = 6000 unidades al ao.

NPA = 6000/1146 = 5.24 pedidos al ao

TEP = 0.191 aos entre pedidos. Si se toma el nmero de

das de programacin en la empresa, se puede aproximar

este resultado a das; por ejemplo si se trabaja con 300

das al ao el tiempo entre pedidos debe ser 57 das

(0.191x300).

c. Lote econmico de produccin. Si se produce en la empresa ocurre tambin el dilema de

cunto es el lote de produccin que garantiza los


194

menores costos de los inventarios?. En esta perspectiva se

tiene que en un momento del tiempo ocurren dos cosas

evidentes: por un lado se esta vendiendo y por el otro se

est produciendo, es decir, estamos ante dos tasas que son

el de demanda y el de produccin. Se dice que el

inventario ingresa en forma gradual sobre una base diaria

durante una gran parte del periodo de consumo, entonces

el nivel de inventario nunca llegar al nivel tan alto como

el nivel del lote.

La geometra de este modelo, indicando las variables

involucradas, se explica a continuacin:

Unidades de

inventario

Q

Qm

tp

tc

Donde:

tp : Tiempo de produccin o abastecimiento

tc : Tiempo de consuno

Q : Lote de produccin

Qm : Tamao de lote mximo disponible

p : Velocidad a la cual se produce un artculo = Q/tp

d : Velocidad a la cual se consume el inventario = Q/tc


195

p = Q/tp; d = Q/tc tp = Q/p y tc = Q/d

p y d se expresan en unidades para el mismo periodo de

tiempo, de preferencia unidades por da.

El inventario promedio no es la mitad del tamao de lote

Q/2, sino Qm/2.

pc

m

c tt

Q

t

Q

d

Q

p

Q

d

QQ

t

ttQQ

c

pcm

)(

)1(p

dQQm , de donde )1(

22 p

dQQm

A partir de ello y con el razonamiento conocido, se

tiene que el costo total relevante anual puede expresarse

as:

kcp

dQ

Q

DSCT )1(

2 , y el tamao econmico de lote

de produccin queda como:

)1(

2*

p

dkc

DSQ

Ejemplo. Los datos referentes a la produccin, demanda y

otros costos de inventarios para el artculo lpiz de

carboncillo, en la fbrica Utilitarios de Oficina es 50000

unidades de demanda al ao; se incurre en un costo de S/.

45.00 por cada orden de produccin efectiva liberada; los


196

datos histricos indican que S/. 0.30 por unidad ao es una

buena aproximacin para el costo de almacenamiento; el

costo unitario de produccin es S/. 0.20 por unidad; se

produce a una tasa de 800 unidades por jornada de 8 horas

y se trabaja seis das a la semana durante cincuenta y dos

semanas al ao. Con estos datos se pide calcular el tamao

ptimo de lote de produccin.

p = 800x6x52 = 249600 unidades por ao

D = 50000 unidades al ao

S = S/. 45.00

k = S/. 0.30 por unidad-ao

c = S/. 0.20 por unidad

Note que D podra expresarse como 160.23

(50000/(6x52)) y p expresarse como 800 (en ambos casos

se trata de tasas diarias). Nosotros utilizaremos 50000 y

249600 para D = d y p, respectivamente.

Q* =

)249600

500001(20.030.0

45500002

x

xx = 9684.40 unidades, que

es la cantidad de orden de produccin de costo mnimo.

En la decisin, resulta de orden prctico considerar la

exactitud de la respuesta (tal como en el lote de compra).

Puede resultar ms aparente ordenar un lote de 9600,

9700, o quin sabe 10000, siempre y cuando el incremento

de los costos sea relativamente pequeo para justificar la

decisin. Recuerde la sensibilidad del modelo.

Este modelo tiene tres supuestos bsicos:


197

1. El aprovisionamiento de materias primas no entorpece la tasa de produccin.

2. La tasa de produccin por la misma unidad de tiempo, es mayor que la tasa de consumo. Resulta tcito el

concepto de capacidad de produccin mayor a la tasa

utilizada.

3. Aun cuando los faltantes tienen posibilidades de ocurrir, estos no son tomados en cuenta para el

desarrollo del modelo.

d. Lote de produccin con faltantes.

Una extensin del modelo anterior desarrolla SIPPER y

BULFIN en Planeacin y Control de la Produccin (Mc

Graw Hill; Mxico 1998), pginas 235 al 238. Se

introducen dos variables cuya cuantificacin resulta, sino

difcil, de encuestas y estadsticas costosas, y hasta de

subjetivas apreciaciones. Se reproducen las frmulas

segn la fuente aludida.

