TEMA: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

DEPARTAMENTO DE ENERGÍA Y MECÁNICACARRERA DE MECÁNICA

LABORATORIO DE MECÁNICA DE MATERIALES II

NRC: 1766

INFORME DE LABORATORIO No. 01

TEMA: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

PROFESOR: ING. JOSÉ PÉREZ

INTEGRANTES:

1. Eduardo Cajas2. Fabricio Cañar

3. Magaly Chicaiza4. Cristian De la Cruz

5. Ariana Villalba

05/11/2015 - SANGOLQUI

OBJETIVO:

Analizar los esfuerzos y deflexiones en una viga simplemente apoyada

MARCO TEÓRICO:

DEFLEXIÓN

Desplazamiento (δ), de un punto de la viga cuando se aplica una fuerza. Existen fórmulas

teóricas que permiten determinarla, en función de la fuerza P, la longitud L, el módulo de

elasticidad del material E y el momento de inercia de la sección I.

ELÁSTICA DE LA VIGA

La curva que adopta el eje longitudinal deformado de la viga, cuando se aplica una fuerza.

Existen ecuaciones teóricas que permiten determinarla, en función de la abscisa X, la fuerza P, la

longitud L, el módulo de elasticidad del material E y el momento de inercia de la sección I.

EQUIPO MM-45:

1. Calibrador pie de rey, micrómetro, flexómetro

2. Vigas de diferentes materiales de sección rectangular (acero, aluminio)

3. Pesos de diferente valor

4. Portapesas

5. Sensor de desplazamiento (potenciómetro lineal)

6. Celdas de carga

PROCEDIMIENTO:

1. Medir las dimensiones de la sección transversal (ancho, altura) y la longitud.

2. Colocar la viga en forma tal que la mayor dimensión esté horizontal.

3. Colocar el portapesas en la posición C, el potenciómetro lineal en la posición C y encerar

los instrumentos de medición en el tablero de control, seleccionando el ensayo

correspondiente.

4. Aplicar una carga P en la mitad de la longitud de la viga.

5. Tomar las lecturas en la HMI del desplazamiento ΔC y las reacciones en las celdas de carga

A y B.

6. Colocar la viga en forma tal que la mayor dimensión esté vertical.

7. Proceder de idéntica manera que el caso anterior

8. El valor que muestre la HMI en el desplazamiento será la deflexión practica

9. Considerar ΔA=ΔB=0 para el cálculo teórico.

10. Hacer firmar las hojas de registro

PREGUNTAS PARA EL INFORME:

1. Comparar el esfuerzo flector máximo teórico (utilizando para el cálculo del momento

flector las reacciones en los apoyos obtenidas con las ecuaciones de la estática), con el

esfuerzo flector máximo práctico (utilizando para el cálculo del momento flector las

reacciones medidas en los apoyos)

De la tabla de datos sabemos que:

Latón

Fuerza [Kgf] Fuerza [N] CC1 [gf] CC1 [N] CC2 [gf] CC2[N] ΔX [mm]

Datos en horizontal

1 9,81 461 4,52241 455 4,46355 8,64

465 4,56165 458 4,49298 8,73

457 4,48317 450 4,4145 8,57

Valor Promedio

461 4,52241 454,3333 4,45701 8,646667

Datos en vertical

2,5 24,525 1245 12,21345 1226 12,02706 2,62

1239 12,15459 1220 11,9682 2,63

1246 12,22326 1223 11,99763 2,6

Valor Promedio

1243,333 12,1971 1223 11,99763 2,616667

Aluminio

Fuerza [Kgf] Fuerza [N] CC1 [gf] CC1 [N] CC2 [gf] CC2[N] ΔX [mm]

Datos en Horizontal

1 9,81 448 4,39488 444 4,35564 11,54

461 4,52241 455 4,46355 11,85

446 4,37526 441 4,32621 11,49

Valor Promedio

451,6667 4,43085 446,6667 4,3818 11,62667

Datos en vertical

2,5 24,525 1232 12,08592 1215 11,91915 3,54

1229 12,05649 1213 11,89953 3,52

1228 12,04668 1211 11,87991 3,54

Valor Promedio

1229,667 12,06303 1213 11,89953 3,533333

Latón (Viga Horizontal):

P=1 kg∗9.81m / s2= 9.81 NL=1200 mm=1.20 ma=600 mm=0.60 mb=1200 mm=1.20 m

TEÓRICO:

