TEMA XVI

ESQUEMA GENERAL

Modelos alternativos de análisis

Análisis de la covariancia (ANCOVA)

Análisis de variancia (ANOVA)

Técnicas de análisis

Concepto y formato de los DGNE

DISEÑOS DE GRUPOS NO EQUIVALENTES

Definición

La extensión lógica del diseño de grupo control no equivalente con medidas antes y después es el diseño con múltiples grupos no equivalentes; es decir, un diseño multigrupo formado por un conjunto de grupos intactos procedentes de poblaciones distintas, o no seleccionados al azar.

..//..

Al igual que el diseño de grupo control no equivalente, es importante establecer no sólo la equivalencia inicial de los grupos, mediante la comparación de las puntuaciones medias de la variable antes, sino también considerar de forma especial el proceso de selección.

Aunque los grupos no muestren diferencias significativas en las puntuaciones antes, es posible que una serie de factores actúen, de forma independiente, sobre los datos después y constituyan elementos determinantes en la ulterior interpretación de los resultados. ..//..

Propósito del diseño

Según esta estructura de trabajo, se trata de averiguar si hay efecto de tratamiento. Se pretende estudiar la posible relación causal entre el factor de tratamiento y la variable de resultado. Mediante este formato cuasi-experimental o de grupos de selección, las diferencias previas (de selección) entre los grupos pueden causar cambios en la variable de resultado sin efecto alguno de tratamiento. ..//..

De ahí, lo importante es tener en cuenta las diferencias iniciales de los grupos (diferencias de selección), mediante algún tipo de control estadístico.

Estrategias de análisis

1) ANOVA(x) V.Pre A(H0)

ANOVA(y) V. Dep.

X

2) ANCOVA Y XY

X (V.Bloq.)

3) ANOVA DE BLOQUES

Y (V.Result.)

4) ANOVA(Gan.) Y-X

Técnicas de análisis

Análisis de la variancia con puntuaciones de diferencia o ganancia

Análisis de la variancia con bloques o emparejamiento

Análisis de la covariancia

Análisis simple de la variancia

Técnicas de análisis del diseño de grupos no equivalentes

Ejemplo práctico

Se pretende estudiar la eficacia de tres métodos en la enseñanza de las propiedades de los vectores. Se utilizan los métodos siguientes: A1 (método simplemente verbal), A2 (método de presentación simbólica), y A3 (combinación de ambos métodos). Para probar la eficacia de los tres métodos, el investigador utiliza tres clases o aulas de un centro escolar en el mismo período de tiempo. A tal propósito, el investigador pasa una prueba al iniciar el estudio y otra a finalizarlo. ..//..

A partir de este hipotético ejemplo, se obtiene la correspondiente matriz de datos en la que se incluyen las puntuaciones de ganancia (G), o diferencia entre la puntuación después (D) y la antes (A) de cada sujeto; es decir, las puntuaciones o valores de ganancia.

31 3109674

32343632302829292832

Y

1573

4.9 49 305

8697533404

X

A1

22.5 2255179

4.3 43 283

27.7 2777793

5.3 53 349

10561550

27332933282428262821

Y

7969724441

X

A2

24262428222120251619

6969540202

YX

A3

DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES

Medias:( ):( )2

( ) ( )

Modelo de análisis anova (1)

MODELO ESTRUCTURAL DEL ANOVA: DISEÑO DE GRUPO CONTROL NO EQUIVALENTE

ijjijY

Supuestos del modelo estadístico

εij ~ NID(0,σε²)

Yij = la puntuación postratamiento del i individuo (i = 1 a n) del j grupo de tratamiento (j = 1, 2,...,a) μ = la media total

αj = el efecto del grupo j de tratamiento

εij = el error de medida

Suma de cuadrados. Variable Y

SCtotal(y) = 32² + 34² + ... + 19² - C = 22646 –

21978.133 = 667.867

SCA(y) = 310²/10 + 277²/10 + 225²/10 – C =

22345.4 - 21978.13 = 367.267

SCS/A(y) = 32² + 34² + ... + 19² - (310²/10 +

277²/10 + 225²/10) = 22646 - 22345.4

= 300.6

siendo C = (310 + 277 + 225)²/30 = 21978.133

CUADRO RESUMEN DEL ANOVA. DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES (VARIABLE DESPUÉS, Y)

F0.99(2/27) = 5.49; F0.95(2/27) = 3.35

an-1=9667.87Total

<0.0116.5188.63

11.13(a-1)=2

a(n-1)=27367.27

300.60

Entre Trat (A)

Intra grupos (S/A)

pFCMg.lSCF.V.

