Deduccion 1ra Ley de Termodinamica

2 Leyes de latermodinmica

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26 de 76 2. Leyes de la termodinmica

Competencias especficas y actividades de aprendizaje de la unidad.

Competencia especfica a desarrollar.

Analizar, aplicar y evaluar, las leyes que rigen la termodinmica y latransferencia con su entorno.

Actividades de Aprendizaje

Definir las formas de energa (potencial, cintica, interna, calor y tra-bajo).

Definir los tipos de trabajo (de flujo, de expansin y compresin). Definir entalpia. Analizar la ecuacin derivada de la primera ley de la termodinmica,aplicada a un sistema con flujo estacionario.

Analizar la ecuacin derivada de la primera ley de la termodinmica,aplicada a un sistema sin flujo.

Investigar la ley cero de la termodinmica y ejemplificarla por mediode un intercambiador de calor (ejemplo: radiador de automvil).

Explicar la ley cero de la termodinmica. Analizar los enunciados de la segunda ley (Kelvin-Planck y Clauisus),relacionndolos con las mquinas trmicas, refrigerador y bomba decalor.

Parafrasear los enunciados de las leyes primera y segunda, comparn-dolos en trminos de delimitar su mbito de aplicacin.

Anlisis y comprensin de las leyes de los gases.

ITESCAM MTC-1017 Fundamentos de Termodinmica

2. Leyes de la termodinmica 27 de 76

2.1 Primera ley de la termodinmica

Trabajo

Trabajo mecnico

En mecnica clsica, el trabajo que realiza una fuerza se define como el pro-ducto de sta por el camino que recorre su punto de aplicacin y por el coseno delngulo que forman la una con el otro. El trabajo es una magnitud fsica escalarque se representa con la letra W (del ingls Work) y se expresa en unidades deenerga. Matemticamente:

W = Fs cos.

Donde W es el trabajo mecnico, F es la magnitud de la fuerza, s es la magnituddel desplazamiento y es el ngulo que forman entre s la fuerza y el desplaza-miento. Cuando una fuerza es perpendicular al desplazamiento del cuerpo sobreel que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno.

Si la partcula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamientototal entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumarinfinitos desplazamientos elementales dr y el trabajo total realizado por la fuerza

F en ese desplazamiento ser la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

WAB =

B

A

F dr

Trabajo de expansin y compresin

En termodinmica el trabajo que se realiza cuando un gas se expande o secomprime ejerciendo una presin desde un volumen A hasta otro volumen B vienedado por

WAB = B

A

p dV (2.1)

El trabajo es, en general, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, noconstituye una variable de estado. La unidad bsica de trabajo en el S.I. esnewtonmetro y se denomina joule o julio, y es la misma unidad que mide laenerga. Por eso se entiende que la energa es la capacidad para realizar un traba-jo o que el trabajo provoca una variacin de energa.



El trabajo, desde el punto de vista mecnico, suele definirse como el productode una fuerza por la distancia recorrida en la direccin de la fuerza. La definicinde trabajo desde el punto de vista termodinmico es ms general: un sistemarealiza trabajo, interaccin entre el sistema y su entorno, si el nico efecto sobre

el entorno podra ser el levantamiento de un peso. La magnitud del trabajo es elproducto del peso por la distancia que podra levantarse.

Figura 2.1: El trabajo en los diagramas de Clayperon.

El convenio elegido para trabajo positivo es que si el sistema realiza traba-jo sobre su entorno, entonces es positivo. El trabajo que realiza un mbolo quecomprime un fluido es negativo mientras que un fluido expandindose contra unmbolo realiza un trabajo positivo.

El trabajo asociado con la unidad de masa (trabajo especfico) se designa comow:

w =W

m. (2.2)

Energa Interna

La energa interna U de un sistema intenta ser un reflejo de la energa a escalamicroscpica. Ms concretamente, es la suma de la energa cintica interna, esdecir, de las sumas de las energas cinticas de las individualidades que lo formanrespecto al centro de masas del sistema, y de la energa potencial interna, que esla energa potencial asociada a las interacciones entre estas individualidades.

