Diagramas de árbolQué son y cómo se hacen

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es una manera muy adecuada para representar experimentos compuestos

Sirve especialmente cuando el segundo experimento depende del primero

Las primeras ramas parten de un punto central.

Habrá tantas ramas como resultados posibles.

Encima de la línea de la rama se pone la probabilidad correspondiente

A3

A1

A2

P(A1)

P(A2)

P(A3)

Veamos un ejemploTenemos una urna con 3 bolas blancas, 5

negras y 2 rojas. Sacamos una bola

Nombramos a los sucesos B=Bola blanca, N=Bola negra, R=Bola roja

Recordamos que la probabilidad de cada suceso son los casos favorables entre los casos posibles. Así por ejemplo, la probabilidad de que salga negra será P(N)=5/10, ya que hay 5 bolas negras y 10 en total.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

Fíjate que la suma de las probabilidades tiene que ser uno. 3/10+5/10+2/10=1

R

B

N

3/10

5/10

2/10

Supongamos un nuevo experimento, en el que sacamos dos bolas.

El árbol de sucesos para la primera bola sigue siendo el mismo, pero ¿qué pasa con la segunda?

Vamos a ver que pasa si la primera bola es blanca

R

B

N

3/10

5/10

2/10

Una vez que hemos sacado una bola blanca, tenemos 9 bolas en total, y sólo 2 blancas.

El árbol de sucesos ahora es el siguiente:

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

Las probabilidades que obtenemos ahora son las condicionadas.

Por ejemplo, la primera rama es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, si la primera lo ha sido, es decir, P(segunda blanca/primera blanca). Por comodidad, lo representamos como P(B/B

El árbol de sucesos ahora es el siguiente:

R

B

N

P(B/B)=2/9

P(N/B)= 5/9

P(R/B)= 2/9

Primera bola

Segunda bola

Unimos los dos esquemas. Ahora tenemos que hacer lo mismo para la bola

negra y la roja.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

Si la primera bola es negra, tenemos 9 bolas en total, y sólo 2 blancas.

El árbol de sucesos ahora es el siguiente:

R

B

N

3/9

4/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

Por último, si la primera bola es roja, el árbol de sucesos ahora es el siguiente:

R

B

N

3/9

4/9

1/9

Primera bola

Segunda bola

Unimos todos los árboles.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

R

B

N

3/9

5/9

1/9

Este árbol es útil, sin embargo no nos dice algo tan sencillo como la probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.

La probabilidad de un suceso compuesto en el diagrama de árbol se haya multiplicando las probabilidades de las ramas

Por ejemplo, la probabilidad que la primera bola sea blanca y la segunda negra será 3/10 · 5/9 = 15/90. Reduciendo, obtenemos 1/6

B

N

3/10

5/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

P(B∩N) =6

1

90

15

9

5

10

3

De la misma manera, procedemos en las otras dos bolas

La probabilidad de que las dos bolas sean blancas será 3/10 · 2/9 = 6/90. Reduciendo, obtenemos 1/15

La probabilidad que la primera sea blanca y la segunda roja será 3/10 · 6/90. Reduciendo, obtenemos 1/15

B

N

3/10

5/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

P(B∩N) = 15/90

P(B∩B) = 6/90

P(B∩N) = 6/90

Continuamos con el resto.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

Segunda bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

R

B

N

3/9

5/9

1/9

P(B∩N)= 15/90

P(B∩B)= 6/90

P(B∩R)= 6/90

P(N∩N)= 20/90

P(N∩B)= 15/90

P(N∩R)= 10/90

P(R∩N)= 10/90

P(R∩B)= 6/90

P(R∩R)= 2/90

Al final del diagrama de árbol tenemos todos los sucesos elementales, 9 en total. Sus probabilidades suman 1.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

R

B

N

3/9

5/9

1/9

P(B∩N)= 15/90

P(B∩B)= 6/90

P(B∩R)= 6/90

P(N∩N)= 20/90

P(N∩B)= 15/90

P(N∩R)= 10/90

P(R∩N)= 15/90

P(R∩B)= 6/90

P(R∩R)= 2/90

Para hallar muchas probabilidades habrá que sumar las correspondientes a varios sucesos elementales.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

R

B

N

3/9

5/9

1/9

P(B∩N)= 15/90

P(B∩B)= 6/90

P(B∩R)= 6/90

P(N∩N)= 20/90

P(N∩B)= 15/90

P(N∩R)= 10/90

P(R∩N)=10/90

P(R∩B)= 6/90

P(R∩R)= 2/90

Por ejemplo, si nos piden la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, sumaremos P(B∩B)+P(N∩B)+P(R∩B)=6/90+15/90+6/90=27/90

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

R

B

N

3/9

5/9

1/9

P(B∩N)= 15/90

P(B∩B)= 6/90

P(B∩R)= 6/90

P(N∩N)= 20/90

P(N∩B)= 15/90

P(N∩R)= 10/90

P(R∩N)=10/90

P(R∩B)= 6/90

P(R∩R)= 2/90

Aunque las fracciones deben de ponerse reducidas, es conveniente no hacerlo hasta que no hayamos terminado todas las cuentas, para que resulten más sencillas.

R

B

N

3/10

5/10

2/10

R

B

N

2/9

5/9

2/9

Primera bola

R

B

N

3/9

4/9

2/9

R

B

N

3/9

5/9

1/9

P(B∩N) = 15/90 = 1/6

P(B∩B) = 6/90 = 1/15

P(B∩R) = 6/90= 1/15

P(N∩N) = 20/90 = 2/9

P(N∩B) = 15/90 = 1/6

P(N∩R) = 10/90= 1/9

P(R∩N) = 15/90= 1/6

P(R∩B) = 6/90= 1/15

P(R∩R) = 2/90= 2/9

Espero que os haya sido útil