Introduccin

Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada

UNEFA

Ncleo Nagunagua

Integrantes:

Joanne Rodrguez

Karla Snchez

Laura Guerrero

Gilcenia BelloLeiber ParadasLuisana RojoSeccin: TA

Semestre: IIIIng. De Petrleo

Valencia, Abril 2011

ndice

Introduccin3

Funcin Densidad Conjunta f.d.p Conjunta4

Funcin Densidad Marginal5

Funcin Densidad Condicional f.d.p Condicional.6

Independencia de Variables y su relacin con f.d conjunta7

Definicin de variables aleatorias independientes7

Esperanza matemtica de funciones de variables aleatorias8

Extensin al caso n-dimensional 10

Conclusiones.11

Bibliografa12

Introduccin

La estadstica es la parte de la matemtica que estudia el comportamiento de variables aleatorias. Esta se define como aquellas variables cuyos valores no estn fijados, sino que cada uno de ellos tiene una probabilidad de que se produzcan. Debido a esto es necesario conocer con profundidad este tipo de variables.

El estudio de las variables aleatorias bidimensionales es importante ya que en muchos casos, puede ser empleado para registrar los resultados simultneos de diversas variables aleatorias. Ejemplo al medir la cantidad de precipitado P y volumen V de gas liberado en un experimento qumico dando lugar a un espacio muestral bidimensional que consiste en los resultados (p, v)

A continuacin se darn a conocer conceptos como lo son la funcin de densidad conjunta, marginal y condicional, el valor esperado o esperanza matemtica, variable aleatoria independiente.

Variables Aleatorias Bidimensionales en determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de ms de una dimensin, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando variables aleatorias (v.a.) bidimensionales o n-dimensionales.

En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos caractersticas del fenmeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos v.a. para intentar explicar la posible relacin entre ellas.

Funcin de Densidad Continua cuando X y Y son variables aleatorias continuas, la funcin de densidad conjunta f( x, y) es una superficie sobre el plano xy, y P[ ( X, Y )...

Funcin Densidad Conjunta f.d.p Conjunta

El estudio de variables aleatorias y su distribucin de probabilidad, en lo aprendido anteriormente ha estado restringido a espacios mustrales unidimensionales en los que registramos los resultados asumidos por una sola variable en un experimento. Sin embargo habr situaciones en las que convenga registrar resultados simultneos de diferentes variables aleatorias.

Definicin:

Se dice que dos variables aleatorias X e Y tienen una distribucin continua conjunta si existe una funcin NO negativa f definida sobre todo el plano xy tal que para cualquier subconjunto A del plano,

La funcin f se denomina funcin de densidad de probabilidad conjunta o f.d.p conjunta, de X e Y. Tal f.d.p conjunta debe satisfacer las dos condiciones siguientes:

La probabilidad de que el par (X,Y) pertenezca a cualquier regin del plano xy se puede determinar integrando la f.d.p conjunta f(x,y) sobre esa regin.

EL volumen total por debajo de la superficie z =f(x, y) y por encima del plano xy debe ser 1. La probabilidad de que el par (X, Y) pertenezca al rectngulo A es igual al volumen de la figura slida con base que se muestra a continuacin. La parte superior de la figura slida est formada por la superficie z = f(x, y).

Ejemplo:

En un estudio para determinar la posibilidad de graduacin en una universidad, basado en datos de estudios anteriores, debemos usar un espacio bidimensional y registrar para cada individuo el resultado de su examen de aptitud y las calificaciones de bachillerato.

Podemos medir la cantidad de precipitado P y el volumen V de un gas, generado durante un experimento qumico controlado, teniendo as un espacio muestral (p, v).

Tambin se puede medir la dureza D y el esfuerzo a la tensin T del cobre estruido en fro cuyo resultado son (d, t).

Funcin Densidad Marginal

En la parte anterior observamos que si se conoce la f.d. conjunta F de dos variables aleatorias X e Y, entonces se puede obtener la f.p. F1 de la variable aleatoria X a partir de F. En este contexto en que la distribucin de X se obtiene a partir de la distribucin conjuntas de X e Y, F1 se denomina f.d marginal de X. Anlogamente, si se conoce la f.p. conjunta o la f.d.p conjunta de X e Y, entonces se puede obtener la f.p marginal o f.d.p. marginal de cada variable aleatoria a partir de .

Aqu hay que tener cuidado, ya que cuando se calcula la densidad conjunta, hay que fijarse bien en el dominio de las otras variables.

Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por X (X) y Y(Y) , respectivamente, estn dada por

X(X) = f(x, y)dy, para - = 0 y

Caractersticas:

La definicin es paralela a la P(B | A), que es la probabilidad condicional de que B ocurra, dado que A ha ocurrido.

La f.d.p Condicional g1(x|y) de X debe ser proporcional a f(x, yo). En otras palabras, g1(x|y) es esencialmente igual que f(x, yo), pero incluye un factor constante 1/ [f2(yo)] que se necesita para que la integral de la f.d.p condicional sobre todos los valores de X sea la unidad.

