UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFacultad de ingeniería

Programa de ingeniería civil

DEFORMACIÓN DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON SECCIÓN CONSTANTE.

W. Rivera1; L. Novoa2; E. Gonzalez2; V. Teran2; D. Zaraza2; J.

1 (Profesor de Hormigón de la Universidad de Cartagena); 2 (Estudiante de Ingeniería Civil de la Universidad de Cartagena)

RESUMENEn resistencia de materiales los cuerpos tienen un comportamiento por acción de fuerzas, las cuales provocan esfuerzos de tensión y compresión que se puede estudiar teniendo en cuenta el punto de vista estático y que pueden provocar diferentes fenómenos tales como deformaciones que se analizaran en el presente informe. Mediante esta práctica se obtuvo las deflexiones en una viga de acero a la cual se le aplicaron distintas fuerzas y en la cual variaba su sección transversal, afectando de esta forma el momento de inercia, de igual forma se calcularon estas deflexiones haciendo uso de diferentes métodos teóricos: carga unitaria, método de doble integración, momento de áreas y viga conjugada, mediante lo cual se obtuvieron errores porcentuales al comparar los resultados teóricos con los experimentales.

Palabras claves: viga, métodos, carga unitaria, momento de áreas, doble integración viga conjugada, deflexiones.

ABSTRACTIn strength of materials the bodies have a behavior action of forces, which cause tensile and compression can be studied considering the static point of view and may cause different phenomena such as deformations that were analyzed in this report. By this practice the deflection was obtained a steel beam to which is applied different forces and which varied cross-section, thereby affecting the moment of inertia, just as these deflections were calculated by using different methods theoretical: unit charge, the double integration method, time and conjugate beam areas, whereby the theoretical percentage by comparing the experimental results with errors is obtained.

Keywords: beam methods, unit load, time of areas, integration conjugated double girder, deflections.

1. INTRODUCCIÓN

Es de gran importancia para todo estudiante de ingeniería saber cómo se comportan los distintos materiales frente a las solicitaciones a las que están demandados para de antemano anticiparnos a los límites que cada material posee y tomar las medidas de contingencias necesarias para evitar la fatiga y deterioro de la infraestructura, de aquí la gran importancia de los ensayos físicos y mecánicos. Considerando que es muy importante el conocimiento de las deflexiones que presente la estructura para su análisis, ya que en esto se basa el estudio de la estructura en sí.

2. OBJETIVOS Estudiar el comportamiento de una viga simplemente apoyada de sección

constante, sometida a un sistema de cargas, haciendo un análisis de las deformaciones que presente.

Obtener las deformaciones haciendo uso del método de integración doble, momento de áreas, viga conjugada y

3. MARCO TEORICO3.1. Ley de Hooke [1]

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

ϵ= δL= F

AE(1)

Siendo   el alargamiento,   la longitud original : módulo de Young,   la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales.

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados

por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

σ ij=∑k , l

Cijkl ϵ kl(2)

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación   es una cantidad adimensional, el módulo   se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo   (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo   para el que la similitud entre   y   deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manufactura.

3.2. Deflexiones [2]

Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía.

Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elástico-lineal).

Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material.

Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las

deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes.En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen. 

3.3. Trazado tentativo de la curva elástica [2]

Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal.En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos. Antes de trazar un diagrama de momentos se debe definir una convención de momentos positivos o negativos según la concavidad que estos produzcan en el elemento. En elementos horizontales se puede asumir la siguiente convención, que coincide con dibujar los momentos para el lado que producen tracción.

Ilustración 1. Convención para el momento flector.

4. MATERIALES Y METODOS 4.1. Materiales Pesas Deformimetro Marco de ensayo Flexómetro Barra de acero4.2. Procedimiento experimental Realizar el montaje del marco de ensayo. Fijar la barra de acero al marco. Colocar los deformimetros en las posiciones donde se deseen calcular las

deflexiones. Aplicar sobre la viga diferentes cargas y registrar la lectura en cada

Deformimetro. Apoyar la viga sobre su otra dimensión y realizar nuevamente el

procedimiento anterior.5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Ilustración 2. Montaje experimental.

Los datos tomados en cada deformimetro para la viga de base de 2 cm, altura 1 cm y longitud de 78 cm durante el procedimiento de carga se encuentran registrados en la siguiente tabla, los deformimetros 1 y 2 estaban ubicados a 17 y 64 cm desde el apoyo 1 respectivamente.

Tabla 1. Deformación al cargar la viga 2.

Para el proceso de descarga se obtuvieron los datos de la tabla 2.

Tabla 2. Deformación al descargar la viga 2.