Suma de cuadrados. Variable X

SCtotal(x) = 8² + 6² + ... + 2² - C = 937 - 700.83 = 236.17

SCA(x) = 49²/10 + 53²/10 + 43²/10 - C = 705.9 - 700.83 = 5.07

SCS/A(x) = 8² + 6² + ... + 2² - (48²/10 + 53²/10 + 43²/10) = 937 - 705.9 = 231.1

siendo C = (49 + 53 + 43)²/30 = 700.83

CUADRO RESUMEN DEL ANOVA: DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES (VARIABLE ANTES, X)

F0.95(2/27) = 3.35

an-1=29236.17Total

>0.050.292.535

8.559(a-1)=2

a(n-1)=275.07

231.10

Entre Trat (A)

Intra grupos (S/A)

pFCMg.lSCF.V.

Modelo de análisis ancova (2)

ANALISIS DE LA COVARIANCIA

Trat. A3Trat. A1

X Y X Y

TotalesMedias

Grupos de tratamiento

Trat. A2

X Y

MODELO ESTRUCTURAL DEL ANCOVA: DISEÑO DE GRUPO CONTROL NO EQUIVALENTE

ijijjij '..)XX(Y

Supuestos del modelo estadístico

ε’ij ~ NID(0,σε²)

ß = el coeficiente de la regresión lineal

intra-grupo de la variable post (Y) sobre la

_

pre (X), y X.. la media total de la variable

pre-tratamiento.

Cómputo de las SC’s del ANCOVA

Se requiere:

a) Cálculo de los siguientes valores: SCx, SCy y SPxy

b) Ajustar las Sumas de Cuadrados del total y del error de la variable Y (SC...(y))

c) Proceder siguiendo la lógica del ANOVA

Sumas de Cuadrados de X e Y

Las Sumas de cuadrados de las variables X (pre-tratamiento o antes) e Y (pos-tratamiento o dependiente) son las que previamente se han calculado para resolver el análisis mediante la primera estrategia (ANOVA).

Las Sumas de Productos cruzados entre X e Y se presentan en la pantalla siguiente.

Cálculo de las Sumas de Productos (SP).

F.V. SP

Σj(ΣiXij)(ΣiYij)Variable A --------------------- - C xy nError S/A SPtot – SPA

(ΣiXij)(ΣiYij)Grupo (Gj) ΣiXijYij - ------------------ n Total (T) Σ iΣjXijYij - Cxy

(ΣiΣjXij)(ΣiΣjYij)Cxy = ----------------------- an

Σj(ΣiXij)(ΣiYij)

Variable A = ----------------------- – Cxy

n

Se suman los productos cruzados a través de los grupos

Error S/A = SPtot – SPA

La Suma de Productos del error es la Suma de Productos residual del total

Total (T) = ΣiΣjXijYij – Cxy

Donde (ΣiΣjXij)(ΣiΣjYij)

Cxy = ----------------------- an

es el factor de ajuste para la media.

(ΣiXij)(ΣiYij)

Grupo (Gj) = ΣiXijYij – --------------------

n

es el cálculo de la suma de Productos por grupo

31 3109674

32343632302829292832

Y

1573

4.9 49 305

8697533404

X

A1

22.5 2255179

4.3 43 283

27.7 2777793

5.3 53 349

10561550

27332933282428262821

Y

7969724441

X

A2

24262428222120251619

6969540202

YX

A3

DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES

Medias:( ):( )2

( ) ( )

Sumas de productos cruzados

SPtot = (1573 + 1550 + 1056) - Cxy = 4179 - 3924.67 = 254.33

SPA = [(310)(49) + (277)(53) + (225)(43)]/10 - Cxy = 3954.6 – 3924.67 = 29.93

SPS/A = 254.33 - 29.93 = 224.4 (49+53+43)(310+277+225)

Cxy = ------------------------------------ = 3924.67 3x10

Sumas de Productos de los grupos de tratamiento

Grupo A1 = 1573 - (310)(49)/10 = 54

Grupo A2 = 1550 - (277)(53)/10 = 81.9

Grupo A3 = 1056 - (225)(43)/10 = 88.5

SPS/A = 224.4

CÁLCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS DEL ANCOVA

Sumas de cuadrados del ancova

F.V. SC g.l. F

CMA(aj)