)/1(2)1(2

)1(2

2

D

b

QQ

bD

DQ

bD

Qh

Q

ADcDCT

Q* =

h

hh

D

Dh

AD

)(

)(

)1(

2 2

b* = )(

)1)(*(

h

DDhQ


198

Donde:

CT: Costo total anual del inventario (note que incluye el

costo de la demanda)

Q*: Cantidad econmica a producir

b* :Mximo nivel de faltantes ptimo

A: Costo por preparacin

D: Demanda anual por el artculo

h: Costo anual de mantenimiento por unidad-ao = ck

: Tasa de fabricacin : Prdida de buena voluntad o sancin ejercida por el

cliente ante los faltantes. Puede asociarse al nivel de

servicio

: Sancin o costo penal del faltante. En muchas transacciones se requiere especificar que la

discontinuidad en el aprovisionamiento se castigar

con cargo al proveedor.

c: Costo unitario de produccin

k: tasa de almacenamiento o costo de oportunidad

e. Lote econmico de pedido con escasez

Los supuestos de este modelo son:

- Los pedidos pendientes o unidades sin atender oportunamente originan trabajo extra e insatisfaccin

de los clientes. A los pedidos pendientes se les puede

asignar un costo tal como S/. por unidad por ao. - Los pedidos pendientes representan inventario negativo

y deseamos conocer cuntos pedidos pendientes

estamos dispuestos a aceptar al ao. Asumamos que se

permite B pendientes por ao, por lo que el promedio

de pedidos pendientes al ao ser B/2.

- El inventario promedio, considerando faltantes, resulta

entonces 2

)( BQ ,


199

- El inventario mximo en cada ciclo es M = Q-B.

- La relacin entre variables es: Q

BQ )( , que es el

tiempo en que hay inventario positivo durante cada

ciclo; B/Q es la parte del ciclo en la que existe una

posicin de pedidos pendientes.

- La decisin para este modelo conduce a responder dos preguntas: 1) Qu cantidad de pedido deber hacerse?.

2) Cuntos pedidos pendientes debe permitirse por

ciclo?

Luego, el costo total relevante debe reflejar el costo

estimado para los pedidos pendientes, adems de los

costos ya conocidos..

CT = BQCTARQ

DS

Q

BB

Q

BQck

BQ,

22

CT (Q,B) = Q

DS

Q

Bck

Q

BQ

22

22

Desarrollando derivadas parciales respecto a B y Q, se

obtiene los pedidos pendientes por ciclo y el tamao

econmico de pedido.

ck

ckQB*

ck

ck

DSQ

2*

Ejemplo. Simplificando la situacin, se tiene que D =

10000 unidades al ao; S = S/. 500.00 cada vez que se

hace un pedido; c = S/. 10.00 por unidad de artculo; k =


200

0.30 (30% anual del precio del artculo); = S/. 20.00 por unidad al ao (variable de particular cuantificacin). Se

desea calcular el lote econmico, el mximo de faltantes y

el inventario mximo.

Q* =

20

2030.010

30.010

500100002 x

x

xx= 1958 unidades.

B* = 255201030.0

1030.01958

x

xunidades

M = 1958 255 = 1703 unidades

La sensibilidad de este modelo se puede efectuar

variando los valores de preparacin, la tasa de

almacenamiento, incluso el mismo costo penal, variables

que influyen directamente en el tamao de lote. Advierta

que a menor tamao de lote, se tendr menores faltantes,

que afectan positivamente el nivel de servicio de la

empresa

f. Lote econmico con descuentos en el precio.

Resulta fcil darse cuenta que muchas veces para los

proveedores o para las mismas empresas clientes, deviene

en beneficio la transaccin de grandes cantidades de

productos. En el caso de los proveedores debido a que con

ello ligan a sus clientes y obtienen mayores ganancias por

volumen colocado, ofertan rebajas en los precios si los

volmenes de compra sobrepasan ciertas cantidades;

mientras que por el lado de los compradores, stos podran

obtener beneficios en el precio al comprar en grandes

cantidades y con ello ahorrar desembolsos por preparacin

de pedidos y asegurar la lnea de produccin por el lado de


201

las materias primas. Aqu el precio de compra es tambin

un costo relevante.

Sin embargo, no se garantiza que las cantidades que

derivan en los descuentos mencionados, sean coincidentes

con los lotes econmicos que se hayan calculado para los

pedidos, de all que es necesario otra extensin del lote

econmico. Adicionalmente, una proyeccin en el

incremento de la demanda podra ocasionar este beneficio

directo para el cliente. Se calcula nuevo lote econmico de

compra y si ste califica en el rango donde por volumen de

compra se obtiene rebajas en el precio, entonces no existe

problema aparente para manejar la situacin.

