Definición de sucesión aritmética

Una sucesión   es una sucesión aritmética si hay un número real   tal que para

todo entero positivo   , 

.

El número   se le llama diferencial común de la sucesión.

Dada una sucesion aritmetica:

k+1 = a + d

para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos

sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con

diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta

Observa que la diferencia común   es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una

sucesión aritmética.

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

Teorema: fórmulas para 

Si   es una sucesión aritmética con diferencia común  , entonces la n-ésima

suma parcial   (esto es, la suma de los primeros   términos), está dada por

o

Demostración

Podemos escribir

.

Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta 

,

con   veces dentro del primer par de paréntesis. Así

.

La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros   enteros positivos. Con la

fórmula para la suma de los primeros   enteros positivos,  , entonces tenemos

Sustituimos en la última ecuación por   y factorizamos  con lo cual

Puesto que  , la última ecuación es equivalente a

.

Historia de Gauss

LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un

ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era

sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que

habia terminado, la maestra pensó, "Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya

habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le

pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el

ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también

daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue

multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.

Sucesiones GeométricasDefinición de sucesión geométrica

Una sucesión   es una sucesión geométrica si   y si hay un número

real   tal que para todo entero positivo  , 

.

El número   se conoce la razón común de la sucesión.

Observa que la razón común   es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de

una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

.

Teorema: fórmula para hallar 

La n-ésima suma parcial   de una sucesión geométrica con primer término   y razón

común 

.

Demostración

Por definición, la n-ésima suma parcial   de una sucesión geométrica es

. (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por   obtenemos

. (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se

cancelan y obtenemos:

.

factorizar ambos miembros.

.

dividir entre (1-r)

.

EjemplosEjemplo #1

Pruebe que la sucesión   cuando n pertenece a los numeros Enteros es una

sucesión aritmética.

.

.

,

Suma hasta el n-esimo término.

Generar el n-esimo término.

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #2

Los tres primeros términos de una sucesión aritmética son   Encuentre el 15º

término.

--Dieguito 01:06 29 jul 2009 (UTC)

Ejemplo #3

Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno es 20, indique el 6to término.

Identificamos   conocidos, en este caso   por ser el cuarto término y   por ser el

noveno termino.

 ------------> 

 ----------> 

Indentificamos el termino que queremos encontrar

Operamos

Sustituimos en el termino que queremos encontrar, es decir, 

Ejemplo #4

Si la sucesión es 1,0.3,0.09,0.027.... es geométrica encuentre la suma de los primeros 5 términos.

a1=1 r=o.3

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