La energa interna no incluye la energa cintica traslacional o rotacional delsistema como un todo. Tampoco incluye la energa potencial que el cuerpo puedatener por su localizacin en un campo gravitacional o electrosttico externo.

Si pensamos en constituyentes atmicos o moleculares, ser el resultado de lasuma de la energa cintica de las molculas o tomos que constituyen el sistema(de sus energas de traslacin, rotacin y vibracin), y de la energa potencialinter-molecular (debida a las fuerzas inter-moleculares).

En un gas ideal monoatmico bastar con considerar la energa cintica detraslacin de sus molculas.



En un gas ideal poliatmico, deberemos considerar adems la energa vibra-cional y rotacional de las mismas.

En un lquido o slido deberemos aadir la energa potencial que representalas interacciones moleculares.

La energa interna U es una propiedad extensiva. La propiedad intensiva aso-ciada es la energa interna especfica u; es decir, u = U/m. En el caso de lossistemas simples en equilibrio, slo se necesitan dos propiedades para determinarel estado de una sustancia pura, como el aire o el vapor de agua. Como la energainterna es una propiedad, slo depende de, por ejemplo, la presin y la tempera-tura; o en el caso del vapor de agua, depende de la calidad y la temperatura (o lapresin). Su valor para una calidad dada ser

u = uf + x(ug uf) (2.3)

Ahora se puede aplica el primer principio a sistemas cuyas sustancias de trabajo setengan tabulados los valores de sus propiedades. Antes de aplicar el primer prin-cipio a sistemas en los que intervienen gases ideales o slidos, resulta convenienteintroducir algunas propiedades adicionales que simplifiquen la tarea.

Deduccin de la primera ley

Al primer principio de la termodinmica se le conoce generalmente con el nom-bre de principio de la conservacin de la energa. En los cursos de fsica elemental,el estudio de la conservacin de la energa hace hincapi en las variaciones de lasenergas cintica y potencial y en su relacin con el trabajo. En una formulacinms general del principio de conservacin de la energa se incluyen los efectos dela transferencia de calor y de las variaciones de energa interna. Esta formulacinms general recibe habitualmente el nombre de primer principio de la termodin-mica. Tambin pueden incluirse otras formas de energa, tales como las energaselectrosttica, magntica, de deformacin y superficial.

El primer principio de la termodinmica o primera ley de la termodinmica sepostula a partir del siguiente hecho experimental:

En un sistema cerrado adiabtico (aislado) que evoluciona de un estado inicial

A a otro estado final B, el trabajo realizado no depende ni del tipo de trabajo nidel proceso seguido.

Este enunciado supone formalmente definido el concepto de trabajo termodi-nmico, y sabido que los sistemas termodinmicos slo pueden interaccionar detres formas diferentes (interaccin msica, interaccin mecnica e interaccin tr-mica). En general, el trabajo es una magnitud fsica que no es una variable de



estado del sistema, dado que depende del proceso seguido por dicho sistema. Es-te hecho experimental, por el contrario, muestra que para los sistemas cerradosadiabticos, el trabajo no va a depender del proceso, sino tan solo de los estadosinicial y final. En consecuencia, podr ser identificado con la variacin de unanueva variable de estado de dichos sistemas, definida como energa interna.

Se define entonces la energa interna, U , como una variable de estado cuyavariacin en un proceso adiabtico es el trabajo intercambiado por el sistema consu entorno:

U = + W

Cuando el sistema cerrado evoluciona del estado inicial A al estado final Bpero por un proceso no adiabtico, la variacin de la energa debe ser la misma,sin embargo, ahora, el trabajo intercambiado ser diferente del trabajo adiabticoanterior. La diferencia entre ambos trabajos debe haberse realizado por medio deinteraccin trmica. Se define entonces la cantidad de energa trmica intercam-biada Q (calor) como:

Q = U WEsta definicin suele identificarse con la ley de la conservacin de la energa y, asu vez, identifica el calor como una transferencia de energa. Es por ello que laley de la conservacin de la energa se utilice, fundamentalmente por simplicidad,como uno de los enunciados de la primera ley de la termodinmica:

La variacin de energa de un sistema termodinmico cerrado es igual a la

diferencia entre la cantidad de calor y la cantidad de trabajo intercambiados por

el sistema con sus alrededores.

