Deflexión de vigas

Considere una viga horizontal AB de la Figura 3.49(a). Se asume que la viga es

uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría se

indica por la línea punteada. Cuando está sometida a fuerzas, las cuales se

asumen que están en un plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su

elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la Figura 3.49

(b). Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas

externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría distorsionado

resultante, punteado en la Figura 3.49 (b), se llama la curva elástica. La

determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad y será

parte del propósito de esta sección mostrar cómo se hace esto.

Hay muchas maneras de apoyar vigas. Por ejemplo, la Figura 3.50 (a) muestra

una viga en la cual el extremo A está rígidamente fijo, .mientras que el extremo B

está libre, para moverse. Esto se llama una viga en voladizo. En la Figura 3.50 (b)

la viga está apoyada en 10s extremos A y B. Esta se llama una viga simplemente

apoyada. En tales casos la viga está asegurada en los extremos A y B de modo

que aunque esté fija en estos extremos, la rotación se puede dar alrededor de los

extremos. La Figura 3.50 (c) muestra aún otra manera de apoyar vigas.

Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes

maneras de aplicar fuerzas de carga externa. Por ejemplo, en la Figura 3.50 (a)

hay una carga uniformemente distribuida sobre toda la viga. Puede haber una

carga variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella como en la Figura

3.50 (b). Por otro lado puede haber una carga concentrada como se indica en la

Figura 3.50 (c). Considere la viga horizontal OB de la Figura 3.51 (a). Coloque el

eje de simetría (línea punteada) en el eje x tomado como positivo a la derecha y

con origen en 0. Escoja el eje y como positivo hacia abajo. Debido a la acción de

las fuerzas externas F,, F,, (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría

se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la Figura 3.51 (b),

donde hemos tomado la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva

elástica desde el eje x se llama la deflexión de la viga en la posición x. Así si

determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga.

Mostramos ahora cómo se puede obtener esto.

Sea M(x) el momento flexionante en una sección transversal vertical de la viga en

x. Este momento flexionante se define como la suma algebraica de los momentos

de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una

línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los momentos

adoptaremos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos

negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por

supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencionó antes. Como se

mostrará en el Ejemplo ilustrativo 1, no importa cuál lado de x se tome puesto que

los momentos flexionantes calculados desde cualquier lado son iguales.*

Mostraremos más tarde (ver página 143) que el momento flexionante en x está

simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en X,

siendo la relación.

Donde E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el

diseño de la viga, e Z es el momento de inercia de la sección transversal de la viga

en x con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de

esta sección transversal. El producto EZ se llama la rigidez flexural, y se

considerará como una constante.

Si asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para muchos

propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan pequeña que su

cuadrado es despreciable comparado con 1, y la ecuación (1) se puede remplazar

por la buena aproximación

Antes de presentar una derivación del resultado (1) del cual se obtiene la

aproximación (2), veamos cómo la ecuación (2) se puede usar.