A(aj) SCA(y') = SCtot(y') - SCS/A(y') a-1 --------------- CMS/A(aj)

SPS/A²S/A(aj) SCS/A(y') = SCS/A(y) - ------------ a(n-1)-1 SCS/A(x)

SPtot²Total(aj) SCtot(y') = SCtot(y) - ----------- an - 2 SCtot(x)

Orden de ejecución de los cálculos:

Se procede empezando por el total y termina con el de tratamientos

SPtot²

Total(aj) = SCtot(y') = SCtot(y) – ----------- SCtot(x)

SPS/A²

S/A(aj) = SCS/A(y') = SCS/A(y) – ------------

SCS/A(x)

A(aj) = SCA(y') = SCtot(y') – SCS/A(y')

Cómputo de las sumas de cuadrados

27.31171.8298.393SCSCSC

71.821.231

4.2246.300

SC

SPSCSC

98.39317.236

33.25487.667

SC

SPSCSC

)'Y(A/S)'Y(tot)'Y(A

2

)X(A/S

2A/S

)Y(A/S)'Y(A/S

2

)X(tot

2tot

)Y(tot)'Y(tot

CUADRO RESUMEN DEL ANCOVA DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES

F0.99(2/26) = 5.53; F0.95(2/26) = 3.37

an-2=28393.98Total

<0.0148.94155.63

3.18(a-1)=2

a(n-1)-1=26311.27

82.71

Entre Trat (A)

Intra grupos (S/A)

pFCMg.lSCF.V.

Anova con técnica de bloques (3)

Formación de bloques

La técnica de bloques o emparejamiento se aplica formando bloques o pares de individuos con puntuaciones similares en la variable pre-tratamiento o antes. Así, a partir de la matriz inicial de datos, se forman tres bloques de sujetos de acuerdo a los intervalos de la variable antes o covariable. El primer bloque está formado por los individuos con puntuaciones entre 0 y 3, el segundo bloque por individuos con puntuaciones 4 y 6, y el tercer bloque con individuos con puntuaciones 7 y 9. De esta forma, se obtiene la siguiente matriz de datos del diseño.

31 3109674

32343632302829292832

Y

1573

4.9 49 305

8697533404

X

A1

22.5 2255179

4.3 43 283

27.7 2777793

5.3 53 349

10561550

27332933282428262821

Y

7969724441

X

A2

24262428222120251619

6969540202

YX

A3

DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES

Medias:( ):( )2

( ) ( )

Bloques Tratamientos

A1 A2 A3 bloque I 0-3 28 24 20 B1 29 21 25 28 16 19 Totales 85 45 80 ΣY..1 = 210 _ medias 28.3 22.5 20 ΣY..1 = 70.8 bloque II 4-6 34 29 24 B2 30 28 24 29 26 22 32 28 21 totales 125 111 91 ΣY..2 = 327 _ medias 31.25 27.7 22.75 ΣY..2 = 81.7 bloque III 7-9 32 27 26 B3 36 33 28 32 33 28 totales 100 121 54 ΣY..3 = 275 _ medias 33.3 30.25 27 ΣY..3 = 90.55

ΣY.j. = 310 277 225 ΣY... = 812 _ _ ΣY.j. = 92.85 80.45 69.75 ΣY.jk = 243.05

Cálculo de las sumas de cuadrados

SCtotal = 28² + 29² + ... + 28² – C = 22646 - 21978.13 = 667.87

SCA = 310²/10 + 277²/10 + 225²/10 – C = 22345.4 - 21978.13 = 367.27

SCB = 210²/9 + 327²/12 + 275²/9 – C = 22213.53 - 21978.13 = 235.40

SCAxB = 85²/3 + 125²/4 + 100²/3 + 45²/2 + 111²/4 + 121²/4 + 80²/4 + 91²/4 + 54²/2 – C – SCA – SCB = 22529.17 – 21978.13 - 367.27 – 235.40 = – 51.63

Los Cuadrados medios se obtienen como en el caso proporcional, siendo

(812)2

C = ------------ = 21978.13

30

Método de medias no ponderadas Paso 1. Se calcula SCA, SCB y SCAB a partir de las medias

de las casillas y no a partir de los datos originales. Se toman como valores las correspondientes medias.

