Ecuación Cuadrática

Definición.

Una ecuación cuadrática o de segundo grado en la variable x, es un polinomio cuyo mayor exponente es 2. La forma general de dichas ecuaciones es ax2+bx+c=0, donde a, b y c son constantes, con a diferente de cero. El conjunto solución de una ecuación cuadrática consta de dos valores llamados raíces de la ecuación.

Ecuaciones incompletas

Si “b” es igual a cero entonces ax2+bx+c=0, se transforma en ax2+c=0

Si “c” es igual a cero entonces ax2+bx+c=0, se transforma en ax2+bx=0

A estas ecuaciones les llamamos incompletas.

Una ecuación cuadrática o de segundo grado en la variable x, es incompleta:

Si “b” o “c” es igual a cero resultando ax2+c=0 & ax2+bx=0 Respectivamente.

Puras

Si “b” es igual a cero entonces la ecuación queda ax2+c=0 a esta se llama ecuación cuadrática pura.

Como ya se estableció, en la definición, que el conjunto solución de una ecuación cuadrática consta generalmente de dos valores llamados raíces de la ecuación.

Así,

De la expresión ax2+c=0, despejamos a “x”

ax2+c=0 Ecuación cuadrática pura

ax2+c+(−c )=0+(−c) Sumamos (-c) en ambos miembros

ax2=−c Simplificando

( 1a)ax

2

=1a(−c) Multiplicando por

1a

ambos miembros

x2=−ca

Simplificando

√ x2=±√−ca

Aplicamos Raíz Cuadrada en ambos miembros

x=±√−ca

Simplificando

Entonces decimos que una ecuación pura ax2+c=0, tiene como conjunto solución:

x=±√−ca

Mixtas

Si “c” igual a cero entonces ax2+bx=0. Llamada ecuación cuadrática mixta.

De la expresión ax2+bx=0, despejamos a “x”

ax2+bx=0 Ecuación cuadrática pura

x (x+b)=0 Factorando

Para que el producto de dos cantidades sea igual a cero, se necesita que una de las dos valga cero, así entonces:

Si x=0→x=0

Si ax+b=0→x=−ba

Entonces una ecuación mixta ax2+bx=0, tiene como conjunto solución:

x=0∧ x=−ba

Métodos de solución

Una ecuación cuadrática o de segundo grado completa en la variable x, se puede resolver mediante los métodos de:

a) Factoreob) Completando trinomio cuadrado perfecto,c) Por formula general

POR FACTOREO

El propósito de este método es arreglar la ecuación: ax2+bx+c=0, como el producto de dos factores lineales. Recordando que: ab=0, si a=0 ó b=0

Este método conviene aplicarlo cuando el trinomio es de fácil factorización, esto es, cuando las raíces son números racional, lo cual sucede cuando b2−4 ac=α un cuadrado perfecto.

Por complementación de cuadrados

El propósito de este método es arreglar la ecuación ax2+bx+c=0, como una expresión que tenga la incógnita escrita solo una vez, para lograr este propósito escribimos la expresión ax2+bx+c , como un trinomio cuadrado perfecto para que ax2+bx+c , sea un trinomio cuadrado perfecto

Formula general

Para resolver una ecuación de segundo grado, haciendo uso de la formula cuadrática, primeramente deberás trasladar todos los términos a un solo lado de la ecuación; para que le polinomio de segundo grado quede igualado a cero. Y luego identificar:

El coeficiente de x2 , que es a

El coeficiente de x, que es b

El termino constante, que es c

Cartel Completo Factorización de una Ecuación

Cartel Completo

Cartel Especial en un pliego completo

Representación Algebraica

Representación