Dos son las polticas mas frecuentes en los descuentos

por cantidades:

1. Descuento en todas las unidades

Ejemplo.

Cantidad del pedido Costo unitario (S/.)

0 a 119 5.50

120 a 239 5.00

240 a 319 4.50

320 o ms 3.50

2. Descuento incremental

Ejemplo.


202

Cantidad del pedido Costo unitario (S/.)

0 a 119 5.50

120 a 239

por las primeras 119, 5.00 por las siguientes 120

240 a 319

5.50 por las primeras 119, 5.00

por las siguientes 120,

4.50 por las siguientes 80

320 o ms

5.50 por las primeras 119, 5.00

por las siguientes 120,

4.50 por las siguientes 80,

3.50 por el resto

Ejemplo. Cunto es el costo del producto para un lote de

pedido de 260 unidades. Utilice las dos polticas

expuestas.

Ca = (260 unidades)(4.50 S/./unidad) = S/. 1170.00

Cb = (119x5.50) + (120x5.00) + (21x4.50) = S/. 1349.00

Si el precio de compra (p) es un costo relevante, entonces

la expresin de costo queda como:

CT = 2

Qkp

Q

DSpD

Ejemplo. Se tienen los datos referidos a descuentos por

cantidad de compra para cierto artculo tal como: Si Q <

1000, entonces p = S/.12.00; si 1000 Q < 4000, entonces p = S/. 10.00; si Q 4000, entonces p = S/.8.00. Se sabe adems que la demanda anual es 10000 unidades, el costo

de hacer un pedido S/. 500.00 y el costo de mantenimiento

del inventario es 30% del costo del artculo al ao.


203

Con esta informacin se pide calcular el lote econmico

de compra.

67.1666123.0

500100002*

1

x

xxQ

103.0

500100002*

2 x

xxQ = 1825.74

83.0

500100002*

3 x

xxQ = 2041.24

Aplicando la ecuacin de costo total que incluye el precio

como costo relevante:

00.126000./67.1666

10000500

2

67.1666123.01000012

1SxxCT

23.105477./74.1825

10000500

2

74.1825103.01000010

2SxxCT

98.84898./24.2041

10000500

2

24.204183.0100008

3SxxCT

Anlisis de la situacin:

Q*

1 no es aplicable dado que para 1667 unidades de

pedido es preferible aplicar p = S/.10.00

Q*

3 tampoco resulta de aplicacin aun cuando

proporciona el menor costo, debido a que 2041

unidades no corresponde al intervalo que contiene al

precio p = S/. 8.00


204

Q*

2 = 1825.74 resulta de aplicacin ya que la cantidad

corresponde al segundo intervalo donde se obtiene el

beneficio de p = S/.10.00.

Podra obtenerse aparentes beneficios si sucesivamente disminuimos el precio, pero no es ese el caso.

Puede tambin sensibilizarse las condiciones de descuento si calculamos Q* con cantidades intermedias

de lotes de compra.

Q

pD SQ

D kc

2

Q

CT

(S/.)

800 120000.00 6250.00 1440.00 127690.00

1000 100000.00 5000.00 1500.00 106500.00

1667 100000.00 2999.40 2500.50 105499.90

1826 100000.00 2738.23 2739.00 105477.23

2000 100000.00 2500.00 3000.00 105500.00

2041 100000.00 2449.78 3061.50 105511.28

3000 100000.00 1666.67 4500.00 106166.67

4000 80000.00 1250.00 4800.00 86050.00

4800 80000.00 1041.67 5760.00 86801.67

Evidentemente el tamao de lote de menor costo total

es un lote de 4000 unidades cada vez que se haga un

pedido. Sin embargo la conclusin o decisin final pasa

por cuestiones de liquidez, espacios para almacenamiento,

tasas de utilizacin o demanda, y durabilidad del artculo

en condiciones de almacenamiento.

g. Lote econmico con varios productos.

Este es un escenario frecuente ya en negocios de compra-

venta y en negocios de compra-transformacin-venta.

Aqu cada uno de los productos presenta particularidad en

cuanto a demanda, actividades de preparacin y


205

obviamente en costos. Sin embargo se da algunos

elementos comunes, como que se acepta que existe un

costo mnimo de colocar una orden y cada uno de ellos,

por lo general pertenecen a una familia de productos (por

presentacin, por proveedor o por otra consideracin

valedera).

Tambin es cierto que al tratarse de diferentes

artculos las unidades de medida correspondientes no

necesariamente tienen que coincidir, y este inconveniente

se soluciona convirtiendo todas las demandas a unidades

monetarias.