SCA = 92.85²/3 + 80.45²/3 + 69.75²/3 – 243.05²/3x3 = 6652.796 – 6563.700 = 89.096

SCB = 70.8²/3 + 81.7²/3 + 90.55²/3 - 243.05²/3x3 = 6628.944 – 6563.700 = 65.244

SCAB = 28.3² + 31.25² + 33.3² + 22.5² + 27.7² + 30.25² + 20² + 22.75² + 27² – 243.05²/3x3 – SCA – SCB = 6721.51 – 6563.700 – 89.096 – 65.244 = 3.47

Paso 2. Cálculo de la SCS/AB

A continuación, se calcula la Suma de cuadrados del error como residual del total:

SCS/AB = SCtotal – SCgrupos

SCS/AB = 28² + 29² + ... + 28² – [85²/3 + 125²/4 + 100²/3 + 45²/2 + 111²/4 + 121²/4 + 80²/4 + 91²/4 + 54²/2] = 22646 – 22529.17 = 116.83siendo los grados de libertad del error:

g.l.S/AB = g.l.total – g.l.celdas = (30 – 1) – (9 – 1) = 21. Así,

CMS/AB = 116.83/21 = 5.563

Paso 3. Cálculo del recíproco de la media armónica de las entradas de las celdas o casillas:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ----- = (----)(ΣjΣk----) = ---(--- + --- + --- + --- + --- ñh ab njk 9 3 4 3 2 4 1 1 1 1 + --- + --- + --- + ---)

4 4 4 2

= (0.111)(2.917) = 0.324

Paso 4. Se estima el error por

1

CMS/AB’ = ------ CMS/AB = (0.324)(5.563) = 1.802

ñh

siendo la Suma de Cuadrados del error ajustado

SCS/AB’ = (0.324)(116.83) = 37.852

Resultado del anova el método de medias no ponderadas.

F.V. SC g.l. CM F p

Tratamientos (A) 89.096 2 44.55 24.75 <0.05

Bloques (B) 65.244 2 32.62 18.13 <0.05

Inter. AxB 3.470 4 0.87 0.48 >0.05

Error ajustado 37.852 21 1.80

F0.95(2/21) = 3.47; F0.95(4/21) = 2.84

Anova con puntuaciones de ganancia (4)

Concepto

En su versión más elemental, el análisis basado en las puntuaciones de diferencia –puntuaciones de ganancia o cambio –, consiste en calcular, de cada sujeto, la diferencia entre su puntuación después y su puntuación antes. De este modo, se tienen las diferencias directas o brutas (que no deben ser confundidas con las puntuaciones de diferencia estandarizadas). ..//..

A continuación, se calculan los valores de estas puntuaciones de los distintos grupos de tratamiento y se aplica, para probar la significación estadística, el correspondiente análisis de la variancia a los datos de diferencia o ganancia.

22.4 2245042

20242324212224222420

Y-X

27332933282428262821

Y

7969724441

X

A2

26.1 2616833

24282725252526252828

Y-X

32343632302829292832

Y

8697533404

X

A1

24262428222120251619

Y

6969540202

X

A3

18.2 1823350

18171819171720231617

Y-X

DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES

Medias:( ):( )2

Cálculo de las Sumas de Cuadrados del anova

SCtotal(d) = 24² + 28² + ... + 17² - C = 15225 - 14829.63 = 395.37

SCA(d) = 261²/10 + 224²/10 + 182²/10 - C = 15142.1 – 14829.63 = 312.47

SCS/A(d) = 24² + 28² + ... + 17² - (261²/10 + 224²/10 + 182²/10) = 15225 - 15142.1 = 82.9

siendo C = (261 + 224 + 182)²/30 = 14829.63

CUADRO RESUMEN DEL AVAR: DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES (DATOS DE DIFERENCIA)

F0.99(2/27) = 5.49; F0.95(2/27) = 3.35

an-1=29 395.37Total

<0.0150.88156.23

3.07

(a-1)=2

a(n-1)=27

312.47

82.90

Entre Trat (A)

Intra grupos (S/A)

pFCMg.lSCF.V.

Comparación de los valores F

Fe Ft

Anova (y) = 16.5 F0.95(2/27) = 3.35

Ancova = 48.94 F0.95(2/26) = 3.37

Anova (bloq.) = 24.75 F0.95(2/21) = 3.47

Anova (gan.) = 50.88 F0.95(2/27) = 3.35