R1=P∗b

L=9.81 N∗0.60 m

1.20 m=4.905 N

R2=P∗a

L=9.81 N∗0.60 m

1.20 m=4.905 N

M= P a bL

=9.81∗0.6∗0.61.20

=2.943 N∗m

I= 112

b h3= 112

(19 ) (6.24 )3=384.703 m

σ=MyI

=2.943∗0.00312

384.7∗10−10=23.868 N /m m2

PRÁCTICO:

R1=4.52241+4.56165+4.48317

3=4.52241 N

R2=4.35564+4.46335+4.32621

3=4.3818 N

Sección0< x<0.6 m :

M=R1 x=4.52241 N∗600 mm=2.713446 N m=2713.446 N mm

σ=MyI

=2713.446∗3.12

3.84∗10−10=22.006 N /m m2

MATERIAL TEÓRICOσ [N /mm2]

PRÁCTICOσ [N /mm2]

ERROR %

Latón (Viga Horizontal) 23.868 22.006 8.45

Latón (Viga Vertical):

P=2.5 kg∗9.81 m /s2= 24.525 NL=120cm=1200 mm=1.2 ma=60 cm=600 mm=0.6 mb=60 cm=600 mm=0.6 m

TEÓRICO:

R1=PbL

=24.525∗0.61.2

=12.2625 N

R2=PaL

=24.525∗0.61.2

=12.2625 N

M max=Pab

L=24.25∗0.6∗0.6

1.2=7.275 N m=7275 N mm

I= 112

b h3= 112

(6.24 ) (19 )3=3566.68 m m4

σ=MyI

=7275∗953566.68

=19.37726 N /mm2

PRÁCTICO:

R1=12.21345+12.15459+12.22326

3=12.1971 N

R2=12.02706+11.9682+11.99763

3=11.99763 N

Sección0< x<0.6 m :

M=R1 x=12.1971 N∗0.6 m=7.3182 N m=7318.26 N mm

σ=MyI

=7318.26∗9.53566.68

=19.492 N /m m2

MATERIAL TEÓRICOσ [N /mm2]

PRÁCTICOσ [N /mm2]

ERROR %

Latón (Viga Vertical) 19.377 19.492 0.5899

Aluminio (Viga Horizontal):

P=1 kg∗9.81m / s2= 9.81 NL=120cm=1200 mm=1.2 ma=60 cm=600 mm=0.6 mb=60 cm=600 mm=0.6 m

TEÓRICO:

R1=PbL

=9.81∗0.61.2

=4.905 N

R2=PaL

=9.81∗0.61.2

=3,264 N

M max=Pab

L=9.81∗0.6∗0.6

1.2=2.943 N m=29436.3 N mm

I= 112

b h3= 112

(19.1 ) (6.35 )3=407.5428 m m4

σ=MyI

=2943∗3.175407.5428

=22.9277 N /mm2

PRÁCTICO:

R1=4.39488+4.52241+4.37526

3=4.43085 N

R2=4.35564+4.46355+4.32621

3=4.3818 N

Sección0< x<0.6 m :

M=R1 x=4.43085 N∗0.6 m=2.65851 N m=2658.51 N mm

σ=MyI

=2658.51∗3.175407.5428

=20.711 N /m m2

MATERIAL TEÓRICOσ [N /mm2]

PRÁCTICOσ [N /mm2]

ERROR %

Aluminio (Viga Horizontal) 22.927 20.711 9.668

Aluminio (Viga Vertical):

P=2.5 kg∗9.81 m /s2= 24.525 NL=120cm=1200 mm=1.2 ma=60 cm=600 mm=0.6 mb=60 cm=600 mm=0.6 m

TEÓRICO:

R1=PbL

=24.525∗0.61.2

=12.2625 N

R2=PaL

=24.525∗0.61.2

=12.2625 N

M max=Pab

L=24.525∗0.6∗0.6

1.2=7.3575 N m=7357.5 N mm

I= 112

b h3= 112

(6.35 ) (19.1 )3=3687.1651m m4

σ=MyI

=7357.5∗9.553687.1651

=19.056 N /mm2

PRÁCTICO:

R1=12.05892+12.05649+12.04668

3=12.06303 N

R2=11.91915+11.89953+11.87991

3=11.89953 N

Sección0< x<0.6 m :

M=R1 x=12.06303 N∗0.6 m=7.238 N m=7237.818 N mm

σ=MyI

=7237.818∗9.553687.1651

=18.746 N /mm2

MATERIAL TEÓRICOσ [N /mm2]

PRÁCTICOσ [N /mm2]