En su forma matemtica ms sencilla se puede escribir para cualquier sistemacerrado:

U = Q+W

donde:

U , es la variacin de energa del sistema,

Q, es el calor intercambiado por el sistema a travs de unas paredes biendefinidas, y

W , es el trabajo intercambiado por el sistema a sus alrededores.



Aplicaciones de la primera Ley en sistemas cerrados

Un sistema cerrado es uno que no tiene intercambio de masa con el resto deluniverso termodinmico. Tambin es conocido como masa de control. El sistemacerrado puede tener interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, as comopuede realizar trabajo a travs de su frontera. La ecuacin general para un sistemacerrado (despreciando energa cintica y potencial y teniendo en cuenta el criteriode signos termodinmico) es:

U = Q+W.

Donde Q es la cantidad total de transferencia de calor hacia o desde el sistema,W es el trabajo total e incluye trabajo elctrico, mecnico y de frontera; y U esla energa interna del sistema.

Entalpa

En la resolucin de problemas de sistemas cerrados, hay determinados produc-tos o sumas que aparecen con regularidad. Una de esas combinaciones de propie-dades es la que aparece al estudiar el suministro de calor durante la evolucin apresin constante de la fig. 2.2. El calor se comunica lentamente al sistema (elgas contenido en el cilindro), que se mantiene a presin constante suponiendo queno hay friccin entre el cilindro y el mbolo . Si se desprecian las variaciones delas energas cintica y potencial y no hay ningn otro modo de trabajo, el primerprincipio de la termodinmica exige que.

QW = U2 U1 (2.4)

Figura 2.2: Suministro de calor a presin constante.

El trabajo realizado durante el proceso a presin constante para elevar el pesoviene dado por

W = p(V2 V1). (2.5)El primer principio se puede escribir entonces

Q = (U + pV )2 (U + pV )1. (2.6)



La magnitud entre parntesis es una combinacin de propiedades y es, por tanto,una propiedad. Recibe el nombre de entalpa del sistema H , es decir

H = U + pV. (2.7)

La entalpa especfica h se obtiene dividiendo por la masa. Resulta

h = u+ pv. (2.8)

La entalpa es una propiedad del sistema y puede encontrarse tambin en lastablas de vapor de agua. La ecuacin de la energa puede entonces escribirse paraun proceso en equilibrio a presin constante como

Q12 = H2 H1 (2.9)

Se ha definido la entalpa utilizando un sistema a presin constante cuya dife-rencia de entalpa entre dos estados es igual al calor transferido. En un proceso enel que vara la presin, la diferencia de entalpa pierde su significado fsico. Perosigue teniendo utilidad en los problemas de ingeniera; sigue siendo una propie-dad definida segn la ec. (2.7). En un proceso a presin constante que no sea deequilibrio, H no es igual al calor transferido.

Debido a que nicamente son importantes las variaciones de entalpa o deenerga interna, se puede elegir arbitrariamente el valor a partir del cual se midenh y u. Para el agua se elige el valor del lquido saturado a 0C.



Aplicaciones de la primera Ley en sistemas abiertos

La primera ley de la termodinmica se emplea bajo diferentes consideracionessegn se aplique a procesos adiabticos, isotrmicos, isobricos e isocricos.

Proceso adiabtico

En termodinmica se designa como proceso adiabtico a aquel en el cual elsistema no intercambia calor con su entorno (Q = 0). Un proceso adiabtico quees adems reversible se conoce como proceso isentrpico (S = 0). El trminoadiabtico hace referencia a elementos que impiden la transferencia de calor conel entorno. Una pared aislada se aproxima bastante a un lmite adiabtico. En unproceso adiabtico la primera ley se puede escribir como:

U +W = 0.

El calentamiento y enfriamiento adiabtico son procesos que comnmente ocu-rren debido al cambio en la presin de un gas. Esto puede ser cuantificado usandola ley de los gases ideales.

Proceso isotrmico

Se denomina proceso isotrmico o proceso isotermo a la evolucin reversible deun sistema termodinmico que transcurre a temperatura constante. La compresino la expansin de un gas ideal en contacto permanente con un termostato es unejemplo de proceso isotermo.