Por lo dems, el tamao total econmico se deriva

como en el caso de un nico artculo. Formalmente el

tamao de lote econmico conjunto, en dinero, se expresa

como.

k

AsS iQ

S

)(2*

./

, donde:

S: Costo de colocar una orden

si: Costo marginal de agregar el artculo al pedido

conjunto

A: Demanda de los artculos, expresado en dinero

k: Tasa de mantenimiento de inventarios

Luego de analizar la situacin y evaluar la frmula de

lote econmico, nos damos cuenta de que existe la

posibilidad de una planeacin comn principal tratando de

compartir algn costo fijo.

A partir del lote conjunto, se calcula los lotes

individuales como una asignacin porcentual de la


206

demanda, y a partir de ello, dividiendo entre el costo

unitario correspondiente se encuentra la cantidad en

unidades de medida, segn las frmulas siguientes,

respectivamente.

QQSiS A

a i *

./

*

./

i

iS

i c

QQ

*

./*

Ejemplo. Los datos siguientes corresponden a la

mercadera que una tienda mayorista de abarrotes de la

localidad solicita a uno de sus proveedores de la ciudad de

lima desde hace cuatro aos y cinco meses, con marcada

frecuencia, y se han generado luego de un paciente estudio

de costos incurridos en cada pedido y de revisar los

volmenes anuales comprados en el periodo aludido (los

precios han sufrido menos de 15% de incremento, y se da

el precio actual). Se pide calcular el lote conjunto

econmico de pedido y los lotes individuales, si el costo

fijo de hacer un pedido es en promedio S/. 33.00 y el costo

de capital inmovilizado, valor moderado, es de 20% anual.

Artculo

Unidad

de

medida

Demanda

anual

(unidad de

medida)

Costo

unitario

(S/.)

ci

Demanda

anual (S/.)

ai

Costo de

pedido

individual

(S/.)

si

Aceite

vegetal

Cajas

por 12

litros

2860

40.83

116773.80

3.50

Avena

Bolsa

por 08

kilos

2632

52.31

137679.92

3.00

Fideos y

pastas

Kg.

3500

2.15

7525.00

1.00

Leche

evaporada

Caja

por 24

latas

1650

36.00

59400.00

5.00

TOTAL 321378.72 12.50


207

45.12092./20.0

)72.321378)(50.1233(2*

./SQ

S

Es decir, cada pedido conjunto que se haga deber ser por

un valor igual o cercano a S/. 12092.45. Enseguida se

calcula los lotes individuales y su correspondiente

equivalente en unidades de medida.

Articulo

QQS

i

is A

a *

./

*

./

i

iS

i c

QQ

*

./*

Aceite 4393.82 107.61 cajas

Avena 5180.45 99.03 bolsas

Fideos 283.14 131.69 kilogramos

Leche 2235.04 62.08 cajas

Total 12092.45

Consideraciones de orden prctico:

La cantidad de orden debe ser un nmero de orden prctico

Por lo general debe redondearse a un mltiplo de 5 de 10, excepto para artculos individuales de presentacin

en docenas.

El nmero de ciclos por ao o nmero de pedidos por ao

es N = 58.2645.12092

72.321378*

./

QS

A, y el tiempo que

transcurre entre pedidos o intervalo ptimo es el inverso

de N, es decir, 0.038 aos.


208

Los costos de hacer pedidos y de manejo de los

inventarios al ao, son respectivamente:

26.58(33+12.50) = S/. 1209.39

y 0.20 2

45.12092 S/. 1209.25

Puede comprobarse estos costos utilizando el

razonamiento de lote econmico de pedido para un solo

artculo.

Aceite: 74.411./58.2650.300.3372.321378

80.116773S

Avena: 51.455./58.2600.300.3372.321378

92.137679S

Fideos: 12.47./58.2600.100.3372.321378

00.7525S

Leche: 02.295./58.2600.500.3372.321378

00.59400S

Las cantidades precedentes corresponden a los costos de

preparacin, cuya sumatoria proporciona un costo total por

este concepto equivalente a S/. 1209.39

Los costos de manejo de inventarios son:

Aceite: 38.439./)20.0(2

82.4393S

Avena: 05.518./)20.0(2

45.5180S


209

Fideos: 31.28./)20.0(2

14.283S

Leche: 50.223./)20.0(2

04.2235S

La sumatoria de estos costos parciales da S/. 1209.24, que

difiere en un cntimo respecto de la cantidad total

calculada inicialmente.

h. Lote econmico para igualar el agotamiento.