ERROR %

Aluminio (Viga Vertical) 19.056 18.746 1.6267

2. Consultar la fórmula de la deflexión de la viga en la mitad de la longitud.

Formula de Flexión en la mitad de la longitud de la viga

Se obtiene mediante los momentos flexionantes para cada parte de la viga:

M= PbxL

M= PbxL

−P(x−a)

Para las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión, se sustituyen las expresiones para el momento flexionante, así:

EI v ' '= PbxL

(0≤ x≤ a)

EI v ' '= PbxL

−P(x−a)(a≤ x≤ L)

Las primeras integraciones de las ecuaciones diferenciales nos proporcionan las pendientes y deflexiones de la viga:

EI v '=Pb x2

2 L+C1(0 ≤ x ≤ a)

EI v '=Pb x2

2 L−

P ( x−a )2

2+C2(a≤ x ≤ L)

Al integrarse nuevamente obtenemos:

EIv= Pb x3

6 L+C1 x+C3(0 ≤ x≤ a)

EIv= Pb x3

6 L−

P (x−a )3

6+C2 x+C4 (a ≤ x ≤ L)

Las cuatro constantes de integración se pueden determinar a partir de las siguientes cuatro condiciones:

1. En x = a, las pendientes v′ para las dos partes de la viga son las mismas.2. En x = a, las deflexiones v para las dos partes de la viga son las mismas.3. En x = 0, la deflexión v es cero.4. En x = L, la deflexión v es cero.

Las primeras 2 condiciones con de discontinuidad basadas en el hecho de que el eje de la viga es una curva continua. Las condiciones 3 y 4 son condiciones de frontera que se deben satisfacer en los apoyos. Es decir que la condición 1 significa que las pendientes determinadas con las ecuaciones de las pendientes; es decir:

Pb a2

2 L+C1+

P ba2

2 L+C2 o C1=C2

La condición 2 significa que las deflexiones en las ecuaciones de la segunda integración debe ser iguales cuando x=a; por tanto,

Pb a2

6 L+C1a+C3=

P ba2

6 L+C2 a+C ? 4 dado queC1=C2 , obtenemos queC3=C4

Aplicamos la condición 3 y se obtiene que C3=C4=0.

De la condición 4 obtenemos:

Pb L2

6−P b3

6+C2 L=0

Por tanto,

C1=C2=−Pb(L¿¿2−b2)

6 L¿

Se reemplaza las constantes de integración en las ecuaciones para las deflexiones y obtenemos las ecuaciones de deflexión para las 2 partes de la viga.

v=−Pbx6 LEI

( L2−b2−x2 )(0 ≤ x≤ a)

v=−Pbx6 LEI

( L2−b2−x2 )− P(x−a)3

6 EI(a ≤ x≤ L)

La primera de estas ecuaciones da la curva de deflexión para la parte de la viga a la izquierda de la carga P y la segunda da la curva de deflexión para la parte de la viga a la derecha de la carga. Su buscamos obtener las pendientes se aplica la primera derivada a las ecuaciones previas, de la siguiente manera:

v '= −Pb6 LEI

( L2−b2−3 x2 )(0≤ x≤ a)

v '=−Pbx6 LEI

( L2−b2−3 x2 )− P(x−a)2

2 EI(a ≤ x≤ L)

Para obtener los ángulos de rotación θA y θB en los extremos de la viga sustituimos x=0 y x=L, así:

θA=−v ' (0 )=Pb ( L2−b2 )6 LEI

=Pab (L+b)

6 LEI

θA=v ' ( L )= Pb ( L2−b2 )6 LEI

=Pab(L+a)

6 LEI

Observe que el ángulo θA es en el sentido de las manecillas del reloj θB es en sentido contrario, como se ve en la figura:

Los ángulos de rotación son funciones de la posición de la carga y alcanza sus valores máximos cuando este se ubica cerca del punto medio de la viga, en caso de A el valor máximo se define como:

(θA ) max=P L2√327 EI

3. Comparar la deflexión teórica con la práctica en la mitad de la longitud de la viga, obteniendo su error porcentual.

Latón (Viga Horizontal):

P=1 kg∗9,81m / s2= 9,81 NL=120cm=1,20ma=60 cm=0,60 mb=60 cm=0,60 mE=97 GPa=97000 N /m m2

I=384.703 m m4

TEÓRICO:

δ C=Pb(3 L2−4 b2)

48 EI=

9,81∗600(3¿12002−4¿6002)48∗97000∗384,703

=9,463 mm

PRÁCTICO:

δC=8,64+8,73+8,57

3=8,646 mm

MATERIAL TEÓRICOδC(mm)

PRÁCTICOδC(mm)

ERROR %

ALUMINIO(HORIZONTAL) 9,463 8,646 8,633

ANÁLISIS: El error causado puede ser por el tambaleo de la viga a la hora de ubicar las pesas.

