Definicion de Integracion

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

∫ a⋅dx=ax+C

∫ xn dx= xn+1

n+1+C

(n≠−1 ) ∫ [u (x )]n⋅u ' (x )dx= [u( x )]n+1

n+1+C

∫ 1xdx=L|x|+C ∫ u '( x )

u( x )dx=L|u ( x )|+C

∫ 12√x

dx=√ x+C ∫ u' ( x )2√u (x )

dx=√u( x )+C

∫ axdx= ax

La+C ∫ au(x )⋅u '( x )dx=a

u(x )

La+C

∫ exdx=e x+C ∫ eu( x )⋅u ' (x )dx=eu(x )+C

∫ senxdx=−cos x+C ∫ senu( x )⋅u ' ( x )dx=−cosu ( x )+C

∫cos xdx=senx+C ∫cos u( x )⋅u '( x )dx=senu (x )+C

∫sec2 xdx=tgx+C ∫sec2u( x )⋅u' ( x )dx=tg u( x )+C

∫ 1

1+x2dx=arctgx+C ∫ u '( x )

1+[u( x )]2dx=arctg u( x )+C

∫ 1

√1−x2dx=arcsenx+C ∫ u '( x )

√1−[u( x ) ]2dx=arcsenu ( x )+C

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral

. .

.

Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:

.

"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) (=) un ( ) valiente ( ) soldado ( ) vestido ( ) de uniforme ( )" .

"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral) vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme

"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) una vaca ( ) sin ( ) cola ( ) vestida () de uniforme ( )"

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.

3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

Funcion Cuadratica

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica de grado dos definida como:

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a sea positivo o negativo, respectivamente.

Gráficas de funciones cuadráticas.

Funciones trigonométricas

En matemáticas, Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Cambio de variable

Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

Ecuaciones bicuadradas Ecuaciones y sistemas exponenciales Ecuaciones de tercer grado Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de . Se siguen los siguientes pasos:

Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:

Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y tenemos:

Se deshace el cambio de variable:

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x

= - 2 no puede cumplirse.

ILATEEn Cálculo integral, también conocido como Cálculo II y/o Cálculo III, la integración por partes es una de las reglas indispensables de aplicar en resolución de integrales con productos de dos funciones que no pueden solucionarse por otra vía. Estas integrales se presentan de la forma

∫u.dv

donde se establece para su resolución la aplicación de la siguiente fórmula de integración:

∫u.dv=u.v-∫v.du

Donde u es una de las funciones, y dv es otra de las funciones.

A veces podemos seleccionar al azar cual de las funciones presentes será la u, así obtener du, y cuál de las funciones sera la dv y así obtener v, pero no todo el tiempo el azar nos dará el buen resultado, tanto que, si escojemos mal, todo sera mas complicado, obligándonos volver a empezar, alternando las opciones y haciéndonos el trabajo más engorroso y largo.

El problema común que se presenta a la hora de hacer la selección de quien es u y quien es dv, está en que realmente no se sabe que es lo más apropiado de hacer, pues u debe ser una de las dos funciones y dv debe ser una de estas dos funciones que provenga de la derivación de otra. Es decir, si dv=g(x) , entonces g(x) debe ser una funcion que provenga de la derivada de una otra función y la complicación está en que ambas funciones, por lo general, pueden provenir de una derivación. Si tengo “f(x)” y “g(x)” en la forma ∫f(x).g(x) ¿Cómo se a quien debo llamar u y a quien debo llamar dv? Y con esto luego obtener a du y a v. Este problema se hace común siempre a la hora de resolver este tipo de integrales.

El método de ILATE nos ayuda a definir quién tiene prioridad de ser u y por lo tanto saber quién es dv. ILATE es una palabra que nos permite memorizar nemotécnicamente el orden de prioridad que se tiene para seleccionar una función como u.

La I indica que en primer lugar debo seleccionar las funciones inversas, si no hay inversas

La L indica que debo seleccionar las funciones Logarítmicas, si no hay funciones Logarítmicas

La A indica que debo seleccionar las funciones Algebraicas, si no hay Algebraicas

La T indica que debo seleccionar las funciones Trigonométricas, si no hay trigonométrica

La E indica que entonces debo seleccionar a las Exponenciales como la u.

Este método de verdad es muy fácil de recordar, solo hay que saberlo aplicar cuando se tenga que resolver integrales por partes y así tendremos un camino seguro.