Si la situacin es estrictamente determinista (tem g de

este apartado), todos los artculos comprados son

coincidentes en el punto de orden, es decir, los porcentajes

de demanda son estables. Pero, estos porcentajes de

demanda de los diferentes artculos realmente varan da a

da y se presentan otras razones que hacen valedera esta

suposicin, de tal forma que no podemos esperar que

todos los artculos del anterior pedido conjunto, se acaben

a la vez. Se hace necesario tomar precauciones para

administrar la realidad, y ello se lleva a cabo considerando

el impacto de la demanda variable sobre el tamao de los

lotes. Note que la demanda variable es el trmino amplio,

ya que cualquier otra razn de demora o aceleramiento en

la tasa de consumo, puede considerarse como alteracin

en la demanda.

En realidad de lo que se trata es de aceptar que, de un

lote comprado en conjunto puede agotase uno de los

artculos primero, luego otro artculo y as sucesivamente,

y que el objetivo de este modelo es que el inventario de

artculos alcance de nuevo su equilibrio para lograr un

abastecimiento en tiempos iguales. Esto se logra al

ordenar el lote econmico de compra de cada artculo,

despus de ajustarla por la diferencia entre el punto de


210

orden esperado y su inventario disponible cuando se

coloca la nueva orden conjunta (FOGARTTY-

BLACKSTONE-HOFFMANN; Administracin de la

produccin e Inventarios; CECSA-Mxico 1995).

La siguiente figura ilustra la afirmacin cuando uno

de los artculos llega al punto de orden (t) antes que otro.

Qi: Tamao de pedido del

Primer artculo

PO Inventario remanente

PO: Punto de orden

(t)

Qi Tamao de pedido para el

PO segundo artculo

Nivel de faltante permitido

QiS /

iSiSS

iI

A

aIQ ././

*

./))((

QiS /

iSiSS

iI

D

dIQ ././

*

./))((

:./I iS Inventario en dinero del artculo i cuando se

adelanta el pedido.

di: Tasa de utilizacin diaria, demanda, porcentaje del

artculo i.

D = di


211

Si D = A/n y di = ai/n, donde n son los das de trabajo

al ao, que para este caso consideraremos 288 (12x24)

entonces se tiene la relacin

A

a

D

d ii , Relacin que permite mantener constancia entre

valores parciales por artculo y valores agregados, adems

que es necesario para completar la informacin para el

siguiente ejercicio.

Ejemplo. Para los datos del ejercicio anterior, se va a

completar segn la relacin de demanda diaria (di), los

lotes individuales en dinero y una nueva variable, el punto

de orden. Se advierte que uno de los cuatro artculos toca

su PO antes que el resto del grupo, y que este valor PO se

determina segn la demanda de ocho das de trabajo.

Artculo

Utilizacin

diaria

(di)

Cantidad

econmica

de pedido

(S/.)

Punto de

orden

(S/.)

Cantidad

disponible

(IS/.i)

Aceite 405.46 4393.82 3243.68 3900.00

Avena 478.05 5180.45 3824.40 4206.84

Fideos 26.13 283.14 209.04 209.04

Leche 206.25 2235.04 1650.00 1700.00

1115.89 12092.45 8927.12 10015.88

El producto Fideos alcanza primero su PO (condicin

bsica es que PO sea igual o mayor que la cantidad

disponible). Luego, las cantidades parciales a ordenar son:

09.413300.3900)88.1001545.12092)(89.1115

46.405(

*

/,Q

aceiteS


212

42.526484.4206)88.1001545.12092)(89.1115

05.478(

*

/,Q

avenaS

65.30804.209)88.1001545.12092)(89.1115

13.26(

*

/,Q

fideosS

28.238600.1700)88.1001545.12092)(89.1115

25.206(

*

/,Q

lecheS

Cantidades que al ser divididas entre los precios (ci) nos

dan 101.23, 100.64, 143.56 y 66.28 unidades de medida

para aceite, avena, fideos y leche respectivamente.

Interesa ahora conocer cuntos das de demanda cubrirn

en forma conjunta el inventario disponible a la fecha ms

el pedido nuevo calculado. Ello se logra dividiendo esa

suma entre la tasa de demanda diaria, es decir,

i

isisi

d

QIt

././ . Por ejemplo para el producto aceite los

das de demanda a cubrir, a partir de la fecha, ser 19.81

das: (4133.09+3900)/405.46

Artculo Q iS*

./

di

IS/.i

ti

Aceite 4133.09 405.46 3900.00 19.81

Avena 5264.42 478.05 4206.84 19.81

Fideos 308.65 26.13 209.04 19.81

Leche 2386.28 206.25 1700.00 19.81

12092.44 1115.89 10015.88

A partir de hoy, se asegura cubrir el ritmo de demanda

global equivalente a 19.81 das, y adems el tamao de

lote calculado anteriormente contina en S/. 12092.45.


