Escuela Politécnica Nacional

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CONTROL AUTOMÁTICO

CONSULTA

NOMBRE: KEVIN LORA

FECHA: Julio de 2015

DIAGRAMAS DE BODE

Un diagrama de Bode está formado por 2 gráficas: una es la del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia (FT) y la otra es la gráfica del ángulo de fase. Ambas se dibujar con la frecuencia en escala logarítmica.

La ventaja de utilizar estos diagramas es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma. Además, se cuenta con un método simple para dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación mediante asíntotas (líneas rectas) es suficiente si solo se necesita información general sobre las características de la respuesta en frecuencia. No es posible dibujar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencia logarítmica (log 0=-∞), pero no es un problema serio.

FATORES BÁSICOS DE G(jw)H(jw)

Los factores básicos que suele presentar una FT arbitraria G(jw)H(jw) son:

1) La ganancia KUn número >1 tiene un valor positivo en dB, mientras que un número <1 tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la FT es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la FT en la cantidad correspondiente, pero no afecta a la curva de fase.

2) Los factores integrales y derivativos (jw)+-1

La magnitud logarítmica de 1/jw en decibelios es:

20 log| 1jw|=−20 logwdB

El ángulo de fase de 1/jw es constante e igual a -90°.En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 10w1, donde w1 es cualquier frecuencia.

3) Los factores de primer orden (1+jwT)+-1

La magnitud logarítmica de este factor es:

20 log| 11+ jwT |=−20 log√1+w2T 2dB

La frecuencia en la cual dos asíntotas se encuentran se denomina frecuencia esquina o frecuencia de corte. Para el factor 1/(1+jwT), la frecuencia w=1/T es la frecuencia esquina.

El ángulo de fase Ф exacto del factor 1/(1+jwT) es

Ф=−tan−1wTEn una frecuencia cero, el ángulo de fase es 0°. En la frecuencia esquina, el ángulo de fase es:

Ф=−tan−1 TT

=45 °

4) Los factores cuadráticos [1+2ƹ(jw/wn)+(jw/wn)2]+-1

Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma:

G ( jw )= 1

1+2ƹ ( j wwn )+( j wwn )2

Si ƹ>1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales. Si 0<ƹ<1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados. Las aproximaciones asintóticas para las curvas de respuesta en frecuencia no son precisas para un factor con valores bajos de ƹ. Esto se debe a que la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia esquina y del factor de amortiguamiento relativo ƹ.

PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR DIAGRAMAS DE BODE

o Primero se escribe la FT sinusoidal G(jw)H(jw) como un producto de los factores básicos analizados anteriormente.

o Después se identifican las frecuencias esquinas asociadas con estos factores básicos.o Por último se dibujan las curvas asintóticas de magnitud logarítmica con pendientes adecuadas entre

las frecuencias esquinas. o La curva exacta, que se encuentra cerca de la curva asintótica, se obtiene añadiendo las correcciones

adecuadas.o La curva del ángulo de fase de G(jw)H(jw) se dibuja añadiendo las curvas de ángulo de fase de los

factores individuales.

El uso de los diagramas de Bode con aproximaciones asintóticas requiere mucho menos tiempo que otros métodos utilizados para calcular la respuesta en frecuencia para una FT. La facilidad de dibujar las curvas de respuesta en frecuencia para una FT determinada y la facilidad para modificar la curva de respuesta conforme se añade una compensación, son las principales razones por las cuales los diagramas de Bode se utilizan tanto en la práctica.

SISTEMA DE FASE MÍNIMA Y DE FASE NO MÍNIMA

Las FT que no tiene polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s son FT de fase mínima, mientras que las que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano s son FT de fase NO mínima. Los sistemas con FT de fase mínima se denominan Sistemas de Fase Mínima, mientras aquellos con FT de fase NO mínima se denominan Sistemas de Fase NO Mínima.

RETARDO DE TRANSPORTE

El retardo de transporte tiene un comportamiento de fase no mínima y tiene un retardo de fase excesivo sin atenuación en altas frecuencias. Estos retardos de transporte aparecen normalmente en los sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.

DIAGRAMAS DE NYQUIST

También se los conoce como Diagramas Polares. El diagrama de Nyquist de una FT sinusoidal G(jw) es una gráfica de la magnitud de G(jw) con respecto al ángulo de fase de G(jw) en coordenadas polares, cuando w varía de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores |G(jw)|/_G(jw) cuando w varía de cero a infinito. Obsérvese que en las gráficas de Nyquist los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario al de las agujas del reloj (en el sentido de las agujas) a partir del eje real positivo.

Una ventaja de utilizar estos diagramas es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que el diagrama no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la FT en lazo abierto.

FACTORES INTEGRAL Y DERIVATIVO (jw)+-1

El diagrama polar de G(jw)=1/jw es el eje imaginario negativo.

El diagrama polar de G(jw)=jw es el eje imaginario positivo.

FACTORES DE PRIMER ORDEN (1+jwT)+-1

Para la función sinusoidal:

G ( jw )= 11+ jwT

= 1

√1+w2T2¿−tan−1wT

FACTORES CUADRÁTICOS [1+2ƹ(jw/wn)+(jw/wn)2]+-1

Las partes de baja y alta frecuencia del diagrama polar de la FT sinusoidal:

G ( jw )= 1

1+2ƹ ( j wwn )+( j wwn )2

FORMAS GENERALES DE LOS DIAGRAMAS DE NYQUIST

Los diagramas de Nyquist de una FT de la forma:

G ( jw )= K (1+ jwTa ) (1+ jwTb )….( jw ) λ (1+ jwT 1 ) (1+ jwT 2 )…

=bo ( jw )m+b1 (kw )m−1…

ao ( jw )n+a1 ( jw )n−1…

Donde n>m, o el grado el polinomio del denominador es mayor que el del numerador, tendrá las formas generales siguientes:

1) Para λ=0 o sistemas del tipo 0: el punto inicial del diagrama de Nyquist (que corresponde a w=0) es finito y está sobre el eje real positivo.

2) Para λ=1 o sistemas del tipo 1: el término jw del denominador contribuye -90° al ángulo de fase total de G(jw) para 0<w<∞.

3) Paa λ=2 o sistemas del tipo 2: el término (jw)2 del denominador contribuye -180° al ángulo de fase total de G(jw) para 0<w<∞.

REFERENCIAS

- OGATA, Katsuhiko; Ingeniería de Control Moderna; 5ta Edición; Ed. Pearson; Madrid; 2010.