Latón (Viga Vertical):

P=2,5 kg∗9,81 m /s2= 24,525 NL=120cm=1,20ma=60 cm=0,60 mb=60 cm=0,60 mE=97 GPa=97000 N /m m2

I=3566.68 m m4

TEÓRICO:

δC=Pb(3 L2−4 b2)

48 EI=

24,525∗600(3¿12002−4¿6002)48∗97000∗3566.68

=2,551mm

PRÁCTICO:

δ C=2,62+2,63+2,60

3=2,616 mm

MATERIAL TEÓRICOδC (mm)

PRÁCTICOδC (mm)

ERROR %

ALUMINIO(HORIZONTAL)

2,551 2,616 2,54

ANÁLISIS: El error causado es considerable, quizás no se ubicó exactamente la pesa en el lugar establecido y por el tambaleo de la viga.

ALUMINIO (VIGA HORIZONTAL):

P=1 kg∗9,81m / s2= 9,81 NL=1200 mm=1,20 ma=600 mm=0,60 mb=600 mm=0,60 m

E=70GPa=70000 N /m m2

I=407.54 mm4

TEÓRICO:

δC=Pb(3 L2−4 b2)

48 EI=

9,81∗600(3¿12002−4¿6002)48∗73000∗407.54

=11,870mm

PRÁCTICO:

δ C=11,54+11,85+11,49

3=11,626mm

MATERIAL TEÓRICO

PRÁCTICO

ERROR %

δC(mm) δC(mm)ALUMINIO(HORIZONTAL)

11,870 11,626 2,055

ANÁLISIS: El error es bajo, se puede decir que es por la falta de exactitud al medir las distancias del punto de aplicación de la fuerza a los apoyos, que perjudica al valor de la inercia

ALUMINIO (VIGA VERTICAL):

P=2,5 kg∗9,81 m /s2= 24,525 NL=1200 mm=1,20 ma=600 mm=0,60 mb=600 mm=0,60 m

E=73GPa=73000 N /m m2

I=3687,165 m m4

TEÓRICO:

δ C=Pb(3 L2−4 b2)

48 EI=

24,525∗600(3¿12002−4¿6002)48∗73000∗3687,165

=3,280 mm

PRÁCTICO:

δC=3,54+3,52+3,54

3=3,533 mm

MATERIAL TEÓRICOδC (mm)

PRÁCTICOδC (mm)

ERROR %

ALUMINIO(HORIZONTAL)

3,280 3,533 7,71

ANÁLISIS: El error causado puede ser por el tambaleo de la viga a la hora de ubicar las pesas.

4. Consultar la ecuación de la elástica de la viga

Cuando una viga recta está sujeta a cargas y el comportamiento es elástico, el eje centroidal de la viga es una curva definida como la curva elástica. La ecuación diferencial de la curva elástica puede obtenerse a partir de la viga flexionada como se muestra a continuación:

Representación de la curva elástica

Considerando un punto en el eje de coordenadas x al aplicar una carga P, se obtiene un desplazamiento conocido como deflexión δ, la curva que forma el eje después de aplicada la fuerza se conoce como elástica de la viga:

EId2 δd2 x

=M

Donde es evidente que dδdx

= tan θ que es la pendiente de la curva elástica.

5. Conclusiones

La deflexión de una viga depende de la rigidez del material y de las dimensiones de la viga, así como de las cargas aplicadas y de los apoyos.

La viga ofrece mayor resistencia si se encuentra con la mayor longitud en una posición vertical.

La ecuación diferencial de una elástica de viga sirve para calcular deflexiones muy pequeñas.

Logramos darnos cuenta como gracias a la ecuación de la elástica nos permite describir y calcular completamente varios aspectos muy importantes dentro del diseño y escogimiento de materiales.

Es de vital importancia conocer el comportamiento de un elemento, dado su forma, propiedades mecánicas y condiciones en las que trabajara para poder asegurar un correcto trabajo del mismo en aplicaciones reales.

Los errores que sobrepasan el 5% en la pregunta 1 puede deberse al pandeo de la barra durante la colocación de las pesas, o que el peso no estaba en la mitad como se estableció.

OBSERVACIONES:

Trabajar en unidades N, mm

BIBLIOGRAFÍA:

Gere, J. (2006). Mecánica de Materiales.