213

8.2. Modelos dinmicos de tamao de lote

Estos modelos surgen cuando la demanda se torna

variable, en contraposicin a los de modelos estticos. Son

cuatro los enfoques para enfrentar escenarios de demanda

variable: reglas simples, mtodos heursticos, regla de

optimizacin de la demanda irregular y el algoritmo de

Peterson-Silver. De ellos los de mayor utilizacin son los dos

primeros, de los cuales nos pasamos a ocupar enseguida.

a. Reglas simples

a.1. Demanda de periodo fijo (DPF)

Se utiliza cuando se requiere inventarios para los

siguientes periodos de demanda, pero en el corto plazo (a

lo ms para tres meses). Se trabaja sobre la base de

pronsticos y se puede utilizar das o semanas en lugar

de meses y se refiere a un solo artculo, por lo tanto se

basa en la cantidad a pedir.

Ejemplo. Si la demanda por un artculo presenta

uniformidad a lo largo de las prximas seis semanas, e

igual a 18 unidades semanales, y si el periodo fijo es

cuatro semanas, entonces la cantidad a ordenar ser 72

(18x4). Otro escenario: si el pronstico de demanda

semanal se presenta segn 15, 16, 19, 14, 20 y 18, se

ordenarn 64 unidades si se ha elegido el periodo fijo de

cuatro semanas, o 102 si este periodo fijo es de seis

semanas.

Demanda Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Sem 6

Constante 18 18 18 18 18 18

Variable 15 16 19 14 20 18


214

a.2. Cantidad de orden para el periodo (COP)

Se comienza definiendo una cantidad de pedido que

armonice la demanda promedio por periodo y el nmero

de periodos definido como fijo. De la demanda variable

del cuadro anterior se deduce que la demanda semanal

promedio es 17 (102/6), y si el periodo fijo seleccionado

es tres semanas, entonces la cantidad a ordenar deber

ser 51 unidades o 68 unidades si ese periodo es cuatro

semanas.

a.3. Lote por lote (LxL)

La cantidad a ordenar es siempre la demanda

pronosticada para el periodo inmediato. De los datos

anteriores se tiene que las cantidades semanales a pedir

sern 15, 16, 19 y as sucesivamente si el periodo fijo es

una semana y los lotes a pedir sern 31, 33 y 38 si los

periodos fijos son quincenas.

b. Mtodos heursticos

Como es sabido, estos mtodos se usan cuando a partir de

otros procedimientos de clculo no es posible obtener

soluciones ptimas

b.1. Mtodo Silver-Meal

Consiste en lograr el costo promedio mnimo por periodo

de los costos relevantes para el lapso de m periodos,

sobre un horizonte de planeacin de n periodos. Se trata

de minimizar el costo de los pedidos (S) y el de

mantenimiento de los inventarios (kc). El procedimiento

es el siguiente:


215

Sea D1, D2, ..., Dn la demanda para n periodos y K(m) el costo variable promedio por periodo si la ltima orden

cubre m periodos. Note que n > m.

Se acepta la convencin de fin de ciclo, es decir, el costo de mantener inventarios ocurre al final del

periodo y que dicha cantidad se comienza a utilizar al

comienzo del mismo.

Si se ordena D1 para el periodo 1, entonces este costo se expresa como K(1) = S. Si la orden en el periodo1 es el

equivalente a D1 + D2, se obtiene el siguiente costo

K(2) = (1/2)(S + kcD2), y si el pedido es suficiente para

cubrir la demanda de tres periodos, el costo se

transforma en (1/3)(S + kcD2 + 2kcD3). Note el costo

marginal de guardar una unidad de inventario un

periodo adicional.

Luego, la frmula general expresarse como

))1(...2)(1

()( 32 mkcDmkcDkcDSm

mK

La iteracin se lleva a cabo segn la siguiente lgica:

Se calculan los costos hasta K(m) y se detiene cuando

K(m+1) > K(m), apenas cuando el costo promedio por

periodo comienza a crecer. Para el periodo 1 la orden

cumple con la demanda de los siguientes m periodos.

Q1 = D1 + D2 + ... + Dm. Si no se emite la orden en el

periodo i, entonces Q1 es cero, se repite el proceso para

el periodo (m + 1) y contina durante todo el horizonte

de planeacin.

Ejemplo. Con los datos de demanda variable

proporcionados anteriormente, conociendo que el costo de

cada unidad de artculo es S/. 12.00, que la tasa de

mantenimiento es 40% anual (porcentaje elevado por

tratarse de un artculo cuyo almacenaje requiere

condiciones especiales) y que el costo de colocar una


216

orden es de S/. 30.00, se requiere calcular los lotes

parciales de compra.