Fuerza aplicada

(N)

LecturaDeformimetro

110−3 pulg

LecturaDeformimetro

210−3 pulg

2,4 -3 -17,3 -8 -29,3 -9 -3

11,3 -12 -513,3 -14 -615,3 -16 -517,3 -19 -519,3 -21 -6

Fuerza aplicada

(N)

LecturaDeformimetro

110−3 pulg

LecturaDeformimetro

210−3 pulg

17,3 -21 -615,3 -19 -513,3 -16 -311,3 -14 -29,3 -12 07,3 -9 +12,4 -3 +50 -1 +6

Los signos (+) y (-) indican los casos en los cuales el deformimetro marcó una lectura mayor o menor a la inicial respectivamente.

Con la viga de 1cm de base y 2 cm de alto se obtuvieron los siguientes datos el proceso de carga.

Tabla 3. Deformación al cargar viga 1.

En el proceso de carga se obtuvieron los datos de la tabla 4.

 

6. ANALISIS DE RESULTADOS

La viga usada en la práctica se presenta a continuación, así como los momentos de inercia para las vistas transversales 1 y 2.

Tabla 4. Deformación al descargar la viga 1.

Fuerza aplicada

(N)

LecturaDeformimetro

110−3 pulg

LecturaDeformimetro

210−3 pulg

2,47,3 -1 -1

17,3 -4 -422,3 5 -527,3 -7 -637,3 -9 -867,3 -15 -10

Fuerza aplicada

(N)

LecturaDeformimetro

110−3∈¿

LecturaDeformimetro

210−3∈¿

37,327,3 -1 -122,3 -4 -417,3 5 -57,3 -7 -6

37,3 -9 -867,,3 -15 -10

Ilustración 3. Diagrama de cuerpo libre de la viga estudiada.

Ilustración 4. Vista transversal de la viga 1.

I 1=bh3

12=1×2

3

12=23cm4

I 2=bh3

12=2×1

3

12=16cm4

6.1. Graficas carga contra deformación de la viga

. Vista transversal de la viga 2.

Grafica 1. Viga 2: b= 2 cm, h= 1 cm.

Grafica 2. Viga 1: b= 1 cm, h= 2 cm.

por medio de la ecuación de la curva elástica hallada, se calcula el valor del módulo de elasticidad E del acero de la viga usada, tomando como referencia el resultado obtenido en el deformimetro para la aplicación de una carga de 19,3 N, la cual fue la mayor carga que se aplicó a la viga.

Ecuación de la curva de deflexión

yn= ⟨ x−a ⟩n={ 0 si x≤a( x−a )n si a<x ≤∝}

y=[ Px3

12−

P ⟨ x−L2 ⟩

3

6+Px12 [( L2 )

2

−L2]]/EI

Para x=17 cm, P=19,3 N, I= 1/6 cm4, L=78 cm, y y=0,021 in= 0,05334 cm, se tiene:

⟨ x−L2 ⟩=0, entonces:

E=

7,3×173

12+7,3×17

12 [( 782 )2

−782]−0,021× 1

6

= 44200,280,0035

=12628651,43N /cm2

6.2. Calculo de deflexión por el método de doble integración

Ilustración 6. Representación del método aplicado a la viga estudiada.

Teniendo en cuenta que la viga es simétrica, las reacciones en los apoyos de esta son las siguientes:

R1=F2

R2=F2

Para obtener la ecuación de la deflexión realizamos dos cortes en la viga, uno antes de la carga y otro después de esta, como se puede apreciar en el siguiente procedimiento:

paraL2

≤x ≤L

M x 1=F2

x−F ¿

EI y1' '=Fx

2−F (x− L

2)

EI y1' = F x2

4−

F (x− L2 )

2

2+C1(3)

EI y1=F x3

12−

F (x− L2 )

3

6+C1 x+C2(4 )

para0≤x ≤L2

M x 2=F2

x

EI y2' '=F2

x

EI y2' = F x2

4+C3(5)

EI y2=F x3

12+C3 x+C4(6)

Luego, para obtener el valor de las constantes de integración obtenidas anteriormente se tienen en cuenta los siguientes pasos:

1. En x=L2

, las pendientes y ´ para las dos partes de la viga deben ser iguales.

2. En x=L2

, las deflexiones y para las dos partes de la viga deben ser iguales.