La expansin isoterma de un gas ideal puede llevarse a cabo colocando el gasen contacto trmico con otro sistema de capacidad calorfica muy grande y a lamisma temperatura que el gas; este otro sistema se conoce como foco caliente.De esta manera, el calor se transfiere muy lentamente, permitiendo que el gas seexpanda realizando trabajo. Como la energa interna de un gas ideal slo dependede la temperatura y sta permanece constante en la expansin isoterma, el calortomado del foco es igual al trabajo realizado por el gas:

Q = W.

Una curva isoterma es una lnea que sobre un diagrama representa los valoressucesivos de las diversas variables de un sistema en un proceso isotermo. Lasisotermas de un gas ideal en un diagrama P -V , llamado diagrama de Clapeyron,son hiprbolas equilteras, cuya ecuacin es PV = constante.



Proceso Isobrico

Proceso Isobrico es aquel proceso termodinmico que ocurre a presin cons-tante. En l, el calor transferido a presin constante est relacionado con el restode variables mediante:

Q = U + pV.

En un diagrama P -V , un proceso isobrico aparece como una lnea horizontal.

Proceso Isocrico

Un proceso isocrico, tambin llamado proceso isomtrico o isovolumtrico esun proceso termodinmico en el cual el volumen permanece constante; dV = 0.Esto implica que el proceso no realiza trabajo presin-volumen, ya que ste sedefine como:

W =

B

A

p dV = 0 (2.10)

donde p es la presin.

Aplicando la primera ley de la termodinmica, podemos deducir que Q, elcambio de la energa interna del sistema es:

Q = U,

es decir, para un proceso isocrico todo el calor que transfiramos al sistema que-dar a su energa interna. Si la cantidad de gas permanece constante, entonces elincremento de energa ser proporcional al incremento de temperatura,

Q = m cv T.

En un diagrama P -V , un proceso isocrico aparece como una lnea vertical.

Proceso politrpico

Un proceso de expansin y compresin de gases donde la presin y el volumense relacionen, como sucede a menudo, mediante una ecuacin de la forma

PV n = C, (2.11)

donde n y C son constantes, se denomina proceso politrpico. As pues, en unproceso de esta clase, el producto de la presin y la ensima potencia del volumenes una constante. Dicho de otro modo: si P1 y V1 son la presin y el volumen en



un estado del proceso, y P2 y V2 son la presin y el volumen en otro estado delproceso, entonces

P1Vn1 = P2V

n2 = C

En un proceso politrpico tenemos pues que, al despejar (2.11), la presinviene dada por

P = CV n (2.12)

Puesto que el trabajo de frontera realizado desde el comienzo de la expansin ocompresin hasta el estado final viene dado por

W =

21

P dV,

tenemos que el trabajo producido en un proceso politrpico se calcula mediante

W =

21

P dV =

21

CV n dV = CV n+12 V n+11

n + 1 =CV n+12 CV n+11

1 n

En el nmerador, podemos tomar C = P2V n2 en el primer trmino y C = P1Vn1

en el segundo trmino, y as obtener

W =P2V2 P1V1

1 n , (2.13)

una formula sencilla que permite obtener el trabajo realizado en un proceso poli-trpico para n 6= 1.

Si n = 1, entonces

W =

21

P dV =

21

CV 1 dV = PV (lnV2 lnV1),

es decir:

W = PV ln

(V2V1

). (2.14)

Para el caso de un gas ideal, donde PV = nRT , la frmula del trabajo en unproceso politrpico se convierte en:

W =nR(T2 T1)

1 n , (2.15)



Capacidades calorficas para gases ideales

La capacidad calorfica de un cuerpo es razn de la cantidad de energa calorfi-ca transferida a un cuerpo en un proceso cualquiera por su cambio de temperaturacorrespondiente. En una forma menos formal es la energa necesaria para aumen-tar 1K su temperatura, (usando el S.I.). Indica la mayor o menor dificultad quepresenta dicho cuerpo para experimentar cambios de temperatura bajo el sumi-nistro de calor. Puede interpretarse como una medida de inercia trmica. Es unapropiedad extensiva, ya que su magnitud depende de la cantidad de material en elobjeto, por ejemplo, la capacidad calorfica del agua de una piscina olmpica sermayor que la de de una cucharadita. Al ser una propiedad extensiva, la capacidadcalorfica es caracterstica de un objeto en particular, y adems depende de latemperatura y posiblemente de la presin.