Uso:

Sirve para estudiar la posibilidad de que ocurra un X, bajo la ocurrencia de Y; o viceversa.

Independencia de Variables y su relacin con f.d conjunta

Definicin:

Segn DeGroot, 1988, Se dice que dos variables aleatorias X e Y son independientes si, para dos conjuntos cualesquiera A y B de numeros reales

Definicin de variables aleatorias independientes

Dadas X e Y, variables aleatorias con funciones de densidad de probabilidad fx y fy , respectivamente, se dice que son independientes si

donde f designa a la funcin de densidad conjunta de la variable bivariante (X,Y) .

Otra forma de exponer este concepto, pasa por considerar los sucesos A y B, de la experiencia aleatoria, determinados por dos conjuntos de valores numricos de X e Y, respectivamente. La independencia de X e Y se traduce en la independencia entre A y B, es decir, la probabilidad de que tengan lugar los sucesos A y B simultneamente debe coincidir con el producto de la probabilidad de realizacin de A por la de B :

Esta definicin puede extenderse a k variables aleatorias Y1 , Y2 , ... , Yk , donde la independencia entre ellas est asegurada si

donde f y fi designan las funciones de densidad conjunta de (Y1,Y2 ,...,Yk) y de Yi , respectivamente.

Esperanza matemtica de funciones de variables aleatoriasEn estadstica la esperanza matemtica (tambin llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el nmero que formaliza la idea de valor medio de un fenmeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado nmero de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemtica en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido ms general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el clculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmtica.

Una aplicacin comn de la esperanza matemtica es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo nmero paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, as que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemtica del beneficio para apostar a un solo nmero es:

que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperara, en media, perder unos 5 cntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

Nota: El primer parntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de $1, por eso es negativo el valor. El segundo parntesis es la esperanza matemtica de ganar los $35. La esperanza matemtica del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

DefinicinPara una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la funcin de probabilidad p(xi) la esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la funcin de densidad :

La definicin general de esperanza se basa, como toda la teora de la probabilidad, en el marco de la teora de la medida y se define como la siguiente integral:

La esperanza tambin se suele simbolizar con Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Ms importantes son los momentos centrados .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribucin de Cauchy no lo tiene.

PropiedadesLa esperanza es un operador lineal, ya que:

Combinando estas propiedades, podemos ver que -

donde e son variables aleatorias y y y son tres constantes cualesquiera.

Extensin al caso n-dimensional

Distribuciones marginales

Si (X ,Y) es una variable aleatoria bidimensional, llamaremos variables marginales a cada una de las variables componentes, X e Y , y a sus distribuciones respectivas, distribuciones marginales.

Intuitivamente, dos sucesos son independientes cuando el conocimiento de la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro. Este concepto se puede extender a variables aleatorias.

En este contexto, si (X ,Y) es una variable aleatoria bidimensional, y sabemos que Y ha tomado el valor y , diremos que X e Y son variable aleatorias independientes cuando este conocimiento no modifica la distribucin de probabilidad de X . Esta idea se puede generalizar al caso de variables aleatorias ndimensionales.

Independencia de variables aleatorias bi y ndimensionales

Teorema:

Sea (X ,Y) una variable aleatoria bidimensional: Entonces, X e Y son independientes si y solo si:

Si (X ,Y) es discreta con distribucin de probabilidad

se verifica que:

Si (X ,Y) es continua con funcin de densidad f (x,y) , se verifica que

Esta caracterizacin se extiende al caso de n variables y debido a su gran importancia se describe a continuacin.

Teorema:

Sea una variable aleatoria ndimensional. Entonces, las variables X 1,,X nSon independientes si y solo si se verifica

Si es discreta,

Si es contina con funcin de densidad f,

Conclusiones.

1. Si X e Y tienen una distribucin continua conjunta, entonces se puede concluir que:

Cualquier punto o cualquier sucesin infinita de puntos, en el plano xy tiene probabilidad 0

Cualquier curva unimensional en el plano xy tiene probabilidad 0. Por tanto la probabilidad de que (X, Y) pertenezca a cualquier recta en el plano es 0 y la probabilidad de que (X, Y) pertenezca a cualquier recta en el circulo es 0.

Sirve para evaluar 2 o ms v. a. continas simultneamente.

2. Si X e Y tienen una distribucin continua Marginal, entonces se puede concluir que:

Evala solo lo que es importante en el caso que se esta estudiando, marginando al resto de variables aleatorias

Bibliografa http://www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica.htm

http://ima.udg.edu/~sainz/doctor_int2.pdf

http://kuainasi.ciens.ucv.ve/ideas07/documentos/articulos_ideas/Articulo87.pdf

http://docencia.mat.utfsm.cl/~rhidalgo/files/cursillo.pdf

www.seqc.es

http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matemtica

http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/def_var_indepen.html

http://html.rincondelvago.com/estadistica_49.html

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