3. En x=0, la deflexión es cero.4. En x=L, la deflexión es cero.

Aplicando el paso 1 a las ecuaciones 3 y 5, se obtiene:

y1' = y2

' en x= L2

F x2

4−

F (x−L2 )

2

2+C1=EI y2

' = F x2

4+C3

C1=C3(7 )

A partir del paso 2 se obtiene la siguiente ecuación:

y1= y2 en x= L2

F x3

12−

F (x− L2 )

3

6+C1 x+C2=

F x3

12+C3 x+C4

C2=C4(8)

Partiendo del paso 3, se obtiene la siguiente relación:

y=0en x=0

0=C4

Por último se obtiene el valor de la constante 2 partiendo del 4 paso:

y=0en x=L

F L3

12−

F (L− L2 )

3

6+C1L+C2=0

C1=−F L2

16=C3

y1=F x3

12EI−

F (x− L2 )

3

6 EI− F L2

16 EIx , para

L2≤ x≤ L(9)

y2=F x3

12EI− F L2

16 EIx , para0≤ x≤

L2

(10)

E=21000000 N

cm2

A partir de la ecuación 10 se obtuvo los resultados presentados en la siguiente tabla para la viga con momento de inercia I 1.

Deflexión 1 (¿)

Deflexión 2 (¿)

Error 1 (%)

Error 2 (%)

0,00043 0,00036 -- --0,0013 0,0011 30,51 9,810,0031 0,0026 22,67 34,930,0039 0,0033 20,26 32,900,0049 0,0041 30,27 31,550,0067 0,0056 25,90 29,85

0,012 0,0101 19,78 1,244Tabla 5. Deformación en la viga 1.

A partir de la ecuación 10 se obtuvo los resultados presentados en la siguiente tabla para la viga con momento de inercia I 2.

Deflexión 1(¿)

Deflexión 2 (¿)

Error 1 (%) Error 2 (%)

0,0016 0,0014 45,51 37,540,0049 0,0042 37,85 109,180,0063 0,0053 29,62 77,660,0077 0,0065 35,86 29,50,0091 0,0076 35,29 27,030,0104 0,0088 34,87 75,360,012 0,00992 37,98 98,290,013 0,0117 37,40 84,34

Tabla 6. Deformación e la viga 2.

6.3. Calculo de deflexión por el método de momento de área

Se tiene que el momento máximo provocado por la carga P en la viga es:

Mmáx=P(78)4 IE

En donde 78 es la longitud de la viga.

Ilustración 7. a) Diagrama de curva de deflexión. b) Diagrama de la razón entre momento y rigidez.

A partir del momento máximo se halla TD/A, que es la diferencia entre la deflexión en el punto A y la deflexión en el punto B, haciendo uso de las áreas A1 y A2 del diagrama de momentos:

T E / A=A1X1+A2X2

A1=A2=P L2

16EI

X1=L3Y X2=

2 L3

Por lo tanto:

T E / A=P L3

48 EI+ P L3

24 EI= 72P L3

1152EI= P L3

16 EI

Entonces, teniendo el valor de TE/A, se obtiene el valor de ángulo de deflexión en el punto A A:

θA=T E /A

L=

PL3

16 EIL

= P L2

16 EI

Luego, como se puede apreciar en el diagrama de la curva de deflexión de la viga:

T B /A+δB=d1×θ A

δB=d1×θA−T B/ A

T D / A+δD=(L−d2)×θ A

δD=(L−d2)×θ A−T D /A

Los valores para TB/A y TD/A se hallan a partir del área del diagrama de momento entre los puntos A y B, y los puntos A y D, respectivamente:

T B /A=A12× X12

A12=Pd12EI

d12

=Pd1

2

4 EI

X12=13d1

T B /A=Pd1

3

12EI

T D / A=A1× X1+A2× X2+A22× X22

A22=Pd2

2

4 EIY X22=

d23

T D / A=P L3

48 EI+ P L3

24 EI−

Pd23

12 EI

Con estas ecuaciones se obtienen las deflexiones en los puntos B y D, como sigue:

δB=P L2d116 EI

−P d1

3

12EI(11)

δD=P L2 ( L−d 2 )16 EI

−P(L−d¿¿2)3

12 EI(12)¿

Haciendo uso de las ecuaciones 11 y 12 obtenemos los resultados presentados en las siguientes tablas para cada vista transversal de la viga.

Deflexión 1 (¿)

Deflexión 2 (¿)

Error 1 (%)

Error 2 (%)

0,00043 0,00036 -- --0,0013 0,0011 30,51 9,810,0031 0,0026 22,67 34,930,0039 0,0033 20,26 32,900,0049 0,0041 30,27 31,550,0067 0,0056 25,90 29,850,012 0,0101 19,78 1,244

Tabla 7. Deformación en la viga 1.