La capacidad calorfica no debe ser confundida con la capacidad calorfica es-pecfica o calor especfico, el cual es la propiedad intensiva que se refiere a lacapacidad de un cuerpo para almacenar calor, y es la razn de la capacidad calo-rfica entre la masa del objeto. El calor especfico es una propiedad caractersticade las sustancias y depende de las mismas variables que la capacidad calorfica.

Para determinar el estado de un sistema simple slo son necesarias dos variablesindependientes. Por lo tanto, se puede considerar que la energa interna especficaes una funcin de la tempertura y el volumen esecfico; es decir

u = u(T, v) (2.16)

Aplicando la regla de la cadena de clculo, la diferencial se expresa en funcin delas derivadas parciales

du =u

T

v

dT +u

v

T

dv (2.17)

Como u, v y T son propiedades, la derivada parcial tambin es una propiedady recibe el nombre de capacidad trmica especifica a volumen constante cv, esdecir

cv =u

T

v

(2.18)

Para un gas que se comporta de manera ideal se tiene que

u

v

T

= 0 (2.19)

por lo que

du = cvdT (2.20)



Esta expresin puede integrarse y obtener

u2 u1 = T2T1

cvdT (2.21)

Con un cv(T ) conocido se puede integrar para obtener la variacin de energainterna de un gas ideal en un intervalo de temperatura cualquiera.

Del mismo modo, considerando que la entalpa especfica depende de las dosvariables T y p, se tiene

dh =h

T

v

dT +h

v

T

dv (2.22)

La capacidad trmica especfica a presin constante cp se define como

cp =h

T

p

(2.23)

Volviendo a la definicin de entalpa, para un gas ideal se tiene

h = u+ pv = u+RT (2.24)

donde se ha hecho usado de la ecuacin de estado del gas ideal. Como para ungas ideal u es slo funcin de Tm se ve que h tambin es slo funcin de T . Asque, para un gas ideal

h

p

T

= 0 (2.25)

por lo que se tiene quedh = cpdT. (2.26)

Se puede integrar en el intervalo de temperatura entre T1 y T2 obtenindose

h2 h1 = T2T1

cpdT (2.27)

para un gas ideal.



Relacin cp y cv

Para un gas ideal, la ecuacin de la entalpa puede ser usada para relacionarlas capacidades trmicas especificas y la constante universal de los gases R. Enforma diferencial, se puede escribir:

dh = du+ d(pv). (2.28)

Al introducir las expresiones para las capacidades trmicas especificas, y la ecua-cin del gas ideal, tenemos:

cpdT = cvdT +RdT,

el cual, al dividir entre dT resulta en:

cp = cv +R. (2.29)

Esta relacin puede determinar el valor de cv a partir de los valores tabulados decp. Note que la diferencia entre cp y cv para un gas ideal es siempre una constante,incluso cuando ambas son funciones de la temperatura.

La razn calorfica especfica k es tambin una propiedad de particular inters,esta se define como:

k =cpcv. (2.30)

Entonces se puede demostrar que:

cp = Rk

k q (2.31)y

cv =R

k q . (2.32)Obviamente, como R es una constante para un gas ideal, la razn calorfica espe-cfica depender solamente de la temperatura.

Para los gases, las capacidades calorficas especficas se incrementan lenta-mente con el incremento de la temperatura. Cuando ambas no varan de manerasignificativa sobre un amplio rango de temperaturas, es aceptable considerarlasconstantes. Para estas situaciones se tiene:

u2 u1 = cv(T2 T1), (2.33)h2 h1 = cp(T2 T1). (2.34)

Para el aire se usa cv = 0.7117 kJkg/C (0.171 BTU/lbm-F) y cp = 1.00 kJkg/C(0.24 BTU/lbm-F), mientras no se especifique otra cosa. Para clculos ms preci-sos con aire, u otros gases, se deben consultar las tablas del gas ideal para tabularh(T ) y u(T ), o integrar usando la expresin de cp(T ) de las tablas.


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