Semana 1 2 3 4 5 6

Demanda

variable

15

16

19

14

20

18

Para m = 1:

K(1) = 30.00

Para m = 2:

K(2) = (1/2)(30 + 4.8x16) = 53.40

Como 53.40 > 30.00 el procedimiento se detiene, la

primera cantidad a pedir es Q1 = 15

Se recomienza el procedimiento en el mes dos (m = 1)

Para m = 1:

K(1) = 30.00

Para m = 2:

K(2) = (1/2)(30 + 4.8x19) = 60.60

Como 60.60 > 30.00 el procedimiento se detiene, la

segunda cantidad a pedir es Q2 = 16

Se recomienza el procedimiento en el mes tres (m = 1)

Para m = 1:

K(1) = 30.00

Para m = 2:

K(2) = (1/2)(30 + 4.8x14) = 48.60

Nuevamente el procedimiento se detiene y la tercera orden

es Q3 = 19

Con las consideraciones anteriores:


217

K(1) = 30.00 y K(2) = (1/2)(30 + 4.8x20) = 63.00, por lo

que existe un a cuarta orden Q4 = 14

K(1) = 30.00 y K(2) = (1/2)(30 + 4.8x18) = 58.20, por lo

que existe una quinta orden Q5 = 20

Como no existe mayor informacin, el proceso de clculo

se detiene y existe un sexto pedido Q6 = 18 unidades del

artculo.

La magnitud del costo de preparacin y la

distribucin de la demanda en el horizonte de

planeacin, no permite un pedido conjunto que rena

la demanda de ms de un periodo!

Por ejemplo Q2 = D2 + D3 + D4 = 49 unidades, u otro

arreglo similar.

b.2. Costo unitario mnimo (CUM)

En vez del costo variable por periodo, se analiza el costo

variable promedio por unidad que cubre m periodos de

demanda (K(m)).

Si el lote cubre un periodo de demanda, K(1) = S/D1;

si cubre dos periodos, K(2) = 21

2

DD

kcDS

; y si cubre

tres periodos, K(3) = 321

32 2

DDD

kcDkcDS

; y as

sucesivamente.

Luego: K(m) = m

m

DDD

kcDmkcDkcDS

...

)1(...2

21

32


218

La regla de decisin es detenerse cuando K(m+1) > K(m) y Q1 = D1 + D2 +...+Dm, para repetir el proceso a partir del periodo (m + 1)

Ejemplo. Con los datos de demanda variable anterior y

conociendo S = S/. 30.00; k = 40% anual; c = S/. 12.00,

usando este mtodo, se tiene.

Para m = 1:

K(1) = 30/15 = 2.00

Para m = 2:

K(2) = 44.31615

168.430

x

Como 3.44 > 2.00, entonces el primer lote es Q1 = 15

Para m = 1 (periodo 2):

K(1) = 30/16 = 1.88

Para m = 2:

K(2) = 46.31916

198.430

x

Como 3.46 > 1.88, entonces el segundo lote es Q2 = 16


K(1) = 30/19 = 1.58

Para m = 2:

K(2) = 95.21419

148.430

x

Como 2.95 > 1.88, entonces el tercer lote es Q3 = 19


K(1) = 30/14 = 2.14


219

Para m = 2:

K(2) = 71.32014

208.430

x

Como 3.71 > 2.14, entonces el cuarto lote es Q4 = 14


K(1) = 30/20 = 1050

Para m = 2:

K(2) = 06.31820

188.430

x

Como 3.71 > 2.14, entonces el quinto lote es Q5 = 20

Y luego, por lgica el sexto lote a solicitar deber ser Q6 =

18

Extensin del ejercicio: Si los resultados de la primera

iteracin, cuando m = 1 corresponde al periodo 1, hubieran

sido K(1) = 3.10; K(2) = 3.02; K(3) = 2.95 y K(4) = 3.00, las comparaciones hubiesen sido:

3.02 < 3.10 Continuar

2.95 < 3.02 Continuar

3.00 > 2.95 Detener el proceso y realizar

un primer pedido Q1 = 15 + 16 + 19 = 50

Se vuelve al proceso con m = 1 que corresponde al periodo

4, y as sucesivamente.

Se dijo que tamaos de lote dinmico se usan para

demanda irregular. Aqu surge la interrogante de cmo

calificar una serie de tiempo de demanda como irregular o

regular. Peterson y Silver, en 1979, (Sipper y Bulfin:


220

Planeacin y control de la Produccin; Mc Graw Hill;

Mxico; 1998) plantean una regla simple para identificar

la demanda como irregular o no. Sea V es la variabilidad

de la demanda,

1

2

2

D

D

t

tn

V , donde Dt es la demanda pronosticada

para el periodo y n es el horizonte de planeacin; el

numerador es la varianza de la demanda por periodo; el

denominador es el cuadrado de la demanda promedio por

periodo y la regla de decisin o prueba de irregularidad se

basa en:

Si V < 0.25, utilizar el modelo de tamao econmico de

lote con

D como la demanda promedio y n

D = D =

Di como la demanda para el periodo de planeacin. Si V 0.25, utilizar los modelos de tamao de lote

dinmico.