Deflexión 1(¿)

Deflexión 2 (¿)

Error 1 (%) Error 2 (%)

0,0016 0,0014 45,51 37,540,0049 0,0042 37,85 109,180,0063 0,0053 29,62 77,660,0077 0,0065 35,86 29,50,0091 0,0076 35,29 27,030,0104 0,0088 34,87 75,360,012 0,00992 37,98 98,29

0,013 0,0117 37,40 84,34Tabla 8. Deformación en la viga 2.

6.4. Calculo de deflexión por el método de viga conjugada

Teniendo en cuenta el diagrama de momento de la viga simplemente apoyada se pudo realizar un segundo modelo de viga para determinar las deflexiones que presenta la primera de estas. Para lo anterior se determinaron los momentos de la viga de la ilustración 8.

Ilustración 8. Viga conjugada.

Al realizar el corte cc’ se obtuvieron las siguientes ecuaciones de cortante y

momento:

Ilustración 9. Corte de la viga conjugada.

V=−RY

EI+ xy2 EI

V=−p l2

16 EI+ px2

x2 EI

V=−P L2

16 EI+ Px2

4 EI(13)

M=VxEI

− p x2 x4 EI

M=−P L2 x16 EI

+ P x2 x4 EI

− p x2

4 EI2 x3

M=−P L2 x16 EI

+ p x3

12EI(14)

Teniendo en cuenta que M (x )=δ( x)se obtuvieron los siguientes valores para la viga 1:

Deflexión 1 (¿)

Deflexión 2 (¿)

Error 1 (%)

Error 2 (%)

0,00043 0,00036 -- --0,0013 0,0011 30,51 9,810,0031 0,0026 22,67 34,930,0039 0,0033 20,26 32,900,0049 0,0041 30,27 31,550,0067 0,0056 25,90 29,850,012 0,0101 19,78 1,244

Tabla 9. Deformación de la viga 1.

Para la viga 2 se obtuvo:

Deflexión 1(¿)

Deflexión 2 (¿)

Error 1 (%) Error 2 (%)

0,0016 0,0014 45,51 37,540,0049 0,0042 37,85 109,180,0063 0,0053 29,62 77,660,0077 0,0065 35,86 29,50,0091 0,0076 35,29 27,030,0104 0,0088 34,87 75,360,012 0,00992 37,98 98,290,013 0,0117 37,40 84,34

Tabla 10. Deformación de la viga 2.

6.5. Calculo de deflexión por el método de carga unitaria6.6. Calculo del esfuerzo cortante máximo en la viga y su punto de

aplicación

El cortante máximo en la viga es la mitad de la carga puntual presente en esta:

V max=F2

El cálculo del esfuerzo cortante se realiza a partir de la siguiente ecuación:

τ=VQIb

(17 )

Donde v: cortante máximo, I: momento de inercia y b: la base de la vista transversal de la viga.

Remplazando el valor del cortante máximo en la ecuación 17 se obtiene la ecuación utilizada para hallar el esfuerzo cortante máximo en la viga en cuestión:

τ= 3 F4bh

(18 )

Donde h: la altura de la vista transversal de la viga.

El punto de aplicación del esfuerzo cortante máximo se encuentra justo a la mitad, debido a que la viga es simétrica y sola presenta dos apoyos simples en sus extremos con una única carga concentrada, el punto de aplicación es 39 cm.

A partir de la ecuación 18 se obtuvo el valor de τ para cada viga haciendo variar el valor de la carga F.

F (N) (N/cm2)2,4 0,97,3 2,7375

17,3 6,487522,3 8,362527,3 10,237537,3 13,987567,3 25,2375

Tabla 13. Esfuerzos cortantes en la viga 1.

F (N) (N/cm2)2,4 0,97,3 2,73759,3 3,4875

11,3 4,237513,3 4,987515,3 5,737517,3 6,487519,3 7,2375

Tabla 14. Esfuerzos cortantes en la viga 2.

7. CONCLUSIONES

A partir de los resultados obtenidos experimentalmente y de los cálculos realizados para la obtención de las deflexiones en una viga de sección constante, se puede concluir que existe un error considerablemente alto entre los datos experimentales y los obtenidos haciendo uso de los métodos de doble integración, momento de área, viga conjugada y carga unitaria, estos errores evidencian que ya sea el método practico o el teórico, no debe ser considerado del todo confiable.

Debido a la simetría de la viga y el hecho de que solo presenta una carga concentrada en el centro de la misma, se predice que las deflexiones en ambos lados serán iguales y que el esfuerzo cortante máximo se encuentra ubicado en el mismo punto de concentración de la carga puntual y que este es máximo en el eje neutral de la viga.

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke, consultado 03/02/2014 a las 11:44 horas.

[2]http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria%20deflexion/deflexiones.htm consultado 03/02/2014 a las 11:52 horas.