Ejemplo. Verifique la irregularidad de la demanda para

los ejercicios correspondiente a tamaos de lotes

dinmico, de reglas simples y mtodos heursticos.

Semana 1 2 3 4 5 6

Demanda

variable

15

16

19

14

20

18

1

2

2

D

D

t

tn

V

016.01)182014191615(

(62

222222

182014191615


221

Con V = 0.016 y segn la regla de decisin los casos

aludidos debieron haberse tratado con la frmula de lote

econmico de compra. Ello explica por qu en cada caso

el lote de compra no acumulaba ms de un periodo, es

decir, Q1 = D1, Q2 = D2, sucesivamente.


222

PREGUNTAS Y EJERCICIOS

1. Con una demanda anual de 2000 unidades, costos de

preparacin de S/. 250.00, costos de mantener inventarios

de S/. 8.00 por unidad al ao y costos de pena convencional

por pedidos pendientes de S/. 24.00 al ao. Cul es el

tiempo ptimo entre pedidos? Utilice un ao de 250 das y

especifique el tiempo en das.

2. Explique la particularidad de la frmula del reabastecimiento conjunto. Luego explique la lgica para

determinar los tamaos de lotes independientes

3. Una compaa ordena dos artculos. El artculo 1 cuesta

$10 y tiene una demanda anual de 100 unidades y un costo

de ordenar de $40. El artculo 2 cuesta $40 y tiene una

demanda anual de 180 y costos de ordenar de $20. La tasa

por mantener un inventario es 20% al ao. El espacio de

almacn para los dos artculos est limitado y, como son

del mismo tamao, no puede haber ms de 40 unidades en

total en inventario en ningn momento. Adems, el valor

total del inventario debe estar dentro de un presupuesto de

$400 en todo momento. Qu cantidades a ordenar

recomendara?.

4. Usted es el gerente de compras de una fbrica de zapatos

que tiene una lnea de botas. Se compra los remaches para

las botas a distintos proveedores. La demanda es 30000

pares de remaches al ao y no se permiten faltantes. Se ha

determinado que emitir una orden cuesta S/.100.00 y que

el costo de mantener el inventario es de 35% anual. Su

principal proveedor tiene el siguiente plan de descuento en

todas las unidades:


223

Cantidad Precio (S/. por par)

Q < 1000 1.00

1000 Q < 3000 0.98 3000 Q < 5000 0.96 5000 Q < 0.94

a. Calcule Q* b. Se altera Q* si en todos los rangos se obtiene un

descuento de 5%?

5. La empresa ABC tiene un contrato con el cliente DEF por

150000 rodamientos por ao. La ABC ordena a un

proveedor el metal para los rodamientos en lotes de 40000

unidades. Cuesta $40.00 colocar un pedido, y los costos de

manejo se calculan en 20% del costo del producto, $0.15.

La ABC desea conocer el porcentaje de variacin de la

cantidad pedida con respecto a la ptima y cunto les

cuesta esta variacin, si es que les cuesta

6. El modelo Q* supone una tasa de demanda conocida y constante. Si se observa D menor que D, diga de qu manera afecta esta situacin al costo anual de

mantenimiento, al nmero de pedidos por ao y al

intervalo entre pedidos.

7. Desarrolle el ejercicio 5 en el contexto de anlisis de sensibilidad

8. Un fabricante de pinturas mantiene en existencias un material cuya demanda es de 3000 unidades al ao. Se

estima que la relacin de costo de hacer pedidos y costo de

mantener inventarios flucta entre 75 y 100. Se pide

calcular la cantidad econmica de este material

9. Una mquina fabrica un producto a una tasa de 6750 unidades por semana. La demanda anual de 135000 se

genera a una tasa constante durante 300 das hbiles al

ao. El costo de mantener inventarios se ha estimado en


224

20% anual y el costo variable de produccin por unidad se

precisa en S/. 35.00. El costo de preparar un lote de

produccin es de S/. 450.00. Calcule la cantidad

econmica a producir

10. En el que considere el mayor autoservicio de su ciudad, identifique tres familias de productos, estime su costo de

oportunidad, en base a 22% de utilidad determine los

costos unitarios promedios, pregunte el estimado de costo

por hacer un pedido del sistema y discrimine costos por

familia y, predetermine las demandas peridicas para

calcular las demandas anuales. Con toda esta informacin

que usted ha generado, se le pide calcular lotes

econmicos de compra individuales

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Decisiones de Cantidad